精品解析：福建省龙岩市上杭县第一中学2025-2026学年高一上学期第二次月考（12月）数学试卷

2025-2026学年第一学期高一第二次月考 高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，4只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 化成弧度制是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在大致区间为（ ） A. B. C. D. 4. 函数在区间的图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 若，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 已知函数（）在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 10. 以下说法正确的是（ ） A. “，”的否定是“， B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为 D. ""是真命题，则 11. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数.当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 在上单调递减 C. 点是函数的一个对称中心 D. 方程有5个实数解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______. 13. 函数的值域是____________． 14. 已知函数，给出以下四个结论： ①存在实数a，函数无最小值； ②对任意实数a，函数都有零点； ③当时，函数在上单调递增； ④对任意，都存在实数m，使方程有3个不同的实根． 其中所有正确结论的序号是________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集U=R,已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. （1）求值：； （2）已知是第四象限角，若，求的值； （3）若，求的值. 17. 已知，二次函数的图象经过点，且的解集为. （1）求实数a，b的值； （2）若方程在上有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围. 18. 已知. （1）若的始边为轴的非负半轴，终边过点，求的值； （2）若，且，求的值； （3）若，，求的值. 19. 若函数满足：对于，，都有，，且，则称函数为“速增函数”.已知为幂函数且是偶函数，函数过点. （1）试求，的解析式； （2）试判断函数与是否是“速增函数”； （3）若函数为“速增函数”，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高一第二次月考 高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，4只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式把集合具体化，再根据集合的交集运算可得答案. 【详解】由  ，解得 ， 故， 又因为集合， 所以. 故选：A 2. 化成弧度制是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由角度，弧度转化公式可得答案. 【详解】由于， 所以 故选：D. 3. 函数的零点所在大致区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点的存在性定理判断零点所在区间. 【详解】因为为单调递增函数， 满足， 由零点的存在性定理可知，，使得. 故选：C. 4. 函数在区间的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先判断函数奇偶性，舍去AC，再求时函数值，即可选择. 【详解】因为 所以为偶函数，舍去 AC; 因为，舍去D， 故选：B 【点睛】本题考查图象识别、函数奇偶性判断，考查基本分析识别能力，属基础题. 5. 若，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助中间量比较大小即可. 【详解】解：由题知，，， 所以，即. 故选：D 6. 已知为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用同角三角函数的基本关系求，再利用诱导公式把用来表示即可得到答案. 【详解】因为为锐角，且，所以也是锐角， 所以. ，即. 故选：C. 7. 已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用，结合基本不等式求解. 【详解】因，，满足，则， 于是 ，当且仅当时，即，等号成立， 故的最小值是. 故选：C 8. 已知函数（）在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，利用正弦函数的零点和单调性求出的取值范围 【详解】当，， 函数（）在上单调递增， 所以，所以 当，， 且， 在上有且仅有1个零点， 所以或， 所以或， 综上的取值范围为， 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】依次判断选项中的函数周期即可得到答案。 【详解】对选项A，的周期为，故A正确， 对选项B，的周期为，故B正确， 对选项C，，周期为，故C错误， 对选项D，周期为，故D正确。 故选：ABD 10. 以下说法正确的是（ ） A. “，”的否定是“， B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为 D. ""是真命题，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A，根据充分条件和必要条件的定义可判断B选项；由扇形的弧长与面积公式可求C，对二次项系数进行讨论，分为和两种情形，结合判别式可得结果判断D. 【详解】对于A，“，”的否定是“，”，故A正确； 对于B，即，解得， 因为，反之不一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故B错误； 对于C，扇形弧长为，圆心角为，所以扇形的半径长为， 则该扇形面积为，故C正确； 对于D，因为“，”是真命题，即，对恒成立. 当时，命题成立； 当时，，解得， 综上可得，，故D正确； 故选：ACD. 11. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数.当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 在上单调递减 C. 点是函数的一个对称中心 D. 方程有5个实数解 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意可得是函数的一个周期，由对称性作出函数部分图象和的草图，数形结合判断各个选项得解. 【详解】为奇函数，函数的图象关于点成中心对称， 为偶函数，函数的图象关于直线成轴对称. 则且， ，即， 所以， 是函数的一个周期. 当时，，则可作出函数部分图象和的草图如下. 由图可知A，D正确，B，C不正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正切函数的定义域用整体代入的方法即可求出函数的定义域. 【详解】由得， 所以函数的定义域为； 故答案为：. 13. 函数的值域是____________． 【答案】[，2]． 【解析】 【分析】先求出的范围，进而结合正弦函数的图像与性质得出答案． 【详解】由题意，，结合正弦函数的图像和性质可知，则函数值域为. 故答案为：. 14. 已知函数，给出以下四个结论： ①存在实数a，函数无最小值； ②对任意实数a，函数都有零点； ③当时，函数在上单调递增； ④对任意，都存在实数m，使方程有3个不同的实根． 其中所有正确结论的序号是________________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】结合分段函数的性质对四个结论进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①，当时，， 的图象如下图所示，由图可知，没有最小值，①正确. ②，由于， 当时，；当时，， 所以对任意实数a，函数都有零点，②正确. ③当时，， ，即函数在上不是单调递增函数，③错误. ④，当时，， 当时，， 画出的图象如下图所示， 由图可知存在实数m，使方程有3个不同的实根，④正确. 综上所述，正确结论的序号是①②④. 故答案为：①②④ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集U=R,已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由补集及并集运算即可求解； （2）由和两类情况讨论，列出不等式求解即可. 【小问1详解】 或. 或. 【小问2详解】 由， 则①当时，由，解得； ②当时，或 解得或． 综上，实数的取值范围为． 16. （1）求值：； （2）已知是第四象限角，若，求的值； （3）若，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）7 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简； （2）由同角三角函数的关系求出，再利用诱导公式以及齐次化思想化简求值； （3）利用齐次化思想求解. 【详解】（1）原式 ； （2）由是第四象限角，， ，则， 故； （3）因， 则 . 17. 已知，二次函数的图象经过点，且的解集为. （1）求实数a，b的值； （2）若方程在上有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围. 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】 （1）根据一元二次不等式的解集和一元二次方程的关系计算可得. （2）由（1）知，得方程等价于方程，令，即的两个零点满足分析可得. 【详解】解：（1）因为的图象经过点，所以， 所以， 的解集为， 所以，且， 且，得， 故， （2）由， 得方程等价于方程， 令，即的两个零点满足， 所以必有， 即，解得， 所以实数k的取值范围是 【点睛】本题考查一元二次方程，二次函数以及一元二次不等式的关系，二次函数的零点问题，属于中档题. 18. 已知. （1）若的始边为轴的非负半轴，终边过点，求的值； （2）若，且，求的值； （3）若，，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义得到，的值，代入即得答案； （2）平方化简得到的值，代入可得答案； （3）化简求得的值，代入利用诱导公式可得答案. 【小问1详解】 的终边过点，，，； 【小问2详解】 因为，所以，即， 从而， 因为，，，所以，因此， 从而，故 【小问3详解】 . 19. 若函数满足：对于，，都有，，且，则称函数为“速增函数”.已知为幂函数且是偶函数，函数过点. （1）试求，的解析式； （2）试判断函数与是否是“速增函数”； （3）若函数为“速增函数”，求的取值范围. 【答案】（1）， （2）是“速增函数”，不是“速增函数” （3） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质可求，把点代入，可求，得的解析式. （2）根据“速增函数”的定义判断是“速增函数”，举反例说明不是“速增函数”. （3）先根据“速增函数”的定义将问题转化为不等式恒成立问题；再利用指数运算法则和指数函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 因为为幂函数且是偶函数， 则且为偶数， 解得或（舍），所以， 又，即，解得，则. 【小问2详解】 对于函数， 当，时，，， 又， 所以，故是“速增函数”. 对于函数， 当时，， 故不是“速增函数”. 【小问3详解】 当，时，由是“速增函数”， 可知，即对一切正数恒成立， 又，可得对一切正数恒成立，所以. 由，可得对一切正数，恒成立， 即 对一切正数，恒成立， 故对一切正数，恒成立， 又，故对一切正数，恒成立， 由对一切正数，恒成立，可得，即. 综上可知，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题以函数的新定义为载体考查恒成立问题、指数运算法则和指数函数的单调性. 第（1）问解题关键在于理解函数新定义； 第（2）问利用转化的思想将所求问题转化为不等式恒成立问题，再利用指数运算法则和指数函数的单调性即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $