专题1.2圆的基本性质（高效培优讲义，11知识&8题型精讲+强化训练）数学沪科版九年级下册

本讲义聚焦圆的基本性质核心知识点，从圆的两种定义切入，系统梳理点与圆位置关系、弦与弧等相关概念，通过圆的轴对称性和旋转不变性推导垂径定理、圆心角与弧弦关系，延伸至三角形外接圆及反证法，构建完整知识脉络。 资料设计突出“即学即练”与题型变式，结合圆拱形门洞、古代车轮等生活实例，培养学生几何直观与推理能力。课中助力教师分层教学，课后通过不同难度练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用意识。

专题1.2圆的基本性质 教学目标 1.了解圆的两种定义、与圆有关的概念、圆的轴对称性和旋转对称性;掌握同圆或等圆的半径相等的性质. 2.探索并了解点和圆的位置关系. 3.探究并掌握垂径定理及其推论和圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及其推论. 4.了解三角形的外接圆、外心的概念及性质;明确不在同一条直线上的三点确定一个圆;会画三角形的外接圆. 5.了解反证法的基本思路和一般步骤，能利用反证法证明简单的命题. 教学重难点 教学重点：掌握圆的核心概念、垂径定理、圆心角与弧弦关系及三角形外接圆相关知识。 教学难点：性质的严谨证明、复杂图形中辅助线构造及知识综合应用，同时要突破反证法与动态几何的思维障碍。 知识点01 圆 1. 圆的定义 (1)描述性定义：在平面内，线段OP 绕着它固定的一个端点O 旋转一周，则另一个端点P 所形成的封闭曲线叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OP 的长为r 叫做半径. (2)集合观点定义：圆可以看成是平面内到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r)的所有点组成的图形. 2. 圆的表示法 以点O 为圆心的圆， 记作“ ⊙ O”， 读作“圆O”. 3. 圆的特性 (1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)，即同圆的半径相等. (2)平面内到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r)的所有点都在同一个圆上，即到圆心的距离等于半径的点在圆上. 【即学即练】如图，和都为直角三角形，且．求证：、、、四点在同一个圆上．    知识点02 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 设⊙ O 的半径为r，点P 到圆心的距离OP=d，则有： 特点 等价关系 点在圆外 点到圆心的距离大于半径 点P 在圆外⇔d>r 点在圆上 点到圆心的距离等于半径 点P 在圆上⇔d=r 点在圆内 点到圆心的距离小于半径 点P 在圆内⇔d<r 【即学即练】（25-26九年级上·安徽合肥·月考）若的直径为，的长为，则点与的位置关系是 （    ） A．在上 B．在内 C．在外 D．无法确定 知识点03 圆的有关概念 圆的相关概念的定义见下表： 定义 注意 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦 圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦 直径 经过圆心的弦叫做直径 弧、 半圆、 劣弧、 优弧 (1)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧； (2)圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆； (3)大于半圆的弧叫做优弧； (4)小于半圆的弧叫做劣弧 弧包括优弧、劣弧和半圆；半圆既不是优弧，也不是劣弧 弓形 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形 弓形不是弧 等圆 能够重合的两个圆叫做等圆. 容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心的位置无关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 等弧只能出现在同圆或等圆中；等弧是全等的，而不仅仅是弧的长度相等 【即学即练】有下列说法：①同圆中，所有的半径都相等；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点04 圆的轴对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. (1)圆的对称轴有无数条. (2)“圆的对称轴是直径所在直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的直线”. 【即学即练】下列关于如图中所给的图形的说法中，正确的是（    ） A．该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形 B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形 C．该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形 D．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形 知识点05 垂径定理及其推论 1. 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 示例 如图，CD 是⊙O 的直径，CD ⊥ AB 于点E，那么垂径定理可用几何语言表述为 2. 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 示例 如图，CD 是⊙ O 的直径，AB 是弦( 非直径)，AB 与CD 相交于点E，且AE=BE，那么CD 垂直于AB，并且AC = BC ，AD = BD . 可用几何语言表述为： 3. 弦心距 圆心到弦的距离叫做弦心距. 【即学即练1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，圆弧形桥拱的跨度为米，拱桥所在圆的半径为米，则拱高为 ． 【即学即练2】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点06 圆的旋转不变性、圆心角 1. 圆的旋转不变性 圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心. 圆具有旋转不变性，即把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合. 2. 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 如图， ∠ AOB 是 所对的圆心角，是∠ AOB 所对的弧.一条弧所对的圆心角只有一个. 【即学即练】下列图形中的角是圆心角的是（    ） A． B． C． D． 知识点07 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及其推论 1. 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. 示例 如图，若∠ AOB= ∠ A′OB′，OC ⊥ AB，OC ′⊥ A ′B ′， 则 = ， AB=A′B′，OC=OC′. 2. 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中有一组量相等，那么其余各组量都分别相等(即“知一导三”). 上述推论可简记为： 在同圆或等圆中，圆心角相等⇔ 弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等. 示例 如图，OE ⊥ AB 于点E，OF ⊥ CD 于点F. 四个式子：①∠ AOB= ∠ COD；② =；③ AB=CD；④ OE=OF.其中有一个式子成立，则其他三个式子也成立，即∠ AOB= ∠ COD ⇔ =⇔AB=CD ⇔OE=OF. 【即学即练1】（25-26九年级上·安徽黄山·月考）如图，在中，，则 ．（填“”“”或“”） 【即学即练2】（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，点B是的中点，若，则的度数是 ． 知识点08 弧的度数与该弧所对圆心角的度数的关系 1. 1°的弧 把顶点在圆心的周角等分成360 份，每一份的圆心角是1°的角. 因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆周也被等分成360 份，我们把每一份这样的弧叫做1°的弧. 2. 圆心角的度数与它所对弧的度数的关系 一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角. 也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 【即学即练】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，点，在以为直径的半圆上，且．若的度数为，则的度数为 ． 知识点09 圆的确定 1. 过已知点作圆 作法 作圆的个数 图示 过一点A 作圆 以点A 以外的任意一点为圆心，以该点与点A 的距离为半径作圆 无数个 过两点A，B作圆 连接AB，作线段AB 的垂直平分线l，以其垂直平分线上任意一点为圆心，以该点与点A(或点B)的距离为半径作圆 无数个 过不在同一条 直线上的三点 A，B，C 作圆 连接AB，BC，分别作线段AB，BC 的垂直平分线DE 和FG，DE和FG 相交于点O，以O 为圆心，以OA(或OB，OC)为半径作圆，⊙ O 就是所求作的圆 一个 2. 确定一个圆的条件 (1)已知圆心、半径，可以确定一个圆. (2)不在同一直线上的三个点确定一个圆. 【即学即练】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 知识点10 三角形的外接圆 1. 三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.“接”是指三角形的三个顶点都在圆上. 2. 三角形的外心 (1)定义：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心. (2)性质：三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，且等于其外接圆的半径. 3. 三角形外接圆的作法 (1)作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点； (2)以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一顶点的距离为半径作圆即可. 【即学即练】如图，外接圆的圆心坐标为 ． 知识点11 反证法 1. 反证法 先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法. 2. 反证法证明的步骤 (1)反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； (2)推理：从(1)中的“反设”出发，逐步推理直至出现与已知条件、定义、基本事实、定理等中任一个相矛盾的结果； (3)结论：由矛盾的结果判定(1)中的“反设”不成立，从而肯定命题的结论成立. 【即学即练】用反证法证明：在同一圆中，如果两条弦不等，那么它们的弦心距（圆心到弦的距离）也不等．已知：中和是它的两条弦，垂足为，垂足为，．求证：． 题型01 点与圆的位置关系的运用 【例1】（25-26九年级上·安徽六安·月考）的圆心在坐标原点，半径为5，点的坐标为，则点与的位置关系是（） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．点在轴上 【变式1-1】（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）已知的直径为，若，则点在（   ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法判断 【变式1-2】（2024九年级上·安徽·专题练习）已知的半径是3，A、B是圆周上的两点，则两点间的最长距离是（    ） A．3 B．6 C．12 D．不能确定 题型02 求圆中角的度数 【例2】（2025·安徽·一模）在中，记弦所对的优弧长为，所对的劣弧长为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25九年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，，则等于（   ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·安徽淮北·一模）如图，的直径与弦垂直，且，则的度数为（   ） A．50° B．60° C．80° D．70° 【变式2-3】（25-26九年级上·安徽淮南·月考）如图，是的直径，．求的度数． 题型03 垂径定理及逆定理的运用 【例3-1】（23-24九年级上·安徽六安·月考）若点P为内一点，过点P的最长弦长为8，最短弦长为4，则线段长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【例3-2】（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，的直径与弦交于点E，，则下列说法错误的是（  ） A． B． C． D． 【例3-3】（25-26九年级上·安徽亳州·期末）“圆”对于中国人来说总有一种特殊的情结，圆融、圆满寄托着众人美好的期望，也契合了国人内心深处的向往．如图是合肥园博园中的一个圆拱形的门洞，已知门洞高，地面入口宽，求门洞的半径．（精确到） 【例3-4】（23-24九年级上·安徽铜陵·期中）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点．求证：． 【变式3-1】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）古代交通工具如图是博物馆展出的古代车轮，已知兵车之轮直径约为六尺六寸，田车之轮直径约为六尺三寸．如图所示，在车轮上取，两点，设所在圆的圆心为，半径为．作弦的垂线交于点，为垂足，经测量，，，已知战国时期尺，则车轮的直径约为 尺．（结果保留一位小数） 【变式3-2】（22-23九年级上·安徽淮南·月考）如图，过内的一点P画弦AB，使P是AB中点．（保留作图痕迹，不写画法）    【变式3-4】（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，，交于点，，是的半径，且于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【变式3-4】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图是一个蔬菜大棚的横截面，它的“拱顶”部分是以点为圆心的圆的一部分，已知的半径为，横梁的长为，点为的中点，连接交于点． (1)求拱高的长； (2)若要在离蔬菜大棚中心处安装一支撑柱，且支撑柱垂直于横梁，求支撑柱的长． 题型04 圆心角、弧、弦、弦心距的关系的运用 【例4】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，在两个同心圆中，大圆半径是小圆半径的2倍，点D，E，B均在圆上，若，连接，和，则下列说法不正确的是（   ） A．O到弦距离等于O到弦距离 B． C． D． 【变式4-1】如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，交于点，若，，则的半径长是（   ） A． B．4 C．5 D． 【变式4-2】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知是的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点，若． (1)求的度数； (2)若，求的值； (3)在（2）的基础上求的值． 题型05 按要求作圆 【例5】（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 【变式5-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为．B的坐标为．则该圆弧所在圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，学校某处空地上有、、三棵树，现准备建一个圆形景观鱼池，要求、、三棵树恰在圆周上，请你帮助设计鱼池，在图中作出它的鱼池轮廓，保留作图痕迹并将圆心标记为点． 【变式5-3】（2025·安徽蚌埠·一模）【经历】 （1）如图1所示的正方形网格中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B都是格点，线段交网格线于C，则 ； （2）如图2，将边长为1的的正方形网格如图所示放置在直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C，该圆弧所在圆的圆心D的坐标为 ； 【探索】 （3）在如图3所示的正方形网格中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都是格点，与交于E，则 ； （4）如图4，是由5个边长为1的小正方形组成的图形，将其放置在中，恰好经过格点A、B、C，的半径为 ． 题型06 与三角形外接圆有关问题 【例6-1】如图，点是边长为6的等边三角形内部一动点，连接，，，且满足，为的中点，过点作，垂足为，连接，则长的最小值是（　　）    A． B．2 C． D．3 【例6-2】中，、、，则外接圆圆心坐标为 ． 【例6-3】（22-23九年级上·安徽亳州·期末）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上． (1)请找出的外接圆的圆心O，并标明圆心O的位置； (2)请以圆心O为位似中心，在点O的下方画出边放大2倍后的线段． 【变式6-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知，在中，， ，、，垂足分别为D、E，、相交于点G，则的长度的最大值为（       ） A．2 B． C．1 D． 【变式6-2】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）点是平面直角坐标系上一点，以点为圆心，长为半径作圆并与坐标轴交于不与原点重合的、两点，则的长为 ． 【变式6-3】如图，在三角形纸片ABC中，，，垂直平分，平分，将沿在上，在上）折叠，点C与点O恰好重合， （1） ；   （2）若，则 ． 题型07 分类讨论求圆中两弦之间的距离 【例7】AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（　　） A．1或7 B．7 C．1 D．3或4 【变式7-1】已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【变式7-2】已知的半径为，弦，，，则两弦之间的距离为 ． 题型08 圆中的动点问题 【变式1-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，在矩形中，，，点，分别是，边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式8-1】如图，抛物线 y＝x2－4 与 x 轴交于 A、B 两点，P 是以点 C（0， 3）为圆心， 2 为半径的圆上的动点，Q是线段 PA 的中点，连结 OQ，则线段OQ的最大值是（    ）    A．1.5 B．3 C．3.5 D．4 【变式8-2】（24-25九年级下·安徽安庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点P在以为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足，则a的最大值是 ． 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽芜湖·月考）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 2．（22-23九年级下·安徽合肥·开学考试）已知的直径长为6，点A，B在上，则的长不可能是：（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）下列说法正确的有（   ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径一定垂直于这条弦 C．过圆心的线段是直径 D．圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴 4．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）下列说法中，不正确的是（   ） A．直径是最长的弦 B．长度相等的弧是等弧 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．同圆中，所有的半径都相等 5．（22-23九年级上·安徽亳州·期末）下列说法中，真命题的个数是（    ） ①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆； A．1 B．2 C．3 D．4 6．（22-23九年级上·安徽·月考）若所在平面内有一点，点到上点的最大距离为，最小距离为，则的半径为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 7．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，3为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（   ） A．点，均在内 B．点，均在外 C．点在内，点在外 D．以上选项都不正确 8．（23-24九年级下·安徽合肥·月考）已知内接于，，点D是上一点，则下列命题正确的是（    ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若平分，则 D．若平分，则四边形的面积 9．（2024·安徽·模拟预测）如图，是正方形的边的中点，是正方形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转得到线段．连接．若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，点、在上，且，点从点沿线段向点运动（运动到点停止），以、为斜边在的同侧画等腰和等腰，连接，取的中点，则下列说法中正确的有( ) 的外接圆的圆心为点；的外接圆与相切；四边形的面积不变；的中点移动的路径长为． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 11．（23-24九年级上·安徽六安·月考）已知半径为5，P点不在内，则的范围 ． 12．（22-23九年级下·安徽安庆·月考）在平面直角坐标系中，的半径为5（点是坐标原点），则点与的位置关系是：点P在 ．（填“外”或“上”或“内”）． 13．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期末）两直角边长分别为15和20的直角三角形外接圆的半径为 ． 14．（2024·安徽·二模）如图，已知是的外接圆，，则 ．    15．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图①是小明帮妈妈做的一个锅盖架，图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为，，锅盖直径为，则锅盖最低点到的距离是 ． 16．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）如图，在中，，，，垂足为点，，垂足为点，，则四边形的面积是 ． 三、解答题 17．（25-26九年级上·安徽淮南·期中）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为O，半径，垂足为D，拱高（弧的中点到弦的距离），连接． (1)直接判断与的数量关系； (2)求这座石拱桥主桥拱的半径． 18．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，为直径，为弦的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)连接，若，四边形的面积为，求的长． 19．（2025·安徽滁州·一模）如图，是半的直径，，点，分别在半径和弦上，且，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2圆的基本性质 教学目标 1.了解圆的两种定义、与圆有关的概念、圆的轴对称性和旋转对称性;掌握同圆或等圆的半径相等的性质. 2.探索并了解点和圆的位置关系. 3.探究并掌握垂径定理及其推论和圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及其推论. 4.了解三角形的外接圆、外心的概念及性质;明确不在同一条直线上的三点确定一个圆;会画三角形的外接圆. 5.了解反证法的基本思路和一般步骤，能利用反证法证明简单的命题. 教学重难点 教学重点：掌握圆的核心概念、垂径定理、圆心角与弧弦关系及三角形外接圆相关知识。 教学难点：性质的严谨证明、复杂图形中辅助线构造及知识综合应用，同时要突破反证法与动态几何的思维障碍。 知识点01 圆 1. 圆的定义 (1)描述性定义：在平面内，线段OP 绕着它固定的一个端点O 旋转一周，则另一个端点P 所形成的封闭曲线叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OP 的长为r 叫做半径. (2)集合观点定义：圆可以看成是平面内到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r)的所有点组成的图形. 2. 圆的表示法 以点O 为圆心的圆， 记作“ ⊙ O”， 读作“圆O”. 3. 圆的特性 (1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)，即同圆的半径相等. (2)平面内到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r)的所有点都在同一个圆上，即到圆心的距离等于半径的点在圆上. 【即学即练】如图，和都为直角三角形，且．求证：、、、四点在同一个圆上．    【详解】证明：取弦的中点，连接，， 和都为直角三角形，且， ，分别为和斜边上的中线， ． 、、、四点在同一个圆上．    知识点02 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 设⊙ O 的半径为r，点P 到圆心的距离OP=d，则有： 特点 等价关系 点在圆外 点到圆心的距离大于半径 点P 在圆外⇔d>r 点在圆上 点到圆心的距离等于半径 点P 在圆上⇔d=r 点在圆内 点到圆心的距离小于半径 点P 在圆内⇔d<r 【即学即练】（25-26九年级上·安徽合肥·月考）若的直径为，的长为，则点与的位置关系是 （    ） A．在上 B．在内 C．在外 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵的直径为， ∴半径 ∵， ∴， ∴点在上， 故选：． 知识点03 圆的有关概念 圆的相关概念的定义见下表： 定义 注意 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦 圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦 直径 经过圆心的弦叫做直径 弧、 半圆、 劣弧、 优弧 (1)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧； (2)圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆； (3)大于半圆的弧叫做优弧； (4)小于半圆的弧叫做劣弧 弧包括优弧、劣弧和半圆；半圆既不是优弧，也不是劣弧 弓形 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形 弓形不是弧 等圆 能够重合的两个圆叫做等圆. 容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心的位置无关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 等弧只能出现在同圆或等圆中；等弧是全等的，而不仅仅是弧的长度相等 【即学即练】有下列说法：①同圆中，所有的半径都相等；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①同圆中，所有的半径都相等，原说法正确，符合题意； ②弦不一定是直径，原说法错误，不符合题意； ③半径相等的两个半圆是等弧，原说法正确，符合题意； ④能够完全重合的两条弧是等弧，原说法错误，不符合题意； ⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆，原说法正确，符合题意． 故选：C． 知识点04 圆的轴对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. (1)圆的对称轴有无数条. (2)“圆的对称轴是直径所在直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的直线”. 【即学即练】下列关于如图中所给的图形的说法中，正确的是（    ） A．该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形 B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形 C．该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形 D．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形 【答案】B 【详解】解：如图，该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形， 故选：B． 知识点05 垂径定理及其推论 1. 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 示例 如图，CD 是⊙O 的直径，CD ⊥ AB 于点E，那么垂径定理可用几何语言表述为 2. 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 示例 如图，CD 是⊙ O 的直径，AB 是弦( 非直径)，AB 与CD 相交于点E，且AE=BE，那么CD 垂直于AB，并且AC = BC ，AD = BD . 可用几何语言表述为： 3. 弦心距 圆心到弦的距离叫做弦心距. 【即学即练1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，圆弧形桥拱的跨度为米，拱桥所在圆的半径为米，则拱高为 ． 【答案】8米 【详解】解：根据题意，， ∴，且， 设，则， 在中，， ∴，解得，，负值舍去， ∴， 故答案为：． 【即学即练2】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图：连接、， ∵是的直径，为弦，于点， ∴，，， ∴，， ∴B选项结论成立，符合题意；A选项结论不成立，不符合题意； 证明缺少条件，即C选项结论不成立，不符合题意， 无法判断，即D选项结论不成立，不符合题意． 故选：B． 知识点06 圆的旋转不变性、圆心角 1. 圆的旋转不变性 圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心. 圆具有旋转不变性，即把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合. 2. 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 如图， ∠ AOB 是 所对的圆心角，是∠ AOB 所对的弧.一条弧所对的圆心角只有一个. 【即学即练】下列图形中的角是圆心角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上， 所以选项A符合题意，选项B，C，D不合题意． 故选：A． 知识点07 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及其推论 1. 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. 示例 如图，若∠ AOB= ∠ A′OB′，OC ⊥ AB，OC ′⊥ A ′B ′， 则 = ， AB=A′B′，OC=OC′. 2. 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中有一组量相等，那么其余各组量都分别相等(即“知一导三”). 上述推论可简记为： 在同圆或等圆中，圆心角相等⇔ 弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等. 示例 如图，OE ⊥ AB 于点E，OF ⊥ CD 于点F. 四个式子：①∠ AOB= ∠ COD；② =；③ AB=CD；④ OE=OF.其中有一个式子成立，则其他三个式子也成立，即∠ AOB= ∠ COD ⇔ =⇔AB=CD ⇔OE=OF. 【即学即练1】（25-26九年级上·安徽黄山·月考）如图，在中，，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：如图所示，连接，作交于点，交于点， ∴，且， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴，即 ∵ ∴ ∴， 在中，，即， ∴， 故答案为：． 【即学即练2】（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，点B是的中点，若，则的度数是 ． 【答案】 【详解】解：∵点B是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， 则， 故答案为：． 知识点08 弧的度数与该弧所对圆心角的度数的关系 1. 1°的弧 把顶点在圆心的周角等分成360 份，每一份的圆心角是1°的角. 因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆周也被等分成360 份，我们把每一份这样的弧叫做1°的弧. 2. 圆心角的度数与它所对弧的度数的关系 一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角. 也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 【即学即练】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，点，在以为直径的半圆上，且．若的度数为，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：连接， ，的度数为，即， ． ， ． ． 的度数为． 故答案为：． 知识点09 圆的确定 1. 过已知点作圆 作法 作圆的个数 图示 过一点A 作圆 以点A 以外的任意一点为圆心，以该点与点A 的距离为半径作圆 无数个 过两点A，B作圆 连接AB，作线段AB 的垂直平分线l，以其垂直平分线上任意一点为圆心，以该点与点A(或点B)的距离为半径作圆 无数个 过不在同一条 直线上的三点 A，B，C 作圆 连接AB，BC，分别作线段AB，BC 的垂直平分线DE 和FG，DE和FG 相交于点O，以O 为圆心，以OA(或OB，OC)为半径作圆，⊙ O 就是所求作的圆 一个 2. 确定一个圆的条件 (1)已知圆心、半径，可以确定一个圆. (2)不在同一直线上的三个点确定一个圆. 【即学即练】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四点不在同一直线上， ∴根据题意分两种情况讨论：（）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆； （）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作或个圆； ∴确定圆的个数为、或，不可能为， 故选：． 知识点10 三角形的外接圆 1. 三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.“接”是指三角形的三个顶点都在圆上. 2. 三角形的外心 (1)定义：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心. (2)性质：三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，且等于其外接圆的半径. 3. 三角形外接圆的作法 (1)作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点； (2)以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一顶点的距离为半径作圆即可. 【即学即练】如图，外接圆的圆心坐标为 ． 【答案】 【详解】解：作线段、线段的垂直平分线相交于点D，如图， 由图可得点D的坐标为：， 故答案为：． 知识点11 反证法 1. 反证法 先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法. 2. 反证法证明的步骤 (1)反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； (2)推理：从(1)中的“反设”出发，逐步推理直至出现与已知条件、定义、基本事实、定理等中任一个相矛盾的结果； (3)结论：由矛盾的结果判定(1)中的“反设”不成立，从而肯定命题的结论成立. 【即学即练】用反证法证明：在同一圆中，如果两条弦不等，那么它们的弦心距（圆心到弦的距离）也不等．已知：中和是它的两条弦，垂足为，垂足为，．求证：． 【详解】证明：假设， 如图，连接、， ∵和是的两条弦，，， ∴，，， ∵， ， ∴， ∴， 即，与矛盾，假设不成立， ∴在同一圆中，如果两条弦不等，那么它们的弦心距（圆心到弦的距离）也不等．    题型01 点与圆的位置关系的运用 【例1】（25-26九年级上·安徽六安·月考）的圆心在坐标原点，半径为5，点的坐标为，则点与的位置关系是（） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．点在轴上 【答案】A 【详解】∵圆心O在坐标原点，点A的坐标为， ∴， ∵的半径为5， ∴半径， ∴点A在上． 故选：A． 【变式1-1】（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）已知的直径为，若，则点在（   ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法判断 【答案】B 【详解】解：∵的直径为， ∴半径， 又∵， ∴， ∴点在圆上， 故选：． 【变式1-2】（2024九年级上·安徽·专题练习）已知的半径是3，A、B是圆周上的两点，则两点间的最长距离是（    ） A．3 B．6 C．12 D．不能确定 【答案】B 【详解】解：经过圆心的弦最长，即直径是最长的弦， ∵的半径是3， ∴两点间的最长距离是6． 故选：B ． 题型02 求圆中角的度数 【例2】（2025·安徽·一模）在中，记弦所对的优弧长为，所对的劣弧长为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：， 故选：D． 【变式2-1】（24-25九年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式2-2】（2025·安徽淮北·一模）如图，的直径与弦垂直，且，则的度数为（   ） A．50° B．60° C．80° D．70° 【答案】C 【详解】解：如图所示，连接， ∵的直径与弦垂直， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2-3】（25-26九年级上·安徽淮南·月考）如图，是的直径，．求的度数． 【详解】解：∵， ， ． 题型03 垂径定理及逆定理的运用 【例3-1】（23-24九年级上·安徽六安·月考）若点P为内一点，过点P的最长弦长为8，最短弦长为4，则线段长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】解：连接，如图所示： 根据题意得：，，于点， 则， ， ， ， 故选：D． 【例3-2】（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，的直径与弦交于点E，，则下列说法错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是的直径与弦交于点，， 根据垂径定理及其推论可得，点B为劣弧的中点，点为优弧的中点， ∴， ， 但不能证明，故选项说法错误，符合题意； 故选：B． 【例3-3】（25-26九年级上·安徽亳州·期末）“圆”对于中国人来说总有一种特殊的情结，圆融、圆满寄托着众人美好的期望，也契合了国人内心深处的向往．如图是合肥园博园中的一个圆拱形的门洞，已知门洞高，地面入口宽，求门洞的半径．（精确到） 【详解】解：设的半径为，则， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得， 答：门洞的半径约为． 【例3-4】（23-24九年级上·安徽铜陵·期中）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点．求证：． 【详解】证明：过作，垂足为E， ，， ， ． 【变式3-1】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）古代交通工具如图是博物馆展出的古代车轮，已知兵车之轮直径约为六尺六寸，田车之轮直径约为六尺三寸．如图所示，在车轮上取，两点，设所在圆的圆心为，半径为．作弦的垂线交于点，为垂足，经测量，，，已知战国时期尺，则车轮的直径约为 尺．（结果保留一位小数） 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， 在中，， ∴，解得：， ∴（尺）， 故答案为：． 【变式3-2】（22-23九年级上·安徽淮南·月考）如图，过内的一点P画弦AB，使P是AB中点．（保留作图痕迹，不写画法）    【详解】解：如图，为所作．    【变式3-4】（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，，交于点，，是的半径，且于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【详解】（1）证明：∵，于点， ∴， 又∵是的半径，， ∴， ∴， 即． （2）解：如图，连接， 设的半径为，则， ∵， ∴， ∵是的半径，，， ∴， 在中，，即， 解得， ∴的半径为． 【变式3-4】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图是一个蔬菜大棚的横截面，它的“拱顶”部分是以点为圆心的圆的一部分，已知的半径为，横梁的长为，点为的中点，连接交于点． (1)求拱高的长； (2)若要在离蔬菜大棚中心处安装一支撑柱，且支撑柱垂直于横梁，求支撑柱的长． 【详解】（1）解：∵的半径为， ∴． ∵点为的中点， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 答：拱高的长为． （2）解：过点作于点，连接则．如图， 设， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，． 在中，，，， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）， ∴． 答：支撑柱的长为． 题型04 圆心角、弧、弦、弦心距的关系的运用 【例4】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，在两个同心圆中，大圆半径是小圆半径的2倍，点D，E，B均在圆上，若，连接，和，则下列说法不正确的是（   ） A．O到弦距离等于O到弦距离 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、在小圆O中，，O到弦距离等于O到弦距离，故本选项说法正确，不符合题意； B、∵，，∴故本选项说法正确，不符合题意； C、∵大圆半径是小圆半径的2倍， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴，故本选项说法正确，不符合题意； D、在中，， ∵， ∴，故本选项说法不正确，符合题意； 故选：D． 【变式4-1】如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，交于点，若，，则的半径长是（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】C 【详解】解：连接，如图，设的半径为r， ∵，为的直径， ，， 点是的中点， ， ， ， 解得： 的半径长是， 故选C． 【变式4-2】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知是的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点，若． (1)求的度数； (2)若，求的值； (3)在（2）的基础上求的值． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ，． 又， ， 即， ， ， ． （2）解：， ． ， ． 又， ， ， ． （3）解：由（2）得 ，, . ，， ， ． ， ， ， ． 题型05 按要求作圆 【例5】（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，M点的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴的半径为， 故选：C． 【变式5-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为．B的坐标为．则该圆弧所在圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图以图中每个小方格的边长为单位1，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，B的坐标为，分别连接，分别作线段的垂直平分线，两条直线交于点D，则点D是所给圆弧所在圆的圆心， 由图得点D的坐标为． 故该圆弧所在圆的圆心坐标是． 故选：B． 【变式5-2】如图，学校某处空地上有、、三棵树，现准备建一个圆形景观鱼池，要求、、三棵树恰在圆周上，请你帮助设计鱼池，在图中作出它的鱼池轮廓，保留作图痕迹并将圆心标记为点． 【详解】如图所示．连接,分别作的垂直平分线，交于点，以的长度为半径，为圆心作圆，则即为所求， 【变式5-3】（2025·安徽蚌埠·一模）【经历】 （1）如图1所示的正方形网格中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B都是格点，线段交网格线于C，则 ； （2）如图2，将边长为1的的正方形网格如图所示放置在直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C，该圆弧所在圆的圆心D的坐标为 ； 【探索】 （3）在如图3所示的正方形网格中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都是格点，与交于E，则 ； （4）如图4，是由5个边长为1的小正方形组成的图形，将其放置在中，恰好经过格点A、B、C，的半径为 ． 【详解】解：（1）如图1，连接，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵线段与交于点C， ∴， ∴， 故答案为：． （2）根据圆的性质，得圆心一定在线段得垂直平分线上， ∵ ∴， 设圆心的坐标为， ∵ ∴， 解得， 故圆心的坐标为， 故答案为：． （3）如图，∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 故 故答案为：． （4）设圆的圆心为点O，则点O一定在的垂直平分线上， 与的交点为D， 根据题意，得，，， 设圆的半径为r，， 根据勾股定理，得， 解得， 故答案为：． 题型06 与三角形外接圆有关问题 【例6-1】如图，点是边长为6的等边三角形内部一动点，连接，，，且满足，为的中点，过点作，垂足为，连接，则长的最小值是（　　）    A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】解：∵三角形是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴点在的外接圆的上运动， 当时，有最小值，延长与交于点， ∴， ∴ ∵，为的中点， ∴，    故选：C． 【例6-2】中，、、，则外接圆圆心坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图，∵、、， ∴，    ∴的外心是斜边的中点， ∴外接圆的圆心坐标为：，即； 故答案为： 【例6-3】（22-23九年级上·安徽亳州·期末）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上． (1)请找出的外接圆的圆心O，并标明圆心O的位置； (2)请以圆心O为位似中心，在点O的下方画出边放大2倍后的线段． 【详解】（1）解：如图所示，点O即为所求． ； （2）解：如图所示，线段即为所求． 【变式6-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知，在中，， ，、，垂足分别为D、E，、相交于点G，则的长度的最大值为（       ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：，， ，， ， ∴四边形四点共圆， 内接于，， ∴当取得最大值，的长度也取得最大值， ∵弦是定值， ∴当经过圆心时，取得最大值， 由垂径定理得，， 是线段的垂直平分线， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中，， 在中， ， 的长度的最大值为， 故选：A． 【变式6-2】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）点是平面直角坐标系上一点，以点为圆心，长为半径作圆并与坐标轴交于不与原点重合的、两点，则的长为 ． 【答案】20 【详解】解：点到原点O的距离， 故圆的半径为10， ∴， 设与x轴交于点，与y轴交于点， ∴，， ∵、两点不与原点重合，即，， ∴，， ∴在中，，，由勾股定理得， 则． 故答案为：20． 【变式6-3】如图，在三角形纸片ABC中，，，垂直平分，平分，将沿在上，在上）折叠，点C与点O恰好重合， （1） ；   （2）若，则 ． 【详解】（1）连接 ∵平分 ∴ ∵平分 ∴所在的直线垂直平分 ∴O是的外心 即 ∴， ∵沿在上，在上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴ ∴ ∴ （2）连接 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴，（负根舍去），经检验符合题意． 故答案为：（1），（2） 题型07 分类讨论求圆中两弦之间的距离 【例7】AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（　　） A．1或7 B．7 C．1 D．3或4 【答案】A 【详解】解：①当AB、CD在圆心两侧时； 过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示： ∵半径r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8， ∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一条直线上， ∴EF为AB、CD之间的距离 在Rt△OEC中，由勾股定理可得： OE2＝OC2﹣CE2 ∴OE3， 在Rt△OFA中，由勾股定理可得： OF2＝OA2﹣AF2 ∴OF4， ∴EF＝OE+OF＝3+4＝7， AB与CD的距离为7； ②当AB、CD在圆心同侧时； 同①可得：OE＝3，OF＝4； 则AB与CD的距离为：OF﹣OE＝1； 综上所述：AB与CD间的距离为1或7． 故选：A. 【变式7-1】已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【变式7-2】已知的半径为，弦，，，则两弦之间的距离为 ． 【答案】或 【详解】解：如图，当弦和在圆心同侧时，作于F，交于E，连接，， ， ， ，， ，， 的半径为， ， ，, ，， ； 如图，当弦和在圆心异侧时，作于F，交于E，连接，， ， ， ，， ，， 的半径为， ， ， ，， ； 综上所述，两弦之间的距离为或， 故答案为：或． 题型08 圆中的动点问题 【变式1-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，在矩形中，，，点，分别是，边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【详解】解：，点为的中点， ， 点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧（一部分）， 作关于的对称点，连接，交于，当为与的交点时，的值最小，最小值为的长， ，， ， 在中，， ， 的最小值为， 故选：A． 【变式8-1】如图，抛物线 y＝x2－4 与 x 轴交于 A、B 两点，P 是以点 C（0， 3）为圆心， 2 为半径的圆上的动点，Q是线段 PA 的中点，连结 OQ，则线段OQ的最大值是（    ）    A．1.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】C 【详解】令y＝x2－4=0，则x＝±4， 故点B（4，0）， 设圆的半径为r，则r＝2， 连接PB， ∵点Q、O分别为AP、AB的中点，故OQ是△ABP的中位线， 当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OQ最大， ∴OQ＝BP＝（BC＋r）＝（＋2）＝3.5， 故选C． 【变式8-2】（24-25九年级下·安徽安庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点P在以为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足，则a的最大值是 ． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 如图，延长交于M，当点P与M重合时，最大，即a最大， ∵，， ∴， ∴， ∴a的最大值为． 故答案为：． 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽芜湖·月考）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】A 【详解】解：∵点为圆心，1为半径作圆， ∴可以唯一确定圆，即：这样的圆只有1个， 故选：A． 2．（22-23九年级下·安徽合肥·开学考试）已知的直径长为6，点A，B在上，则的长不可能是：（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】解：∵圆的弦长小于等于直径长， ∴， 故选：D． 3．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）下列说法正确的有（   ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径一定垂直于这条弦 C．过圆心的线段是直径 D．圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴 【答案】D 【详解】解：A、能完全重合的两条弧是等弧，所以此选项不符合题意； B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以此选项不符合题意； C、过圆心的弦是直径，所以此选项不符合题意； D、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，即直径所在直线是圆的对称轴，所以D选项正确． 故选：D． 4．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）下列说法中，不正确的是（   ） A．直径是最长的弦 B．长度相等的弧是等弧 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．同圆中，所有的半径都相等 【答案】B 【详解】解：A、直径是最长的弦，原说法正确，本选项不符合题意； B、同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，原说法错误，本选项符合题意； C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，原说法正确，本选项不符合题意； D、同圆中，所有的半径都相等，原说法正确，本选项不符合题意； 故选：B． 5．（22-23九年级上·安徽亳州·期末）下列说法中，真命题的个数是（    ） ①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①任何三角形有且只有一个外接圆，是真命题； ②任何圆有无数个内接三角形，原说法错误，是假命题； ③三角形的外心不一定在三角形内，是真命题； ④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，是假命题； ⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，是假命题； 综上，真命题的个数为2个； 故选B． 6．（22-23九年级上·安徽·月考）若所在平面内有一点，点到上点的最大距离为，最小距离为，则的半径为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：设的半径为， 当点在圆外时，； 当点在圆内时，； ∴的半径为或， 故选：． 7．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，3为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（   ） A．点，均在内 B．点，均在外 C．点在内，点在外 D．以上选项都不正确 【答案】B 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵、分别是上的高和中线， ∴， ∴， ∴， ∵是以点为圆心，3为半径的圆，，， ∴点，均在外， 故选：B． 8．（23-24九年级下·安徽合肥·月考）已知内接于，，点D是上一点，则下列命题正确的是（    ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若平分，则 D．若平分，则四边形的面积 【答案】D 【详解】解：A、平分，如图1， 当为直径时，与不一定垂直，选项A不正确； B、如图2， ， ∴平分， ，得不到， 不一定平分， 则B不正确； C、如图3，延长至点F，使得，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故C错误； D、， 四边形的面积， 是等腰直角三角形， ， 四边形的面积，故D正确． 故选：D． 9．（2024·安徽·模拟预测）如图，是正方形的边的中点，是正方形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转得到线段．连接．若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解，如图，连接，将以为中心，逆时针旋转，点的对应点为， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， 由旋转得：， ， ， 的值最小为． 故选：B． 10．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，点、在上，且，点从点沿线段向点运动（运动到点停止），以、为斜边在的同侧画等腰和等腰，连接，取的中点，则下列说法中正确的有( ) 的外接圆的圆心为点；的外接圆与相切；四边形的面积不变；的中点移动的路径长为． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：分别延长、交于点，如图所示： 等腰和等腰， ，， ，，， 四边形为平行四边形， 与互相平分， 为的中点， 也为中点，即在的运动过程中，始终为的中点， 的运行轨迹为的中位线， ， ，即的移动路径长为4，故的中点移动的路径长为4，④正确； 为的中点，， 的外接圆的圆心为点，①正确； ①④正确； 连接，如图所示： 若与相等，的外接圆与一定与相交，当是中点，时，的外接圆与才相切，故②错误； 点从点沿线段向点运动（运动到点停止），等腰和等腰， ，即， 设，则，，，， 四边形面积是三个直角三角形的面积和，则四边形面积， 不断增大，即在变化， 四边形的面积也会随之变化，故③错误； 故选：B． 二、填空题 11．（23-24九年级上·安徽六安·月考）已知半径为5，P点不在内，则的范围 ． 【答案】 【详解】解：∵半径为5，P点不在内， ∴， 故答案为：． 12．（22-23九年级下·安徽安庆·月考）在平面直角坐标系中，的半径为5（点是坐标原点），则点与的位置关系是：点P在 ．（填“外”或“上”或“内”）． 【答案】上 【详解】解：∵点， ∴， ∴点在上； 故答案为：上． 13．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期末）两直角边长分别为15和20的直角三角形外接圆的半径为 ． 【答案】 【详解】由题意可求出该直角三角形的斜边长为， ∴该直角三角形外接圆的半径为． 故答案为：． 14．（2024·安徽·二模）如图，已知是的外接圆，，则 ．    【答案】 【详解】解：由题意可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图①是小明帮妈妈做的一个锅盖架，图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为，，锅盖直径为，则锅盖最低点到的距离是 ． 【答案】2 【详解】解：如图，设圆的圆心为O，连接，与交于点D， ∵锅盖直径为， ∴， ∵垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为，即，且， ∴， 在中，， ∴， 即锅盖最低点到的距离为． 故答案为：2． 16．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）如图，在中，，，，垂足为点，，垂足为点，，则四边形的面积是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积是， 故答案为：． 三、解答题 17．（25-26九年级上·安徽淮南·期中）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为O，半径，垂足为D，拱高（弧的中点到弦的距离），连接． (1)直接判断与的数量关系； (2)求这座石拱桥主桥拱的半径． 【详解】解：（1）∵， ∴ （2）设主桥拱半径为R， ∵，， ∴，， 在中，由勾股定理，得， 即，解得． 答：这座石拱桥主桥拱半径为． 18．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，为直径，为弦的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)连接，若，四边形的面积为，求的长． 【详解】（1）证明：为弦的中点，为直径， ，， ， 为等腰三角形； （2）如图，连接， ，四边形的面积为， ， ， ， ，则， 在中，， ． 19．（2025·安徽滁州·一模）如图，是半的直径，，点，分别在半径和弦上，且，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴； （2）解：过点作于点， 如图，则， ∵， ∴， ∵， ∴∽， ∵， 即，解得， ∴， ∴， ∵， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $