寒假作业11 正比例函数的图象（巩固培优）八年级数学新教材北师大版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 正比例函数的图象 一、正比例函数的概念 一般地，形如的函数叫作正比例函数，其中x是自变量，y是x的函数. 二、描点法画函数图象 在直角坐标系中用描点法画函数图象的一般步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算对应的函数值y； （2）描点：以表中各对x，y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：顺次连接描出的各点． 三、正比例函数y＝kx(k为常数，且k≠0)性质 当k>0时,y随x的增大而增大(图象是自左向右上升的)； 当k<0时,y随x的增大而减小(图象是自左向右下降的)； |k|越大,y随x的增大而增大(或减小)的速度越快. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 正比例函数的定义 1.若函数是正比例函数，则a的值是（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【解析】解：∵函数是正比例函数，∴，，∴， 故选：A． 题型二 画正比例函数的图象 2.为了调查漏水量与漏水时间的关系，小宁同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每记录一次容器中的水量，如下表． 时间 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量 0 10 20 30 40 50 (1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点． (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出关于的函数解析式． (3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下小时的漏水量． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查的是在坐标系内描点，利用待定系数法求解函数的解析式，求解函数的函数值，熟悉利用待定系数法求解正比例函数是解析式是解本题的关键． （1）根据表格信息，在平面直角坐标系内描出各点连线即可； （2）根据图象得，y是关于t的正比例函数，再利用待定系数法求解函数的解析式即可； （3）把代入函数的解析式进行求解即可． 【解析】（1）解：如图所示． （2）解：根据图象得，y是关于t 的正比例函数， 设函数解析式为．把代入，得． 解得． ∴y 关于t 的函数解析式为．． （3）解：当， 答：这种漏水状态下12小时的漏水量为 题型三 正比例函数图象上点的坐标特征 3．如图，点，，当直线与线段有交点时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：当直线刚好过点时，将代入，得：，解得：， 当直线刚好过点时，将代入，得：，解得：， 当直线与线段有交点时，的取值范围是：， 故选：B． 题型四 正比例函数的增减性 4．已知正比例函数，如果随的增大而减小，那么的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：∵正比例函数，y随x的增大而减小， ∴， 解得，， 故答案为：． 题型五 根据正比例函数的性质比较大小 5．如图，正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数k，m，n的大小关系是 ． 【答案】/ 【解析】解：由图像可知，正比例函数的图象在一、三象限，∴， ∵的图象比的图象上升得快，∴， ∵的图象在二、四象限，∴，∴， 故答案为：． 题型六 正比例函数经过的象限 6．若正比例函数的图象上有一点，且，则的值为 ． 【答案】1 【解析】解：∵正比例函数的图象上有一点，且，∴经过第二、四象限，，∴ ，∴，，解得， ∴， 故答案为：1 题型七 求正比例函数的解析式 7．已知与之间成正比例关系，且图象经过点． (1)求与之间的函数解析式． (2)画出该函数的图象． (3)图像上有两点，，如果，则______． 【答案】(1)；(2)见解析；(3) 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，正比例函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据题意设出函数解析式，把代入解析式，便可求出k的值，从而求出其解析式； （2）描点两点，连线即可求解； （3）根据正比例函数的性质判断即可． 【解析】（1）解∶∵与之间成正比例关系，∴设函数解析式为， 把代入，得，解得，∴； （2）解：该函数的图象经过和原点， 该函数的图象如图所示． （3）解：，∴y随x的增大而减小， ∵，∴， 故答案为：． 题型八 正比例函数中的图形面积 8．如图，在平面直角坐标系中摆放16个边长为1的正方形，直线l：y＝kx将这16个正方形分成面积相等的两部分，则k的值是 ． 【答案】 【解析】解：设直线l：y＝kx与正方形的上边缘交点为A，作AB⊥y轴于B， ∵16个边长为1的正方形面积为16，∴△AOB的面积为8﹣4+1＝5， ∵OB＝4，∴AB＝5×2÷4＝，∴A（，4），即4＝k， 解得k＝， 故答案为：． 1．已知正比例函数y＝（m+1）x+m2﹣4，若y随x的增大而减小，则m的值是　﹣2　 ． 【答案】﹣2 【解析】解：∵函数y＝（m+1）x+m2﹣4是正比例函数， ∴m2﹣4＝0，解得：m＝±2， ∵y随x的增大而减小，∴m+1＜0，∴m＜1，∴m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 2．已知正比例函数y1＝﹣2x的图象如图． （1）在平面直角坐标系中，画出一次函数y2＝2x﹣4的图象； （2）若y2＜y1，则x的取值范围是x＜1　 ． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）当x＝0时，y＝﹣4；当y＝0时，x＝2， ∴与x轴交点为（2，0），与y轴交点为（0，﹣4）， 图象如下： （2）由图象得：交点为（1，﹣2）， 若y2＜y1，则x的取值范围是x＜1． 故答案为：x＜1． 3．（1）在同一坐标系内画出正比例函数y1＝﹣2x与y2x的图象； （2）请你用量角器度量一下这两条直线的交角，你会发现什么？写出你的猜想． ． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）如图： （2）两条直线的交角90度； 当两个一次函数两系数之积为﹣1时，两条直线的交角为90度，即垂直． 4．在同一个平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝x+a（a为常数且a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：根据正比例函数和一次函数的性质分析判断如下： 若a＞0时，y＝ax经过第一、三象限，y＝x+a的图象经过第一、二、三象限； 若a＜0时，y＝ax经过第二、四象限，y＝x+a的图象经过第一、三、四象限； 只有选项A符合题意， 故选：A． 5．如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，下列用“＜”表示a，b，c的不等关系正确的是（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 【答案】B 【解析】解：作直线x＝1如图所示， 则点A坐标为（1，b），点B坐标为（1，a），点C坐标为（1，c）， 结合A，B，C三个点的位置可知， c＜a＜b． 故选：B． （多选）6．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx和y＝x+k的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】解：∵一次函数为y＝x+k， ∴y随x的增大而增大， 故选项A和C不合题意； B、由一次函数的图象可得k＞0，正比例函数图象可得k＞0，符合题意； D、由一次函数的图象可得k＜0，正比例函数图象可得k＜0，符合题意． 故选：BD． 7．已知y＝（k﹣1）x|k|是正比例函数．若点A（﹣2，y1），B（1，y2）都在该函数图象上，则y1　＞　 y2．（用“＞”“＜”或“＝”填空） 【答案】＞． 【解析】解：∵y＝（k﹣1）x|k|是正比例函数，∴|k|＝1，且k≠1．∴k＝﹣1．∴k﹣1＝﹣2＜0． ∴正比例函数y＝﹣2x的函数值y随x的增大而减小， 又∵点A（﹣2，y1），B（1，y2）都在正比例函数y＝﹣2x的图象上，且﹣2＜1，∴y1＞y2． 故答案为：＞． 8．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象如图所示，则在下列选项中k值可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】解：根据图象，得2k＜6，3k＞5，解得k＜3，k，所以k＜3． 只有2符合． 故选：B． 9．有以下关于x，y的等式：①x+2y＝0；②x2+y2＝2；③x＝|y|；④xy＝1，其中y是x的函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：y是x的函数的是：①x+2y＝0，④xy＝1； 故选：B． 10．设max{x，y}表示x，y两个数中的最大值，例如max{0，3}＝3，max{10，7}＝10，则函数y＝max{2x，x+2}可表示为（　　） A．y＝2x B．y C．y＝x+2 D．y 【答案】D 【解析】解：当2x≥x+2，即x≥2时，原方程可化为y＝2x； 当2x＜x+2，即x＜2时，原方程可化为y＝x+2， 故选：D． 11．已知一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象如图所示，在直角坐标系中作下列一次函数的图象，进行必要的标注与说明． （1）y＝kx； （2）y＝﹣2kx﹣2b； （3）ykx﹣b． 【答案】答案见解答过程． 【解析】解：（1）∵y＝kx的图象与y＝kx+b的图象平行，且过坐标原点， ∴函数y＝kx的图象如图1所示： （2）根据函数y＝kx+b的图象在坐标系中位置可知：k＞0，b＞0， 与y轴的交点坐标为（0，b），与x轴的交点坐标为， ∴﹣2k＜0，﹣2b＜0， ∴函数y＝﹣2kx﹣2b经过第二，三，四象限， 与y轴的交点坐标为（0，﹣2b），与x轴的交点坐标为， ∴函数y＝﹣2kx﹣2b的图象如图2所示： （3）根据函数y＝kx+b的图象在坐标系中位置可知：k＞0，b＞0， 与y轴的交点坐标为（0，b），与x轴的交点坐标为， ∴0，﹣b＜0， ∴函数经过第一，三，四象限，且与y轴交于点（0，﹣b）， ∴函数的图象如图3所示： 12．已知正比例函数y＝kx+b的值随着x的增大而减小，则大致图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵是正比例函数， ∴b＝0， ∴图象必经过原点， ∵函数值随着x的增大而减小， ∴函数图象经过第二四象限． 故选：D． 13．若正比例函数y＝（1﹣2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m＞0 C．m D．m 【答案】D 【解析】解：根据题意，知：y随x的增大而减小， 则k＜0，即1﹣2m＜0，m． 故选：D． 1．函数y＝（2m﹣9），当m＝　6　 时，y与x成正比例，且y随x的增大而增大． 【答案】6 【解析】解：由y与x成正比例，且y随x的增大而增大， ∴， 解得：，∴m＝6， 故答案为：6． 2．对于每个x，函数y是y1＝2x，y2＝x+2，y3＝﹣2x+12这三个函数中的最小值，则函数y的最大值是（　　） A． B．6 C．4 D． 【答案】D 【解析】解：由题意，在同一坐标系中画出y1＝2x，y2＝x+2，y3＝﹣2x+12这三个函数图象如下． 又联立方程组， ∴． ∴结合图象可得满足题意的最大值为． 故选：D． 3．设max{x，y…}表示x、y两个数中的最大值，例如max{0，3…}＝3，max{10，7…}＝10，则函数y＝max{x，x﹣2…}可以表示为（　　） A．yx B．y C．y＝x﹣2 D．y 【答案】B 【解析】解：当x＞x﹣2，即x＜4时，原方程可化为yx； 当x≤x﹣2，即x≥4时，原方程可化为y＝x﹣2， 故选：B． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 正比例函数的图象 一、正比例函数的概念 一般地，形如的函数叫作正比例函数，其中x是自变量，y是x的函数. 二、描点法画函数图象 在直角坐标系中用描点法画函数图象的一般步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算对应的函数值y； （2）描点：以表中各对x，y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：顺次连接描出的各点． 三、正比例函数y＝kx(k为常数，且k≠0)性质 当k>0时,y随x的增大而增大(图象是自左向右上升的)； 当k<0时,y随x的增大而减小(图象是自左向右下降的)； |k|越大,y随x的增大而增大(或减小)的速度越快. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 正比例函数的定义 1.若函数是正比例函数，则a的值是（    ） A．2 B． C．2或 D． 题型二 画正比例函数的图象 2.为了调查漏水量与漏水时间的关系，小宁同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每记录一次容器中的水量，如下表． 时间 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量 0 10 20 30 40 50 (1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点． (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出关于的函数解析式． (3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下小时的漏水量． 题型三 正比例函数图象上点的坐标特征 3．如图，点，，当直线与线段有交点时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 题型四 正比例函数的增减性 4．已知正比例函数，如果随的增大而减小，那么的取值范围是 ． 题型五 根据正比例函数的性质比较大小 5．如图，正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数k，m，n的大小关系是 ． 题型六 正比例函数经过的象限 6．若正比例函数的图象上有一点，且，则的值为 ． 题型七 求正比例函数的解析式 7．已知与之间成正比例关系，且图象经过点． (1)求与之间的函数解析式． (2)画出该函数的图象． (3)图像上有两点，，如果，则______． 题型八 正比例函数中的图形面积 8．如图，在平面直角坐标系中摆放16个边长为1的正方形，直线l：y＝kx将这16个正方形分成面积相等的两部分，则k的值是 ． 1．已知正比例函数y＝（m+1）x+m2﹣4，若y随x的增大而减小，则m的值是　 　 ． 2．已知正比例函数y1＝﹣2x的图象如图． （1）在平面直角坐标系中，画出一次函数y2＝2x﹣4的图象； （2）若y2＜y1，则x的取值范围是 　 ． 3．（1）在同一坐标系内画出正比例函数y1＝﹣2x与y2x的图象； （2）请你用量角器度量一下这两条直线的交角，你会发现什么？写出你的猜想． ． 4．在同一个平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝x+a（a为常数且a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，下列用“＜”表示a，b，c的不等关系正确的是（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 6．（多选）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx和y＝x+k的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．已知y＝（k﹣1）x|k|是正比例函数．若点A（﹣2，y1），B（1，y2）都在该函数图象上，则y1　 　 y2．（用“＞”“＜”或“＝”填空） 8．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象如图所示，则在下列选项中k值可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．有以下关于x，y的等式：①x+2y＝0；②x2+y2＝2；③x＝|y|；④xy＝1，其中y是x的函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．设max{x，y}表示x，y两个数中的最大值，例如max{0，3}＝3，max{10，7}＝10，则函数y＝max{2x，x+2}可表示为（　　） A．y＝2x B．y C．y＝x+2 D．y 11．已知一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象如图所示，在直角坐标系中作下列一次函数的图象，进行必要的标注与说明． （1）y＝kx； （2）y＝﹣2kx﹣2b； （3）ykx﹣b． 12．已知正比例函数y＝kx+b的值随着x的增大而减小，则大致图象为（　　） A． B． C． D． 13．若正比例函数y＝（1﹣2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m＞0 C．m D．m 1．函数y＝（2m﹣9），当m＝　 　 时，y与x成正比例，且y随x的增大而增大． 2．对于每个x，函数y是y1＝2x，y2＝x+2，y3＝﹣2x+12这三个函数中的最小值，则函数y的最大值是（　　） A． B．6 C．4 D． 3．设max{x，y…}表示x、y两个数中的最大值，例如max{0，3…}＝3，max{10，7…}＝10，则函数y＝max{x，x﹣2…}可以表示为（　　） A．yx B．y C．y＝x﹣2 D．y 1 / 5 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