寒假作业20 证明（巩固培优）八年级数学新教材北师大版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业20 证明 知识点1 命题 1. 判断某一件事情的语句叫命题． 2. 命题的定义包含两层含义 （1）命题必须是一个完整的句子，常为陈述句； （2）命题必须对某件事情作出肯定或否定的判断． 知识点2 命题的组成与分类 1. 许多命题由条件和结论两部分组成．条件是已知的事项；结论是由已知事项推出的事项．这样的命题通常可写成“如果……，那么……”的形式．用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分就是结论． 2. 命题分真假命题，正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了．在数学中，这种方法称为“举反例”． 知识点3 定义 我们需要用不同的语句来说明我们学过的许多名词各自所包含的确切意义，例如，我们用“在同一平面内不相交的两条直线”来说明“平行线”所包含的意义．这样的语句叫作这些名词的定义． 知识点4 定理 公认的真命题称为基本事实．数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫作定理． 对于基本事实，它是不需要推理论证的真命题，它可以作为判断其他命题真假的依据，它是经过证明的真命题，但并不是所有的真命题都是定理，定理可以作为进一步判断其他命题真假的依据． 知识点5 证明及证明的一般步骤 1. 根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫作证明． 2. 证明的一般步骤 根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证，经过分析找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 判断是否是命题 1.给出下列语句：①画出已知角等于两个已知角的和；②钝角总大于直角；③过点画直线；④相等且互补的两个角都是直角．其中是命题的是（   ） A．只有④ B．①②④ C．②④ D．①②③④ 【答案】C 【解析】解：①不是陈述句，不是命题；②是命题；③不是陈述句，不是命题；④是命题； 故选：C． 题型二 写出命题的题设与结论 2.命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 【答案】D 【解析】解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角， ∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角． 故选：D． 题型三 判断命题真假 3．如图，在三角形中，点，，分别在边，，上，连接，．下列四个命题中，是真命题的是（   ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【解析】解：①，则，是真命题； ②若，则，是真命题； ③若，则，是真命题； ④若，无法判断，是假命题； 故选：C． 题型四 举反例 4．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】解：当 时，符合条件， 但， ∴命题“如果，那么”是假命题． 同样当时，也可以判断命题“如果，那么”是假命题， 故答案为：（也可以是等，答案不唯一）． 题型五 定理与证明 5．下列命题可以作定理的有 个． ①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数仍是等式． 【答案】2/两 【解析】解：①2与6的平均值是4，故此命题是假命题，不是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把5代入方程，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和为，是经过证明的是真命题，故是定理； ⑤等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； 综上所述：③和④是定理，共2个． 故答案为：2． 题型六 写出一个命题的已知、求证及证明 6．证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明． 【答案】见解析 【解析】解：已知：如图，， 求证：； 证明：过点作，如图， ∵， ， ， ， 三角形内角和． 题型七 已知证明过程填写理论依据 7．如图，，．试说明：． 请你完成下列推理过程（括号内写出理由）： 解：因为，（已知） 所以．（） 因为，（已知） 所以 ，（） 所以．（平行于同一条直线的两条直线平行） 【答案】；；内错角相等，两直线平行；；；；同旁内角互补，两直线平行 【解析】解：因为，（已知） 所以．（内错角相等，两直线平行） 因为，（已知） 所以，（同旁内角互补，两直线平行） 所以．（平行于同一条直线的两条直线平行） 故答案为：；；内错角相等，两直线平行；；；；同旁内角互补，两直线平行． 题型八 根据给出的论断组命题并证明 8．如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 【答案】(1)①②；③；理由见解析；(2) 【解析】（1）解：条件：①②，结论：③．理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：①②；③． （2）由（1）得：， ∵比的倍少度， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． ∴的度数． 题型九 平行线的判定 9．如图，，平分，，则直线与的位置关系为 ． 【答案】/相互平行 【解析】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型十 平行线的性质 10．某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，并作图如图1所示，已知，，与交于点． (1)根据甲同学的作图及题设，求证：； (2)乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到，根据乙同学的作图，试判断与的数量关系，并说明理由． (3)结合甲乙两位同学的探究过程，请写出正确的命题． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)两边分别平行的两个角相等或互补 【解析】（1）解：如图1， ，， ， ． （2）如图2，，理由如下： ，， ， ． （3）综合（1）（2）可得，两边分别平行的两个角相等或互补． 题型十一 平行线的判定与性质的综合运用 11．（1）如图1，，，，请按照小明的思路来求解的度数．小明的思路是：过点作，通过平行线性质来求． （2）如图2，，记，． ①若，，求； ②若点在射线上运动（点与点、、三点不重合），直接写出与、之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）①；②或或 【解析】解：（1）过点P作，如图1， ∵， ， ∴， ∵， ∴． （2）①如图2，过P作交于E， ∵， ， ∴， ，， ∴； ②当P在上时，由①知； 如图3所示，当P在延长线上时，设与交于点Q， ∵， ∴， 又∵， ∴； 如图4所示，当P在延长线上时，同理可得； 综上所述，或或． 1．图1是一张足够长的纸条，其中PN∥QM，点A、B分别在PN、QM上，记∠ABM＝α（0°＜α＜90°）．如图2，将纸条折叠，使BM与BA重合，得折痕BR1，如图3，将纸条展开后再折叠，使BM与BR1重合，得折痕BR2，将纸条展开后继续折叠，使BM与BR2重合，得折痕BR3…以此类推，第n次折叠后，∠ARnN＝　180°　 （用含a和n的代数式表示） 【答案】180°． 【解析】解：由折叠可知∠AR1B， ∠AR2Bα， .....． ∠ARn﹣1Bα， ∴∠MAR1＝∠AR1B+∠ABR1＝α， 同理∠MR1R2α， ∠MR2R3α， .....． ∠MRn﹣1Rnα， ∴∠ARnN＝180°； 故答案为：180°． 2．将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为 　30或120　 ． 【答案】30或120． 【解析】解：由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°， （1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P， ①DE在MN上方时， ∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC， ∴AP∥DF， ∴∠FDM＝∠MPA， ∵MN∥GH， ∴∠MPA＝∠HAC， ∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°， ∴t＝30， ②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°， ∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC， ∴AP∥DF， ∴∠FDP＝∠MPA， ∵MN∥GH， ∴∠MPA＝∠HAC， ∴∠FDP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°， ∴t＝210（不符合题意，舍去）， （2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I， ①DF在MN上方时，BC∥DF，如图， 根据题意得：∠FDN＝180°﹣2t°， ∵DF∥BC，AC⊥BC， ∴CI⊥DF， ∴∠FDN+∠MIC＝90°， 即180°﹣2t°+t°+30°＝90°， ∴t＝120， ∴2t＝240°＞180°，此时DF应该在MN下方，不符合题意，舍去； ②DF在MN下方时，如图， 根据题意可知：∠FDN＝2t°﹣180°， ∵DF∥BC， ∴∠MIC＝∠NDF， ∴∠NDF＝∠AQI＝t+30°﹣90°＝t﹣60°， 即2t°﹣180°＝t°﹣60°， ∴t＝120， 综上所述：所有满足条件的t的值为30或120． 故答案为：30或120． 3．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作： 第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1， 第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2， 第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3， …， 第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En． 若∠En＝1度，那∠BEC等于　2n 度． 【答案】2n 【解析】解：如图①，过E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠B＝∠1，∠C＝∠2， ∵∠BEC＝∠1+∠2， ∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE； 如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1， ∴∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1∠ABE∠DCE∠BEC． ∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2， ∴∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2∠ABE1∠DCE1∠CE1B∠BEC； 如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3， ∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3∠ABE2∠DCE2∠CE2B∠BEC； … 以此类推，∠En∠BEC． ∴当∠En＝1度时，∠BEC等于2n度． 故答案为：2n． 4．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B． （1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 　∠A+∠C＝90°　 ； （2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C； （3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O， ∵AM∥CN， ∴∠C＝∠AOB， ∵AB⊥BC， ∴∠A+∠AOB＝90°， ∴∠A+∠C＝90°， 故答案为：∠A+∠C＝90°； （2）如图2，过点B作BG∥DM， ∵BD⊥AM， ∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°， 又∵AB⊥BC， ∴∠CBG+∠ABG＝90°， ∴∠ABD＝∠CBG， ∵AM∥CN，BG∥AM， ∴CN∥BG， ∴∠C＝∠CBG， ∴∠ABD＝∠C； （3）如图3，过点B作BG∥DM， ∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD， ∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE， 由（2）可得∠ABD＝∠CBG， ∴∠ABF＝∠GBF， 设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则 ∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α， ∴∠AFC＝3α+β， ∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°， ∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β， △BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得 （2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，① 由AB⊥BC，可得 β+β+2α＝90°，② 由①②联立方程组，解得α＝15°， ∴∠ABE＝15°， ∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°． 5．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图，探索这两个角之间的关系，并说明理由． （1）如图①，AB∥CD，BE∥DF，∠1与∠2的关系是　相等　 ； 证明： （2）如图②，AB∥CD，BE∥DF，∠1与∠2的关系是　互补　 ； 证明： （3）经过上述证明，我们可得出结论，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角　相等或互补　 ； （4）若这两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，则这两个角分别是多少度？ 解： 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）∠1＝∠2． 证明如下：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠3， ∵BE∥DF， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2； 故答案为：相等； （2）∠1+∠2＝180°． 证明如下：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠3， ∵BE∥DF， ∴∠2+∠3＝180°， ∴∠1+∠2＝180°； 故答案为：互补； （3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； 故答案为：相等或互补； （4）设一个角的度数为x，则另一个角的度数为3x﹣60°， 当x＝3x﹣60°，解得x＝30°，则这两个角的度数分别为30°，30°； 当x+3x﹣60°＝180°，解得x＝60°，则这两个角的度数分别为60°，120°． 6．如图①，直线AB∥CD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连接PE，PF． （1）若∠PEB＝60°，∠PFD＝50°，则∠EPF的度数为 　110　 °． （2）如图②，若点P，Q在直线AB与CD之间，∠1＝30°，∠2＝40°，∠3＝70°，则∠4的度数为 　80　 °． （3）如图③，在图①基础上，作EP1平分∠PEB，FP1平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°，则∠P1＝　　 °． 如图④，若EP2平分∠P1EB，FP2平分∠P1FD，可得∠P2，EP3平分∠P2EB，FP3平分∠P2FD，可得∠P3，…，依次平分下去，则∠Pn＝　　 °．（用含x，y的式子表示） （4）在一次综合实践活动课上，张开同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现∠PAC＝38°，∠PBC＝22°，他很想知道∠APB与∠C的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程． 【答案】（1）110；（2）80；（3）；；（4）∠APB＝∠C+60°． 【解析】解：（1）过点P作PH∥AB，如图所示， ∵AB∥CD， ∴AB∥PH∥CD， ∴∠1＝∠EPH，∠2＝∠HPF， ∵∠PEB＝60°，∠PFD＝50°， ∴∠EPF＝∠EPH+∠HPF＝∠1+∠2＝60°+50°＝110°， 故答案为：110． （2）过点P作PH∥AB，过点Q作QG∥CD，如图所示， ∵AB∥CD， ∴AB∥PH∥QG∥CD， ∴∠1＝∠EPH，∠HPQ＝∠PQG，∠2＝∠GQF， ∵∠1＝30°，∠3＝70°，∠3＝∠EPH+∠HPQ，∠1＝∠EPH， ∴∠PQG＝∠HPQ＝∠3﹣∠EPH＝70°﹣30°＝40°， ∵∠2＝∠GQF，∠HPQ＝∠PQG，∠2＝40°， ∴∠4＝∠PQG+∠GQF＝∠HPQ+∠2＝40°+40°＝80°， 故答案为：80． （3）过点P1作P1H1∥AB，如图所示， ∵AB∥CD， ∴AB∥P1H1∥CD， ∴∠P1EB＝∠EP1H1，∠H1P1F＝∠P1FD， ∵∠P1＝∠EP1H1+∠H1P1F， ∴∠P1＝∠P1EB+∠P1FD， ∵EP1平分∠PEB，FP1平分∠PFD， ∴，， ∴， ∵∠PEB＝x°，∠PFD＝y°， ∴， 按照上述方法可知， ∵EP2平分∠P1EB，FP2平分∠P1FD，°， ∴°， 同理可得°， ∴°， 故答案为：；． （4）过点P作HG∥AC交BC于点G，如图所示， ∴∠APH＝∠A，∠C＝∠PGB， ∵∠APB＝∠APH+∠HPG，∠HPG＝∠PGB+∠B， ∴∠APB＝∠A+∠B+∠C， ∵∠PAC＝38°，∠PBC＝22° 22°， ∴∠APB＝22°+38°+∠C＝∠C+60°， 故答案为：∠APB＝∠C+60°． 7．已知：直线a∥b，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接AD，BC，设直线AD和BC交于点E． （1）在如图1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度数（提示：可过点E作EG∥AB）； （2）在如图2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF与DF交于点F，当∠ABC＝64°，∠ADC＝72°时，求∠BFD的度数． （3）如图3，当点B在点A的右侧时，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于点F，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，用含有α，β的代数式表示∠BFD的补角．（直接写出结果即可） 【答案】（1）90°；（2）68°；（3）． 【解析】解：（1）过点E作EG∥AB， ∵a∥b， ∴EG∥CD， ∴∠ABE＝∠BEG，∠CDE＝∠DEG， ∴∠ABE+∠CDE＝∠BEG+∠DEG＝∠BED， ∵AD⊥BC， ∴∠ABE+∠CDE＝∠BED＝90°； （2）如图，过点F作FH∥AB， ∵a∥b， ∴FH∥CD， ∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH， ∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝∠BFH+∠DFH， ∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝64°，∠ADC＝72°， ∴∠ABFABC＝32°，∠CDFADC＝36°， ∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝68°； （3）如图，过点F作FH∥AB， ∵a∥b， ∴FQ∥CD， ∴∠ABF+∠BFQ＝180°，∠CDF＝∠DFQ， ∴∠BFD＝∠BFQ+∠DFQ＝180°﹣∠ABF+∠CDF ∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β， ∴∠ABFABC，∠CDFADC， ∴∠BFD＝180°﹣∠ABF+∠CDF＝180°， ∴∠BFD的补角． 8．（1）证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直． 已知：如图①，AB∥CD，　直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE ． 求证：OE⊥OF ． 证明： （2）如图②，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥FN，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O．求证：EO⊥FO． （3）如图③，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥PN，MP∥NF，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O，∠P＝102°，求∠O的度数． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）证明过程见解答； （3）51°． 【解析】（1）已知：如图①，AB∥CD，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE， 求证：OE⊥OF； 证法1：∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE＝180°， ∵OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE， ∴∠OEF+∠OFE∠AEF∠CFE＝90°． ∵∠OEF+∠OFE+∠EOF＝180°， ∴∠EOF＝90°． ∴OE⊥OF； 证法2：如图，过点O作OP∥CD交直线MN于点P． ∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE＝180°， ∵OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE， ∴∠AEO+∠CFO∠AEF∠CFE＝90°． ∵OP∥CD，AB∥CD， ∴OP∥AB． ∴∠EOF＝∠EOP+∠POF＝∠AEO+∠CFO＝90°． ∴OE⊥OF； 故答案为：直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE，OE⊥OF； （2）证明：如图，延长EM交CD于点G，过点O作OP∥CD交ME于点P， ∵AB∥CD， ∴∠AEG+∠CGE＝180°， ∵EM∥FN， ∴∠CGE＝∠CFN． ∵OE、OF分别平分∠AEM、∠CFN， ∴∠AEO+∠CFO∠AEM∠CFN∠AEM∠CGE＝90°， ∵OP∥CD，AB∥CD， ∴OP∥AB． ∴∠EOF＝∠EOP+∠POF＝∠AEO+∠CFO＝90°． ∴OE⊥OF； （3）解：如图，延长EM、FN交于点Q，过点O作OG∥CD交ME于点G． ∵EM∥PN，FN∥MP， ∴∠EQF＝∠EMP＝∠P＝102°， 由（1）证法2可知∠AEM+∠CFN＝∠EQF＝102°， ∵OE、OF分别平分∠AEM、∠CFN， ∴∠EOF＝∠AEO+∠CFO ∠AEM∠CFN102°＝51°． 9．如图1，已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC．（∠ABD的度数大于90°小于120°） （1）求证：∠BED＝90°； （2）若点F为射线BE上一点，∠EDF＝α，∠ABF的角平分线BG与∠CDF的角平分线DG交于点G，试用含α的式子表示∠BGD的大小； （3）延长BE交CD于点H，点F为线段BH上一动点，∠ABF邻补角的角平分线与∠CDF邻补角的角平分线DG交于点G，探究∠BGD与∠BFD之间的数量关系，请直接写出结论：　2∠BGD+∠BFD＝360°　 ．（题中所有的角都是大于0°小于180°的角） 【答案】见试题解答内容 【解析】（1）证明：∵BE平分∠ABD， ∴∠EBD∠ABD， ∵DE平分∠BDC， ∴∠EDB∠BDC， ∴∠EBD+∠EDB（∠ABD+∠BDC）， ∵AB∥CD， ∴∠ABD+∠BDC＝180°， ∴∠EBD+∠EDB＝90°， ∴∠BED＝180°﹣（∠EBD+∠EDB）＝90°． （2）①当点G在AB、CD之间且点F在BE延长线上，如图2， 由（1）知：∠EBD+∠EDB＝90°， 又∵∠ABD+∠BDC＝180°， ∴∠ABE+∠EDC＝90°， 即∠ABE+α+∠FDC＝90°， ∵BG平分∠ABE，DG平分∠CDF， ∴∠ABE＝2∠ABG，∠CDF＝2∠CDG， ∴2∠ABG+2∠CDG＝90°﹣α， 过点G作GH∥AB， ∵AB∥CD， ∴GH∥AB∥CD ∴∠ABG＝∠BGH，∠HGD＝∠CDG， ∴∠BGD＝∠BGH+∠HGD＝∠ABG+∠CDG； ②当点G在AB、CD之间且点F在线段BE上，如图2﹣1， 由（1）知：∠EBD+∠EDB＝90°， 又∵∠ABD+∠BDC＝180°， ∴∠ABE+∠EDC＝90°， 即∠ABE+∠FDC﹣α＝90°， ∵BG平分∠ABE，DG平分∠CDF， ∴∠ABE＝2∠ABG，∠CDF＝2∠CDG， ∴2∠ABG+2∠CDG＝90°+α， 过点G作GH∥AB， ∵AB∥CD， ∴GH∥AB∥CD ∴∠ABG＝∠BGH，∠HGD＝∠CDG， ∴∠BGD＝∠BGH+∠HGD＝∠ABG+∠CDG； ③当点G在AB、CD下方时，如图3， 同理可得：∠ABE+∠EDC＝90°， 即∠ABE+α﹣∠FDC＝90°， ∵BG平分∠ABE，DG平分∠CDF， ∴∠ABE＝2∠ABG，∠CDF＝2∠CDG， ∴2∠ABG+2∠CDG＝90°﹣α， 过点G作GH∥AB ∵AB∥CD， ∴GH∥AB∥CD ∴∠ABG＝∠BGH，∠HGD＝∠CDG， ∴∠BGD＝∠BGH+∠HGD＝∠ABG+∠CDG， 综上，∠BGD或； （3）如图4，过点F、G分别作FN∥AB、GM∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥GM∥FN∥CD， ∴∠3＝∠BFN，∠5＝∠DFN，∠4＝∠BGM，∠6＝∠DGM， ∴∠BFD＝∠BFN+∠DFN＝∠3+∠5， ∠BGD＝∠BGM+∠DGM＝∠4+∠6， ∵BG平分∠FBP，DG平分∠FDQ， ∴∠4＝∠FBP＝（180°﹣∠3）， ∠6＝∠FDQ＝（180°﹣∠5）， ∴∠BFD+∠BGD＝∠3+∠5+∠4+∠6， ＝∠3+∠5+（180°﹣∠3）+（180°﹣∠5）， ＝180°+（∠3+∠5）， ＝180°+∠BFD， 整理得：2∠BGD+∠BFD＝360°． 故答案为：2∠BGD+∠BFD＝360°． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/7 23:05:02；用户：刘祥军；邮箱：13408468771；学号：23734772 1．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α． （1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由． （2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由． （3）如图③，若α＝120°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示） 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）EF∥GH，理由如下： 在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∵∠1+∠2+∠FEG＝180°， ∠3+∠4+∠EGH＝180°， ∴∠FEG+∠EGH＝180°， ∴EF∥GH； （2）β＝2α﹣180°，理由如下： 在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°， ∴∠2+∠3＝180°﹣α， ∵∠1＝∠2，∠1＝∠MEB， ∴∠2＝∠MEB， ∴∠MEG＝2∠2， 同理可得，∠MGE＝2∠3， 在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°， ∴β＝180°﹣（∠MEG+∠MGE） ＝180°﹣（2∠2+2∠3） ＝180°﹣2（∠2+∠3） ＝180°﹣2（180°﹣α） ＝2α﹣180°； （3）90°+m或150°． 理由如下：①当n＝3时，如图所示： ∵∠BEG＝∠1＝m， ∴∠BGE＝∠CGH＝60°﹣m， ∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝180°﹣2m， ∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣2（60°﹣m）， ∵EF∥HK， ∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°， 则∠GHK＝120°， 则∠GHC＝30°， 由△GCH内角和，得γ＝90°+m． ②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°， 与题意不符； 则只能在CD边反射后与EF平行， 如图所示： 根据三角形外角定义，得 ∠G＝γ﹣60°， 由EF∥HK，且由（1）的结论可得， ∠G＝γ﹣60°＝90°， 则γ＝150°． 综上所述：γ的度数为：90°+m或150°． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业20 证明 知识点1 命题 1. 判断某一件事情的语句叫命题． 2. 命题的定义包含两层含义 （1）命题必须是一个完整的句子，常为陈述句； （2）命题必须对某件事情作出肯定或否定的判断． 知识点2 命题的组成与分类 1. 许多命题由条件和结论两部分组成．条件是已知的事项；结论是由已知事项推出的事项．这样的命题通常可写成“如果……，那么……”的形式．用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分就是结论． 2. 命题分真假命题，正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了．在数学中，这种方法称为“举反例”． 知识点3 定义 我们需要用不同的语句来说明我们学过的许多名词各自所包含的确切意义，例如，我们用“在同一平面内不相交的两条直线”来说明“平行线”所包含的意义．这样的语句叫作这些名词的定义． 知识点4 定理 公认的真命题称为基本事实．数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫作定理． 对于基本事实，它是不需要推理论证的真命题，它可以作为判断其他命题真假的依据，它是经过证明的真命题，但并不是所有的真命题都是定理，定理可以作为进一步判断其他命题真假的依据． 知识点5 证明及证明的一般步骤 1. 根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫作证明． 2. 证明的一般步骤 根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证，经过分析找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 判断是否是命题 1.给出下列语句：①画出已知角等于两个已知角的和；②钝角总大于直角；③过点画直线；④相等且互补的两个角都是直角．其中是命题的是（   ） A．只有④ B．①②④ C．②④ D．①②③④ 题型二 写出命题的题设与结论 2.命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 题型三 判断命题真假 3．如图，在三角形中，点，，分别在边，，上，连接，．下列四个命题中，是真命题的是（   ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 题型四 举反例 4．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的值可以是 ． 题型五 定理与证明 5．下列命题可以作定理的有 个． ①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数仍是等式． 题型六 写出一个命题的已知、求证及证明 6．证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明． 题型七 已知证明过程填写理论依据 7．如图，，．试说明：． 请你完成下列推理过程（括号内写出理由）： 解：因为，（已知） 所以．（） 因为，（已知） 所以 ，（） 所以．（平行于同一条直线的两条直线平行） 题型八 根据给出的论断组命题并证明 8．如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 题型九 平行线的判定 9．如图，，平分，，则直线与的位置关系为 ． 题型十 平行线的性质 10．某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，并作图如图1所示，已知，，与交于点． (1)根据甲同学的作图及题设，求证：； (2)乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到，根据乙同学的作图，试判断与的数量关系，并说明理由． (3)结合甲乙两位同学的探究过程，请写出正确的命题． 题型十一 平行线的判定与性质的综合运用 11．（1）如图1，，，，请按照小明的思路来求解的度数．小明的思路是：过点作，通过平行线性质来求． （2）如图2，，记，． ①若，，求； ②若点在射线上运动（点与点、、三点不重合），直接写出与、之间的数量关系． 1．图1是一张足够长的纸条，其中PN∥QM，点A、B分别在PN、QM上，记∠ABM＝α（0°＜α＜90°）．如图2，将纸条折叠，使BM与BA重合，得折痕BR1，如图3，将纸条展开后再折叠，使BM与BR1重合，得折痕BR2，将纸条展开后继续折叠，使BM与BR2重合，得折痕BR3…以此类推，第n次折叠后，∠ARnN＝　 　 （用含a和n的代数式表示） 2．将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为 　 　 ． 3．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作： 第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1， 第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2， 第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3， …， 第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En． 若∠En＝1度，那∠BEC等于　 度． 4．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B． （1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 　 　 ； （2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C； （3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数． 5．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图，探索这两个角之间的关系，并说明理由． （1）如图①，AB∥CD，BE∥DF，∠1与∠2的关系是　 　 ； 证明： （2）如图②，AB∥CD，BE∥DF，∠1与∠2的关系是　 　 ； 证明： （3）经过上述证明，我们可得出结论，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角　 　 ； （4）若这两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，则这两个角分别是多少度？ 解： 6．如图①，直线AB∥CD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连接PE，PF． （1）若∠PEB＝60°，∠PFD＝50°，则∠EPF的度数为 　 　 °． （2）如图②，若点P，Q在直线AB与CD之间，∠1＝30°，∠2＝40°，∠3＝70°， 则∠4的度数为 　 　 °． （3）如图③，在图①基础上，作EP1平分∠PEB，FP1平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°，则∠P1＝　 　 °． 如图④，若EP2平分∠P1EB，FP2平分∠P1FD，可得∠P2，EP3平分∠P2EB，FP3平分∠P2FD，可得∠P3，…，依次平分下去，则∠Pn＝　 　 °．（用含x，y的式子表示） （4）在一次综合实践活动课上，张开同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现∠PAC＝38°，∠PBC＝22°，他很想知道∠APB与∠C的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程． 7．已知：直线a∥b，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接AD，BC，设直线AD和BC交于点E． （1）在如图1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度数（提示：可过点E作EG∥AB）； （2）在如图2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF与DF交于点F，当∠ABC＝64°，∠ADC＝72°时，求∠BFD的度数． （3）如图3，当点B在点A的右侧时，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于点F，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，用含有α，β的代数式表示∠BFD的补角．（直接写出结果即可） 8．（1）证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直． 已知：如图①，AB∥CD，　 ． 求证： ． 证明： （2）如图②，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥FN，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O．求证：EO⊥FO． （3）如图③，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥PN，MP∥NF，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O，∠P＝102°，求∠O的度数． 9．如图1，已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC．（∠ABD的度数大于90°小于120°） （1）求证：∠BED＝90°； （2）若点F为射线BE上一点，∠EDF＝α，∠ABF的角平分线BG与∠CDF的角平分线DG交于点G，试用含α的式子表示∠BGD的大小； （3）延长BE交CD于点H，点F为线段BH上一动点，∠ABF邻补角的角平分线与∠CDF邻补角的角平分线DG交于点G，探究∠BGD与∠BFD之间的数量关系，请直接写出结论：　 ．（题中所有的角都是大于0°小于180°的角） 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/7 23:05:02；用户：刘祥军；邮箱：13408468771；学号：23734772 1．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α． （1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由． （2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由． （3）如图③，若α＝120°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示） 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $