寒假作业08 二次根式的加减（巩固培优）八年级数学新教材北师大版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业08 二次根式的加减 一、 二次根式的加减运算 二次根式的加减法的实质是合并同类二次根式，一般按如下步骤进行： 二、二次根式的混合运算 1. 运算法则 与整式的混合运算顺序一样，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的． 2. 实数运算中的运算律及公式同样适用于二次根式的运算． 3. 二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式或整式的形式． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 判断二次根式能否合并 1.如果最简二次根式与可以进行合并，则的值为（   ） A．7 B．16 C．25 D．81 【答案】D 【解析】解：最简二次根式与可以合并，，解得：， ∴ 故选：D． 题型二 二次根式的加减运算 2.化简： 结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】解：， 同理可得， 故选B． 题型三 二次根式的混合运算 3．已知 (1)计算：________，________； (2)求代数式的值． 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）解：∵，∴， ； （2）解：原式 ． 题型四 比较二次根式的大小 4．项目式学习： 课题名称 平方法比较实数的大小 参与人员 八下第（3）小组  日期：2025年××月××日 原理解读 对于任意两个正数a，b，若，则． 典例展示 比较和的大小．解：，，12<18， ． 任务解答 （1）比较和的大小； （2）比较和的大小． 【答案】（1）；（2） 【解析】解：（1），， ， ． （2） ，． 又 ，，， ， ， ， 题型五 整数部分和小数 5．已知的整数部分为，小数部分为，则= ． 【答案】11 【解析】解： ， ∴， 故答案为：11． 题型六 二次根式的化简求值 6．如果，试求的值． 【答案】 【解析】由得到， ∴，∴，， 解得：，， ∴，，， ∴ ． 题型七 二次根式的规律探索 7．观察下列各式： … 请利用你发现的规律，计算：其结果为 ． 【答案】 【解析】解：∵ … ∴， ∴ =+++…+=9+（+++…+）=9+（1－）=， 故答案为：． 题型八 二次根式的应用 8．有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)求矩形木板的面积； (2)木工乙想从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，则该矩形木料的长为_______； (3)木工丙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出_________根这样的木条． 【答案】(1)；(2)；(3)5 【解析】（1）解：∵木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． ∴正方形的边长为：， ∴，， ∴矩形木板的面积为； （2）解：该矩形木料的长为： ； （3）解：∵， 又∵， ∴从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出5根这样的木条． 1．若a和b都是正整数且a＜b，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　） ①只存在一组a和b使得； ②只存在两组a和b使得； ③不存在a和b使得． A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【解析】解：①∵a和b都是正整数且a＜b，和是可以合并的二次根式，， ∴3， 当a＝2时，b＝8，故该选项正确； ②∵5， 当a＝3，则b＝48， 当a＝12，则b＝27．故该选项正确； ③∵2， 当a＝65时，b＝65， ∵a＜b，所以不存在，故该选项正确； 故选：C． 2．已知，则　13　 ． 【答案】13 【解析】解：设m，n， 那么m﹣n＝2①，m2+n234②． 由①得，m＝2+n③， 将③代入②得：n2+2n﹣15＝0， 解得：n＝﹣5（舍去）或n＝3， 因此可得出，m＝5，n＝3（m≥0，n≥0）． 所以n+2m＝13． 3．已知xy＝3，那么的值是 　±2　 ． 【答案】±2 【解析】解：∵xy＝3， ∴x、y同号， ∴原式＝xy， 当x＞0，y＞0时，原式2； 当x＜0，y＜0时，原式（）＝﹣2． ∴原式＝±2． 4．已知m，n是有理数，且（2）m+（3﹣2）n+7＝0，求m，n的值． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：∵m，n是有理数，且（2）m+（3﹣2）n+7＝0， ∴m+2m+3n﹣2n＝﹣7， 则（m﹣2n）+2m+3n＝﹣7， 且， 解得：． 5．若a、b、c满足的关系是，求a、b、c的值． 【答案】a＝15，b＝10，c＝15． 【解析】解：由二次根式有意义的条件可知5﹣a+b≥0，a﹣b﹣5≥0， 即a﹣b≤5，a﹣b≥5， 则a﹣b＝5， ∴0， ∴3a﹣3b﹣c＝0，2a﹣5b+5+c＝0， 解得，c＝15， ∴， 解得，， ∴a＝15，b＝10，c＝15． 6．若，求的值． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：因为，所以（）2＝（）2， x2＝5，所以x3． 所以x1＝4，x1＝2． 即4，2． 所以． 7．已知，求的值． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：由题意得：0，0， 解得：a2，b2， 5． 8．已知a，b为实数，且（b﹣1）0，求a+b的值． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：∵（b﹣1）0， ∴（1﹣b）0． ∵0，（1﹣b）0， ∴1+a＝0、1﹣b＝0， 解得：a＝﹣1、b＝1， 则a+b＝﹣1+1＝0． 9．计算：． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：∵2， ∴原式＝2（2）﹣22． 10．已知：m，n是两个连续自然数（m＜n），且q＝mn．设p，则p（A ）． A、总是奇数；B、总是偶数；C、有时是奇数，有时是偶数；D、有时是有理数，有时是无理数． 请选出答案，并给出证明过程． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：选A． 证明：由已知得n＝m+1， 则q＝mn＝m（m+1），q+n＝m（m+1）+（m+1）＝m2+m+m+1＝m2+2m+1＝（m+1）2 q﹣m＝m（m+1）﹣m＝m2， ∴pm+1+m＝2m+1， 所以p为奇数． 11．计算． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：设a＝n+2，b＝n+2， ∴a+b＝2（n+2），ab＝（n+2）2﹣（n2﹣4）＝4（n+2）， ∴原式22＝n． 1．我们规定，若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数． （1）若3与x是关于1的平衡数，5与y是关于1的平衡数，求x，y的值； （2）若（m）×（1）＝﹣2n+3（1），判断m与5n是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）根据题意可知：3+x＝2， 解得x＝﹣1， 5y＝2， 解得y＝﹣3； （2）（m）×（1）＝﹣2n+3（1）， ∴mm3＝﹣2n+33， ∴m+2n﹣2m＝0， ①当m和n均为有理数时， 则有m+2n＝0，﹣2﹣m＝0， 解得：m＝﹣2，n＝1， 当m＝﹣2，n＝1时， m5n253≠2， 所以m与5n不是关于1的平衡数； ②当m和n中一个是有理数，另一个是无理数时， m5nm+5n，而此时m+5n为无理数，故m+5n≠2， 所以m与5n不是关于1的平衡数； ③当m和n均为无理数时，当m+5n＝2时， ∵m+2n﹣2m＝0， 解得m，n， 使得m与5n是关于1的平衡数， 当m，n时， m与5n不是关于1的平衡数， 综上可得：当m，n时，m与5n是关于1的平衡数，否则m与5n不是关于1的平衡数． 2．已知：，，，…，，n为正整数，且n≥1． （1）求出a2和a3的值，猜想an的结果，并用含n的式子表示出an； （2）设an与bn满足的数量关系为，例如，请利用所学知识试求出b1+b2+b3+…+bn的结果．（解答建议：（2）小题可构造平方差公式先对bn进行化简，再求和．） 【答案】（1）a1＝3，a2＝5，a3＝7，a4＝9，可猜测：an＝2n+1； （2）． 【解析】解：（1）解：（1）由题意可得：a1＝3，a1+a2＝2+2×2＝8， 解得a2＝5， a1+a2+a3＝3+2×3＝15，解得a3＝7， 由题意可得a4＝9， 由a1＝3，a2＝5，a3＝7，a4＝9，可猜测：an＝2n+1； （2）由（1）可得an＝2n+1，则an+1＝2n+3． ∵， ∴bn， ∴b1+b2+b3+...+bn...． 3．如图，将边长分别为1，1的正方形的面积记为S1，S2，S3，S4． （1）计算：S2﹣S1＝ 　2+2　 ，S3﹣S2＝ 　6+2　 ，S4﹣S3＝ 　10+2　 ． （2）把边长为1+（n﹣1）的正方形的面积记作Sn，其中n是正整数，从（1）中计算结果，你能猜出Sn+1﹣Sn等于多少吗？你的猜想是否正确，请说明理由． （3）若将边长变为a，a，a+2，…a+（n﹣1），试求Sn+1﹣Sn的值． 【答案】（1），，；（2）；（3）． 【解析】解：（1）， ， ， 故答案为：，，； （2）， 理由如下： ） ； （3） ． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业08 二次根式的加减 一、 二次根式的加减运算 二次根式的加减法的实质是合并同类二次根式，一般按如下步骤进行： 二、二次根式的混合运算 1. 运算法则 与整式的混合运算顺序一样，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的． 2. 实数运算中的运算律及公式同样适用于二次根式的运算． 3. 二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式或整式的形式． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 判断二次根式能否合并 1.如果最简二次根式与可以进行合并，则的值为（   ） A．7 B．16 C．25 D．81 题型二 二次根式的加减运算 2.化简： 结果是（   ） A．1 B． C． D． 题型三 二次根式的混合运算 3．已知 (1)计算：________，________； (2)求代数式的值． 题型四 比较二次根式的大小 4．项目式学习： 课题名称 平方法比较实数的大小 参与人员 八下第（3）小组  日期：2025年××月××日 原理解读 对于任意两个正数a，b，若，则． 典例展示 比较和的大小．解：，，12<18， ． 任务解答 （1）比较和的大小； （2）比较和的大小． 题型五 整数部分和小数 5．已知的整数部分为，小数部分为，则= ． 题型六 二次根式的化简求值 6．如果，试求的值． 题型七 二次根式的规律探索 7．观察下列各式： … 请利用你发现的规律，计算：其结果为 ． 题型八 二次根式的应用 8．有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)求矩形木板的面积； (2)木工乙想从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，则该矩形木料的长为_______； (3)木工丙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出_________根这样的木条． 1．若a和b都是正整数且a＜b，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　） ①只存在一组a和b使得； ②只存在两组a和b使得； ③不存在a和b使得． A．1 B．2 C．3 D．0 2．已知，则　 　 ． 3．已知xy＝3，那么的值是 　 　 ． 4．已知m，n是有理数，且（2）m+（3﹣2）n+7＝0，求m，n的值． 5．若a、b、c满足的关系是，求a、b、c的值． 6．若，求的值． 7．已知，求的值． 8．已知a，b为实数，且（b﹣1）0，求a+b的值． 9．计算：． 10．已知：m，n是两个连续自然数（m＜n），且q＝mn．设p，则p（ ）． A、总是奇数；B、总是偶数；C、有时是奇数，有时是偶数；D、有时是有理数，有时是无理数． 请选出答案，并给出证明过程． 11．计算． 1．我们规定，若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数． （1）若3与x是关于1的平衡数，5与y是关于1的平衡数，求x，y的值； （2）若（m）×（1）＝﹣2n+3（1），判断m与5n是否是关于1的平衡数，并说明理由． 2．已知：，，，…，，n为正整数，且n≥1． （1）求出a2和a3的值，猜想an的结果，并用含n的式子表示出an； （2）设an与bn满足的数量关系为，例如，请利用所学知识试求出b1+b2+b3+…+bn的结果．（解答建议：（2）小题可构造平方差公式先对bn进行化简，再求和．） 3．如图，将边长分别为1，1的正方形的面积记为S1，S2，S3，S4． （1）计算：S2﹣S1＝ 　 ，S3﹣S2＝ 　 　 ，S4﹣S3＝ 　 　 ． （2）把边长为1+（n﹣1）的正方形的面积记作Sn，其中n是正整数，从（1）中计算结果，你能猜出Sn+1﹣Sn等于多少吗？你的猜想是否正确，请说明理由． （3）若将边长变为a，a，a+2，…a+（n﹣1），试求Sn+1﹣Sn的值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $