寒假作业06 二次根式（巩固培优）八年级数学新教材北师大版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 二次根式 一、二次根式的概念 1.定义：一般地，我们把形如（）的式子叫作二次根式，“”叫作二次根号，a叫作被开方数． 2.拓展：二次根式必须同时满足两个条件：（1）含二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数（被开方数可以是数字也可以是含有字母的式子）． 二、二次根式有无意义的条件 例如：因为，所以二次根式恒有意义． 三 二次根式的性质 1.二次根式具有双重非负性： 2.，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，如． 3.即一个任意实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值． 如． 拓展：和的区别 运算结果 a的取值 任意实数 作用 ①用来去根号，化简二次根式； ②可用将任意一个非负实数写成一个数的平方的形式 ①用来去根号，化简二次根式； ②将根号外的非负因式平方后移到根号内. 例如：若,则= 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 二次根式的概念 1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？请说明理由． （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ； （6） ；（7） ． 题型二 二次根式有意义的条件 2.当有意义时，的取值范围是 ． 题型三 二次根式的双重非负性 3．已知实数x，y满足 ，则的值为 ． 题型四 4．运用分类讨论的方法，请你解答下列问题： (1)当时，化简：______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值． 题型五 5．挖掘问题中的隐含条件，解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知a，b是实数，且，化简． 题型六 规律探究 6．观察下列等式，并回答问题： ①；②；③；… (1)根据上述规律，写出第5个等式：________． (2)请写出第个（为正整数）等式：________，并证明你的结论． (3)运用上述结论，计算：． 题型七 化简求值 7．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简． ． 题型八 隐含条件 8．若、、为实数，且满足，求的值为 ． 题型九 复合根式 9．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 1．已知，，则a10+b10＝ 　 　 ． 2．已知x，y，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n的值为 　 　 ． 3．若u、v满足v，则u2﹣uv+v2＝　 　 ． 4．若a，b，c是实数，且a＝2b，abc20，那么的值是　 　 ． 5．已知xy＝3，那么的值是 　 　 ． 6．实数a，b满足（2a+b）20，那么a＝　 　 ，b＝　 　 ． 7．已知，x、y满足，求（x+y）+（x2+2y）+（x3+3y）+…+（x199+199y）的值． 8．设，求m10+m9+m8+…+m﹣47的值． 9．已知：（0＜a＜1），求代数式的值． 10．阅读下面问题：；；． 试求：（1）的值；（2）的值；（3）（n为正整数）的值． 11．已知：a+b＝﹣5，ab＝1，求：的值． 1．求比大的最小整数． 2．已知，求x6+x5+2x4﹣4x3+3x2+4x﹣4的整数部分． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 二次根式 一、二次根式的概念 1.定义：一般地，我们把形如（）的式子叫作二次根式，“”叫作二次根号，a叫作被开方数． 2.拓展：二次根式必须同时满足两个条件：（1）含二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数（被开方数可以是数字也可以是含有字母的式子）． 二、二次根式有无意义的条件 例如：因为，所以二次根式恒有意义． 三 二次根式的性质 1.二次根式具有双重非负性： 2.，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，如． 3.即一个任意实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值． 如． 拓展：和的区别 运算结果 a的取值 任意实数 作用 ①用来去根号，化简二次根式； ②可用将任意一个非负实数写成一个数的平方的形式 ①用来去根号，化简二次根式； ②将根号外的非负因式平方后移到根号内. 例如：若,则= 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 二次根式的概念 1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？请说明理由． （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ； （6） ；（7） ． 【答案】，，，是二次根式；，），不是二次根式． 【解析】解：（）是二次根式； （）中，不是二次根式； （）中，是二次根式； （）立方根，不是二次根式； （）中，是二次根式； （）中，是二次根式； （）中，不是二次根式； ∴，，，是二次根式；，，不是二次根式． 题型二 二次根式有意义的条件 2.当有意义时，的取值范围是 ． 【答案】且 【解析】解：∵有意义时，∴，且，∴，且， 故答案为且． 题型三 二次根式的双重非负性 3．已知实数x，y满足 ，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：由题意得，，解得：， ，． 故答案为：． 题型四 4．运用分类讨论的方法，请你解答下列问题： (1)当时，化简：______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值． 【答案】(1)4，(2)，(3)或 【解析】（1）解：∵， ∴； （2）， 当时，上式； 当时，上式， ∵，∴，不符合题意； 当时，上式，不符合题意； ∴a的取值范围是； （3） 当时，，解得：； 当时，， 当时，，解得：； 综上：或． 题型五 5．挖掘问题中的隐含条件，解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知a，b是实数，且，化简． 【答案】(1)，(2) 【解析】（1）解：由题意，得，， ，解得． （2）解：由题意，得 ，且， 且，， ，， ，， ． 题型六 规律探究 6．观察下列等式，并回答问题： ①；②；③；… (1)根据上述规律，写出第5个等式：________． (2)请写出第个（为正整数）等式：________，并证明你的结论． (3)运用上述结论，计算：． 【答案】(1)，(2)，(3) 【解析】（1）解：根据题意得第5个等式为：；故答案为：； （2）解：第1个等式：；， 第2个等式：；， 第3个等式：；， 由以上等式可以猜想第n个等式是： ； 证明：； 故答案为：； （3）解： ＝ ＝． 题型七 化简求值 7．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简． 【答案】 【解析】解：由三边关系定理，得，，即， 原式． 题型八 隐含条件 8．若、、为实数，且满足，求的值为 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 题型九 复合根式 9．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【答案】(1)3；；(2) 【解析】（1）解：， ∴； ∴； （2）解：． 1．已知，，则a10+b10＝ 　123　 ． 【答案】123． 【解答】解：∵，， ∴a+b＝1，ab＝﹣1， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝12﹣2×（﹣1）＝1+2＝3． 同理a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＝（a+b）[（a2+b2）﹣ab]＝1×[3﹣（﹣1）]＝4， a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝32﹣2×1＝7， 观察发现规律：an+bn＝an﹣1+bn﹣1+an﹣2+bn﹣2（n≥3）， ∴a5+b5＝7+4＝11， a6+b6＝11+7＝18， a7+b7＝18+11＝29， a8+b8＝29+18＝47， a9+b9＝47+29＝76， a10+b10＝76+47＝123． 故答案为：123． 2．已知x，y，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n的值为 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：∵x（）2＝2n+1﹣2， y（）2＝2n+1+2， ∴x+y＝4n+2，xy＝1， 将xy＝1代入19x2+123xy+19y2＝1985得19x2+123+19y2＝1985， 化简得x2+y2＝98， （x+y）2＝x2+y2+2xy＝98+2＝100， ∴x+y＝10． ∴4n+2＝10， 解得n＝2． 故答案为：2． 3．若u、v满足v，则u2﹣uv+v2＝　　 ． 【答案】 【解答】解：由题意得：0，0， 从而0，2u﹣v＝0，uv， 又v， ∴u， ∴u2﹣uv+v2． 故答案为． 4．若a，b，c是实数，且a＝2b，abc20，那么的值是　0　 ． 【答案】0 【解答】解：解法一： 将a＝2b代入abc20中，得 abc2（2b）bc2 ＝[（b）2+2（b）•（）2]c2 ＝（b）2c2＝0， ∴c＝0，b，即0． 解法二： ∵a＝2b， ∴a﹣2b 两边平方，得a2﹣4ab+4b2＝2 ① 又abc20，得出 8ab+4c2＝﹣2 ② ①+②得：a2+4ab+4b2+4c2＝0， 即（a+2b）2+4c2＝0 ∴a+2b＝0，c＝0， 则0．故答案为0． 5．已知xy＝3，那么的值是 　±2　 ． 【答案】±2 【解答】解：∵xy＝3， ∴x、y同号， ∴原式＝xy， 当x＞0，y＞0时，原式2； 当x＜0，y＜0时，原式（）＝﹣2． ∴原式＝±2． 6．实数a，b满足（2a+b）20，那么a＝　﹣4　 ，b＝　8　 ． 【答案】﹣4；8 【解答】解：由题意，得， 解得． 故a＝﹣4，b＝8． 7．已知，x、y满足，求（x+y）+（x2+2y）+（x3+3y）+…+（x199+199y）的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵且， ∴y﹣2x＝0， ∴x＝1，y＝2； （x+y）+（x2+2y）+（x3+3y）+…+（x199+199y），＝（1+2）+（1+4）+（1+6）+…+（1+398）， ＝3+5+7+…+399，，＝39999． 8．设，求m10+m9+m8+…+m﹣47的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵1≤a≤2，0≤a﹣1≤1， ∴． ∴m10+m9+m8+…+m﹣47＝（m10+m9+m8+…+m+1）﹣48 ＝2048﹣1﹣48＝1999． 注：此题可利用关系式20+21+…+2n＝2n+1﹣1，运算将更简单． 9．已知：（0＜a＜1），求代数式的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵， ∴x＝a2， x﹣2＝a，（x﹣2）2＝（a）2 即：x2﹣4x＝a22＝（a）2 ∴原式•（x﹣2）2（a）2， ∵0＜a＜1，∴a0， ∴原式 ＝a2+2． 10．阅读下面问题：；；． 试求：（1）的值；（2）的值；（3）（n为正整数）的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式． 11．已知：a+b＝﹣5，ab＝1，求：的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵a+b＝﹣5，ab＝1， ∴a＜0，b＜0， ∴原式（）5． 1．求比大的最小整数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设x，y，x+y＝2，xy＝1， 又：x2+y2＝（x+y）2﹣2xy2×1＝22，x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）＝42， ∴x6+y6＝（x3+y3）2﹣2x3y3＝10582， 又01，从而01， 故1058110582， ∴比大的最小整数为10582． 2．已知，求x6+x5+2x4﹣4x3+3x2+4x﹣4的整数部分． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由已知得x＞0． 若x， 则x，与假设矛盾； 若x， 则x，与假设矛盾； 因此x， 两边平方并整理得，x2﹣x﹣1＝0， 解得x，x（舍去）， 而x6+x5+2x4﹣4x3+3x2+4x﹣4＝（x6﹣x5﹣x4）+（2x5﹣2x4﹣2x3）+（5x4﹣5x3﹣5x2）+（3x3﹣3x2﹣3x）+（11x2﹣11x﹣11）+18x+7＝x4（x2﹣x﹣1）+2x3（x2﹣x﹣1）+5x2（x2﹣x﹣1）+3x（x2﹣x﹣1）+11x（x2﹣x﹣1）+18x+7＝（x2﹣x﹣1）（x4+2x3+5x2+3x+11）+18x+7＝18x+7， 所以，原式＝187＝16+916， ∵2021， ∴所求整数值为36． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $