7.1 正切（教学课件）数学苏科版九年级下册

苏科版·九年级下册 7.1 正切 第七章 锐角三角函数 章节导读 学 习 目 标 1 2 利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数 - tan A 理解互余两锐角的正切值之间的关系 3 理解锐角的正切值的增减性 新知探究 某体育馆为了方便观众，设计了不同坡度的台阶。 新知探究 观 察 1. 小明家刚建了新房子，请帮他选择相对安全的楼梯进行搭建。 解：右侧的楼梯比左侧的“陡”，选择左侧的楼梯更安全。 新知探究 观 察 2. 在下图中，哪个台阶最陡？你是如何判断的？ 解：∵第1个台阶的垂直高度与水平宽度的比： = ， 第2个台阶： = ，第3个台阶： = ，且 < < ， ∴第2个台阶的坡面最陡，第3个台阶的坡面次之，第1个台阶的坡面最平缓。 新知探究 观 察 3. 比较下图中的两个台阶，你有什么发现？ 解：∵第1个台阶的垂直高度与水平宽度的比： = ， 第2个台阶： = ， ∴两个台阶的陡峭程度是一样的。 新知探究 如图，一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出Rt△AB1C1、Rt△AB2C2、Rt△AB3C3 …… 那么有Rt△AB1C1 ∽ Rt△AB2C2 ∽ Rt△AB3C3 …… 根据相似三角形性质，得 = = = …… 也就是说，如果直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与邻边的比值也确定。 新知探究 正切： 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A的对边a与邻直角边b的比， 叫做∠A的正切，记作tan A，tan A = = 。 知识要点 新知探究 辨 析 判断对错： ( 1 ) 如图，tan A = （　　） ( 2 ) 如图，tan A = （　　） ( 2 ) ( 1 ) A B C A B C × 正切是在直角三角形中定义的 × tan A = = 新知探究 注意： ( 1 ) 正切是在Rt△中定义的，初中阶段，只研究锐角的正切，其值 > 0； ( 2 ) tan A是∠A的“对边”与“邻直角边”的比，不涉及“斜边”； ( 3 ) tan A是一个完整的符号，表示∠A的正切，不要误以为是“tan” × “A”； ( 4 ) 正切的正确记法：tan A、tan∠BAC、tan∠1； ( 5 ) tan A的大小只与∠A的大小有关，与Rt△的边长无关 (我们只是利用边长计算数值而已)； ( 6 ) tan A没有单位。 知识要点 典例分析 解：在Rt△ABC中， 根据勾股定理，得 BC = = = 3， tan A = = 。 典例1 如图，在Rt△ABC中，C = 90°，AC = 4， AB = 5。求tan A。 C A B 方法技巧 解题关键：牢记对比邻。 典例分析 解：由题意知，AD = AB = AC。 在Rt△ADC中， 根据勾股定理，得 CD = = AD = AD， tan A = = 。 典例2 如图，在等边三角形ABC中，CD⊥AB， 垂足为D。求tan A。 方法技巧 解题关键：线段长未知时，也可根据线段之间的比例关系求对比邻。 D B C A 新知探究 思 考 解：如图，由典例2知道， CD = AD， tan∠ACD = = = = 。 1. 由典例2知道，tan 60°= 。求tan 30°的值。 D B C A 新知探究 思 考 解：∵tan A = ，tan B = ， ∴tan A · tan B = = 1。 2. 在Rt△ABC ( ∠C = 90° )中，tan A与tan B的值有什么关系？ C A B 新知探究 互余两锐角的正切值： 互余两锐角的正切值互为倒数。 符合语言：如图，tan A · tan B = 1。 知识要点 C A B 新知探究 观 察 如图，当一个点从原点O出发，沿着65°线移动到点P时，这个点沿水平方向前进了1个单位长度，沿垂直方向上升了约2.14个单位长度。 于是，可知tan 65°的近似值为2.14。 用同样的方法，写出下表中各角正切的近似值。 θ tan θ 10° 20° 30° θ tan θ 45° 55° 65° 0.18 0.36 0.58 1 1.43 2.14 新知探究 观 察 随着锐角θ的值增大，tan θ的值怎样变化？ θ tanθ 10° 20° 30° θ tanθ 45° 55° 65° 0.18 0.36 0.58 1 1.43 2.14 解：随着锐角θ的值增大，tan θ的值增大。 新知探究 锐角的正切值的增减性： 锐角的正切值会随着锐角的增大而增大。 知识要点 典例分析 解：( 1 ) 依次按键 ， 显示结果为2.144 506 921，即tan 65° ≈ 2.14； ( 2 ) 依次按键 ， 显示结果为0.410 129 889 5，即tan 22°18′ ≈ 0.41。 典例3 用计算器求下列各值( 精确到0.01 )： ( 1 ) tan 65°； ( 2 ) tan 22°18'。 典例分析 解：由题意知，tanA = ， 则BC = AC · tan A = 10 × tan 40°， 用计算器计算，得BC ≈ 8.39。 典例4 在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 40°， AC = 10。求BC的长( 精确到0.01 )。 C A B 方法技巧 解题关键： 在Rt△中，已知一锐角+一直角边的长度，可利用该锐角的正切值求另一直角边的长度。 题型探究 【例1】在△ABC中，∠C = 90°，AB = 13，BC = 5，tan B的值是（　　） A． B． C． D． 已知线段长求正切值 题型一 解：如图， ∵∠C = 90°，BC = 5，AB = 13， ∴AC = 12， ∴tan B = = 。 C B A D 题型探究 【例2】在△ABC中，∠C = 90°，若tan B = ，则tan A = ________。 根据互余关系求正切值 题型二 解：∵tan A · tan B = 1，tan B = ， ∴tan A = = = 2。 2 题型探究 【例3】在Rt△ABC中，∠C = 90°，tan A = ，AC = 8，则AB等于________。 已知正切值求线段长 题型三 解：如图， ∵∠C = 90°，tan A = = ，AC = 8， ∴ = ，解得： BC = 6， ∴AB = 10。 C A B 10 题型探究 【例4】如图，在8 × 4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1， 若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为________。 构造直角三角形求正切值 题型四 解：如图，过点A作AD⊥CB交CB的延长线于点D， 由图可知：∠ADC = 90°，AD = 2，CD = 6， ∴tan∠ACB = = = 。 注意：若无直角三角形，需构造直角三角形 A B C D 课堂小结 正切： 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A的对边a与邻直角边b的比， 叫做∠A的正切，记作tan A，tan A = = 。 注意： ( 1 ) 正切是在Rt△中定义的，初中阶段，只研究锐角的正切，其值 > 0； ( 2 ) tan A是∠A的“对边”与“邻直角边”的比，不涉及“斜边”； ( 3 ) tan A是一个完整的符号，表示∠A的正切，不要误以为是“tan” × “A”； ( 4 ) 正切的正确记法：tan A、tan∠BAC、tan∠1； ( 5 ) tan A的大小只与∠A的大小有关，与Rt△的边长无关 (我们只是利用边长计算数值而已)； ( 6 ) tan A没有单位。 课堂小结 互余两锐角的正切值： 互余两锐角的正切值互为倒数。 符合语言：如图，tan A · tan B = 1。 锐角的正切值的增减性： 锐角的正切值会随着锐角的增大而增大。 感谢聆听! $