2026年中考数学一轮复习核心讲义(核心考点+模拟真题)专题10分式方程与不等式(组)（全国通用版）

该初中数学中考复习讲义聚焦分式方程与不等式(组)专题，覆盖中考核心考点，构建“概念-技能-应用-体系”四层知识框架，设计“考点梳理-方法指导-真题训练-易错警示”教学流程，助力学生突破增根问题、实际应用等难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于“问题链驱动”教学策略，如通过分式方程增根问题“先定增根再代整式方程求参数”的步骤分解，培养学生运算能力与推理意识。设置10类分层题型与限时真题训练，结合核心素养中的模型意识，帮助学生高效构建知识网络，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

专题10分式方程与不等式(组)中考一轮复习核心讲义 【10大经典模拟真题】 概念层面：精准掌握分式方程、不等式（组）的定义，清晰区分不同类型的方程与不等式，明确核心特征。 技能层面：熟练掌握分式方程的解法（去分母转化为整式方程 + 验根），熟练求解不等式（组）并能用数轴表示解集，避免增根、不等号方向错误等常见失误。 应用层面：能快速识别题目对应的方程 / 不等式类型，灵活运用解法解决基础题型、实际应用题及简单综合题，提升解题准确性。 体系层面：建立 “分式方程 — 不等式（组）— 函数关联” 的知识框架，明确各知识点的内在联系与区别，为后续综合题型和拔高题铺垫基础。 核心知识 点梳理 1.分式方程 2.不等式与不等式组 3.核心关联与易错点 常考题型 精讲精炼 1.分式方程定义判断题 2.分式方程增根问题 3.分式方程求解题 4.分式方程与不等式组综合题 5.分式方程实际应用题 6.不等式(组)基础计算题 7.不等式(组)实际应用题 8.函数与方程/不等式综合题 9.特殊一元二次方程与方程组解 10.综合判断题与规律探究题 【知识点01.分式方程】 1.定义：分母中含有未知数的方程（如 +3=5）。 2.核心要点： *求解需先去分母化为整式方程，注意验根（分母不能为 0）。 *增根：去分母后整式方程的根，代入原方程分母为 0，需舍去。 3. 常考题型关联要点 定义判断：区分分式方程与整式方程（关键看分母是否含未知数）。 增根问题：先确定增根（令分母为 0 的未知数的值），再代入整式方程求参数。 实际应用：根据 “路程 = 速度 × 时间”“工作量 = 效率 × 时间” 等数量关系列方程，注意验根并结合实际意义取舍解。 【知识点02.不等式与不等式组】 1.不等式与不等式组 不等式：用不等号（>,<,≥,≤,=）连接的式子 不等式组：由多个同一未知数的不等式组成的集合 2.核心要点： 不等式性质：两边同乘 / 除负数时，不等号方向改变。 不等式组的解集：多个不等式解集的公共部分（可通过数轴直观表示）。 3. 常考题型关联要点 基础计算：按 “去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1” 求解，注意不等号方向变化。 实际应用：根据 “不超过”“至少”“不少于” 等关键词列不等式（组），结合未知数实际意义（正整数、整数等）确定解。 【知识点03.核心关联与易错点】 1. 知识关联 分式方程与不等式组综合：先解分式方程（验根），再根据方程的解满足的不等式条件求参数取值范围。 函数与方程 / 不等式综合：利用一次函数图象与 x 轴、y 轴交点，结合方程解、不等式解集的几何意义解题。 2. 高频易错点 分式方程：忘记验根导致增根保留；去分母时漏乘常数项。 不等式：同乘 / 除负数时未改变不等号方向；数轴表示解集时混淆实心点与空心点。 实际应用：列方程（不等式）时数量关系混淆；解后未结合实际意义检验（如人数、工作量为正整数）。 【题型01.分式方程定义判断题】 1．（2025·上海闵行·模拟预测）在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁·模拟预测）存在下列说法： ①相等的角是对顶角； ②方程是关于的一元二次方程； ③概率为的事件为不可能事件； ④动直线（为常数）过定点；定直线不过定点； ⑤如果存在一个一元方程且其仅有一个解，则这个方程为一元一次方程． 上述说法中正确的有 条． 3．（2025·广西崇左·模拟预测）在物理学中，我们常常使用公式“密度”来计算密度．已知甲物体的密度是乙物体密度的，甲物体的质量是，乙物体的质量是，乙物体的体积比甲物体的体积大．如果设甲物体的体积是，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北邢台·三模）将克糖放入水中，得到克糖水，已知．再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，这是因为糖水中含糖的浓度变大了，请你用含x，y和的数量关系式表示“糖水中含糖的浓度变大”的事实： ． 5．（2025·四川达州·二模）已知，，且，则的最小值为 ． 6．（2025·江苏盐城·三模）已知实数a，b，c满足，． (1)求证：； (2)若，求的值． 7．（2024·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 8．（2025·四川成都·一模）对于三边的长是三个连续正整数的三角形，下列说法错误的是（   ） A．至少存在一个钝角三角形 B．至多存在一个直角三角形 C．至少存在一个锐角三角形 D．至多存在一个钝角三角形 【题型02.分式方程增根问题】 9．（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 10．（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为 ． 11．（2025·浙江杭州·模拟预测）对于m，只有一个实数值x满足，求所有满足条件的的值． 12．（2025·福建漳州·三模）解方程：． 13．（2025·四川眉山·二模）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．－1或 14．（2025·四川南充·一模）关于的方程无解，则的值为 ． 15．（2025·江苏南京·二模）（1）解方程：； （2）若关于x的方程无解，则a的值是 ． 16．（2025·贵州·模拟预测）喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 17．（2025·浙江宁波·一模）使得方程有实数根的最大的整数 ． 【题型03.分式方程求解题】 18．（2025·内蒙古·模拟预测）方程的解为（    ） A．或 B． C． D．无解 19．（2025·湖南·模拟预测）某班“课后服务”开设数学兴趣班，参与学生人数满足方程，则 ． 20．（2025·山东德州·模拟预测）为响应政府“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑自行车．已知小张家距上班地点千米，他骑自行车比自驾车平均每小时少行驶千米，他从家出发到上班地点，骑自行车所用的时间比自驾车所用的时间多小时．设小张骑自行车上班平均每小时行驶千米，那么可列方程为 ． 21．（2025·山东聊城·三模）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造，在改造一段长4800米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．实际施工时每天改造管网长度为（   ） A．60米 B．72米 C．80米 D．96米 22．（2025·山东青岛·模拟预测）施工队要铺设一段全长3000米的管道，因在中考期间需停工3天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求实际每天施工多少米？ 设实际每天施工x米，则x满足的分式方程为 ． 23．（2025·山西朔州·一模）2025年春晚吉祥物“巳（sì）升升”，是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A款吉祥物的单价为 元． 24．（2025·云南丽江·一模）国家卫生健康委宣布将实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某体育商城用2400元购入一批智能跳绳，因销量火爆供不应求，商城又追加投资6400元购入第二批同款跳绳．已知第二批的购入数量是第一批数量的2倍，且第二批购入的单价比第一批贵10元．问第一批智能跳绳的单价是多少元？ 25．（2025·山西临汾·二模）农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数． 【题型04.分式方程与不等式(组)综合题】 26．（2025·江苏常州·一模）若关于x的不等式组有解且仅有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则满足条件的所有整数a的值的和为 ． 27．（2025·甘肃酒泉·二模）若是不等式组的整数解，解关于的分式方程． 28．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程的解是非正数，则m取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 29．（2025·广东东莞·一模）若点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是 ． 30．（2025·四川广元·一模）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份比一月份售价每台降价500元．如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元． (1)一月份甲型号手机每台售价为多少元？ (2)为了提高利润，该店计划三月份加入乙型号手机销售，已知甲型号每台进价为3500元，乙型号每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？ (3)若三月份甲型号手机售价与二月份一样，乙型号手机售价比甲型号手机三月份的售价贵800元，在（2）的前提下哪种方案获利最大？ 31．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，一次函数经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于0，直接写出的取值范围． 32．（2025·云南楚雄·三模）已知抛物线（）与轴交于点． (1)当，，求该抛物线与轴交点坐标； (2)若抛物线恒在轴下方，且符合条件的整数只有四个，求整数的最小值． 33．（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 34．（2025·重庆·三模）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 35．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【题型05.分式方程实际应用题】 36．（2025·甘肃临夏·一模）掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 37．（2025·甘肃甘南·一模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 38．（2025·广东广州·三模）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心，发射成功，某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型，已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型比“神舟”模型多2个，设“天宫”模型单价为元，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 39．（2025九年级下·山东青岛·专题练习）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球300次，其中60次摸到黑球，估计盒中大约有白球 个． 40．（2025·江苏无锡·模拟预测）2025年5月16日，“无锡有点甜”无锡美食进校园系列活动走进天一中学．主办方除了为同学们准备了无锡排骨、罗氏醉虾、松子拉糕、银鱼炒蛋等还贴心提供抽奖环节．规则是：准备3张大小一样，背面完全相同的卡片，3张卡片的正面所写内容分别是《人才周历》、《定制团扇》、《“糕粽”jellycat》，将它们背面朝上洗匀后任意抽出一张，抽到卡片后可以免费领取相应的礼品． (1)在上述活动中，如果从中随机抽出一张卡片，记下内容后放回，再随机抽出一张卡片，求恰好抽到2张卡片都是《定制团扇》的概率，用列表法或画树状图的方法． (2)再添加几张和原来一样的《“糕粽”jellycat》卡片，将所有卡片背面朝上洗匀后，任意抽出一张，使得抽到《“糕粽”jellycat》卡片的概率为，那么应该添加《“糕粽”jellycat》卡片的数量是___________． A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 41．（2025·山东青岛·一模）剪纸是一种非常普及的中国民间艺术，春节期间，人们都喜欢在窗户上贴上窗花作为装饰，不仅烘托了喜庆的节日气氛，还为人们带来了美的享受，集装饰性、欣赏性和实用性于一体．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸进行销售，已知每套甲种剪纸的进价是每套乙种剪纸进价的1.25倍，用400元购进甲种剪纸的套数比用400元购进乙种剪纸的套数少2套． (1)求这两种剪纸每套进价分别为多少元？ (2)根据商家的销售经验，甲种剪纸的销售量（套）与销售单价x（元）之间的关系为，乙种剪纸的销售量（套）与销售单价x（元）之间的关系为．若每套甲种剪纸的售价同样是每套乙种剪纸售价的1.25倍，则甲、乙两款剪纸的销售单价定为多少元时，商家可获得最大利润？最大利润是多少元？ 42．（2025·河北邯郸·三模）现有不同型号的无人机甲和乙，两人操作无人机甲、乙从空中不同起点沿同一飞行路径同时开始飞行（如图1），无人机甲从点向点运动，无人机乙从点向点运动，到达点后均停止运动，设无人机甲、乙与点的距离分别为（米），（米），飞行时间为秒，，与的函数关系图象如图2．已知甲在飞行20秒后的速度比20秒前的速度增加了1米/秒． (1)求与的函数解析式； (2)当甲到点的距离为30米时，求的值； (3)若甲在距离点的10米内（含10米）追上乙，求乙的飞行速度米/秒的取值范围． 43．（2025·陕西西安·模拟预测）数学典籍《孙子算经》中记载了许多著名的数学问题，其中就有“韩信点兵”问题．相传汉朝大将韩信在点兵时，为了快速统计士兵人数，韩信让士兵们5人一组列阵，结果多出2人：他又让士兵们7人一组列阵，结果多出3人．已知士兵总数不超过100人，那么士兵总数可能为 人．（写出一个符合条件的值即可） 【题型06.不等式(组)基础计算题】 44．（2025·河北邢台·三模）不等式的解集如图所示，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．2 45．（2025·全国·一模）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集是(   ) A． B． C． D． 46．（2025·吉林长春·一模）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 47．（2025·浙江丽水·二模）不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 48．（2025·四川广安·二模）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 49．（2025·安徽淮南·二模）解不等式：，并在数轴上表示出其解集． 50．（2025·吉林松原·模拟预测）不等式的最大整数解为（   ） A． B． C．0 D．2 51．（2025·上海·二模）不等式的最大整数解是 ． 52．（2020·宁夏银川·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 53．（2025·山东枣庄·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 54．（2025·甘肃武威·二模）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 55．（2025·黑龙江大庆·三模）求不等式组：整数解之和 ． 【题型07.不等式(组)实际应用题】 56．（2025·山东泰安·二模）学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 现有甲、乙两种类型的客车，已知每辆甲车的载客量要比乙车多15人，在无空座的情况下，480人需要乙种客车的数量是360人需要甲种客车数量的2倍． 对，你的问题我可以用列方程来解决． 若我们安排七、八年级的240名师生集体外出活动，可以租用甲、乙种客车共6辆（要求两种类型的客车都要租），一次将全部师生送到指定地点． 不过甲车的租用费用比乙车的贵120元，每辆甲种客车的租金为400元． 根据他们的对话得到以下四个结论： ①若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为270人；②共有两种租车方案； ③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多． 其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 57．（2025·广东惠州·一模）（综合与实践） 项目小组在超市包装部实习，帮助超市优化货品的包装问题．其中有一种规格的碗要装入包装盒，获得信息如下： 【信息1】碗以及叠放后的尺寸如图：（单位：cm）     【信息2】有两种长方体形状的包装盒尺寸（单位：cm）和成本（单位：元）如图：      【问题解决】 任务1：n个碗叠放后的总高度为L（单位：cm），请求出L与n的关系式． 任务2：叠放后的碗可横放，也可竖放，A盒最多可放入___________个碗，B盒最多可放入___________个碗． 任务3．若要买A盒或B盒若干分装上述规格的碗90个，问买这些盒子最少要多少元？ 58．（2025·吉林长春·一模）去年某市空气质量优良的天数与全年天数（365天）之比达到60%，如果明年（365天）这样的比值要超过80%，那么明年空气质量优良的天数比去年至少要增加多少天？若设明年空气质量优良的天数比去年增加天，根据题意，可列不等式为 ． 59．（2025·天津滨海新·三模）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 60．（2025·浙江杭州·二模）若干名学生乘船．若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 61．（2025·广西百色·二模）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 62．（2025·天津红桥·二模）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为； ③当矩形菜园的面积最大时，的长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 63．（2025·广东江门·一模）如图，学校在教学楼后搭建了两个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼长60m的后墙，其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成．左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．另外，在距离后墙8m外，还规划有机动车停车位． (1)若设车棚宽度AB为xm，则车棚长度BC为______m； (2)设自行车车棚面积为，车棚宽度AB为，求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； (3)学校调研教职工及学生的需求后，现决定对车棚进行扩建．在不对后墙进行改造的情况下，若希望扩建后车棚面积不小于405m，是否有必要改动机动车停车位的位置规划？但机动车停车位EF向外最多移动2m，如有必要，请给出具体方案；如无必要，请说明理由． 64．（2025·黑龙江七台河·一模）某市为大力推销本市果农的水果产品，计划把甲水果大约700吨，乙水果大约1020吨，一次性运往外地销售．需要不同型号的、两种车皮共30节，种车皮每节运费2500元，种车皮每节运费3000元． (1)设租车皮的总费用为元，租种车皮节，请写出和之间的函数关系式． (2)如果每节车皮最多可装甲水果30吨和乙水果20吨，每节车皮最多可装甲水果25吨和乙水果40吨，装水果时按此要求安排、两种车皮，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费． (3)计划下一次租用、两种车皮时，想用（2）中的最低费用同时租用、两种车皮，请直接写出有哪几种租车方案？ 65．（2025·北京石景山·二模）某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品 个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为 万元． 【题型08.函数与方程/不等式综合题.】 66．（2025·河北沧州·模拟预测）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上2，同时区就会自动减去1，且均显示计算结果．已知A，两区初始显示的数分别是和7． (1)按键1次后，求A，两区显示的结果的和； (2)若按键次后，A区的结果大于区的结果，求的最小值． 67．（2025·上海普陀·二模）已知和，的半径长为，．如果与相交，那么的半径长可以是（   ） A． B． C． D． 68．（2025·河北·模拟预测）如图，不完整的数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 69．（2025·河北张家口·模拟预测）有一个数学游戏，如图所示，一个实数从，，三个位置中任选一个出发，按照如图所标注的要求进行运算后到下一个位置，例如将按照（或）的顺序进行运算，是将经过“加”的运算得出结果． (1)4按照的顺序进行运算，列出算式并求出正确的结果； (2)将一个数经过的顺序进行运算后结果不大于2，求的负整数值． 70．（2025·湖南·模拟预测）如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数的最大值为（不考虑小球落地后再弹起），则的取值范围是 ． 71．（2025·上海普陀·三模）已知二次函数，回答下列问题： (1)若该函数图象经过点 求该函数图象与轴的交点坐标； 点向上平移个单位长度，向右平移个单位长度后，落在二次函数图象上，求的值． (2)若该函数图象经过点与点，且与轴的两个交点到点的距离均小于，求证：． 72．（2025·山东济南·模拟预测）如图1，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点两点． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图2，点E是线段上一动点，过点E作轴，交反比例函数的图象于点F，连接和 ，若，求点F的坐标． (3)过点A作 轴交反比例函数的图象于点G，点M在一次函数的图象上运动，过点M作 ，交反比例函数的图象于点N．若以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的横坐标． 【题型09.特殊一元二次方程与方程组解】 73．（2025·安徽·模拟预测）关于的一元二次方程的两根是和，若，则下列选项正确的是（    ） A．、 B． C． D． 74．（2025·青海西宁·二模）分解因式： ；不等式组的解集是 ． 75．（2025·新疆克拉玛依·二模）（1）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． （2）化简：． （3）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图． 求作：点，使，且点在边的高上． 76．（2025·四川雅安·二模）一元一次不等式组的最小整数解是（    ） A． B．2 C．1 D．0 77．（2025·重庆·模拟预测）若，其中均为自然数，为正整数，满足，且对于任意的正整数，均有，则下列说法正确的个数是（   ） ①若，则n的最小值与最大值的和为6； ②若不仅为自然数，也可以为负整数，当时， ，当为奇数时， 当为偶数时，，则； ③若M满足，则这样的整式有个． A．0 B．1 C．2 D．3 【题型10.综合判断题与规律探究题】 78．（2025·河北沧州·模拟预测）将关于x的不等式组|的解集表示在数轴上图所示，则a的值为 ． 79．（2025·河北·模拟预测）对于三个实数a，b，c，用表示这两个数的平方差，用表示这三个数中最大的数．例如：，，． 请结合上述材料，解决下列问题： (1) ____， _______； (2)若 ，则负整数a的值是______． 80．（2025·山东青岛·模拟预测）（1）化简：     （2）解不等式组，并写出奇数解 81．（2025·贵州安顺·二模）如果不等式组有且只有4个整数解，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 82．（2025·江苏扬州·三模）关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 ． 83．（2025·河北·一模）若关于x的不等式组的整数解是4和5，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 84．（2025·山东青岛·模拟预测）某口罩公司生产了一批口罩，每只成本价为0.5元，为了解市场需求进行试销售，据销售部统计：当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只． (1)写出每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (2)写出每日销售利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (3)公司规定：正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于．若你是销售部经理，你应把销售单价定为多少元，才能使每日销售利润最大化？此时每日销售利润为多少万元？ 85．（2025·四川绵阳·模拟预测）某工厂从外地连续两次购得，两种原料，购买情况如表：现计划租用甲，乙两种货车共8辆将两次购得的原料一次性运回工厂． （吨） （吨） 费用（元） 第一次 12 8 33600 第二次 8 4 20800 (1)，两种原料每吨的进价各是多少元？ (2)已知一辆甲种货车可装4吨种原料和1吨种原料；一辆乙种货车可装，两种原料各2吨．甲种货车的运费是每辆400元，乙种货车的运费是每辆350元．设安排甲种货车辆，总运费为元，求（元）与（辆）之间的函数关系式；为何值时，总运费最小，最小值是多少元？ 86．（2025·宁夏中卫·三模）为推动新能源汽车的发展，某城市计划建设一批新能源汽车充电桩．有两种类型的充电桩可供选择，快充充电桩和慢充充电桩，据了解建设一个快充充电桩的费用比建设一个慢充充电桩的费用高2万元．如果建设个快充充电桩和个慢充充电桩，总费用为万元． (1)求建设一个快充充电桩和一个慢充充电桩的费用各是多少万元？ (2)该市准备用不超过万元的资金建设快、慢两种型号的充电桩共个，其中慢充电桩的数量不超过快充电桩数的，该市共有几种建设方案？ 87．（2025·山东威海·一模）一组数据（n是正整数）有这样的规律：从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的数差的倒数．对于下列说法：①若，则；②若，则；③若，则．正确的个数有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10分式方程与不等式(组)中考一轮复习核心讲义 【10大经典模拟真题】 概念层面：精准掌握分式方程、不等式（组）的定义，清晰区分不同类型的方程与不等式，明确核心特征。 技能层面：熟练掌握分式方程的解法（去分母转化为整式方程 + 验根），熟练求解不等式（组）并能用数轴表示解集，避免增根、不等号方向错误等常见失误。 应用层面：能快速识别题目对应的方程 / 不等式类型，灵活运用解法解决基础题型、实际应用题及简单综合题，提升解题准确性。 体系层面：建立 “分式方程 — 不等式（组）— 函数关联” 的知识框架，明确各知识点的内在联系与区别，为后续综合题型和拔高题铺垫基础。 核心知识 点梳理 1.分式方程 2.不等式与不等式组 3.核心关联与易错点 常考题型 精讲精炼 1.分式方程定义判断题 2.分式方程增根问题 3.分式方程求解题 4.分式方程与不等式组综合题 5.分式方程实际应用题 6.不等式(组)基础计算题 7.不等式(组)实际应用题 8.函数与方程/不等式综合题 9.特殊一元二次方程与方程组解 10.综合判断题与规律探究题 【知识点01.分式方程】 1.定义：分母中含有未知数的方程（如 +3=5）。 2.核心要点： *求解需先去分母化为整式方程，注意验根（分母不能为 0）。 *增根：去分母后整式方程的根，代入原方程分母为 0，需舍去。 3. 常考题型关联要点 定义判断：区分分式方程与整式方程（关键看分母是否含未知数）。 增根问题：先确定增根（令分母为 0 的未知数的值），再代入整式方程求参数。 实际应用：根据 “路程 = 速度 × 时间”“工作量 = 效率 × 时间” 等数量关系列方程，注意验根并结合实际意义取舍解。 【知识点02.不等式与不等式组】 1.不等式与不等式组 不等式：用不等号（>,<,≥,≤,=）连接的式子 不等式组：由多个同一未知数的不等式组成的集合 2.核心要点： 不等式性质：两边同乘 / 除负数时，不等号方向改变。 不等式组的解集：多个不等式解集的公共部分（可通过数轴直观表示）。 3. 常考题型关联要点 基础计算：按 “去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1” 求解，注意不等号方向变化。 实际应用：根据 “不超过”“至少”“不少于” 等关键词列不等式（组），结合未知数实际意义（正整数、整数等）确定解。 【知识点03.核心关联与易错点】 1. 知识关联 分式方程与不等式组综合：先解分式方程（验根），再根据方程的解满足的不等式条件求参数取值范围。 函数与方程 / 不等式综合：利用一次函数图象与 x 轴、y 轴交点，结合方程解、不等式解集的几何意义解题。 2. 高频易错点 分式方程：忘记验根导致增根保留；去分母时漏乘常数项。 不等式：同乘 / 除负数时未改变不等号方向；数轴表示解集时混淆实心点与空心点。 实际应用：列方程（不等式）时数量关系混淆；解后未结合实际意义检验（如人数、工作量为正整数）。 【题型01.分式方程定义判断题】 1．（2025·上海闵行·模拟预测）在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：A、是整式方程，故此选项不符合题意； B、是整式方程，故此选项不符合题意； C、是分式方程，故此选项符合题意； D、不是分式方程，故此选项不符合题意； 故选：C 2．（2025·辽宁·模拟预测）存在下列说法： ①相等的角是对顶角； ②方程是关于的一元二次方程； ③概率为的事件为不可能事件； ④动直线（为常数）过定点；定直线不过定点； ⑤如果存在一个一元方程且其仅有一个解，则这个方程为一元一次方程． 上述说法中正确的有 条． 【答案】 【分析】根据对顶角相等、分式方程的定义、不可能事件的定义、一次函数解析式、一元二次方程的解进行判断即可得解． 【详解】解：①对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，①说法错误； ②方程不是关于的一元二次方程，是分式方程，②说法错误； ③不可能事件的概率为，但概率为的事件不一定为不可能事件，③说法错误； ④动直线（为常数）过定点；定直线也过定点，如，④说法错误； ⑤如果存在一个一元方程且其仅有一个解，这个方程也可能为一元二次方程，如，⑤说法错误； 综上，上述说法中正确的有条． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是对顶角相等、分式方程的定义、不可能事件的定义、一次函数解析式、一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握相关知识点． 3．（2025·广西崇左·模拟预测）在物理学中，我们常常使用公式“密度”来计算密度．已知甲物体的密度是乙物体密度的，甲物体的质量是，乙物体的质量是，乙物体的体积比甲物体的体积大．如果设甲物体的体积是，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的运用，理解数量关系正确列式是关键． 根据题意得到乙物体的体积为，甲物体的密度为，乙物体的密度为，结合题意列式即可． 【详解】解：乙物体的体积比甲物体的体积大，设甲物体的体积是， ∴乙物体的体积为， ∴甲物体的密度为，乙物体的密度为， ∵甲物体的密度是乙物体密度的， ∴， 故选：A ． 4．（2025·河北邢台·三模）将克糖放入水中，得到克糖水，已知．再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，这是因为糖水中含糖的浓度变大了，请你用含x，y和的数量关系式表示“糖水中含糖的浓度变大”的事实： ． 【答案】 【分析】本题考查了用不等式表示，解题的关键在于用代数式表示出糖水中含糖的浓度． 根据题意分别表示出原糖水的浓度与加入克糖后糖水浓度，再结合题意列出不等式即可． 【详解】解：由题知，原糖水的浓度为，加入克糖后糖水浓度为：， 糖水变甜了，即糖水的浓度变大了， ． 故答案为：． 5．（2025·四川达州·二模）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值、二次根式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先代入，再利用完全平方公式可得，再根据可得，由此即可得． 【详解】解：∵，，， ∴ ， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 6．（2025·江苏盐城·三模）已知实数a，b，c满足，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了不等式的性质，因式分解的应用，求一个数的平方根，正确求出是解题的关键． （1）根据题意可得，再由可得，据此可证明结论； （2）根据，，可得，进一步可得，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解；∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（2024·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式组解集的意义；由题意知，温度要同时适宜两种菌苗的生长，就是求这两个范围的公共部分． 【详解】解：这两个温度范围的公共部分是：； 故答案为：． 8．（2025·四川成都·一模）对于三边的长是三个连续正整数的三角形，下列说法错误的是（   ） A．至少存在一个钝角三角形 B．至多存在一个直角三角形 C．至少存在一个锐角三角形 D．至多存在一个钝角三角形 【答案】A 【分析】根据若为直角三角形，那么两个较小边的平方和等于最大边的平方；若为钝角三角形，那么两个较小边的平方和小于最大边的平方；若为锐角三角形，那么两个较小边的平方和大于最大边的平方；分别对各个选项进行判断即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设三个连续正整数，，为三角形的三边长， ∴， ∴， ，且为正整数， 若所构成的三角形是钝角三角形，当且仅当， 即， ， ， 又， ， ，， 即至多存在一个钝角三角形，三边长为，，，故选项A符合题意，选项D不符合题意； 若所构成的三角形是直角三角形，当且仅当， 即， 解得：，不符合题意，舍去， ，， 即至多存在一个直角三角形，三边长为，，，故选项B不符合题意； 若所构成的三角形是锐角三角形，此时， 即， ， ， 又， 的最小值为， 即至少存在一个锐角三角形，故选项C不符合题意； 故选：A． 【题型02.分式方程增根问题】 9．（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是明确增根的定义（使分式方程分母为零的根），先求出增根，再将增根代入去分母后的整式方程求解的值． 先确定分式方程的分母为和，令分母为零得增根；再将分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程；最后把增根代入整式方程，计算得出的值，进而判断选项． 【详解】解：分式方程的分母为和， 令分母为零，得增根． 方程两边同乘去分母，得：． 将增根代入整式方程：， 即，解得． 故选：B． 10．（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了解分式方程． 将分式方程两边乘以最简公分母，化为整式方程，再根据增根的定义，令x等于使公分母为零的值，代入整式方程求解m． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 即， ∵增根是使公分母为零的x值， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； 则的值为6或． 故答案为：6或． 11．（2025·浙江杭州·模拟预测）对于m，只有一个实数值x满足，求所有满足条件的的值． 【答案】或1或2 【分析】本题主要考查了分式方程的解法、一元二次方程根的判别式，准确分析计算是解题的关键． 先将分式方程去分母化成整式方程，通过二次方程的判别式判断根的个数，再根据分式有意义的条件进行判断即可． 【详解】原方程是分式方程， 且， 两边同时乘以得：， ， 方程只有一个实数解， 若原分式方程有解， ， 解得：， ， 解得：，符合题意； 若原分式方程有增根，则或， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述：的值为或1或2． 12．（2025·福建漳州·三模）解方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键，去分母，将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘以得： 解得：， 经检验，是分式方程的增根， 原方程无解． 13．（2025·四川眉山·二模）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．－1或 【答案】C 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，分式方程无解的情况有两种：去分母后的整式方程无解，或解出的根是增根．先化简方程，再去分母得到整式方程，然后讨论参数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 去分母：， 展开：， 移项：， 整理得：． 方程无解时： 当且，即，此时方程左边为0，右边为，整式方程无解； 当解出的根为增根，代入整式方程：，解得． ∴或． 故选C． 14．（2025·四川南充·一模）关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题．先解分式方程，用含的代数式表示出，根据方程无解得到，代入计算即可． 【详解】解：， 去分母，得 ， 移项，合并同类项，可得 ， 系数化为1，得 ， ∵该方程无解，则， ∴，解得． 故答案为：1． 15．（2025·江苏南京·二模）（1）解方程：； （2）若关于x的方程无解，则a的值是 ． 【答案】（1）；（2）2 【分析】此题考查了解分式方程和分式方程的无解问题，熟练掌握解分式方程是关键． （1）去分母化为整式方程，解方程并检验即可； （2）根据分式方程无解的情况进行分析即可． 【详解】解：（1） 去分母得到， 解得， 当时，， ∴是分式方程的解； （2）∵， 方程两边同时乘以，得 ， ∴； 当时，无解，即关于的方程无解， 当时，， ∵原分式方程无解， ∴， 此时无解， ∴a的值是 故答案为： 16．（2025·贵州·模拟预测）喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 【答案】(1)甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； (2)乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 【分析】（1）设甲车间增加工人前每天加工个，则增加工人后每天加工个，根据题意列出方程解得即可； （2）设乙车间改进技术前每天加工个，根据题意列出分式方程解得即可． 【详解】（1）解：设甲车间增加工人人数前每天加工熊猫玩偶的个数为个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个， 由题意，得， 解得， ， 答：甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； （2）解：设乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个 ， 由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程，弄清题意列出相应方程是解题的关键． 17．（2025·浙江宁波·一模）使得方程有实数根的最大的整数 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，不等式的特殊解．由方程有实数根，得，解得，这样就很快得到满足条件的的非负整数值． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得． 所以满足的最大整数值为2． 故答案为：2． 【题型03.分式方程求解题】 18．（2025·内蒙古·模拟预测）方程的解为（    ） A．或 B． C． D．无解 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．先去分母，再去括号，移项合并同类项后解出方程的解，再验根，最终确定方程的解． 【详解】解：， 整理得， 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， ， 解得或， 检验：当时，， 当时，， 原方程的解为． 故选：C ． 19．（2025·湖南·模拟预测）某班“课后服务”开设数学兴趣班，参与学生人数满足方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，根据题意化为整式方程，解一元二次方程，并检验，即可求解． 【详解】解：， ∴ ∴ 即 解得：（舍去） ∴， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故答案为：． 20．（2025·山东德州·模拟预测）为响应政府“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑自行车．已知小张家距上班地点千米，他骑自行车比自驾车平均每小时少行驶千米，他从家出发到上班地点，骑自行车所用的时间比自驾车所用的时间多小时．设小张骑自行车上班平均每小时行驶千米，那么可列方程为 ． 【答案】 【分析】首先设小张骑自行车上班平均每小时行驶千米，根据题意可得等量关系：骑自行车所用的时间自驾车所用的时间，根据等量关系，列出方程． 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． 【详解】解：根据题意列方程得： ， 故答案为：． 21．（2025·山东聊城·三模）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造，在改造一段长4800米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．实际施工时每天改造管网长度为（   ） A．60米 B．72米 C．80米 D．96米 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划每天改造管网米，则实际每天改造管网米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前10天完成任务，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可求出原计划每天改造管网的长度，再将其代入中，即可求出实际每天改造管网的长度． 【详解】解：设原计划每天改造管网米，则实际每天改造管网米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴实际每天改造管网（米）． 故选：D． 22．（2025·山东青岛·模拟预测）施工队要铺设一段全长3000米的管道，因在中考期间需停工3天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求实际每天施工多少米？ 设实际每天施工x米，则x满足的分式方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，找到等量关系是解决问题的关键．原来计划每天施工米，根据工作时间工作总量工作效率结合实际比原计划少用3天，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：实际每天施工米，原来计划每天施工米， 依题意得：． 故答案为：． 23．（2025·山西朔州·一模）2025年春晚吉祥物“巳（sì）升升”，是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A款吉祥物的单价为 元． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设A款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元，根据“顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同”列出分式方程，解方程即可得解． 【详解】解：设A款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 故答案为：． 24．（2025·云南丽江·一模）国家卫生健康委宣布将实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某体育商城用2400元购入一批智能跳绳，因销量火爆供不应求，商城又追加投资6400元购入第二批同款跳绳．已知第二批的购入数量是第一批数量的2倍，且第二批购入的单价比第一批贵10元．问第一批智能跳绳的单价是多少元？ 【答案】30元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意、正确列出分式方程是解答本题的关键． 设第一批跳绳进货单价x元，则第二批进价为元，再根据等量关系“第二批跳绳的数量是第一批的2倍”列分式方程求解即可． 【详解】解：设第一批跳绳进货单价x元，则第二批进价为元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：第一批跳绳进货单价30元． 25．（2025·山西临汾·二模）农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数． 【答案】A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩 【分析】本题考查了分式方程的应用，设型号收割机每台每天收割玉米亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩，根据“收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天”列方程求解即可． 【详解】解：设型号收割机每台每天收割玉米亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩， 得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， ． 答：A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩． 【题型04.分式方程与不等式(组)综合题】 26．（2025·江苏常州·一模）若关于x的不等式组有解且仅有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则满足条件的所有整数a的值的和为 ． 【答案】9 【分析】本题考查解一元一次方程组、解分式方程，理解一元一次不等式组的解和分式方程的解是解答的关键．先求得每个一元一次不等式的解集，再根据不等式组的解集得到a的不等式，进而可求得a的取值范围；再解分式方程，再根据分式方程的解，以及a的取值条件可得到a的取值，进而求和即可解答． 【详解】解：解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∵原不等式组有解且仅有两个奇数解， ∴这两个奇数解为，， ∴， 解得：， 原分式方程去分母得：， 解得：， ∵原分式方程的解为非负整数，∴且为整数，解得且为奇数， ∴，即且a为整数， ∴或3或5， 则， 故答案为：9． 27．（2025·甘肃酒泉·二模）若是不等式组的整数解，解关于的分式方程． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解集，分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键． 由不等式组有解，确定出m的范围，继而求出，将代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出x的值并检验即可． 【详解】解：不等式组整理得 ， 解得 ， ∵m为整数， ∴， 将代入，得 ， 去分母得 ， 解得 ， 经检验，是分式方程的解． 28．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程的解是非正数，则m取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，解不等式等知识；首先将分式方程转化为整式方程，求出解的表达式，再根据解的非正数解不等式，再考虑分母为零时m的取值，综合即可求得的范围． 【详解】解：两边同乘公分母得：， 展开整理得：， 解得：； 由题意，解，即：， 由于分子为负，分母需为正， 故，即； 当时，代入解的表达式得，但不满足，无需额外排除； 当时，代入解的表达式得，此时满足，需排除； 综上，需满足且， 故选：B． 29．（2025·广东东莞·一模）若点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点在平面直角系中的对称，求不等式的解集，掌握平面直角坐标系的特点，轴对称的性质是解题的关键． 根据点关于轴对称的点，横坐标变为相反数，纵坐标不变，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵点关于轴的对称点在第二象限， ∴点， ∴且， 解得，， 故答案为：． 30．（2025·四川广元·一模）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份比一月份售价每台降价500元．如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元． (1)一月份甲型号手机每台售价为多少元？ (2)为了提高利润，该店计划三月份加入乙型号手机销售，已知甲型号每台进价为3500元，乙型号每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？ (3)若三月份甲型号手机售价与二月份一样，乙型号手机售价比甲型号手机三月份的售价贵800元，在（2）的前提下哪种方案获利最大？ 【答案】(1)4500元 (2)5种 (3)购进甲型号手机8台，乙型号手机12台 【分析】本题主要考查分式方程及一元一次不等式组的应用，根据题意找准关系是解题的关键． （1）设一月份甲型号手机每台售价为x元，则二月份甲型手机的每台售价为元，根据题意建立方程就可以求出其值； （2）设购甲型手机y台，则购乙型手机台，根据题意建立不等式组，求出其解就可以得出结论； （3）求出每台的利润，根据不同的购买方案，求出表示出相应的利润，再比较即可． 【详解】（1）解：设一月份甲型号手机每台售价为x元，则二月份甲型手机的每台售价为元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的根， 故原方程的根是． 故一月份甲型号手机每台售价为4500元； （2）解：设购甲型手机y台，则购乙型手机台， 由题意得：， 解得， ∵y为整数， ∴y=8，9，10，11，12， ∴乙型手机的台数为：12，11，10，9，8， ∴有五种购货方案： 一、甲型手机8台，乙型手机12台； 二、甲型手机9台，乙型手机11台； 三、甲型手机10台，乙型手机10台； 四、甲型手机11台，乙型手机9台； 五、甲型手机12台，乙型手机8台； （3）解：由（1）甲型手机二月份每台售价为4000元，则乙型手机每台售价为4800元， 故甲型手机每台盈利500元，乙型手机每台盈利800元， 则方案一盈利：（元）； 方案二盈利：（元）； 方案三盈利：（元）； 方案四盈利：（元）； 方案五盈利：（元）； 因为， 所以购进甲型手机8台，乙型手机12台获利最大． 31．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，一次函数经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于0，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式，将代入一次函数解方程即可得到答案； （2）令函数，函数，求出，由题意得到，进而得到当包含时，满足题意，从而得到，解不等式得到或；再由也满足题意，即可得到答案． 【详解】（1）解：一次函数经过点， ，解得， 故一次函数的解析式为：； （2）解：令函数，函数， ， 当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于0， ，解得；且，解得； ，则，解得， ， 或； 当时，，即满足题意； 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、一次函数图象与性质、不等式与函数图象的关系，数形结合，灵活运用一次函数图象与性质是解决问题的关键． 32．（2025·云南楚雄·三模）已知抛物线（）与轴交于点． (1)当，，求该抛物线与轴交点坐标； (2)若抛物线恒在轴下方，且符合条件的整数只有四个，求整数的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程的关系． （1）由，可得抛物线解析式，令求解即可； （2）由抛物线恒在x轴下方可得，由符合条件的整数a只有四个可得c的取值范围，进而求解． 【详解】（1）解：当，时，， 当时，， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，； （2）解：抛物线恒在轴下方， ， 解得：， 符合条件的整数只有四个，分别是，，，， ， 解得：， ∵取整数， ， 整数的最小值为． 33．（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，再根据方程组解的情况得到关于的不等式，求最小整数解即可． 【详解】解：， 由得：， 方程组的解满足， ， 解得：， 整数m的最小值为2， 故选：B． 34．（2025·重庆·三模）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7， ∴满足条件的整数之和是， 故答案为：． 35．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【答案】(1)乙队需要16个月完成 (2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用为126万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的关键． （1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需要15个月． （2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程方案，再求出费用即可． 【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的根 答：乙队需要16个月完成； （2）根据题意得：， 解得 方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，万元； 方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，万元； 所以方案一最省钱，费用为126万元． 【题型05.分式方程实际应用题】 36．（2025·甘肃临夏·一模）掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出方程．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两模型合作小时完成，可得出方程． 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据题意得 故选：B． 37．（2025·甘肃甘南·一模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据题意找出等量关系列出方程是解题的关键．根据题意，设规定时间为天，慢马送信时间为天，速度为；快马送信时间为天，速度为，由快马速度是慢马速度的倍，即可列出方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马所需时间为天，快马所需时间为天， 由题意得，慢马速度为里/天，快马速度为里/天， ， 故选B． 38．（2025·广东广州·三模）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心，发射成功，某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型，已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型比“神舟”模型多2个，设“天宫”模型单价为元，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式方程在实际问题中的运用，理解题目中的数量关系，正确列出方程是解题的关键．设“天宫”模型单价为元，则“神舟”模型为元，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设“天宫”模型单价为元，则“神舟”模型为元，根据题意得， 故选：D． 39．（2025九年级下·山东青岛·专题练习）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球300次，其中60次摸到黑球，估计盒中大约有白球 个． 【答案】32 【分析】此题考查了利用频率估计概率，分式方程，解题关键是要读懂题意，找出的等量关系列出方程，注意分式方程要验根． 设盒子里有白球x个，根据“黑球数量黑白球总数黑球所占比例”列出分式方程，再进行计算，即可得出答案． 【详解】解：设盒子里有白球x个，根据题意得： 解得：， 经检验得是方程的解． 答：盒中大约有白球32个． 故答案为：32． 40．（2025·江苏无锡·模拟预测）2025年5月16日，“无锡有点甜”无锡美食进校园系列活动走进天一中学．主办方除了为同学们准备了无锡排骨、罗氏醉虾、松子拉糕、银鱼炒蛋等还贴心提供抽奖环节．规则是：准备3张大小一样，背面完全相同的卡片，3张卡片的正面所写内容分别是《人才周历》、《定制团扇》、《“糕粽”jellycat》，将它们背面朝上洗匀后任意抽出一张，抽到卡片后可以免费领取相应的礼品． (1)在上述活动中，如果从中随机抽出一张卡片，记下内容后放回，再随机抽出一张卡片，求恰好抽到2张卡片都是《定制团扇》的概率，用列表法或画树状图的方法． (2)再添加几张和原来一样的《“糕粽”jellycat》卡片，将所有卡片背面朝上洗匀后，任意抽出一张，使得抽到《“糕粽”jellycat》卡片的概率为，那么应该添加《“糕粽”jellycat》卡片的数量是___________． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了列表或画树状图法求概率，及分式方程的应用，准确理解题意是解题的关键． （1）分别记《人才周历》、《定制团扇》、《“糕粽”jellycat》为A，B，C，列出表格，可得一共有9种等可能结果，其中恰好抽到2张卡片都是《定制团扇》的有1种，由概率公式求解即可； （2）设添加《“糕粽”jellycat》卡片的数量是x张，由概率公式得到方程，解方程即可． 【详解】（1）解：分别记《人才周历》、《定制团扇》、《“糕粽”jellycat》为A，B，C，列出表格，如下： A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 一共有9种等可能结果，其中恰好抽到2张卡片都是《定制团扇》的有1种， 所以恰好抽到2张卡片都是《定制团扇》的概率为； （2）解：设添加《“糕粽”jellycat》卡片的数量是x张，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 即添加《“糕粽”jellycat》卡片的数量是4张． 故答案为：4 41．（2025·山东青岛·一模）剪纸是一种非常普及的中国民间艺术，春节期间，人们都喜欢在窗户上贴上窗花作为装饰，不仅烘托了喜庆的节日气氛，还为人们带来了美的享受，集装饰性、欣赏性和实用性于一体．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸进行销售，已知每套甲种剪纸的进价是每套乙种剪纸进价的1.25倍，用400元购进甲种剪纸的套数比用400元购进乙种剪纸的套数少2套． (1)求这两种剪纸每套进价分别为多少元？ (2)根据商家的销售经验，甲种剪纸的销售量（套）与销售单价x（元）之间的关系为，乙种剪纸的销售量（套）与销售单价x（元）之间的关系为．若每套甲种剪纸的售价同样是每套乙种剪纸售价的1.25倍，则甲、乙两款剪纸的销售单价定为多少元时，商家可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)乙种剪纸每套进价是40元，甲种剪纸每套进价50元； (2)甲种剪纸每套售价为元，乙种剪纸每套售价为54元时，商家可获得最大利润，最大利润是120050元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，二次函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． （1）设乙种剪纸每套进价为a元，则甲种剪纸每套进价为元，根据用400元购进甲种剪纸的套数比用400元购进乙种剪纸的套数少2套，列出方程，解方程即可； （2）设乙种剪纸的销售单价为x元，商家获得的利润为w元，根据利润=售价-进价，列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设乙种剪纸每套进价是a元，则甲种剪纸每套进价元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根， 此时， ∴乙种剪纸每套进价是40元，甲种剪纸每套进价50元； （2）解：设乙种剪纸每套售价为x元，则甲种剪纸每套售价为元，商家获得利润为w元， 根据题意得： ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为120050， 此时， 答：甲种剪纸每套售价为元，乙种剪纸每套售价为54元时，商家可获得最大利润，最大利润是120050元． 42．（2025·河北邯郸·三模）现有不同型号的无人机甲和乙，两人操作无人机甲、乙从空中不同起点沿同一飞行路径同时开始飞行（如图1），无人机甲从点向点运动，无人机乙从点向点运动，到达点后均停止运动，设无人机甲、乙与点的距离分别为（米），（米），飞行时间为秒，，与的函数关系图象如图2．已知甲在飞行20秒后的速度比20秒前的速度增加了1米/秒． (1)求与的函数解析式； (2)当甲到点的距离为30米时，求的值； (3)若甲在距离点的10米内（含10米）追上乙，求乙的飞行速度米/秒的取值范围． 【答案】(1) (2)5秒或30秒 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，分式方程的应用，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数解析式． （1）待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）分两种情况：当时，，当时，，分别求出结果即可； （3）分别求出甲刚好在距离点的10米处追上乙或甲在终点追上乙时，乙的速度，即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，设与的函数解析式为， 将代入得， 解得， ∴当时，与的函数解析式为； ∵20秒前甲的飞行速度为（米/秒），且甲在飞行20秒后速度比20秒前的速度增加了1米/秒， ∴甲在20秒后速度为3米/秒， ∴（米）， 当时，设与的函数解析式为， 将代入得， 解得， ∴当时，与的函数解析式为， 综上所述，与的函数解折式为， （2）解：当时，， 令， 解得； 当时，， 令， 解得； 综上所述，当甲到点的距离为30米时，的值为5秒或30秒； （3）解：若甲刚好在距离点的10米处追上乙，则相遇点与点距离为110米， 则， 解得（米/秒）， 经检验是原方程的解，且符合实际； 若甲在终点追上乙，则（米/秒）， ∴的取值范围为． 43．（2025·陕西西安·模拟预测）数学典籍《孙子算经》中记载了许多著名的数学问题，其中就有“韩信点兵”问题．相传汉朝大将韩信在点兵时，为了快速统计士兵人数，韩信让士兵们5人一组列阵，结果多出2人：他又让士兵们7人一组列阵，结果多出3人．已知士兵总数不超过100人，那么士兵总数可能为 人．（写出一个符合条件的值即可） 【答案】17（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元一次不等式和二元一次方程组的整数解在实际问题中的应用，解题关键是根据两种列队剩余人数情况列出等式与不等式，通过限定未知数范围求解符合条件的正整数解． 先设出5人一组的组数和7人一组的组数（或设士兵总数与7人组的组数），根据两种列队后剩余人数列出等式（或且是5的倍数），再结合士兵总数不超100人列出不等式，确定未知数取值范围，进而求出符合条件的正整数解，得到士兵可能的总数． 【详解】解：设5人一组可分为组，7人一组可分为组，则有 （x，y均为正整数）， ，， ，， 当，时，士兵总数为17人， 当，时，士兵总数为52人， 当，时，士兵总数为87人， 士兵总数可能为17人或52人或87人． 方法二： 设士兵总数可能为，则（为正整数）， 是5的倍数， 的个位数为0或5， 的个位数为9或4． 士兵总数不超过100人， 当时，；当时，； 当时，， 士兵总数可能为17人或52人或87人． 故答案为：17（答案不唯一）． 【题型06.不等式(组)基础计算题】 44．（2025·河北邢台·三模）不等式的解集如图所示，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了解不等式、解集的表示．根据数轴表示的不等式解集，与不等式的解集对比即可得到答案． 【详解】解：由题意，得解集为． ∵， 则， ， ， 故选B． 45．（2025·全国·一模）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】略 46．（2025·吉林长春·一模）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义及计算，掌握一元一次不等式的定义列式求解是关键． 根据一元一次不等式得到，由此即可求解． 【详解】解：已知是关于的一元一次不等式， ∴， ∴或，且， ∴或，且， ∴， 故答案为：1 ． 47．（2025·浙江丽水·二模）不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及在数轴上表示解集，关键是熟练应用； 先移项再合并同类项，系数化为，即可算出解集. 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 48．（2025·四川广安·二模）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 49．（2025·安徽淮南·二模）解不等式：，并在数轴上表示出其解集． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，用数轴表示不等式的解集，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴不等式的解集为， 在数轴上表示出解集，如图所示： 50．（2025·吉林松原·模拟预测）不等式的最大整数解为（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，不等式移项，合并，把x系数化为1，求出解集，确定出最大值整数解即可． 【详解】解：， 移项合并得：， 解得：， ∴最大整数解是． 故选：A． 51．（2025·上海·二模）不等式的最大整数解是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键． 求不等式的最大整数解，按照移项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其最大整数解即可． 【详解】解： ， ∴不等式的最大整数解是， 故答案为：． 52．（2020·宁夏银川·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、将不等式组的解集表示在数轴上，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后将不等式组的解集表示在数轴上即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为， 所以将不等式组的解集在数轴上表示如下： 故选：D． 53．（2025·山东枣庄·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，把不等式组的解集在数轴上表示出来；分别求出每个不等式的解集，再求出其公共部分，最后把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 则不等式组的解集为：，在数轴上表示如下： ； 故选：A． 54．（2025·甘肃武威·二模）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 先求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分作为不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示不等式的解集如图所示： 55．（2025·黑龙江大庆·三模）求不等式组：整数解之和 ． 【答案】0 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键． 先求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解再作和． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 所以不等式组的整数解是，，0，1，2， ， 故答案为：． 【题型07.不等式(组)实际应用题】 56．（2025·山东泰安·二模）学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 现有甲、乙两种类型的客车，已知每辆甲车的载客量要比乙车多15人，在无空座的情况下，480人需要乙种客车的数量是360人需要甲种客车数量的2倍． 对，你的问题我可以用列方程来解决． 若我们安排七、八年级的240名师生集体外出活动，可以租用甲、乙种客车共6辆（要求两种类型的客车都要租），一次将全部师生送到指定地点． 不过甲车的租用费用比乙车的贵120元，每辆甲种客车的租金为400元． 根据他们的对话得到以下四个结论： ①若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为270人；②共有两种租车方案； ③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多． 其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，设甲客车的载客量为x人，乙客车的载客量为人，根据480人需要乙种客车的数量是360人需要甲种客车数量的2倍建立方程可求出甲客车的载客量为45人，乙客车的载客量为30人，据此可判断①；设租用甲客车m辆，则租用乙客车辆，根据所有客车的载客量要大于等于240以及两种客车都要租用建立不等式组求出m的取值范围，进而确定m可以取的值，即可确定方案，进而求出每个方案的费用，据此可判断②③④． 【详解】解：设甲客车的载客量为x人，乙客车的载客量为人， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴甲客车的载客量为45人，乙客车的载客量为30人， ∴若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为人，故①正确； 设租用甲客车m辆，则租用乙客车辆， 由题意得，， 解得， ∵m为正整数， ∴m的值可以为4或5， 当时，，此时租车费用为元， 当时，，此时租车费用为元， ∴共有2种租车方案，且两种租车方案的费用不相同，租车最低费用是2160元，故②③正确，④不正确， 故选：B． 57．（2025·广东惠州·一模）（综合与实践） 项目小组在超市包装部实习，帮助超市优化货品的包装问题．其中有一种规格的碗要装入包装盒，获得信息如下： 【信息1】碗以及叠放后的尺寸如图：（单位：cm）     【信息2】有两种长方体形状的包装盒尺寸（单位：cm）和成本（单位：元）如图：      【问题解决】 任务1：n个碗叠放后的总高度为L（单位：cm），请求出L与n的关系式． 任务2：叠放后的碗可横放，也可竖放，A盒最多可放入___________个碗，B盒最多可放入___________个碗． 任务3．若要买A盒或B盒若干分装上述规格的碗90个，问买这些盒子最少要多少元？ 【答案】任务1：； 任务2：A盒最多可放入10个碗，B盒最多可放入8个碗； 任务3：5.7元 【分析】此题考查了一次函数的应用，不等式的解等知识，根据题意正确列出方程组和不等式是关键． 任务1：利用待定系数法求出函数解析式即可； 任务2：根据题意进行解答即可； 任务3：设A盒x个，B盒y个，据题意可得：，进一步分析进行解答即可 【详解】解：任务1：设关系式为：， 将代入上式得： 解得： 则； 任务2：叠放后的碗可横放，也可竖放，A盒最多可放入10个碗，B盒最多可放入8个碗． 任务3：设A盒x个，B盒y个，据题意可得： x，y为正整数且尽可能小，故方案有10种，分别为、、、、、、、、、 经计算买盒花费最少的方案是： 最少要（元） 58．（2025·吉林长春·一模）去年某市空气质量优良的天数与全年天数（365天）之比达到60%，如果明年（365天）这样的比值要超过80%，那么明年空气质量优良的天数比去年至少要增加多少天？若设明年空气质量优良的天数比去年增加天，根据题意，可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设明年空气质量良好的天数比去年要增加x天，由去年该市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到且明年（365天）这样的比值要超过，即可得出关于x的一元一次不等式． 【详解】解：设明年空气质量良好的天数比去年要增加x天， 依题意得：， 故答案为：． 59．（2025·天津滨海新·三模）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，可设与之间的函数关系式为，再把将、代入，联立方程组，并解出，得出与之间的函数关系式，即可判断选项①；再根据一次函数的性质，得出当时，月销售量为千克，然后算出月销售利润，即可判断选项②；设月销售利润为，根据月销售利润等于每千克的利润乘以数量，得出，再根据题意，得出月销售量不超过千克，再根据一次函数，得出售价，然后代入，计算即可判断选项③；再根据二次函数的性质，即可判断选项④，综合即可得出答案． 【详解】解：设y与x之间的函数关系式为, 把代入到中得：， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为,故①正确； 当时，，则此时利润为元，故②正确； 设月销售利润为元， ∴， ∵每月购进这种海鲜的总进价不超过元， ∴（千克），即月销售量不超过千克， ∴当时，即， 解得：， ∴（元），故③错误； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，即最高利润为元，故④正确． ∴正确的有3个， 故选：C。 60．（2025·浙江杭州·二模）若干名学生乘船．若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据船的数量表示出学生人数，再结合“每船坐人时，空一条船且有船不空也不满”这一条件列不等式组．本题主要考查一元一次不等式组的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列不等式组是解题的关键． 【详解】解：设有条船，由题意可得， 故选：C． 61．（2025·广西百色·二模）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系，列出不等式组是解题的关键； 根据题意，设购买篮球个，则排球为个，总费用不超过3600元，即 ；篮球数量不少于排球数量的一半，即 ． 【详解】解：∵购买篮球个，则排球为个， 总费用为 ，且不超过3600元， ∴ ； 又∵篮球数量不少于排球数量的一半， ∴ ； 故不等式组为 ， 故选：C． 62．（2025·天津红桥·二模）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为； ③当矩形菜园的面积最大时，的长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，由题意可得，，即得，可得，得到，即可判断①；设，则，可得，利用一元二次方程及二次函数的性质可判断②和③，进而即可求解． 【详解】解：①∵四边形是矩形，分别为边的中点， ∴，， ∵篱笆的长度是， ∴， ∴， ∵的长不超过， ∴， ∴， ∴的长可以是，故①正确； ②设，则， ∴， 当时，解得，， ∵， ∴， ∴的长为，故②错误； ③∵， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当，即的长为时，矩形菜园的面积最大，故③正确； 综上，正确结论有个， 故选：． 63．（2025·广东江门·一模）如图，学校在教学楼后搭建了两个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼长60m的后墙，其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成．左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．另外，在距离后墙8m外，还规划有机动车停车位． (1)若设车棚宽度AB为xm，则车棚长度BC为______m； (2)设自行车车棚面积为，车棚宽度AB为，求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； (3)学校调研教职工及学生的需求后，现决定对车棚进行扩建．在不对后墙进行改造的情况下，若希望扩建后车棚面积不小于405m，是否有必要改动机动车停车位的位置规划？但机动车停车位EF向外最多移动2m，如有必要，请给出具体方案；如无必要，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)有必要改动机动车停车位的位置规划，机动车停车位向外移动1m 【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确理解题意列出正确的不等式是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出自行车车棚面积为关于车棚宽度AB为的一次函数，再求出自变量的取值范围即可； （3）根据题意可得到不等式组，解不等式组，再结合实际需要进行解答即可． 【详解】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， （）， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，车棚面积为：， 由题意得到 解得， ∴ （3）解：不能，理由如下： 由（1）可得： ， 即 整理得到， ∴ 即或 解得， 当时， ∴机动车停车位向外移动1m； 答：有必要改动机动车停车位的位置规划，机动车停车位向外移动1m 64．（2025·黑龙江七台河·一模）某市为大力推销本市果农的水果产品，计划把甲水果大约700吨，乙水果大约1020吨，一次性运往外地销售．需要不同型号的、两种车皮共30节，种车皮每节运费2500元，种车皮每节运费3000元． (1)设租车皮的总费用为元，租种车皮节，请写出和之间的函数关系式． (2)如果每节车皮最多可装甲水果30吨和乙水果20吨，每节车皮最多可装甲水果25吨和乙水果40吨，装水果时按此要求安排、两种车皮，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费． (3)计划下一次租用、两种车皮时，想用（2）中的最低费用同时租用、两种车皮，请直接写出有哪几种租车方案？ 【答案】(1) (2)共10种方案，A种车皮9节，B种车皮21节，最低费用为85500元 (3)或或或或或，所以共6种租车方案． 【分析】本题考查了一次函数的应用和解不等式组、二元一次方程的解等知识点，解题关键在于正确建立函数模型并求解． （1）根据关系，列出函数关系式，化简即可； （2）根据题意列出不等式组，计算出x的取值范围，即可知有10种方案且计算出最低费用； （3）列出方程式，解得其整数解即可． 【详解】（1）解：， 和x之间的函数关系式为； （2）解：， 解得， ∵， ∴ x的可能取值为的整数，共10种方案， 费用函数中，y随x增大而减小， 当时，费用最低， 此时元， 对应方案为A种车皮9节，B 种车皮21节， 故答案为：共10种方案，最低费用为85500元； （3）解：解方程， 化简为，满足，， 整数解有：或或或或或，所以共6种租车方案． 65．（2025·北京石景山·二模）某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品 个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为 万元． 【答案】 30 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）根据三种产品每吨钢材产出利润可得A种类产品生产的越多，利润越大，即可求出生产A种产品的数量； （2）设生产产品个，产品个，产品个，利润为元，可以得到，然后表示利润，即可得到最大值解题． 【详解】解：（1）由表格可知，可知A种类产品钢材每吨的利润最大， ∴A种类产品生产的越多，利润越大， 即当生产A种产品数量为个时，所需时间为小时小时， 故答案为：； （2）解：设生产产品个，产品个，产品个，利润为元， 则，即， ∴， 即当时，W最大为， 故答案为：． 【题型08.函数与方程/不等式综合题.】 66．（2025·河北沧州·模拟预测）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上2，同时区就会自动减去1，且均显示计算结果．已知A，两区初始显示的数分别是和7． (1)按键1次后，求A，两区显示的结果的和； (2)若按键次后，A区的结果大于区的结果，求的最小值． 【答案】(1)5 (2)4 【分析】本题考查有理数的混合运算以及一元一次不等式，能根据题意分别列出算式和不等式是关键． （1）根据题意列出算式计算即可； （2）根据A区的计算结果大于B区的计算结果列不等式，解出即可． 【详解】（1）解：按键1次后，，两区显示的结果的和； （2）解：由题意，得， 解得， 为整数， 的最小值为4． 67．（2025·上海普陀·二模）已知和，的半径长为，．如果与相交，那么的半径长可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两圆相交的条件，解绝对值不等式以及解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由与相交得的半径满足不等式，解出的取值范围，即可得解． 【详解】解：的半径长为，，与相交， 的半径满足不等式：， 解得：， 故选：C． 68．（2025·河北·模拟预测）如图，不完整的数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据数轴得出，解不等式求出的取值范围，即可得到答案，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键． 【详解】解：由数轴可知， 解得： 的值可以是 故选：D． 69．（2025·河北张家口·模拟预测）有一个数学游戏，如图所示，一个实数从，，三个位置中任选一个出发，按照如图所标注的要求进行运算后到下一个位置，例如将按照（或）的顺序进行运算，是将经过“加”的运算得出结果． (1)4按照的顺序进行运算，列出算式并求出正确的结果； (2)将一个数经过的顺序进行运算后结果不大于2，求的负整数值． 【答案】(1)； (2)的负整数值为，． 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，不等式的性质，列代数式，根据题意列出算式并准确计算成为解题的关键． （1）根据列出算式，再根据有理数的混合运算法则进行计算即可； （2）先根据的运算顺序列出代数式，然后根据不等式的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：列式为： ． （2）解：由题意得 ． ， ， ， ∴的负整数值为，． 70．（2025·湖南·模拟预测）如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数的最大值为（不考虑小球落地后再弹起），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，正确求出二次函数的解析式是解题关键．以球出发的地方为原点建立直角坐标系，其中，表示飞行高度，表示飞行时间，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与轴的两个交点坐标，则可得一个球从出发到落地的用时，据此建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：以球出发的地方为原点建立直角坐标系，其中，表示飞行高度，表示飞行时间，如图所示： 由题意得，二次函数的图象经过原点且对称轴为直线， ∴设二次函数表达式为， 将原点代入得：，解得， ∴， 令，则， 解得或， ∴这个二次函数的图象与轴的两个交点的坐标为和， ∴一个球从出发到落地用时为2秒， ∵整个过程中同时出现在空中的小球个数的最大值为， ∴， 解得． 故答案为：． 71．（2025·上海普陀·三模）已知二次函数，回答下列问题： (1)若该函数图象经过点 求该函数图象与轴的交点坐标； 点向上平移个单位长度，向右平移个单位长度后，落在二次函数图象上，求的值． (2)若该函数图象经过点与点，且与轴的两个交点到点的距离均小于，求证：． 【答案】(1)和；，； (2)见解析． 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与轴交点问题，解题的关键是掌握以上知识点． （）首先利用待定系数法求出表达式，然后令求解即可； 首先表示出平移后的点的坐标，然后代入表达式求解即可； （）首先将与点，代入表达式得到，，然后表示出，然后根据与轴的两个交点到点的距离均小于得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：把代入得， ∴， ∴， 当时，， ∴，， ∴与轴的交点坐标为和； ∵点向上平移个单位长度，向右平移个单位长度后得， 代入得：， ∴，； （2）证明：把、代入得： ，， ∴ ， ∵图象与轴的交点和之间的距离为， ∴到和的距离均小于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 72．（2025·山东济南·模拟预测）如图1，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点两点． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图2，点E是线段上一动点，过点E作轴，交反比例函数的图象于点F，连接和 ，若，求点F的坐标． (3)过点A作 轴交反比例函数的图象于点G，点M在一次函数的图象上运动，过点M作 ，交反比例函数的图象于点N．若以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）将点代入一次函数，求出，求出，即可解答． （2）联立和，则，求出，再求出，设，根据轴，得出，结合，列方程求出，得出点F纵坐标，再代入即可求解． （3）根据题意得出，，设，则，根据以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，得出．分为当点M在轴上方时，当点M在轴下方时，列方程解答即可． 【详解】（1）解：将点代入一次函数， 则， ∴， 将代入，则，解得：， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：联立和，则， 解得；或， 将代入得， ∴， 在中，令，则，令，则， ∴， 设， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 将代入，得，解得， ∴． （3）解：∵轴， ， ∴轴， ∵，，， ∴，， 设， 则， ∵以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形， ∴． 当点M在轴上方时，如图， 则， 解得：（舍去）或； 当点M在轴下方时，如图， 则， 解得：或（舍去）； 或， 解得：（舍去）或； 综上，当或或时，以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】该题考查了一次函数和反比例函数综合，涉及一次函数的图象和性质，反比例函数图象和性质，解析式求解，解一元二次方程，解分式方程，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，运用分类讨论思想和数形结合思想解答． 【题型09.特殊一元二次方程与方程组解】 73．（2025·安徽·模拟预测）关于的一元二次方程的两根是和，若，则下列选项正确的是（    ） A．、 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系即可判断A；B、C举反例说理即可；根据一元二次方程根的判别式结合不等式的性质即可判断． 【详解】解：A、∵关于的一元二次方程的两根是和， ∴， ∴， ∴故A错误，不符合题意； B、取，符合题干条件，但 故B错误，不符合题意； C、取，符合题干条件，但 故C错误，不符合题意； D、， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 故D正确，符合题意； 故选：D． 74．（2025·青海西宁·二模）分解因式： ；不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，解一元一次不等式组，掌握算理是解决问题的关键．首先提公因式，再用平方差公式因式分解即可；先解出每个不等式的解集，再找到解集的公共部分即可． 【详解】解：； ， 不等式的解集为， 不等式的解集为， 不等组的解集为． 故答案为，． 75．（2025·新疆克拉玛依·二模）（1）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． （2）化简：． （3）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图． 求作：点，使，且点在边的高上． 【答案】（1），图见解析；（2）；（3）图见解析 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，分式的混合运算，尺规作图—作垂线，熟练掌握相关运算法则，尺规作垂线的方法是解题的关键： （1）求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，进而在数轴上表示出不等式组的解集即可； （2）根据分式的混合运算法则，进行计算即可； （3）作的中垂线，作边的高，交点即为点 【详解】解：（1）， 由①，得：； 由②，得：； 故不等式组的解集为； 在数轴上表示如图： （2） ； （3）如图，点即为所求； 76．（2025·四川雅安·二模）一元一次不等式组的最小整数解是（    ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了求不等式组的整数解． 分别求解两个不等式，得到解集后求交集，再找出最小整数解． 【详解】解：解得：； 解得：； ∴不等式组的解集为， ∴最小整数解为． 故选：A． 77．（2025·重庆·模拟预测）若，其中均为自然数，为正整数，满足，且对于任意的正整数，均有，则下列说法正确的个数是（   ） ①若，则n的最小值与最大值的和为6； ②若不仅为自然数，也可以为负整数，当时， ，当为奇数时， 当为偶数时，，则； ③若M满足，则这样的整式有个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据多项式的定义，代数式求值，整式的规律探索，不等式的定义，熟练掌握题中多项式的关键信息是解题的关键．根据定义分别得出最小值与最大值即可判断①；分别令，，即可求出和，即可判断②；利用最小为，此时最小为，最小为，结合，得最小为，即，又（因为系数 ），得，则，，，再分别讨论和即可． 【详解】解：要使最小， 则，此时多项式为； 要使最大， ∵对于任意的正整数，均有， ∴相邻系数的差取最小值， ∵， 从开始，依次取，，，，， ∴此时多项式为，； ∴的最小值与最大值的和为， 故说法①正确； 对于， 首先，令，将其代入多项式中， 得， ∴． ∴ ． 令，代入多项式中， 得到 ． 当为奇数时，， ∴， ∴； 当为偶数时，， ∴， ∴ ． 最后，计算的值为，故说法②正确； ∵最小为，对于任意的正整数n，均有， ∴最小为，最小为， ∵， ∴最小为，即， ∵（因为系数 ）， ∴， ∴，，， 则当时， ∵，， ∴， 共个； 当时， ∵，， ∴， 共个； 当时， ∵，， ∴， 共个； 当时， ∵，， ∴， 共个； ∴共有（个）， 故命题③正确． 故选：D． 【题型10.综合判断题与规律探究题】 78．（2025·河北沧州·模拟预测）将关于x的不等式组|的解集表示在数轴上图所示，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，根据所给数轴，得出不等式组的解集，据此进行计算即可． 【详解】解：由所给数轴可知，不等式组的解集为：． 由得，； 由得，， 则， 解得． 故答案为：． 79．（2025·河北·模拟预测）对于三个实数a，b，c，用表示这两个数的平方差，用表示这三个数中最大的数．例如：，，． 请结合上述材料，解决下列问题： (1) ____， _______； (2)若 ，则负整数a的值是______． 【答案】(1)，4 (2) 【分析】本题考查了新定义，运用完全平方公式计算，解一元一次不等式，求不等式的整数解等知识，理解新定义是解题的关键． （1）由新定义即可求解； （2）首先得，则得不等式，解不等式，即可求得负整数a的值． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，4； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 满足条件的负整数为， 故答案为：． 80．（2025·山东青岛·模拟预测）（1）化简：     （2）解不等式组，并写出奇数解 【答案】（1）（2）；奇数解为：，，， 【分析】本题考查了分式的混合运算，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先通分括号内，再运算除法，化简得，即可作答． （2）分别算出每个不等式的解集，再取它们的公共部分的解集为不等式组的解集，再写出奇数解即可作答． 【详解】解：（1） （2） 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：；奇数解为：，，，． 81．（2025·贵州安顺·二模）如果不等式组有且只有4个整数解，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和不等式组有4个整数解确定m的取值范围是解题的关键． 先根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有4个整数解即可解答． 【详解】解：∵不等式组的解集是， 又∵不等式组有且只有4个整数解， ∴该不等式组的整数解为2，1，0，， ∴． 故选：D． 82．（2025·江苏扬州·三模）关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次不等式，熟练掌握除以或乘以一个负数不等式符号改变这一知识点是解题的关键． 根据题意判断出，然后把其代入到，即可求出的解集． 【详解】解：∵不等式的解集为， ， ， ， ， 故答案为：． 83．（2025·河北·一模）若关于x的不等式组的整数解是4和5，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法．先求出第一个不等式的解集，再根据不等式组的整数解是4和5，即可得到的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得：， ∵不等式组的整数解是4和5， ， 解得， 故选：D． 84．（2025·山东青岛·模拟预测）某口罩公司生产了一批口罩，每只成本价为0.5元，为了解市场需求进行试销售，据销售部统计：当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只． (1)写出每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (2)写出每日销售利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (3)公司规定：正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于．若你是销售部经理，你应把销售单价定为多少元，才能使每日销售利润最大化？此时每日销售利润为多少万元？ 【答案】(1) (2) (3)应把销售单价定为1.2元，才能使每日销售利润最大化，此时每日销售利润为5.6万元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、二次函数的应用、一元一次不等式组的应用等知识，解题关键是理解题意，弄清数量关系． （1）根据“当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只”，列出每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式即可； （2）结合（1），根据“利润每只利润销售量”，即可获得答案； （3）首先根据“每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于”，列出方程组，解得的取值范围，然后根据二次函数的性质，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只， ∴每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式为 ； （2）结合（1），可知每日销售利润； （3）根据公司规定：正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于， 则有，解得， 由（2）可知，每日销售利润， ∵， ∴该函数图像开口向下，且对称轴为， ∴当时，取最大值，为（万元）， 即应把销售单价定为1.2元，才能使每日销售利润最大化，此时每日销售利润为5.6万元． 85．（2025·四川绵阳·模拟预测）某工厂从外地连续两次购得，两种原料，购买情况如表：现计划租用甲，乙两种货车共8辆将两次购得的原料一次性运回工厂． （吨） （吨） 费用（元） 第一次 12 8 33600 第二次 8 4 20800 (1)，两种原料每吨的进价各是多少元？ (2)已知一辆甲种货车可装4吨种原料和1吨种原料；一辆乙种货车可装，两种原料各2吨．甲种货车的运费是每辆400元，乙种货车的运费是每辆350元．设安排甲种货车辆，总运费为元，求（元）与（辆）之间的函数关系式；为何值时，总运费最小，最小值是多少元？ 【答案】(1)原料每吨的进价是2000元，原料每吨的进价是1200元 (2)与之间的函数关系式为；当时，总运费最小，最小值是2900元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，读懂题意找到合适的等量关系是解题的关键． （1）设原料每吨的进价是元，原料每吨的进价是元，根据表格中第一次和第二次够买原料的吨数和费用列出方程，解之即可； （2）设安排甲种货车辆，则乙种货车辆，根据“一辆甲种货车可装4吨种原料和1吨种原料；一辆乙种货车可装、两种原料各2吨”，结合表中两次、原料的吨数列出一元一次不等式组，得到的取值范围；然后根据“甲种货车的运费是每辆400元，乙种货车的运费是每辆350元”列出与之间的函数关系式，根据一次函数的性质和的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设原料每吨的进价是元，原料每吨的进价是元， 依题意得，， 解得， 答：原料每吨的进价是2000元，原料每吨的进价是1200元． （2）解：设安排甲种货车辆，则乙种货车辆， 依题意得，， 解得； 设总运费为元， 则， ， 随的增大而增大， ， 当时，取得最小值，最小值为． 答： 与之间的函数关系式为；当时，总运费最小，最小值是2900元． 86．（2025·宁夏中卫·三模）为推动新能源汽车的发展，某城市计划建设一批新能源汽车充电桩．有两种类型的充电桩可供选择，快充充电桩和慢充充电桩，据了解建设一个快充充电桩的费用比建设一个慢充充电桩的费用高2万元．如果建设个快充充电桩和个慢充充电桩，总费用为万元． (1)求建设一个快充充电桩和一个慢充充电桩的费用各是多少万元？ (2)该市准备用不超过万元的资金建设快、慢两种型号的充电桩共个，其中慢充电桩的数量不超过快充电桩数的，该市共有几种建设方案？ 【答案】(1)建设一个慢充充电桩的费用为万元，则建设一个快充充电桩为万元 (2)该市共有3种建设方案 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，理解题意，正确列出方程组和不等式组是解题关键． （1）设建设一个慢充充电桩的费用为万元，则建设一个快充充电桩为万元，根据“建设个快充充电桩和个慢充充电桩，总费用为万元”列出一元一次方程，求解即可； （2）设建设快充充电桩个，建设慢充充电桩为个，根据题意列不等式组，解之即可． 【详解】（1）解：设建设一个慢充充电桩的费用为万元，则建设一个快充充电桩为万元， 根据题意得， 解得， ， 答：建设一个慢充充电桩的费用为万元，则建设一个快充充电桩为万元； （2）解：设建设快充充电桩个，建设慢充充电桩为个， 根据题意得， 解得，即， ∵取整数， ∴取值为，，， 答：该市共有3种建设方案． 87．（2025·山东威海·一模）一组数据（n是正整数）有这样的规律：从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的数差的倒数．对于下列说法：①若，则；②若，则；③若，则．正确的个数有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的规律，配方法，实数的运算，利用题干的规定找出数字的规律是解题的关键． 利用题干的规定：设，则，得到，（是正整数）中，每三个为 1 循环，循环的数为，利用此规律对每个说法进行判断即可． 【详解】解：设， 则，，，，，， ∴是正整数）中，每三个为1个循环，循环的数为， ， ， 若， ， ， ， ∴说法①正确； 若，则， ， ， ， ∴说法②正确； ， ， ， ， 解得：，经检验，的值是方程的解， 即， ∴说法③正确． 故选：A． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $