精品解析：吉林省吉林市第二十三中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025－2026学年度第一学期综合练习 九年级数学试题 本试卷包括三道大题，共22道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意：每小题3分，共18分） 1. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 使用配方法，方程左右两边同时加1，将方程左边配成完全平方形式，即可得出结论． 【详解】解：， ， 即． 原方程变形为 ． 故选：B． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，中心对称图形的定义；理解定义：“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心” 是解题的关键．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 3. 已知一个不透明的袋子里装有2个黑球，m个白球，这些球除颜色外其余都相同，若从该袋子里随机摸出一个球，是黑球的概率为，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，利用概率公式列方程是解决本题的关键． 根据概率公式，摸出黑球的概率等于黑球数量除以总球数，建立方程求解即可． 【详解】解：∵摸出黑球的概率为， ∴， 两边同时乘以得：， 即， 解得． 故选：C． 4. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质：对角互补，即可解答，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故选：． 5. 某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是设每个枝干长出x个小分支，则x满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设每个枝干长出x个小分支，则主干上长出了x个枝干，根据主干、枝干和小分支的总数是91，即可得: x2+x+1=91． 故选C． 6. 如图，是的直径，弦于点E，若，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查圆的对称性和解直角三角形，根据垂径定理可知，，结合圆周角定理，进而可求得，，据此即可求得答案． 【详解】∵是的直径，弦， ∴，． ∴． ∴在中，， ∴． ∴． ∴在中，． 故选：D 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若点与点Q关于原点对称，则点Q的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，然后直接作答即可． 【详解】解：∵点与点Q关于原点对称， ∴则点Q的坐标为， 故答案为： 8. 如图，直线经过上的点C，并且，则直线和的位置关系是________． 【答案】相切 【解析】 【分析】本题主要考查了切线判定，等腰三角形的性质．连接，根据等腰三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵直线经过上的点C， ∴直线和的位置关系是相切． 故答案为：相切 9. 二次函数的图象如图所示，则的面积为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查求二次函数图象与坐标轴的交点．分别令，，求出点A，B的坐标，从而得到，的长，根据三角形的面积即可求解． 【详解】解：对于二次函数， 令，则，解得， ∴， ∴． 令，则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 10. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点B落在边上，若线段，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定及性质，掌握相关知识是解题的关键． 由旋转的性质得到，，从而是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴等边三角形， ∴． 故答案为：5． 11. 如图，的顶点，，在上，顶点在的直径上，，连接，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，平行四边形的性质，直角三角形的性质，由四边形是平行四边形， 所以，又为的直径， 则有， 然后通过直角三角形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．运用直接开方法求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 开方，得， 解得，． 13. 已知关于x的方程． （1）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）若方程的一个根为0，则________． 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系及根的判别式． （1）根据一元二次方程的根的判别式列出关于m的代数式，再由完全平方式的非负性证明即可． （2）根据方程根的定义，把代入方程，求出m值即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的方程， ∴， ∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：将代入，得 ， 解得． 故答案为：2． 14. 为落实中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于实施中华优秀传统文化传承发展工程意见》，深入开展“我们的节日”主题活动，某校七年级在元旦来临之际，成立了四个社团：A包粽子，B腌咸蛋，C酿甜酒，D摘艾叶，在每人只参加一个社团的情况下，学校计划从四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图的方法，求同时选中A和C两个社团的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求概率，准确画树状图是解题的关键． 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与同时选中A和C两个社团的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 一共有12种等可能性，选中A，C的等可能性有2种， 故同时选中A和C两个社团的概率为． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，过点A和x轴平行的直线与抛物线的另一个交点为点B．点P为抛物线上一点（点P在直线的上方），设点P的横坐标为m，的面积为S． （1）________，点B的坐标为________． （2）求S关于m的函数解析式． 【答案】（1）3， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、三角形面积公式的应用，熟练掌握二次函数的对称轴性质以及分情况讨论求解方程是解题的关键． （1）把点代入抛物线解析式，即可得到k的值．把代入抛物线解析式，即可求出点B的坐标； （2）由点A，B的坐标得到，再根据即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线与y轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵过点A和x轴平行的直线与抛物线的另一个交点为点B， ∴把代入抛物线，得， 解得，， ∴． 故答案为：3；． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵点P为抛物线上一点（点P在直线的上方），设点P的横坐标为m， ∴ ∴， 即S关于m的函数解析式为． 16. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．在给定的网格中，分别按下列要求作图，所画图形的各点均在格点上，只用无刻度的直尺，保留作图痕迹． （1）在图①中，画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形． （2）在图②中，画一个面积为10的等腰直角三角形． （3）在图③中，画一个底边长为，面积为6的等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查网格作图，等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． （1）画一个底边长为4，底边上的高为4的等腰三角形即可； （2）画一个直角边长为的等腰直角三角形即可； （3）画一个底边长为，底边上的高为的等腰三角形即可． 【小问1详解】 解：∵等腰三角形的底边长为4，面积为8， ∴底边上的高为． 如图所示． 【小问2详解】 解：∵等腰直角三角形的面积为10， ∴等腰直角三角形的直角边长为． 如图所示． 【小问3详解】 解：∵等腰三角形的底边长为，面积为6， ∴底边上的高为． 如图所示． 17. 如图，四边形是的内接四边形，，连接与相交于点E． （1）求的度数． （2）当时，直接写出图中阴影部分图形的面积．（结果保留） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，圆内接四边形的性质，圆周角定理、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，在求不规则的阴影部分的面积时常常转化为几个规则几何图形的面积的和或差． （1）根据四边形是的内接四边形得到，结合已知条件得到，再根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可； （2）首先根据得到，从而得到 为直角，然后利用求解． 【小问1详解】 解：四边形是的内接四边形， ， ， ， ； ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 在中，，， ，又， ， ， ， ． 18. 【项目主题】估计的值． 【项目实施】 步骤一：在纸上画一个正方形及其内切圆，如图． （1）该内切圆与正方形面积的比值用表示，求的值； 步骤二：随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的纸上，统计并计算落在圆内的米粒数与正方形内的米粒数的比． 落在圆内的米粒数 落在正方形内的米粒数 频率 450 600 （2）________； 步骤三：利用与的关系，估计的值． （3）________； 【项目反思】小贤同学发现，上述的估计精度不够高，那怎样提高的估计精度呢？请你给出至少一条合理化建议． （4）建议：________． 【答案】（1）；（2）；（3）3；（4）增加撒在画有正方形及其内切圆纸上的米粒数（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了频率估算概率，考查了正方形的性质，正多边形与圆，利用频率估计概率，正确的理解题意是解题的关键． （1）设内切圆的半径为r，根据圆的面积公式和正方形的面积公式即可得出结论； （2）根据概率公式即可得出结论； （3）根据题意列式计算即可； （4）根据题意提出建议结论即可； 【详解】（1）设内切圆的半径为r，则； （2）， 故答案为： （3） 故答案为：3 （4）建议：增加撒在画有正方形及其内切圆纸上的米粒数， 故答案为：增加撒在画有正方形及其内切圆纸上的米粒数（答案不唯一） 19. 如图，在菱形中，．动点P从点A出发以的速度沿射线运动，以为一边在射线的上方作等边．设点P的运动时间为与菱形重叠部分图形的面积为． （1）的边的长为________．（用含x的代数式表示） （2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查动点问题，等边三角形的性质，勾股定理，菱形的性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再根据是等边三角形，则，即可解答． （2）分类讨论：①当时，②当时，③当时，逐个分析求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得 ， ∵是等边三角形， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：①当时，如图①，过点Q作于点M， 有，， ∴， ∴， ∴ ， ②当时，如图②，过点Q，E分别作于点M，N， 有 ∵四边形是菱形，， ∴ ∴， 同理，可得， ∴， ∴是等边三角形， 同理可得，是等边三角形， 由①，同理可求出，， ∴， ． ③当时，如图③，过点D作于点F， 由①同理可得，， ∴． 综上所述，． 20. 如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直向上抛，那么经过x秒物体离地面的高度为米． （1）当时，物体离地面的高度为________米． （2）根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？ （3）当物体离开地面最高时，求x的值． （4）当物体离地面高度为米时，直接写出x的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）2或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的实际运用，理解题意是解题的关键． （1）将代入求解即可； （2）根据物体回落到地面，即，求解即可； （3）设高度为y，根据函数顶点式的性质求最值即可； （4）由题意得，，进行求解即可． 【小问1详解】 解：当时， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得，落回地面时，高度为0， ∴ 解得（舍去）， ∴物体经过秒落回地面； 【小问3详解】 解：设高度为y， ∴ ， ∵， ∴当时，物体离开地面最高； 【小问4详解】 解：由题意得， ， ∴， ∴ ， ∴ ， 解得：，． ∴x的值为秒（上升过程）或秒（下落过程）． 21. 阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设， 则， 对于任意x，上述等式均成立，， ， 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 根据材料解答下列问题． （1）若（是常数），则________，________． （2）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． （3）试说明当时，的最小值为8． 【答案】（1），； （2）； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了分式的拆分运算、平方数的非负性、不等式的运算等知识点，读懂材料，掌握分式的运算法则是解题关键． （1）先计算的值，进而求解即可； （2）参照例题材料，设，然后求出m、n值，从而即可得出答案； （3）由得到，进而，，即可解答． 【小问1详解】 解： ， 即，． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由分母为，设， 则 ， 对于任意，上述等式均成立， ， ，， ； 【小问3详解】 解：由（2）得， 当时，， ∴，， ∴当且仅当时，和同时取得最小值， ∴， 即， ∴的最小值为8． 22. 如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点．点P为抛物线上一点，横坐标为m，且． （1）求此抛物线的解析式． （2）当点P位于x轴上方时，面积的最大值为________． （3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h． ①当时，求m的值． ②当为直角三角形时，直接写出m的值． 【答案】（1） （2） （3）；或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，勾股定理，解一元二次方程等，综合运用相关知识是解题的关键． （1）把点代入抛物线，求得k的值，即可解答； （2）对于抛物线，令，求得，，根据待定系数法求得直线的解析式为．过点P作轴，交于点Q，则，，，根据，得到与m的函数解析式，根据二次函数的图象及性质即可求解； （3）①当点P在对称轴左侧时，抛物线在点P处为最高点，在点C处为最低点，，求解即可；当点P在对称轴的右侧时，抛物线在顶点为最高点，此时，不存在的情况，即可解答； ②根据两点间距离公式表示求出，，，根据为直角三角形分三种情况讨论：①，②，③，利用勾股定理构造方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与y轴相交于点， ∴，解得， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：对于抛物线，令，则， 解得，， ∴，， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． ∵点P为抛物线上一点，且位于x轴上方，横坐标为m，且， ∴， 过点P作轴，交于点Q，则， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，为． 故答案为：． 【小问3详解】 解：①对于抛物线对称轴为直线，顶点坐标为， 当点P在对称轴左侧，即时，抛物线在点P处为最高点，在点C处为最低点， ∴， 若，则， 解得（不合题意，舍去），． 当点P在对称轴的右侧，即时，抛物线在顶点为最高点，若点P在过点C且平行x轴的直线上及上方时，最低点为点C；若点P在过点C且平行x轴的直线下方时，最低点是点P，此时，不存在的情况； 综上所述，当时，； ②∵，，， ∴， ， ． 当为直角三角形时， ①若，则， ∴， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）； ②若，则， ∴， 整理得， 解得或（均不合题意，舍去）， ③若，则， ∴， 整理得 解得或（不合题意，舍去）． 综上所述，当为直角三角形时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期综合练习 九年级数学试题 本试卷包括三道大题，共22道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意：每小题3分，共18分） 1. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个不透明的袋子里装有2个黑球，m个白球，这些球除颜色外其余都相同，若从该袋子里随机摸出一个球，是黑球的概率为，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是设每个枝干长出x个小分支，则x满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是直径，弦于点E，若，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若点与点Q关于原点对称，则点Q的坐标为________． 8. 如图，直线经过上的点C，并且，则直线和的位置关系是________． 9. 二次函数的图象如图所示，则的面积为________． 10. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点B落在边上，若线段，则________． 11. 如图，的顶点，，在上，顶点在的直径上，，连接，则的度数为______． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 解方程：． 13. 已知关于x的方程． （1）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等实数根． （2）若方程一个根为0，则________． 14. 为落实中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于实施中华优秀传统文化传承发展工程意见》，深入开展“我们的节日”主题活动，某校七年级在元旦来临之际，成立了四个社团：A包粽子，B腌咸蛋，C酿甜酒，D摘艾叶，在每人只参加一个社团的情况下，学校计划从四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图的方法，求同时选中A和C两个社团的概率． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，过点A和x轴平行的直线与抛物线的另一个交点为点B．点P为抛物线上一点（点P在直线的上方），设点P的横坐标为m，的面积为S． （1）________，点B的坐标为________． （2）求S关于m的函数解析式． 16. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．在给定的网格中，分别按下列要求作图，所画图形的各点均在格点上，只用无刻度的直尺，保留作图痕迹． （1）在图①中，画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形． （2）在图②中，画一个面积为10的等腰直角三角形． （3）在图③中，画一个底边长为，面积为6等腰三角形． 17. 如图，四边形是的内接四边形，，连接与相交于点E． （1）求的度数． （2）当时，直接写出图中阴影部分图形的面积．（结果保留） 18. 【项目主题】估计的值． 【项目实施】 步骤一：在纸上画一个正方形及其内切圆，如图． （1）该内切圆与正方形面积的比值用表示，求的值； 步骤二：随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的纸上，统计并计算落在圆内的米粒数与正方形内的米粒数的比． 落在圆内的米粒数 落在正方形内的米粒数 频率 450 600 （2）________； 步骤三：利用与的关系，估计的值． （3）________； 【项目反思】小贤同学发现，上述的估计精度不够高，那怎样提高的估计精度呢？请你给出至少一条合理化建议． （4）建议：________． 19. 如图，在菱形中，．动点P从点A出发以的速度沿射线运动，以为一边在射线的上方作等边．设点P的运动时间为与菱形重叠部分图形的面积为． （1）的边的长为________．（用含x的代数式表示） （2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 20. 如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直向上抛，那么经过x秒物体离地面的高度为米． （1）当时，物体离地面的高度为________米． （2）根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？ （3）当物体离开地面最高时，求x的值． （4）当物体离地面高度为米时，直接写出x的值． 21. 阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设， 则， 对于任意x，上述等式均成立，， ， 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 根据材料解答下列问题． （1）若（常数），则________，________． （2）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． （3）试说明当时，的最小值为8． 22. 如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点．点P为抛物线上一点，横坐标为m，且． （1）求此抛物线的解析式． （2）当点P位于x轴上方时，面积的最大值为________． （3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）的最高点与最低点的纵坐标之差为h． ①当时，求m的值． ②当为直角三角形时，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $