专题07 期末真题百练通关（96题27大热考题型,期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材浙教版

专题07 期末真题百练通关（96题27大热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 从函数图像获取信息（共4小题） 题型二 正比例函数的图像与性质（共5小题） 题型三 一次函数的图像与性质（共6小题） 题型四 待定系数法求函数解析式（共2小题） 题型五 一次函数与方程、不等式（共4小题） 题型六 一次函数与实际问题（共5小题） 题型七 根据点的坐标特征求解（共6小题） 题型八 坐标与图形综合（共4小题） 题型九 点的坐标规律探索（共3小题） 题型十 坐标方法的简单应用（共4小题） 题型十一 与不等式（组）有关的整数解问题（共3小题） 题型十二 由一元一次不等式组的解集求参数（共3小题） 题型十三 由一元一次不等式组的解集的情况求参数（共3小题） 题型十四 一元一次不等式（组）与实际问题（共4小题） 题型十五 利用轴对称的性质求解（共4小题） 题型十六 等腰三角形性质与判定综合（共3小题） 题型十七 等边三角形性质与判定综合（共3小题） 题型十八 利用勾股定理及其逆定理求解（共4小题） 题型十九 勾股定理与实际问题（共4小题） 题型二十 勾股定理与折叠问题（共3小题） 题型二十一 以直角三角形三边为边长的图形面积（共3小题） 题型二十二 利用全等三角形的性质求解（共小题） 题型二十三 全等三角形性质与判定综合（共5小题） 题型二十四 角平分线的性质与判定（共2小题） 题型二十五 垂直平分线的性质与判定（共2小题） 题型二十六 等面积法求高（共1小题） 题型二十七 利用中线求线段、面积（共3小题） 题型二十八 三角形内角与外角综合（共4小题） 题型一 从函数图像获取信息（共4小题） 1．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）材料：甲开汽车，乙骑自行车从A地沿一条笔直的公路匀速前往B地，乙比甲先出发．设乙行驶的时间为，甲，乙两人之间的距离关于时间的函数图象如图所示．根据材料（　　） A．甲行驶的速度是 B．在甲出发后追上乙 C．A，B两地之间的距离为 D．甲比乙少行驶2小时 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象得出相关信息是解题关键． 根据函数图象结合速度，时间，路程之间的关系逐项判断即可． 【详解】解：由图象可知，乙行驶的速度为， ∴甲行驶的速度为，故A错误； 由图象可知，当乙出发后甲追上乙，故B错误； 两地之间的距离为，故C正确； 甲行驶的时间为，乙行驶的时间为小时， ∴甲比乙少行驶，故D错误； 故选：C． 2．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）甲、乙两车从地出发，匀速驶向地．已知甲车先出发，乙车才沿相同路线行驶．又过了3小时，甲乙两车同时到达途中某修理厂处，乙未作停留，甲停留后，按原速度继续行驶，到达终点地停止．在此过程中，两车之间的距离与乙车出发的时间之间的函数关系如图所示．有下列结论：①乙车的速度是；②两地相距；③；④当两车相距时，的值分别为0，3.75，7．其中结论正确的是（   ） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用，主要是以函数图象为背景，考查双动点条件下，两点距离与运动时间的函数关系，解答时既要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态． 根据题意，两车距离为函数，由图象可知两车起始距离为60，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量． 【详解】解：由图象可知，乙出发时，甲乙相距则说明甲每小时行驶，小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快，则乙的速度为．①正确； 由图象可得第6小时，乙由A到达，两地相距；②正确； 当甲在相遇点休息时，乙前进，则点坐标为 点代表乙到达地，从相遇点到地，甲行驶了小时，共行驶了 ，乙行驶了小时，共行驶了 ，甲乙相距，点坐标为 甲到达地，还需要行驶小时， 则，③错误； 当甲车先出发时，两车相距时，此时的值为0， 当两车相遇之后，甲停留时，乙前进 时，两车相距，此时的值为， 当乙到达地后，甲行驶到达地过程中，甲行驶时，两车相距时，此时的值为7．④正确． 正确的有：①②④， 故选：B． 3．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）【素材1】如图1某景区游览路线及方向如图所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． 【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小明游玩路线①②⑧，他离入口的路程S与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟，小亮游玩路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟． 【问题】 （1）小明游玩行走速度为 米/分钟． （2）游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间比游玩路线①④⑤⑥⑦⑧所需要的时间少 分钟． 【答案】 60 45 【分析】本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之间的等量关系． （1）设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知，求出的值，再利用路程除以时间求出速度即可； （2）根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小亮游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”求出，进而求出路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为，利用路程除以速度再加上停留时间求出游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间，即可． 【详解】解：（1）由图象可知：小明游玩行走的时间为（分钟）， 设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象可得： ， 解得：， ∴小明游玩行走的速度为（米/分钟）； 故答案为：60． （2）由题意，得：小亮游玩行走的时间为（分钟）；由于游玩行走速度恒定，则小亮游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为， ∴， ∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（米）； ∴游玩路线①③⑥⑦⑧所用时间为（分钟）， ∴游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间比游玩路线①④⑤⑥⑦⑧所需要的时间少（分钟）； 故答案为：45． 4．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）渔船常利用超声波来探测远处鱼群的方位，超声波的振幅与传输时间之间的关系如图所示． (1)根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？ (2)结合图象回答： ①当时，h的值是多少？ 在内，当h随t的增大而增大，求t的取值范围． 【答案】(1)是 (2)①4；② 【分析】本题主要考查了函数的图象、函数的概念及函数值，熟知函数的定义及正确识别所给函数图象是解题的关键． （1）根据所给函数图象，结合函数的定义进行判断即可； （2）①观察图象时多对应的h值即可解答；②利用所给函数图象即可解决问题． 【详解】（1）解：由图象可知，对于每一个变化的t，h都有唯一确定的值与其对应， ∴变量h是关于t的函数． （2）解：①由图象可知：当时，， ②由图象可知：时，h随t的增大而增大． 题型二 正比例函数的图像与性质（共5小题） 5．（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）正比例函数的图象经过，两点，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】设该正比例函数的解析式为，把，代入，可得，即可求解． 【详解】解：设该正比例函数的解析式为， 把，代入得： ， ∴， ∴， ∴． 故选：A 【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上点的特征，熟练掌握正比例函数图象上点的特征是解题的关键． 6．（24-25八年级上·浙江·期末）已知点和点在正比例函数的图象上，则与的大小关系是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的增减性，熟练掌握时，y随x的增大而减小是解题的关键．根据正比例函数y随x的增大而减小可作出判断． 【详解】解：∵正比例函数，， ∴y随x的增大而减小， 又∵点和点中，， ∴， 故选：A． 7．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知y是x的正比例函数，当时，；当时， ． 【答案】6 【分析】本题考查待定系数法求解析式，已知自变量的值求函数值．设y关于x的正比例函数解析式为，把时，代入，求得k的值，即正比例函数解析式，再把，求解即可． 【详解】设y关于x的正比例函数解析式为， ∵当时，， ∴， 解得， ∴y关于x的正比例函数解析式为， ∴当时，． 故答案为：6． 8．（21-22八年级上·上海黄浦·期末）已知正比例函数，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据y随x的增大而减小，得到，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知点． (1)点P在直线上，求a的值； (2)点Q的坐标为，直线轴，求点P坐标． 【答案】(1) (2)P点的坐标为 【分析】本题考查正比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质，解题的关键是熟练掌握正比例函数图象上点的坐标特征：点的坐标满足于正比例函数解析式；平行于y轴的直线上的点的坐标特征：横坐标相等． （1）把代入，求解即可； （2）根据平行于y轴的直线上点的坐标特征得，求得，即可解决问题． 【详解】（1）解：把代入，得 解得：； （2）解： ∵点点Q的坐标为，且直线轴， ∴， 解得：， ∴ ∴． 题型三 一次函数的图像与性质（共6小题） 10．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数的图象如图所示，则点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解一元一次不等式，点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 由图象经过第一、三、四象限可知求出，，再根据点的坐标特征，即可判断所处象限． 【详解】解：由图得出一次函数经过第一、三、四象限， ∴，， ∴，， ∴点所在的象限为第三一象限， 故选：C． 11．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知一次函数，y随x的增大而增大，则该函数图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数所经过的象限与的值有关是解题的关键．根据一次函数的性质：，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小，进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数，y随x的增大而增大， ∴， ∴函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 12．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．图象经过 B．y随x的增大而减小 C．图象经过一、三、四象限 D．不论x取何值，总有 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键． 根据一次函数的图象和性质，对所给选项依次判断即可． 【详解】解：将代入函数解析式得， ， 所以点不在一次函数的图象上，故A选项错误． 因为， 所以一次函数中y随x的增大而减小，故B选项正确． 因为一次函数与y轴交于点， 所以该一次函数的图象经过第一、二、四象限，故C选项错误． 当时， ，故D选项错误． 故选：B． 13．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数． （1）当m 时，y随x的增大而减小； （2）当m ，n 时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方； （3）当m ，n 时，函数图象过原点． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数（，，为常数）的图象与性质．它的图象为一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；当，图象与轴的交点在轴的上方；当，图象过坐标原点；当，图象与轴的交点在轴的下方． （1）当，随的增大而减小； （2）当，且，函数的图象与轴的交点在轴的下方； （3）当，且，函数图象经过原点． 【详解】解：（1）当，即，随的增大而减小， 所以当，为任何实数时，随的增大而减小； 故答案为： （2）当，且时，一次函数的图象与轴的交点在轴的下方， 解不等式得，，且， 所以当，且时，函数的图象与轴的交点在轴的下方； 故答案为：，， （3）当，且，一次函数图象经过原点， 解不等式、方程得，，且， 所以当，且时，函数图象经过原点． 故答案为：，. 14．（24-25八年级上·浙江金华·期末）已知一次函数，当时，y的最大值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 先根据一次函数的系数判断出函数的增减性，再根据其取值范围解答即可． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴y随x的增大而减小， ∵自变量取值范围是， ∴当时，y有最大值为． 故答案为：5． 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数（a为常数，）的图象过点． (1)求一次函数的表达式． (2)若点，都在该函数的图象上． ①当时，求的取值范围． ②请判断，的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的解析式，一次函数的性质． （1）利用待定系数法解答即可； （2）①由（1）知一次函数的表达式，根据一次函数的性质确定出当和时的函数值，即可解答； ②根据一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，将点代入一次函数中， 则， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：①由（1）知一次函数的表达式为， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，则， 当时，则， ∴当时，的取值范围为； ②，理由如下： 由①知一次函数，随的增大而减小， ∵， ∴． 题型四 待定系数法求函数解析式（共2小题） 16．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知y是关于x的一次函数，下表是部分x与y的对应值，则m的值为（    ） x … 0 1 2 3 … y … 2 m … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，结合表格数据确定函数解析式是解题关键．根据表格数据，待定系数法求出一次函数的解析式，再将代入求解即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为，由表格可知，直线经过点， ∴，解得：， ∴， ∴当时，． 故选：C． 17．（2025八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点与在直线l上，则直线l必经过（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数关系式，掌握待定系数法求一次函数关系式的方法是关键． 根据点的坐标特征和待定系数法确定一次函数关系式，再进行判断． 【详解】解：设直线的方程为：， 将点与代入可得：， 解得：， ∴直线的方程为：， 将四个选项代入，可知B符合要求． 故选：B． 题型五 一次函数与方程、不等式（共4小题） 18．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）一次函数（为常数且与的图象相交于点，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据题意得，进而可得，再根据一次函数（为常数且与的图象相交于点即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：依题意得：的图象经过点， ， 解得：， ， 一次函数（为常数且与的图象相交于点， 方程的解为， 故答案为：． 19．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）若关于x的方程有且只有一个解，则a的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】在坐标系中画出，的图像，利用数形结合的思想求解即可． 【详解】解：设，， 当时，，当时，， 直线经过点， 如图，画出，的图像，      由图像知，当时，与只有一个交点， 故若关于x的方程有且只有一个解，则a的取值范围为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特点，明确函数的性质并数形结合是解题的关键． 20．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，直线与直线交点的横坐标为，则的解为 ． 【答案】 【分析】不等式的解集，就是指直线在直线的下方的自变量的取值范围，据此求解即可． 本题考查一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：观察图象可知， 当时，直线在直线的下方， 不等式的解集为． 故答案为：． 21．（24-25八年级上·浙江·期末）已知直线与直线相交于点，则二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程（组），解题关键在于掌握图像交点的意义．直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案． 【详解】解：∵直线和直线交于点， ∴关于，的二元一次方程组， 即， 解得， 故答案为：． 题型六 一次函数与实际问题（共5小题） 22．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）课题学习 已知竹木工厂生产一种产品，该产品售价为1000元/套，原材料成本价为550元/套（含设备损耗等），但在生产过程中平均每生产一套产品产生1吨废水．并且为了达到国家环保要求，工厂需要对废水进行脱硫、脱氮等处理工作．现有两种处理废水的方案可供选择： 方案一：由工厂直接处理，费用为50元/吨，并且每月需额外支出设备维护及损耗费为20000元； 方案二：由废水处理厂统一处理，费用为150元/吨． 请你为该厂设计根据月生产量选择废水处理的方案，使得既达到环保要求，又获得最高利润（可设每月生产了套产品，获得了元的月利润）． 【答案】，二种方案均可；，选择方案二利润更高；，选择方案一利润更高 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；由题意易得方案一的利润为，方案二的利润为，然后可分，，，进而分类求解即可． 【详解】解：根据题意可得： 方案一的利润为： ，得； 方案二的利润为： ，得． ∵当时， ，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． ∴当时，二种方案均可；当时，选择方案二利润更高；当时，选择方案一利润更高． 23．（24-25八年级上·浙江·期末）某经销商计划用40000元一次性采购A，B两种计算器共100 台，这两种计算器的进价和售价如下表： A品牌计算器 B品牌计算器 进价(元/台) 700 100 售价(元/台) 900 160 设经销商购进A品牌计算器x台，售完这批计算器获利y元． (1)求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围． (2)若要求售完后获利不少于12720元，该经销商有哪几种进货方案？ 【答案】(1)（，且x为整数） (2)经销商有以下三种进货方案．方案一：A品牌计算器48台，B品牌计算器52台；方案二：A品牌计算器49台，B品牌计算器51台；方案三：A品牌计算器50台，B品牌计算器50台 【分析】此题考查求一次函数的实际应用，不等式的应用， （1）根据利润(A的售价A的进价)乘A的计算器的数量（B的售价B的进价）乘B的计算器的数量，根据总资金不超过40000元得出x的取值范围，列式整理即可； （2）由获利不少于12720元及x的取值范围得到进货方案； 【详解】（1）解： ． 由题意，得，得， ∴ （，且x为整数）． （2）当，则，解得， 又∵ ， ∴ ． ∴ 经销商有以下三种进货方案． 方案一：A品牌计算器48台，B品牌计算器52台； 方案二：A品牌计算器49台，B品牌计算器51台； 方案三：A品牌计算器50台，B品牌计算器50台． 24．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）年舟山群岛马拉松，吸引了来自个国家和地区的约名运动员参与，以“向海风许愿，在山海相见”为主题，展现了舟山“海上花园城”的独特魅力，促进了国际间的体育和文化交流．甲、乙两名业余选手参加了本次比赛，两人同时到达第一个补给点，乙在第一个补给点停留了一段时间．从第一个补给点到终点过程中，甲、乙两名选手距离第一个补给点的路程s（）与时间t（）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： (1)直接写出乙在第一个补给点停留的时间与图中m的值． (2)在这段过程中，甲、乙两人的速度分别是多少？ (3)乙经过第一个补给点后多长时间，甲乙两名选手相距？ 【答案】(1)， (2)甲的速度为，乙的速度为 (3)或或或 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，行程问题，从函数图象上有效地获取信息是解题的关键． （1）根据图象信息即可求得乙在第一个补给点停留的时间及m的值； （2）结合图象中的数据和速度公式即可计算出甲、乙两人的速度； （3）根据（2）中的数据和待定系数法可求出和的解析式，结合题意分情况讨论，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，乙在第一个补给点停留的时间为， 由直线可得，， 当时，； （2）由（1）得， ∵直线过点， ， ∴， ∴甲的速度为，乙的速度为； （3）由（2）可得，直线的解析式为：， 直线的解析式为：， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，乙经过第一个补给点后或或或，甲乙两名选手相距． 25．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图1是甲、乙、丙三个圆柱形无盖容器的截面示意图．其中，乙容器底部放置了一块长方体铁块，乙容器和丙容器之间有一根管子连通（管子体积可忽略不计）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器中，则三个容器中水的深度h（厘米）与注水时间t（分）之间的关系如图2所示．请结合图像提供的信息，解答下列问题． (1)乙容器中铁块的高度是 ． (2)当甲、乙两容器中水的深度相同时，求注水时长． (3)若甲容器的底面积为，丙容器的底面积为，则a的值为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． （1）1分钟时水淹没铁块，铁块高度即此时乙容器水深，得； （2）分别设甲、乙水深的一次函数，代入点求解解析式，联立方程得水深相同时的时长为； （3）先算甲容器总水量、倒水速度，再求乙容器底面积，最后算剩余水注入后乙、丙的水面高度为． 【详解】（1）解：由图可得，0到1分钟是水逐渐淹没铁块过程， 故当1分钟时，铁块高度为， 故答案为：8． （2）由图象可得时，甲、乙两容器中水的深度相同， 设， 把，代入，得， 解得， 所以， 设， 把，代入，得， 解得， 所以， 令，得，解得， 所以当甲、乙两容器中水的深度相同时，注水时长为． （3）解：由题图，得甲容器中初始水面高度为， 所以水的总体积为， 所以每分钟甲容器中的水倒出， 所以乙容器1～3分钟水的体积增加了， 因为乙容器 1～3 分钟水面升高了， 所以乙容器的底面积为． 因为丙容器的底面积为， 所以当水面为高时，丙容器中水的体积为， 此时甲容器中剩余的水的体积为， 所以将这部分水全注入乙、丙容器中水面高度． 故答案为：24． 26．（24-25八年级上·浙江温州·期末）数学项目小组为解决由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计设计问题，经调研，获得如下信息： 信息1 如图1，弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，，弹簧拉力与长度之间有关系式；测得弹簧拉力与长度的对应数据如下表： 弹簧长度 10 15 20 25 拉力 5 10 15 20 信息2 在弹性限度内，弹簧A，B伸长后最大长度均为．弹簧每根6元，弹簧每根3元． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)在图2中，描出对弹簧测得数据的各对与的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上． (2)求关于的函数表达式，并求出弹簧在弹性限度内的最大拉力． (3)如何购买A，B两种弹簧，在弹性限度内，使并联后的弹簧拉力计的拉力最大；并求出弹簧拉力计的最大拉力． 【答案】(1)见解析，这些点分布在同一直线上 (2)，弹簧B在弹性限度内的最大拉力是 (3)购买A弹簧3根、B弹簧7根使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内），弹簧拉力计的最大拉力为 【分析】本题考查了画函数图象、一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）先描点、再连线，即可得出函数图象； （2）利用待定系数法计算即可得出答案； （3）设弹簧A为m根，则弹簧B为根，根据最大拉力得到函数解析式，根据增减性解题即可． 【详解】（1）描点并连线如图所示： 由图象可知，这些点分布在同一直线上． （2）由（1）可知，与之间是一次函数关系， 设关于的函数表达式为为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 关于x的函数表达式为， 当时，， 弹簧B在弹性限度内的最大拉力是； （3）设购买A弹簧m根，则购买B弹簧根， 根据题意，得， 解得， 当时，， 随m的增大而增大， 且m为非负整数， 当时值最大，最大（根）． 答：购买A弹簧3根、B弹簧7根使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内），弹簧拉力计的最大拉力为． 题型七 根据点的坐标特征求解（共6小题） 27．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如果点在轴上，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握各象限及坐标轴上点的横纵坐标特点． 由点A在x轴上求出a的值，从而得出点B的坐标，即可得出答案． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴，即， ∴，， 则点B坐标为． 故选：A． 28．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知平面直角坐标系上有一点位于第二象限，则m的值可能为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查象限点的坐标特征．根据第二象限的点：横坐标为负，纵坐标为正，可得到关于m的不等式组，即可求解． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得：， 则m的值可能为． 故选：A． 29．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知点在第四象限，且点到两坐标轴的距离相等，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了点的坐标、解一元一次方程．根据点P在第四象限且到两坐标轴的距离相等，可得方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵点在第四象限且到两坐标轴的距离相等， ∴点的横、纵坐标互为相反数， ∴， 解得， 故答案为：1． 30．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）若是第二象限内一点，向右平移2个单位后再向下平移3个单位，该点运动到第四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据是第二象限内一点得到，由平移规律和第四象限点的特征得到，再解两个不等式组成的不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵是第二象限内一点， ∴， 由是第二象限内一点，向右平移2个单位后再向下平移3个单位得到， ∵运动到第四象限， ∴， 解不等式组可得， 故答案为： 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组、平面直角坐标系、点的平移，熟练掌握平面直角坐标系中各象限点的特征是解题的关键． 31．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）已知点． (1)当点在轴上时，求的值． (2)当点在第二象限时，求的取值范围． (3)当点到轴的距离是4时，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或6． 【分析】（1）根据在x轴上的点纵坐标是0，可得，求出a的值即可； （2）根据第二象限点的坐标特征列出不等式组，解不等式组即可得到答案； （3）根据到轴的距离是横坐标的绝对值得到或，即可得到答案； 此题考查坐标轴上及各象限内点的特征、点到坐标轴的距离等知识，熟练掌握平面直角坐标系的特征是解题的关键． 【详解】（1）解：当点在轴上时， ， 解得， 即的值为； （2）点在第二象限时， ， 解得； 即的取值范围为； （3）当点到轴的距离是4时， 则或， ∴或6． 32．（23-24八年级上·浙江杭州·开学考试）已知，，． (1)若点C在第二象限内，且，，求点C的坐标，并求的面积； (2)若点C在第四象限内，且的面积为8，，求点C的坐标． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）由点C在第二象限内，可得，，再由，，可得，，即点C的坐标为，再根据点A、B的坐标即可求得结果； （2）由的面积为8，点C在第四象限内，可得，求得，由，可得，即可求得结果． 【详解】（1）解：∵点C在第二象限内， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴；    （2）解：∵的面积为8，点C在第四象限内， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点C的坐标为． 【点睛】本题考查直角坐标系内点的坐标的确定、绝对值，解题的关键是正确处理线段长度与坐标之间的关系． 题型八 坐标与图形综合（共4小题） 33．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，则称点为点的“关联点”．例如，点 ，则点 是点的“关联点”． (1)若点，则点的坐标为______； (2)若点则点的坐标为（______）；并猜想：若点在轴上，则中，的关系式：______． (3)若点是点的“关联点”，若点向右平移个单位可与重合，求点的坐标． 【答案】(1) (2)，， (3)点的坐标为 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——平移，点的坐标变化规律，熟练掌握平移后点的坐标变化规律是解题的关键． （1）根据“关联点”的定义进行计算即可． （2）令点的坐标为，再根据“关联点”的定义建立关于，的方程进行计算即可；先用，表示出的坐标，再结合点在轴上，得出其横坐标为即可解决问题． （3）令点的坐标为，再用，表示出点的坐标，再表示出点向右平移个单位后的坐标，最后根据此点与重合，建立关于，的等式即可解决问题． 【详解】（1）解：因为点是点的“关联点”，且点的坐标为， 且，， 所以点的坐标为． 故答案为：． （2）解：令点的坐标为， 根据题意可得， 解得， 所以点的坐标为． 由点坐标为可知， 点的坐标为． 因为点在轴上， 所以， 即，的关系式为． 故答案为：，，． （3）解：令点的坐标为， 则点的坐标为， 将点向右平移个单位后，所得点的坐标为， 因为此点与重合， 所以， 解得， 所以点的坐标为． 34．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点与点关于轴对称． (1)画出点的位置，并求点的坐标． (2)连接，，，求的面积． (3)将点向右平移个单位得到点，连接，若，请你直接写出的值． 【答案】(1)画图见解析，点 (2) (3) 【分析】本题考查的是画关于轴对称的点，平移的性质，等腰直角三角形的判定与性质； （1）根据轴对称的性质画图，再根据关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案； （2）如图，连接，，，直接利用三角形的面积公式求解即可； （3）将点向右平移个单位得到点，可得，如图，记与轴的交点为，连接交轴于，与轴的交点为，记直线与的交点为，连接，，再进一步利用等腰直角三角形的性质可得结论； 【详解】（1）解：如图，点即为所求； ∵，点与点关于轴对称． ∴； （2）解：如图，连接，，， ∵点，，， ∴的面积为； （3）解：将点向右平移个单位得到点， ∴， 如图，记与轴的交点为，连接交轴于，与轴的交点为，记直线与的交点为，连接，， ∵点，， ∴，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴共线， 同理可得：， ∴, 解得：； 35．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且，点的坐标为． (1)求出的值及； (2)若点是轴上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了非负数的性质，同一坐标轴上两点间的距离及三角形的面积公式： （1）先根据非负数的性质求出a，b的值，求出的长，得到三角形的面积； （2）设点M的坐标为，用含x的式子表示出的长，再用含x的式子表示出的面积，得到关于x的方程． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． ∴点，点． ∵点， ∴． ∴； （2）解：设点M的坐标为，则． 又∵， ∴． ∴， 解得或， 故点M的坐标为或． 36．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，给出如下定义：若P为内（不含边界）一点，且与的一条边相等，则称点P为的和谐点．    (1)在中，的和谐点是_______； (2)若点P为的和谐点，且，求点P的坐标； (3)直线l为过点且与x轴平行的直线，若直线l上存在的二个和谐点，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)P的坐标为或 (3) 【分析】（1）根据各点的坐标分别求出相应线段的长度，根据定义即可进行判断； （2）由题意得，分类讨论当时和当时，两种情况即可求解； （3）由题意知，的和谐点P，满足或；根据若，则点P在线段的垂直平分线上，若，则点P在线段的垂直平分线上，即y轴上；即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ， ， ∴， ∴不是△ABC的和谐点； ∵， ∴，， ∴， ∵在内， ∴是的和谐点； ∵， ∴，， ∴ ∵在内， ∴是的和谐点； 故答案为：， （2）解：①由可知，当P在内部时，， ②当时，过P作轴于H，过A作于G，如图：    ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 设 ∵ ∴ 解得： ∴P ③当时，过A作交延长线于Q，如图：    ∵ ∴B，C关于y轴对称， ∵， ∴P在y轴上， 同②可得Q 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 在中，令得， ∴ 综上所述，P的坐标为或 （3）解：由题意知，的和谐点P，满足或， 若，则点P在线段的垂直平分线上， 若，则点P在线段的垂直平分线上，即y轴上； 设的中点为K，线段的垂直平分线交于T，如图，    设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设 ∵， ∴ 解得 ， ∴T ， ∵线段的中点； 直线l上存在的两个和谐点， ∴直线l与y轴，线段都相交， ∴． 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了坐标与图形，一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质等知识点，正确理解定义是解题关键． 题型九 点的坐标规律探索（共3小题） 37．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，一机器人从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到…则第2025次运动到的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了点的变化规律，通过观察可知右下标是（除外）：数字的倍数的点在第三象限，的倍数余的点在第四象限，的倍数余的点在第一象限，的倍数余的点在第二象限，得出点在第四象限，由此判断即可． 【详解】解：根据题意，第1次从原点到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到，……， 个点一循环， ∵， ∴点在第四象限， ∴点的坐标是， 故选：A． 38．（24-25八年级上·浙江金华·期末）正方形、正方形、正方形……按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键． 分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ，是等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， 于是：，，，， ， ． 故选：． 39．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，以为边在轴右侧作等边，过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边，再过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边 按此规律继续作下去，则点的纵坐标为(    )    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律，等边三角形的性质；根据点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是，以为边在右侧作等边，再过点作轴的垂线，垂足为，得点的纵坐标是，以此类推，得点的纵坐标是，即可求解． 【详解】解∶点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点， ，， ，则点的纵坐标是， 以为边在右侧作等边，再过点作轴的垂线，垂足为， ，， ，即的纵坐标是， 同理，得点的纵坐标是， 按此规律继续作下去，得点的纵坐标为， 故选∶A． 题型十 坐标方法的简单应用（共4小题） 40．（23-24八年级上·浙江温州·期末）如图是某景点示意图，建立直角坐标系（以南北方向为纵轴，东西方向为横轴），湿地和古村落的坐标分别为，，流动服务站在原点．若要使服务站到古村落和沙滩的距离相等，则该服务站需（    ） A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位 【答案】A 【分析】本题考查了坐标确定位置，坐标与图形变化—平移，根据湿地和古村落的坐标分别为，得出坐标原点的位置，要使服务站到古村落和沙滩的距离相等，则该服务站需向左平移1个单位，正确应用平面直角坐标系是解此题的关键． 【详解】解：湿地和古村落的坐标分别为，， 坐标原点在沙滩北个单位处， 要使服务站到古村落和沙滩的距离相等，则该服务站需向左平移1个单位， 故选：A． 41．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）象棋在中国有着三千多年的历史，老少皆宜．其中棋盘、棋子都蕴含着中国文化，如图，已知“炮”所在位置的坐标为，“士”所在位置的坐标为，“相”所在位置的坐标为，则“马”所在位置的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查用坐标确定位置．根据题意建立平面直角坐标系，根据坐标系中点的位置，即可求解． 【详解】解：依题意，建立平面直角坐标如图所示， ∴“马”所在位置的坐标为， 故答案为：． 42．（23-24七年级下·浙江台州·期末）周末到了，小华和小军相约去九龙湖游玩．小华和小军对着如图所示的部分景区示意图分别描述玖珑花海的位置（图中小正方形的边长代表300米长，所有景点都在格点上）． 小华说：“玖珑花海在听雨轩古宅的东北方向约420米处．” 小军说：“玖珑花海的坐标是．” (1)小华是用________和________描述玖珑花海的位置； (2)小军同学是如何在景区示意图上建立坐标系的？请在图上做出平面直角坐标系； (3)在（2）的基础上，请写出以下景点的坐标：生态湿地________，音乐喷泉广场________． 【答案】(1)方向，距离 (2)见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了用坐标表示位置，确定位置等等： （1）根据题意可知，小华是用方向和距离描述玖珑花海的位置； （2）根据玖珑花海的坐标画出对应的坐标系即可； （3）根据（2）所求写出对应位置的坐标即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，小华是用方向和距离描述玖珑花海的位置； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由（2）可知生态湿地的坐标为，音乐喷泉广场的坐标为． 43．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图1是路桥区地图的一部分，其示意图如图2．分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，已知黄石公园A的坐标为． (1)分别写出路桥区政府B，街心公园C的坐标； (2)连接，平移线段，使点A和点B重合，在图2中画出点C的对应点D，并写出点D的坐标． 【答案】(1)， (2)画图见解析， 【分析】本题考查了坐标与图形，平移等知识，解题的关键是∶ （1）直接利用点A坐标得出原点位置，进而得出各点的坐标． （2）利用平移的性质描出点D，然后连接即可． 【详解】（1）解：根据题意，得路桥区政府B的坐标为，街心公园C的坐标为； （2）解：如图，点D即为所求， ， 由图知D的坐标为． 题型十一 与不等式（组）有关的整数解问题（共3小题） 44．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先求出不等式组的解集为，再根据恰好有3个整数解可得，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组有解， ∴， 又∵关于的不等式组恰好有3个整数解， ∴这个不等式组的3个整数解为， ∴， 解得， 故选：B． 45．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）若关于x的不等式组所有整数解的和为9，则整数m的值为 ． 【答案】1或4/4或1 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及整数解问题，先分别算出的解集为，再结合所有整数解的和为9，得出或者，然后列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 即 ∵关于x的不等式组所有整数解的和为9 ∴或者 则或者 ∴或 故答案为：1或4 46．（22-23七年级下·浙江台州·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是______；（填序号） (2)关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】（1）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“关联方程”的定义即可求得答案． （2）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“关联方程”的定义，可得到关于的一元一次不等式组． （3）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据不等式组整数解的个数和“关联方程”的定义，可得到两个关于的一元一次不等式组． 【详解】（1）解方程得 ． 解方程得 ． 解方程得 ． 解不等式组，得 ． 根据“关联方程”的定义可知，方程①和③是不等式组的“关联方程”． 故答案为：①③． （2）解关于的方程，得 ． 解不等式组，得 ． 根据“关联方程”的定义，得 解得 ． （3）解关于的方程，得 ． 关于的不等式组 解不等式①，得 ． 解不等式②，得 ． 根据不等式组有个整数解，可得 解得 ． 根据“关联方程”的定义，得 解得 ． 综上所述，． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组，能根据题目中的已知条件构建一元一次不等式组是解题的关键． 题型十二 由一元一次不等式组的解集求参数（共3小题） 47．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）已知关于x的不等式只有两个负整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式得出，根据不等式只有2个负整数解知其负整数解为 和，据此得出，解之可得答案． 【详解】解∶， ， 不等式只有2个负整数解， 不等式的负整数解为 和， 则， 解得∶． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出某一字母的不等式组． 48．（20-21八年级上·浙江·期末）若关于的一元一次不等式组的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定m的范围． 【详解】解：解不等式2x-1＞3x+2，得：x＜-3， ∵不等式组的解集为x＜-3， ∴m≥-3． 故选：A． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 49．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）若关于x的不等式组有且仅有一个整数解，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别求出两个不等式的解集，可得不等式组的解集为，再由不等式组有且仅有一个整数解，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有一个整数解， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解此题的关键． 题型十三 由一元一次不等式组的解集的情况求参数（共3小题） 50．（20-21八年级上·浙江·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式组无解，可得m-1≥1，可求m的值． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴m-1≥1， 解得m≥2， 故选C． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 51．（20-21八年级上·浙江杭州·期末）若关于的不等式组有解，则一次函数的图象一定不经过的象限是（　　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先解不等式组，根据不等式组有解，求得的取值范围，即可判断一次函数的图象一定不经过的象限． 【详解】∵， ∴， ∵不等式组有解， ∴， ∴， ∴， ∴经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的性质、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 52．（20-21七年级下·全国·期末）若关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出两个不等式的解集，然后根据不等式组无解得出m的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式①得：x， 解不等式②得：x＞m， ∵关于x的一元一次不等式组无解， ∴m≥﹣． 故答案为：m≥﹣． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集，难度适中． 题型十四 一元一次不等式（组）与实际问题（共4小题） 53．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）舟山市某校第届科技体育人文艺术节，吉祥物“菱菱”脱颖而出，学校将它定制成钥匙扣和立牌．若定制钥匙扣件，立牌2件共需要8元；若定制钥匙扣件，立牌5件共需要元． (1)钥匙扣和立牌单价分别是多少？ (2)学校计划购买钥匙扣和立牌共件，总费用不超过元，那么最多能购买立牌多少件？ 【答案】(1)钥匙扣单价为元/件，立牌单价为1元/件 (2)件 【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用，熟练掌握二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键， （1）设钥匙扣单价为x元/件，立牌单价为y元/件，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设立牌买m件，钥匙扣买件，利用总价等于单价乘以数量，结合总价不超过元，列出一元一次不等式，解之取最大值即可． 【详解】（1）解：设钥匙扣单价为x元/件，立牌单价为y元/件，依题意可得：          解得， 答：钥匙扣单价为元/件，立牌单价为1元/件． （2）解：设立牌买m件，钥匙扣买件，依题意可得： ， 解得， 答：最多购买立牌件． 54．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）学校组织学生进行一次徒步旅行．校门口到A，B，C三个景点的距离分别为，，，学生从校门口出发，以平均每小时的速度前往景点，在景点游玩时间为t小时，再以平均每小时的速度返回． (1)若学校组织学生前往景点C游玩，且恰好在返回校门口，求t的最大值； (2)若，学生在前返回校门口，则学校可能组织学生去A，B，C中的哪几个景点？ 【答案】(1)2 (2)学校可能组织学生去景点A或景点B 【分析】本题考查了不等式的应用，解决本题的关键是熟练掌握通过题目条件找出不等关系并能正确列出不等式， （1）根据题意先计算出时间，再列出不等式求解即可； （2）设景点与校门口的距离为．根据题意得，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ∴， ∴t的最大值为2； （2）解：设景点与校门口的距离为． 根据题意得， 解得． ∴学校可能组织学生去景点A或景点B． 55．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进，两类图书，已知购进3本类图书和4本类图书共需192元；购进6本类图书和2本类图书共需240元． (1)，两类图书每本的进价各是多少元？ (2)该书店计划恰好用元来购进这两类图书，设购进类本，类本． ①求关于的关系式． ②进货时，类图书的购进数量不少于500本，已知类图书每本的售价为38元，类图书每本的售价为30元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)，两类图书每本的进价分别为32元，24元 (2)①，②当购进类图书501本，类图书1332本时，书店所获利润最大，最大利润为10998元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用， （1）设类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元，根据“购进3本类图书和4本类图书共需192元；购进6本类图书和2本类图书共需240元．”列出方程组，即可求解； （2）①根据“用元全部购进两类图书，”列出方程，再变形，即可求解；②设书店所获利润为w元，根据题意，列出W关于x函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设，两类图书每本的进价分别为元，元． ，解得 答：，两类图书每本的进价分别为32元，24元． （2）①依题意；   ∴ ②解得 设利润为元． 因为小于0，所以随的增大而减小， 当取501时， ， 所以当购进类图书501本，类图书1332本时，书店所获利润最大，最大利润为10998元． 56．（23-24八年级上·浙江金华·期末）为了抓住亚运会商机，某商店决定购进宸宸，莲莲两种亚运会纪念品，若购进宸宸10件，莲莲5件，需要1000元；若购进宸宸5件，莲莲3件，需要550元．    (1)求购进宸宸，莲莲两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，考虑到市场需求，要求购进宸宸的数量不少于莲莲数量的6倍，且不超过莲莲数量的8倍． ①设购进宸宸m件，则购进莲莲件(用含m的代数式表示)，该商店共有几种进货方案？ ②若销售宸宸每件可获利润20元，莲莲每件可获利润30元，销售这两种亚运会纪念品的利润为w元，求w关于m的函数关系式，并求出最大利润是多少元？ 【答案】(1)购进宸宸每件需50元，莲莲每件需100元 (2)①件，该商店共有3种进货方案；②，当时，最大，最大利润是元 【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的实际应用． （1）设购进宸宸每件需元，莲莲每件需元，根据"购进宸宸10件，莲莲5件，需要1000元 ，购进宸宸5件，莲莲3件，需要550元"，列出方程组，解此方程组即可求解； （2）①购进宸宸件，则购进莲莲件，根据题意求出m的取值范围，然后根据m和均为正整数，即可解出m的值，进而即可求解； ②根据题意得到根据一次函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：设购进宸宸每件需元，莲莲每件需元， 根据题意得：，解得：． 答：购进宸宸每件需50元，莲莲每件需100元； （2）解：①设购进宸宸件，则购进莲莲件， 根据题意得：，解得： 又均为正整数，可以为该商店共有3种进货方案． ② ，w随的增大而增大， 当时，最大，最大利润是元． 题型十五 利用轴对称的性质求解（共4小题） 57．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，点，，在同一直线上，沿折叠，点恰好落在的直角顶点处．若，，则的值为(    ) A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，作于点，交的延长线于点，由折叠得，，而，则，可证明，得，，由，得，由，得，再证明，得，所以，求得，即可求解． 【详解】解：作于点，交的延长线于点，则， 沿折叠，点落在的直角顶点处，且，， ，，， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 故选：B． 58．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，将沿折叠，的对应边恰好经过顶点A，，设，，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，，从而可得，然后在中，根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵将沿折叠，的对应边恰好经过顶点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 故选：B． 59．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，动点在线段上，以为边在右侧作等腰，使，，点为边上动点，连接，则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，连接，证明，则，即点在射线上运动，作点关于的对称点，连接交于点，当时，即共线时，周长有最小值，根据直角三角形的性质得，，，然后由勾股定理和线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， 如图，作点关于的对称点，连接交于点， ∴， ∴， ∴， ∴点三点共线， ∴当时，即共线时，周长有最小值， ∵， ∴，， ∴， ∵与点关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴，， ∴周长最小值为， 故选：． 60．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，点是边上的动点，点关于直线、的对称点分别为、，当线段的长度最短时，它与所成的夹角的度数为 ． 【答案】 【分析】连接，，，由轴对称的性质可得，，，进而可得，于是可得是等边三角形，则，，由垂线段最短可知，当时，的值最小，最小值为的长，此时由三线合一可得，然后由三角形外角的性质可得，据此即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接，，， 点关于直线、的对称点分别为、， ，，， ， ， 是等边三角形， ，， 由垂线段最短可知：当时，的值最小，最小值为的长， 此时， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，三线合一，三角形外角的性质等知识点，添加适当辅助线构造等边三角形并熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 题型十六 等腰三角形性质与判定综合（共3小题） 61．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，作射线是腰的高线，E是外射线上一动点，连接． (1)当时，求的长； (2)当时，求证：； (3)设的面积为，的面积为，且，有没有可能为等腰三角形，若有可能，求出相应的． 【答案】(1) (2)见解析 (3)满足条件的的值为2或 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理及勾股定理， （1）先求出，再根据勾股定理求出结论即可； （2）先证明，得出，再结合，求出，即可证明结论； （3）设，则，先证明，再分两种情况：当时，或当时，分别求出即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）证明：∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴； （3）解：， ， 设，则, ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴， 当时， ， ∴， ∴, ∴， ∴， 综上所述，满足条件的的值为2或. 62．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，为上的中线，，垂足为点E，点F为中点，连接． (1)求证：． (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质和判定，线段垂直平分线的性质和判定， 对于（1），根据等腰三角形的性质得，再根据直角三角形的性质得，然后根据直角三角形的性质得，可得答案； 对于（2），先求出，即可得，接下来说明，进而得垂直平分再根据等腰三角形的性质得， 然后根据得出答案． 【详解】（1）证明：∵为上的中线， ∴， ∴是直角三角形. ∵点F为中点， ∴. ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵点F为中点， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 由（ 1）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分 ∴， ∴， ∴． 63．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图1，在中，，，在的延长线上取点D，以为斜边作等腰，交于点F，延长，交于点G． (1)求的度数． (2)当点B是的中点时，求证：． (3)取的中点H，连结，如图2，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得，再根据三角形内角和定理求解即可； （2）延长至M，使，连接，先证明，得到，，即可进一步证明，即可得到结论； （3）过点F作于点K，连接，可证明是等腰直角三角形，进一步证明是等边三角形，即可逐步求得，从而可得到结论． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形， ， ， ； （2）证明：如图2，延长至M，使，连接， 点B是的中点， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． （3）解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图3，过点F作于点K，连接， 是等腰直角三角形， ， 在中，点H是的中点， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加辅助线，构造全等三角形是关键． 题型十七 等边三角形性质与判定综合（共3小题） 64．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，是等边三角形，为平面内一点，连接，将绕点逆时针旋转度得到线段，连接，． (1)如图1，若，求和的数量关系； (2)如图2，若，连接，，已知是的中点，试判断与的位置关系并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，，分别是，上的动点，且，是线段的中点，连接，求当取最小值时的度数． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及几何最值问题，解题的关键是通过构造辅助线（如延长线段构造全等三角形）转化线段和角的关系，利用全等三角形和特殊三角形的性质解决问题． （1）由推出是等边三角形，得；结合等边的性质，证；用证，得出． （2）延长至H使，证，得；证，得；由，推出． （3）延长至Q使，证，得且；结合，证是等腰直角三角形，得，利用（2）的结论分析角度关系，求出． 【详解】（1）解：， ， 为等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：；证明如下： 如图，延长至点，使，连接， ∵， ∴， ，， ， ， ， ， ，则， 在和中， ， ， ， ； （3）解：延长至点，使，连接， 因，则， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 由（2）得，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 当时， 取最小值，即取最小值，此时． 65．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）在数学综合实践课上，贺老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点A与边中点F重合，折痕为，分别交边、边于点D、点E． ①求的度数．②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形． 纸片，，折叠该纸片，使点A落在边上的点F处，折痕为，分别交边、边于点D、点E．若，，求的长度． (3)深度探究 如图3，折叠（、为锐角）纸片，使点A落在的下方点F处，折痕分别交边、边于点D、点E，线段与分别交于点M、点N，若，点D、点F到的距离相等，求证：． 【答案】(1)①；②见解析 (2)10 (3)见解析 【分析】（1）①根据等边三角形的性质结合折叠的性质即可解答； ②根据等边三角形的判定即可得证； （2）根据等腰三角形的性质，折叠的性质及角的等量代换，得到，设 ，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）作，分别交于．证明，得到，同理可得，即可解答． 【详解】（1）解：①∵等边三角形，F为中点， ∴， ∵， ∴． ②∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形． （2）解：∵， ∴， ∵折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点F处， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 设，则 在中，， ∴， 解得：， ∴． （3）证明：作 ，，分别交于K，G，H． ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质是解题的关键． 66．（24-25八年级上·浙江金华·期末）【问题探究】 （1）如图1，已知和均为等腰三角形且， ①连接，求证：． ②如图2，线段交线段于点E，交线段于点F，且．若，，求线段的长． 【学以致用】 （2）如图3，已知点C在的右侧，连接．若，，且，求线段的长． 【答案】（1）①证明见解析；②；（2） 【分析】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）①由可证，可得； ②由全等三角形的性质可得，，由可证，可得，即可求解； （2）先证是等边三角形，可得，，由直角三角形的性质可得，可得，，即可求解． 【详解】（1）①证明：， ， ， ， ． 在和中， ②， ． 由①得，， ． ， ． ． ， ； （2）解：延长，交于点，过点作于， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ． 题型十八 利用勾股定理及其逆定理求解（共4小题） 67．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，，，若于D，则CD的长 ． 【答案】/7.2 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形面积公式求解，通过计算三边的平方关系判断三角形是否为直角三角形，再利用三角形面积的两种不同表示方法建立等式求解的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 68．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，则的长为 ． 【答案】1.75 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，连接，由勾股定理求得，推导出，设，则，，由勾股定理得，进一步解答即可得解，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． 【详解】解：在中，，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，连接， ∴的垂直平分线为， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得：， 设，则，， 在直角三角形由ABD中，由勾股定理：， 解得， ∴， 故答案为：1.75． 69．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）在中，已知，，，D是上一点，且，则的长是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，能根据题意对点D的位置进行分类讨论是解题的关键． 根据题意画出示意图，先求出的长，进而得出的长，再对点D为位置进行分类讨论即可解答． 【详解】在中， ． ， ． 当点在中点处时，如图所示， ，且点为中点， ． 当点不在中点处时，过点作的垂线，垂足为，如图所示， ， ． 在中， ． 在中， ． ． 综上所述：的长为或． 故答案为：或． 70．（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）如图，以的每一条边为边，在边的同侧作三个正三角形、和．已知这三个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和．则 °． 【答案】150 【分析】先根据甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和，可得出，再结合等边三角形的面积由勾股定理的逆定理可得出，进而可得出答案． 【详解】解：过点作， ∵甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和， ∴，则， ∴， ∵、和为等边三角形， ∴，， 则中边上的高为：， ∴， 同理可得：，， ∴． 从而　． 所以，． 故答案为：150． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理、三角形的面积及等边三角形的性质，解答此题时要注意把三角形面积之间的关系转化为三边之间的关系，再由直角三角形及等边三角形的性质即可得出结论． 题型十九 勾股定理与实际问题（共4小题） 71．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）明朝数学家程大位曾作词《西江月·秋千索长》．该诗词翻译后的示意图中，、表示秋千的绳索，，，，则该秋千的索长 ． 西江月·秋千索长 【明】程大位 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士好奇，算出索长有几？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设，则，利用勾股定理解即可． 【详解】解：设，则， 在中，， ， 解得， 故答案为：． 72．（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，M，N是线段上的两个动点，且，则与周长和的最小值是 ． 【答案】 【分析】将点C项左平移2个单位得到，找出点A关于x轴的对称点，连接交x轴于一点即为最短距离点，根据勾股定理即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵，，， ∴当最小即可得到答案， 点C项左平移2个单位得到，找出点A关于x轴的对称点，连接交x轴于一点即为最短距离点，如图所示， 根据勾股定理可得， ， ∴与周长和的最小值是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查最短距离问题及勾股定理，解题的关键是根据轴对称的性质及两点间线段距离最短得到最小距离位置． 73．（21-22八年级上·浙江丽水·期末）《九章算术》有一问题∶“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可表述为∶“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上，如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上，则木杆长为 尺．”（说明：1丈=10尺） 【答案】// 【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：如图，设木杆AB长为尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有尺， 在Rt中，， ∴， 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理列出方程是解题的关键． 74．（24-25八年级上·广东茂名·期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 先由勾股定理可得，再由勾股定理计算即可得解， 【详解】解：根据题意得 在中，，， ， ∴， 在中，，， ， ∴， ∴底部边缘A处与C之间的距离的长为． 故选：D． 题型二十 勾股定理与折叠问题（共3小题） 75．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，．将折叠，使点与边的中点重合，折痕为，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，根据题意得出，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵是的中点， ∴， 设， ∵将折叠，使点与边的中点重合，折痕为， ∴， ∵， 在中，，即 解得： 即线段的长为 故选：B． 76．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点B，C恰好都落在F点，且D，F，G三点共线．已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质， 勾股定理，三角形内角和，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 先根据折叠的性质得到，，，，再利用得到，所以，设，则，根据勾股定理得到，然后解方程即可． 【详解】解：，分别沿着，折叠，使点B，C恰好都落在F点， ，，，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 解得， 即的长为 故答案为： 77．（23-24八年级上·浙江温州·期末）如图，折叠等腰三角形纸片，使点C落在边上的点F处，折痕为． (1)已知，则 度； (2)在（1）的条件下，如果，则 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等腰三角形中的折叠问题，涉及勾股定理、三角形内角和等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题． （1）由，折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处，可得 ，即得，而，故； （2）根据，得 ，设，则，在中，可列方程，即可解得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， 设，则， ∵折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ， 在中，由勾股定理得， 解得， 故答案为：． 题型二十一 以直角三角形三边为边长的图形面积（共3小题） 78．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，于点．分别以为边向外作正方形，得到较大的三个正方形的面积分别为，那么最小的正方形面积为（） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及正方形的面积，熟记勾股定理是解题关键，由正方形的面积公式可得结合勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，， ， 三个正方形的面积分别为， ， 在及中，由勾股定理可得： ，， ， ， 故选：C． 79．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）如图，在直角三角形中，，以，，为边作正方形，正方形，正方形．设的面积为，的面积为，的面积为，四边形CHET的面积为，四边形的面积为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，根据图形列出面积的等量关系是解题的关键．设四边形的面积为，的面积为，由，列出等式即可求解． 【详解】解：设四边形的面积为，的面积为， ，以，，为边作正方形，正方形，正方形， 根据勾股定理得：， ， ． 故选：． 80．（24-25八年级上·浙江金华·期末）勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理以及正方形、长方形的面积进行解答即可． 【详解】解：设的斜边为：，两直角边为：b，c，斜边的正方形面积为：；直角边的正方形面积为：和， 故， 由勾股定理可知， ， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 题型二十二 全等三角形性质与判定综合（共5小题） 81．（25-26八年级上·浙江·期末）如图，在和中，与相交于点，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，对顶角的性质，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据角的和差得出相等的角，证明，得出对应边相等即可； （2）根据（1）的结论，通过全等三角形得出对应角相等，再根据三角形内角和定理以及对顶角相等，即可得出． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在与中， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 82．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图1，在中，，点是上一点，且，点为延长线上一点，且，设． (1)用含的代数式表示的度数； (2)求的长； (3)如图2，在延长线上有一点，满足，连接，与交于点，在上取点F，使，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）利用等边对等角和三角形的内角和定理求解即可； （2）过A作于H，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得，，设，在中，利用勾股定理列方程求解x值即可； （3）先结合（1）得，再根据，，故，又因为，，所以，，整理得，又因为，，故，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过A作于H，如图1， 则， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，， 由得， 解得，即； （3）证明：在上截取，连接，如图2， 由（1）得， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 83．（25-26八年级上·浙江金华·期中）【尝试探索】（1）如图1，中，，直线 经过点，过作于点，过作于点．求证：． 【拓展提升】（2）如图2，在中，是上一点，，，求点到边的距离． 【答案】（1）见解析；（2）点到的距离为 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，熟练掌握一线三垂直的全等模型是解题的关键： （1）证明，即可得出结论； （2）过点作于点，过点作，交的延长线于点，证明，即可得出结果． 【详解】（1）证明：， 在BEC和中， ； （2）解：过点作于点，过点作于，交的延长线于点， 在和中， 即点到的距离为． 84．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”． (1)①点，，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，，则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 ． (2)如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标． (3)若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式． 【答案】(1)①是；②或 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一线三等角构造全等、面积桥、直角三角形斜边上的高、勾股定理及其逆定理等；解题过程中重点运用数形结合思想以及分类讨论思想，综合考查学生画图和全面思考问题的能力和解决问题的能力． （1）①根据等垂点的定义，进行判断即可；②分两种情况：分点在点上方和下方，分别画出图形求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可； （3）特殊点法求一次函数解析式，根据等积法求的高，根据，求出，根据三角形面积公式写出表达式即可． 【详解】（1）解：①∵点 ， ∴， ∵， ∴， ∴， 则是2的“等垂点”， 故答案为：是． ②当点C在点B上方时，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点E， ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 当点C在点B下方时，过点B作轴的平行线，过点C作于点F，轴于点H，过点A作于点E，如图所示： ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， 同理得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． （2）解：设 当时，如图，过作轴于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即或， ∵点在上， ∴或， 解得或(舍)， ∴． 当时，如图，过作轴于点， 同理可得或， ∵点在上， ∴或， 解得(舍)或， ∴． 综上所述：或． （3）解：∵直线上存在无数个5的“等垂点”， ∴直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 如图，过点分别作轴于点Q，轴于点H，交于点N， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴． 85．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，和都是等边三角形，轴，垂足是E． 【问题提出】 （1）如图①，已知点，求线段BD的长度； 【尝试探究】 （2）如图②，设交x轴于点F，连接AF，探究与的数量关系； 【拓展延伸】 （3）如图③，若等边的边长是8，C是x轴上的一个动点且在点E左侧，点D在直线的下方，连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】（1）5；（2）；（3）2 【分析】本题考查了坐标与图形，等边三角形的性质，全等三角形性质与判定，垂直平分线的性质，垂线段最短等，熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键． （1）利用题中条件，证明，可得； （2）利用题中条件证明垂直平分，可得，由推出， 再利用三角形的外角知识和直角三角形的性质，推出； （3）连接DB并延长到点N，利用题中条件，证明，可得，利用（2）推出的垂直平分， 可得，，可得，从而点D在直线BN上运动，过点E作于点H， 当点D运动到点H时，ED最小，此时，． 【详解】（1）是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ，即， ， ， 由可得，， 线段BD的长度为5． （2），理由如下： 轴， ， 是等边三角形， ， ，， ， 垂直平分， ， ， 由（1）知，，可得， ， ，， ． （3）ED的最小值为2． 如图3，连接DB并延长到点N， ，为等边三角形， ，，， ，即， 又，， ， ， 由（2）知，垂直平分，，， ， ， ， 点 D 在直线 BN上运动，过点E作于点H， 当点 D 运动到点H时，ED最小，此时， 的最小值为2． 题型二十三 角平分线的性质与判定（共2小题） 86．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求证：平分． (2)求证：平分． (3)若，，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用邻补角互补可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由角的和差关系可得，进而可得，于是结论得证； （2）过点作于点，于点，由（1）可得是的平分线，同时是的平分线，由角平分线的性质定理可得，，进而可得，然后由角平分线的判定定理即可得出结论； （3）设，由（2）可得，由已知条件可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的长，然后利用三角形的面积公式可得，据此即可求出的面积． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）证明：如图，过点作于点，于点， 由（1）可得：是的平分线， ， 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分； （3）解：设， 由（2）可得：， ，，， ， 即：， 解得：， ， ． 【点睛】本题主要考查了利用邻补角互补求角度，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的性质定理，角平分线的判定定理，三角形的面积公式，解一元一次方程等知识点，添加适当辅助线并熟练掌握角平分线的判定与性质定理是解题的关键． 87．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在锐角三角形中，，是角平分线，分别是，的高，点E在上，且，动点F在边上（不包括两端点），连接． 【问题感知】 (1)填空： （填“”，“”或“”）； 【探究发现】 (2)若，小杰经过探究，得到结论：．请你帮小杰证明此结论； 【类比探究】 (3)若，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展提升】 (4)已知，，，若点E关于DF的对称点落在边AC上，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4)或 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得； （2）作于点可证明 ，再证明 得到； （3）延长交的延长线于点，证明 ，得，从而得，再由角平分线的判定可得． （4）分两种情况讨论：和时，分别画出图形，求出和，得的面积． 【详解】（1）∵平分，，分别是，的高 ∴． 故答案为：． （2）证明：如图1，作于点， 在和中 ， ∴ （）， ∴． 又由（1）知， ∴， 在和中 ， ∴ （）， ∴． （3）成立， 证明：如图2， ∵， ∴， 延长交的延长线于点， ∴， ∴， 在和中 ， ∴ （） ∴，． ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴． （4）当时，如图3，在线段上取点，使得． ∵， ∴点是点关于的对称点， ∴ ， ∴， 可得 ， ∴，， ∴， ∴． 当时，如图4， 在线段上取点，使得， 同理可得，， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和判定以及三角形全等的判定，关键是解决拓展提升时，要分和两种情况讨论． 题型二十四 垂直平分线的性质与判定（共2小题） 88．（23-24八年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，边，的垂直平分线分别交于点D，E．    (1)若，，则 ； (2)若，求的度数； (3)设直线，交于点O，判断点O是否在的垂直平分线上． 【答案】(1)11 (2) (3)点O在的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角等等： （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，则； （2）先由三角形内角和定理得到，再由等边对等角得到，，则，据此可得； （3）如图，连接，，，由线段垂直平分线的性质证明，即可证明点O在的垂直平分线上． 【详解】（1）解：∵边，的垂直平分线分别交于点D，E， ∴，． ∵，， ∴， 故答案为：11； （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为20°； （3）解：点O在的垂直平分线上． 理由：如图，连接，，，    ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 89．（20-21八年级上·浙江杭州·期末）已知，，，且． (1)如图①，若点在线段上，连接，试判断的形状，并说明理由． (2)如图②，连接，，且与相交于点，若，，，求和的长． 【答案】(1)是直角三角形 (2)， 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的判定，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是掌握勾股定理的应用，垂直平分线的性质． （1）根据等腰三角形的性质，则，，根据三角形的内角和为，则；得到，即可得：是直角三角形； （2）根据线段垂直平分线的判定定理得到垂直平分，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）是直角三角形， 理由：∵， ∴，， ∵且， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型二十五 等面积法求高（共1小题） 90．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）学习了勾股定理后，老师给大家留了一个作业题，小华看了后，无从下手，请你帮帮小华．如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则CD的长是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，以及根据等面积法求三角形的高，根据勾股定理算出，利用割补法求出的面积，再利用的面积还等于，即可解题． 【详解】解：由题知，， ， ， ， ，解得， 故选：A． 题型二十六 利用中线求线段、面积（共3小题） 91．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，点，，分别是，，的中点，若的面积为，则的面积为(        )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积的求法，关键是找出三角形面积之间的关系． 根据三角形的面积公式得到，三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，据此解答即可． 【详解】∵是中点， ∴， ∵是中点， ∴，， ∴ ， ∴， 故选：C． 92．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）如图，是的中线，E是的中点，连结，．若的面积是8，则图中阴影部分的面积为（    ） A．4 B．5 C．5.5 D．6 【答案】A 【分析】根据是的中线得，根据E是的中点得，，然后根据求解即可． 【详解】∵是的中线， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解答本题的关键．三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分． 93．（21-22八年级上·浙江·期末）在中， 是的中线，则与的周长之差是 ，面积之比是 ． 【答案】 1 1：1 【分析】根据中线定义可得BD=CD，再根据三角形的周长公式求出两三角形的周长之差=AB-AC，根据等底等高的三角形的面积相等求出面积之比． 【详解】解：∵AD是△ABC中线， ∴BD=CD， ∴△ABD与△ACD的周长之差=（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB-AC， ∵AB=2015，AC=2014， ∴△ABD与△ACD的周长之差=2015-2014=1； 设点A到BC的距离为h， 则S△ABD=BD•h，S△ACD=CD•h， ∴面积之比=1． 故答案为：1；1：1． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形中线的定义，主要利用了等底等高的三角形的面积相等的性质，作出图形更形象直观． 题型二十七 三角形内角与外角综合（共4小题） 94．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图是折叠式沙发椅的示意图，若将度数调到图上所示度数为最舒适角度，求此时 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，延长交于点，根据三角形内角和定理求出，得出，再由三角形外角性质可得 ． 【详解】解：延长交于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴。 故答案为：． 95．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，平分，是的高，． (1)若，求的度数； (2)若为的4倍，求的度数． 【答案】(1)的度数为 (2)的度数为 【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形角平分线和高，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． （1）根据得，利用三角形外角性质得，在中，根据直角三角形性质即可得出的度数； （2）根据为的4倍设，则，根据得，利用三角形外角性质得，在中，根据直角三角形性质可得，则，再根据平分得，然后在中，由三角形内角和定理可得的度数． 【详解】（1）在中，，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是的高， ∴， 在中，； （2）∵为的4倍， ∴设，则， 在中，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是的高， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵平分， ∴， 在中，． 96．（24-25八年级上·浙江·期末）在中，已知点在上，且，点在的延长线上，且． (1)如图，若，，求的度数； (2)试探求与的数量关系； (3)如图，若平分，于点，求证：． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的内角和，三角形的外角，等边对等角，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （）利用等边对等角，结合三角形的内角和定理以及三角形的外角，角的和差关系进行求解即可； （）在中，设，，则，结合，则，，又，则，最后由三角形外角性质和角度和差即可求解； （）由，则，设，则，又平分，所以，然后求出，则，最后由含度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：与的数量关系是：， 理由如下：在中，设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵平分， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 97．（20-21七年级下·江苏扬州·期中）【概念认识】 如图①，在中，若叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．    【问题解决】 (1)如图②，在，，若∠B的三分线交于点D，求的度数； (2)如图③，在中，分别是邻三分线和邻三分线，，求∠A的度数； 【延伸推广】 (3)在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点P．若，直接写出的度数．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)或 (2) (3)或或或 【分析】（1）根据题意可得当是“邻三分线”时，；当是“邻三分线”时，； （2）结合（1）根据、分别是邻三分线和邻三分线，且，即可求的度数； （3）分4种情况进行画图计算：情况一：如图①，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，可得；情况二：如图②，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，可得；情况三：如图③，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，可得；情况四：如图④，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，可得，进而解答． 【详解】（1）解：如图， 当是“邻三分线”时，； 当是“邻三分线”时，；    （2）解：在中， ， ， 又 、分别是邻三分线和邻三分线， ， ， 在中，， ； （3）解：分种情况进行画图计算：    情况一：如图①，当、分别是邻三分线，邻三分线， ；    情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”， 邻三分线， ；    情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”， 邻三分线， ；    情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”， 邻三分线， ； 综上所述：的度数为：或或或． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，列代数式，利用分类讨论思想是解决本题的关键． 1．如图所示，乐乐用手电筒进行物理光学实验．地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的光线从点G出发，在平面镜上的B处反射后，恰好经过木板的边缘点F、落在墙上的点E处、点F到地面的高度米，、到平面镜B的距离相等．图中点、、、在同一条直线上．则灯泡到地面的高度为 米． 【答案】1.5 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据平面镜反射原理得到，可证，得到，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得法线垂直镜面，且， ， ，， （米） 故答案为： ． 2．如图，中，和的外角平分线、交于点P，于点E，若的周长为12，，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查的知识点是三角形的面积、角平分线的性质．先分别作于F、于G，并连接，再根据角平分线的性质证出，再根据三角形面积公式和已知条件求出、的长，然后根据三角形面积公式求出，最后根据求出即可得出答案． 【详解】解：如图，作于F，于G，连结， ∵是的外角平分线，，， ∴， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论：①；②；③④．正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，先由得到，接着就可以利用证明，可知①符合题意；先由得到，接着就可以证明，得到，求出，就可以求出的度数，可知③符合题意；过点作，证明，然后分别找出与的关系，就可以求出的比，可知④符合题意；利用勾股定理可得，则可证明，可知②不符合题意． 【详解】解：， ， ， 又， ． ， ∴是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ，故①正确； ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ； ，且， ，故③正确； 如图，过点作于点F， ，， ， 都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ． ， ， ． ，故④正确； 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴，故②错误， 故答案为：①③④． 4．如图，在中，，的面积为21，的垂直平分线分别交、于点M、N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，连接，，则．的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是把最短问题转化为垂线段最短． 连接，，设中边上的高为h，利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：连接，，设中边上的高为h， ∵面积为，， ∴， ， 垂直平分线段， ， ， 当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ∴此时， 的最小值为， 故答案为：． 5．若不等式组的解集是，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出不等式组的解集，再根据解集为确定出a、b的值，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得 ， ∴不等式组的解集为， ∵解集是， ∴且， 解得，， ∴， 故答案为：1． 6．若三角形的三边长分别是2，x，10，且x是不等式的正整数解，该三角形的周长是 ． 【答案】21或22 【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及三角形的三边关系，根据三角形三边关系得到，解不等式得到，则，x为正整数，故或10，代入求周长． 【详解】解：∵三角形的三边长分别是2，x，10， ∴，即 解不等式， 去分母得， 整理得． 所以． ∵x为正整数， ∴或10． 当时，周长为； 当时，周长为． 故答案为：21或22． 7．在平面直角坐标系中，如果点和关于x轴对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标，根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相同，纵坐标互为相反数，列出方程求解a和b，然后代入计算的值． 【详解】解：∵点和关于x轴对称， ∴横坐标相等：，纵坐标互为相反数：， 解得，， ∴． 故答案为：． 8．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是长方形，点A，C的坐标分别为，，点D是的中点，点P在上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理的应用，学会分类讨论是解决本题的关键． 根据题意分为三种情况：或或，进行作图求解即可． 【详解】解：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时，如图， 在中，，， ∴， ∴P的坐标是； ②以D为圆心，以5为半径画弧交于和点，此时，如图，过作于N，过作于M， 由作图可知四边形和四边形为长方形， ∴，，，， 在中，设，则，，， ∴， 解得， 则的坐标是； 设，则，，， 在中，， 解得， ，， 即的坐标是； ③假设，则由点向OD边作垂线，交点为，如图， 则有， ， 此时的为等边三角形， ∴，，， 代入， 得， ∴排除此种可能． 综上所述，点P的坐标为或或． 故答案为：或或． 9．一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．首先根据直线经过的象限判断的符号，再根据直线的平缓趋势判断的大小，即可得解． 【详解】解：由函数图象经过的象限可知：，，， 直线越陡，越大， ， ． 故答案为：． 10．如果直线过第二、三、四象限， 与x轴的交点为， 那么关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是掌握根据函数图象解不等式的方法．由直线过第二、三、四象限可知，然后画出草图，根据一次函数和一元一次不等式的关系，结合函数图象求不等式的解集． 【详解】解：∵直线过第二、三、四象限， ∴， 又直线与x轴的交点为， ∴草图如下： 不等式表示一次函数图象在x轴下方的部分， 根据图象，当，函数图象在x轴下方， 故不等式的解集是． 故答案是：． 11．某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费y（元）与行李质量之间满足一次函数关系，部分对应值如下表： … 30 40 50 … y（元） … 4 6 8 … 则需付的行李费y（元）与行李质量满足的函数关系是 ． 【答案】（） 【分析】本题考查待定系数法求解析式．根据需付的行李费y（元）与行李质量之间满足一次函数关系，则设，由表格可知，当时，；当时，，分别代入解析式，求出k，b的值，即可解答． 【详解】解：∵需付的行李费y（元）与行李质量之间满足一次函数关系， ∴设， ∵由表格可知，当时，；当时，， ∴， 解得， ∴． 令，解得， ∴当时，需付的行李费y（元）与行李质量满足的函数关系是， 故答案为：（）． 12．如图，函数 的图象分别与x轴，y轴交于点 A，B，的平分线与轴交于点，则点 的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，角平分线的性质，列一元一次方程解决几何问题，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 过点作，交于点，求出直线和坐标轴的坐标，利用角平分线的性质得出，设，则，利用等面积列出方程进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作，交于点， 当时，，即，， 当时，，解得，即，， 由勾股定理得，， ∵平分， ∴， 设，则， ∴， 即， 解得， 即， 故答案为：． $专题07 期末真题百练通关（96题27大热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 从函数图像获取信息（共4小题） 题型二 正比例函数的图像与性质（共5小题） 题型三 一次函数的图像与性质（共6小题） 题型四 待定系数法求函数解析式（共2小题） 题型五 一次函数与方程、不等式（共4小题） 题型六 一次函数与实际问题（共5小题） 题型七 根据点的坐标特征求解（共6小题） 题型八 坐标与图形综合（共4小题） 题型九 点的坐标规律探索（共3小题） 题型十 坐标方法的简单应用（共4小题） 题型十一 与不等式（组）有关的整数解问题（共3小题） 题型十二 由一元一次不等式组的解集求参数（共3小题） 题型十三 由一元一次不等式组的解集的情况求参数（共3小题） 题型十四 一元一次不等式（组）与实际问题（共4小题） 题型十五 利用轴对称的性质求解（共4小题） 题型十六 等腰三角形性质与判定综合（共3小题） 题型十七 等边三角形性质与判定综合（共3小题） 题型十八 利用勾股定理及其逆定理求解（共4小题） 题型十九 勾股定理与实际问题（共4小题） 题型二十 勾股定理与折叠问题（共3小题） 题型二十一 以直角三角形三边为边长的图形面积（共3小题） 题型二十二 利用全等三角形的性质求解（共小题） 题型二十三 全等三角形性质与判定综合（共5小题） 题型二十四 角平分线的性质与判定（共2小题） 题型二十五 垂直平分线的性质与判定（共2小题） 题型二十六 等面积法求高（共1小题） 题型二十七 利用中线求线段、面积（共3小题） 题型二十八 三角形内角与外角综合（共4小题） 题型一 从函数图像获取信息（共4小题） 1．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）材料：甲开汽车，乙骑自行车从A地沿一条笔直的公路匀速前往B地，乙比甲先出发．设乙行驶的时间为，甲，乙两人之间的距离关于时间的函数图象如图所示．根据材料（　　） A．甲行驶的速度是B．在甲出发后追上乙 C．A，B两地之间的距离为D．甲比乙少行驶2小时 2．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）甲、乙两车从地出发，匀速驶向地．已知甲车先出发，乙车才沿相同路线行驶．又过了3小时，甲乙两车同时到达途中某修理厂处，乙未作停留，甲停留后，按原速度继续行驶，到达终点地停止．在此过程中，两车之间的距离与乙车出发的时间之间的函数关系如图所示．有下列结论：①乙车的速度是；②两地相距；③；④当两车相距时，的值分别为0，3.75，7．其中结论正确的是（   ） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①③④ 3．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）【素材1】如图1某景区游览路线及方向如图所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． 【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小明游玩路线①②⑧，他离入口的路程S与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟，小亮游玩路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟． 【问题】（1）小明游玩行走速度为 米/分钟． （2）游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间比游玩路线①④⑤⑥⑦⑧所需要的时间少 分钟． 4．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）渔船常利用超声波来探测远处鱼群的方位，超声波的振幅与传输时间之间的关系如图所示． (1)根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？ (2)结合图象回答： ①当时，h的值是多少？ 在内，当h随t的增大而增大，求t的取值范围． 题型二 正比例函数的图像与性质（共5小题） 5．（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）正比例函数的图象经过，两点，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D．4 6．（24-25八年级上·浙江·期末）已知点和点在正比例函数的图象上，则与的大小关系是（      ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知y是x的正比例函数，当时，；当时， ． 8．（21-22八年级上·上海黄浦·期末）已知正比例函数，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知点． (1)点P在直线上，求a的值； (2)点Q的坐标为，直线轴，求点P坐标． 题型三 一次函数的图像与性质（共6小题） 10．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数的图象如图所示，则点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知一次函数，y随x的增大而增大，则该函数图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．图象经过 B．y随x的增大而减小 C．图象经过一、三、四象限 D．不论x取何值，总有 13．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数． （1）当m 时，y随x的增大而减小； （2）当m ，n 时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方； （3）当m ，n 时，函数图象过原点． 14．（24-25八年级上·浙江金华·期末）已知一次函数，当时，y的最大值为 ． 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数（a为常数，）的图象过点． (1)求一次函数的表达式． (2)若点，都在该函数的图象上． ①当时，求的取值范围． ②请判断，的大小关系，并说明理由． 题型四 待定系数法求函数解析式（共2小题） 16．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知y是关于x的一次函数，下表是部分x与y的对应值，则m的值为（    ） x … 0 1 2 3 … y … 2 m … A． B． C． D． 17．（2025八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点与在直线l上，则直线l必经过（　　） A． B． C． D． 题型五 一次函数与方程、不等式（共4小题） 18．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）一次函数（为常数且与的图象相交于点，则关于的方程的解为 ． 19．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）若关于x的方程有且只有一个解，则a的取值范围为 ． 20．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，直线与直线交点的横坐标为，则的解为 ． 21．（24-25八年级上·浙江·期末）已知直线与直线相交于点，则二元一次方程组的解是 ． 题型六 一次函数与实际问题（共5小题） 22．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）课题学习 已知竹木工厂生产一种产品，该产品售价为1000元/套，原材料成本价为550元/套（含设备损耗等），但在生产过程中平均每生产一套产品产生1吨废水．并且为了达到国家环保要求，工厂需要对废水进行脱硫、脱氮等处理工作．现有两种处理废水的方案可供选择： 方案一：由工厂直接处理，费用为50元/吨，并且每月需额外支出设备维护及损耗费为20000元； 方案二：由废水处理厂统一处理，费用为150元/吨． 请你为该厂设计根据月生产量选择废水处理的方案，使得既达到环保要求，又获得最高利润（可设每月生产了套产品，获得了元的月利润）． 23．（24-25八年级上·浙江·期末）某经销商计划用40000元一次性采购A，B两种计算器共100 台，这两种计算器的进价和售价如下表： A品牌计算器 B品牌计算器 进价(元/台) 700 100 售价(元/台) 900 160 设经销商购进A品牌计算器x台，售完这批计算器获利y元． (1)求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围． (2)若要求售完后获利不少于12720元，该经销商有哪几种进货方案？ 24．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）年舟山群岛马拉松，吸引了来自个国家和地区的约名运动员参与，以“向海风许愿，在山海相见”为主题，展现了舟山“海上花园城”的独特魅力，促进了国际间的体育和文化交流．甲、乙两名业余选手参加了本次比赛，两人同时到达第一个补给点，乙在第一个补给点停留了一段时间．从第一个补给点到终点过程中，甲、乙两名选手距离第一个补给点的路程s（）与时间t（）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： (1)直接写出乙在第一个补给点停留的时间与图中m的值． (2)在这段过程中，甲、乙两人的速度分别是多少？ (3)乙经过第一个补给点后多长时间，甲乙两名选手相距？ 25．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图1是甲、乙、丙三个圆柱形无盖容器的截面示意图．其中，乙容器底部放置了一块长方体铁块，乙容器和丙容器之间有一根管子连通（管子体积可忽略不计）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器中，则三个容器中水的深度h（厘米）与注水时间t（分）之间的关系如图2所示．请结合图像提供的信息，解答下列问题． (1)乙容器中铁块的高度是 ． (2)当甲、乙两容器中水的深度相同时，求注水时长． (3)若甲容器的底面积为，丙容器的底面积为，则a的值为 ． 26．（24-25八年级上·浙江温州·期末）数学项目小组为解决由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计设计问题，经调研，获得如下信息： 信息1 如图1，弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，，弹簧拉力与长度之间有关系式；测得弹簧拉力与长度的对应数据如下表： 弹簧长度 10 15 20 25 拉力 5 10 15 20 信息2 在弹性限度内，弹簧A，B伸长后最大长度均为．弹簧每根6元，弹簧每根3元． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)在图2中，描出对弹簧测得数据的各对与的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上． (2)求关于的函数表达式，并求出弹簧在弹性限度内的最大拉力． (3)如何购买A，B两种弹簧，在弹性限度内，使并联后的弹簧拉力计的拉力最大；并求出弹簧拉力计的最大拉力． 题型七 根据点的坐标特征求解（共6小题） 27．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如果点在轴上，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知平面直角坐标系上有一点位于第二象限，则m的值可能为（   ） A． B．1 C． D． 29．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知点在第四象限，且点到两坐标轴的距离相等，则 ． 30．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）若是第二象限内一点，向右平移2个单位后再向下平移3个单位，该点运动到第四象限，则m的取值范围是 ． 31．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）已知点． (1)当点在轴上时，求的值． (2)当点在第二象限时，求的取值范围． (3)当点到轴的距离是4时，求的值． 32．（23-24八年级上·浙江杭州·开学考试）已知，，． (1)若点C在第二象限内，且，，求点C的坐标，并求的面积； (2)若点C在第四象限内，且的面积为8，，求点C的坐标． 题型八 坐标与图形综合（共4小题） 33．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，则称点为点的“关联点”．例如，点 ，则点 是点的“关联点”． (1)若点，则点的坐标为______； (2)若点则点的坐标为（______）；并猜想：若点在轴上，则中，的关系式：______． (3)若点是点的“关联点”，若点向右平移个单位可与重合，求点的坐标． 34．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点与点关于轴对称． (1)画出点的位置，并求点的坐标． (2)连接，，，求的面积． (3)将点向右平移个单位得到点，连接，若，请你直接写出的值． 35．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且，点的坐标为． (1)求出的值及； (2)若点是轴上一点，且，求点的坐标． 36．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，给出如下定义：若P为内（不含边界）一点，且与的一条边相等，则称点P为的和谐点．    (1)在中，的和谐点是_______； (2)若点P为的和谐点，且，求点P的坐标； (3)直线l为过点且与x轴平行的直线，若直线l上存在的二个和谐点，请直接写出m的取值范围． 题型九 点的坐标规律探索（共3小题） 37．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，一机器人从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到…则第2025次运动到的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 38．（24-25八年级上·浙江金华·期末）正方形、正方形、正方形……按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 39．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，以为边在轴右侧作等边，过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边，再过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边 按此规律继续作下去，则点的纵坐标为(    )    A． B． C． D． 题型十 坐标方法的简单应用（共4小题） 40．（23-24八年级上·浙江温州·期末）如图是某景点示意图，建立直角坐标系（以南北方向为纵轴，东西方向为横轴），湿地和古村落的坐标分别为，，流动服务站在原点．若要使服务站到古村落和沙滩的距离相等，则该服务站需（    ） A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位 41．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）象棋在中国有着三千多年的历史，老少皆宜．其中棋盘、棋子都蕴含着中国文化，如图，已知“炮”所在位置的坐标为，“士”所在位置的坐标为，“相”所在位置的坐标为，则“马”所在位置的坐标为 ． 42．（23-24七年级下·浙江台州·期末）周末到了，小华和小军相约去九龙湖游玩．小华和小军对着如图所示的部分景区示意图分别描述玖珑花海的位置（图中小正方形的边长代表300米长，所有景点都在格点上）． 小华说：“玖珑花海在听雨轩古宅的东北方向约420米处．” 小军说：“玖珑花海的坐标是．” (1)小华是用________和________描述玖珑花海的位置； (2)小军同学是如何在景区示意图上建立坐标系的？请在图上做出平面直角坐标系； (3)在（2）的基础上，请写出以下景点的坐标：生态湿地________，音乐喷泉广场________． 43．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图1是路桥区地图的一部分，其示意图如图2．分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，已知黄石公园A的坐标为． (1)分别写出路桥区政府B，街心公园C的坐标； (2)连接，平移线段，使点A和点B重合，在图2中画出点C的对应点D，并写出点D的坐标． 题型十一 与不等式（组）有关的整数解问题（共3小题） 44．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（   ） A． B． C． D． 45．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）若关于x的不等式组所有整数解的和为9，则整数m的值为 ． 46．（22-23七年级下·浙江台州·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是______；（填序号） (2)关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有个整数解，试求的取值范围． 题型十二 由一元一次不等式组的解集求参数（共3小题） 47．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）已知关于x的不等式只有两个负整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．（20-21八年级上·浙江·期末）若关于的一元一次不等式组的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 49．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）若关于x的不等式组有且仅有一个整数解，则实数a的取值范围是 ． 题型十三 由一元一次不等式组的解集的情况求参数（共3小题） 50．（20-21八年级上·浙江·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 51．（20-21八年级上·浙江杭州·期末）若关于的不等式组有解，则一次函数的图象一定不经过的象限是（　　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 52．（20-21七年级下·全国·期末）若关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是 ． 题型十四 一元一次不等式（组）与实际问题（共4小题） 53．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）舟山市某校第届科技体育人文艺术节，吉祥物“菱菱”脱颖而出，学校将它定制成钥匙扣和立牌．若定制钥匙扣件，立牌2件共需要8元；若定制钥匙扣件，立牌5件共需要元． (1)钥匙扣和立牌单价分别是多少？ (2)学校计划购买钥匙扣和立牌共件，总费用不超过元，那么最多能购买立牌多少件？ 54．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）学校组织学生进行一次徒步旅行．校门口到A，B，C三个景点的距离分别为，，，学生从校门口出发，以平均每小时的速度前往景点，在景点游玩时间为t小时，再以平均每小时的速度返回． (1)若学校组织学生前往景点C游玩，且恰好在返回校门口，求t的最大值； (2)若，学生在前返回校门口，则学校可能组织学生去A，B，C中的哪几个景点？ 55．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进，两类图书，已知购进3本类图书和4本类图书共需192元；购进6本类图书和2本类图书共需240元． (1)，两类图书每本的进价各是多少元？ (2)该书店计划恰好用元来购进这两类图书，设购进类本，类本． ①求关于的关系式． ②进货时，类图书的购进数量不少于500本，已知类图书每本的售价为38元，类图书每本的售价为30元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？ 56．（23-24八年级上·浙江金华·期末）为了抓住亚运会商机，某商店决定购进宸宸，莲莲两种亚运会纪念品，若购进宸宸10件，莲莲5件，需要1000元；若购进宸宸5件，莲莲3件，需要550元．    (1)求购进宸宸，莲莲两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，考虑到市场需求，要求购进宸宸的数量不少于莲莲数量的6倍，且不超过莲莲数量的8倍． ①设购进宸宸m件，则购进莲莲件(用含m的代数式表示)，该商店共有几种进货方案？ ②若销售宸宸每件可获利润20元，莲莲每件可获利润30元，销售这两种亚运会纪念品的利润为w元，求w关于m的函数关系式，并求出最大利润是多少元？ 题型十五 利用轴对称的性质求解（共4小题） 57．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，点，，在同一直线上，沿折叠，点恰好落在的直角顶点处．若，，则的值为(    ) A．2 B． C．4 D． 58．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，将沿折叠，的对应边恰好经过顶点A，，设，，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 59．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，动点在线段上，以为边在右侧作等腰，使，，点为边上动点，连接，则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 60．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，点是边上的动点，点关于直线、的对称点分别为、，当线段的长度最短时，它与所成的夹角的度数为 ． 题型十六 等腰三角形性质与判定综合（共3小题） 61．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，作射线是腰的高线，E是外射线上一动点，连接． (1)当时，求的长； (2)当时，求证：； (3)设的面积为，的面积为，且，有没有可能为等腰三角形，若有可能，求出相应的． 62．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，为上的中线，，垂足为点E，点F为中点，连接． (1)求证：． (2)已知，求的度数． 63．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图1，在中，，，在的延长线上取点D，以为斜边作等腰，交于点F，延长，交于点G． (1)求的度数． (2)当点B是的中点时，求证：． (3)取的中点H，连结，如图2，判断的形状，并说明理由． 题型十七 等边三角形性质与判定综合（共3小题） 64．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，是等边三角形，为平面内一点，连接，将绕点逆时针旋转度得到线段，连接，． (1)如图1，若，求和的数量关系； (2)如图2，若，连接，，已知是的中点，试判断与的位置关系并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，，分别是，上的动点，且，是线段的中点，连接，求当取最小值时的度数． 65．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）在数学综合实践课上，贺老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点A与边中点F重合，折痕为，分别交边、边于点D、点E． ①求的度数．②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形． 纸片，，折叠该纸片，使点A落在边上的点F处，折痕为，分别交边、边于点D、点E．若，，求的长度． (3)深度探究 如图3，折叠（、为锐角）纸片，使点A落在的下方点F处，折痕分别交边、边于点D、点E，线段与分别交于点M、点N，若，点D、点F到的距离相等，求证：． 66．（24-25八年级上·浙江金华·期末）【问题探究】 （1）如图1，已知和均为等腰三角形且， ①连接，求证：． ②如图2，线段交线段于点E，交线段于点F，且．若，，求线段的长． 【学以致用】 （2）如图3，已知点C在的右侧，连接．若，，且，求线段的长． 题型十八 利用勾股定理及其逆定理求解（共4小题） 67．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，，，若于D，则CD的长 ． 68．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，则的长为 ． 69．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）在中，已知，，，D是上一点，且，则的长是 ． 70．（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）如图，以的每一条边为边，在边的同侧作三个正三角形、和．已知这三个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和．则 °． 题型十九 勾股定理与实际问题（共4小题） 71．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）明朝数学家程大位曾作词《西江月·秋千索长》．该诗词翻译后的示意图中，、表示秋千的绳索，，，，则该秋千的索长 ． 西江月·秋千索长 【明】程大位 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士好奇，算出索长有几？ 72．（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，M，N是线段上的两个动点，且，则与周长和的最小值是 ． 73．（21-22八年级上·浙江丽水·期末）《九章算术》有一问题∶“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可表述为∶“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上，如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上，则木杆长为 尺．”（说明：1丈=10尺） 74．（24-25八年级上·广东茂名·期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（    ） A． B． C． D． 题型二十 勾股定理与折叠问题（共3小题） 75．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，．将折叠，使点与边的中点重合，折痕为，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 76．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点B，C恰好都落在F点，且D，F，G三点共线．已知，，则 ． 77．（23-24八年级上·浙江温州·期末）如图，折叠等腰三角形纸片，使点C落在边上的点F处，折痕为． (1)已知，则 度； (2)在（1）的条件下，如果，则 ． 题型二十一 以直角三角形三边为边长的图形面积（共3小题） 78．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，于点．分别以为边向外作正方形，得到较大的三个正方形的面积分别为，那么最小的正方形面积为（） A．5 B．6 C．7 D． 79．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）如图，在直角三角形中，，以，，为边作正方形，正方形，正方形．设的面积为，的面积为，的面积为，四边形CHET的面积为，四边形的面积为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 80．（24-25八年级上·浙江金华·期末）勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为 ． 题型二十二 全等三角形性质与判定综合（共5小题） 81．（25-26八年级上·浙江·期末）如图，在和中，与相交于点，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 82．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图1，在中，，点是上一点，且，点为延长线上一点，且，设． (1)用含的代数式表示的度数； (2)求的长； (3)如图2，在延长线上有一点，满足，连接，与交于点，在上取点F，使，求证：． 83．（25-26八年级上·浙江金华·期中）【尝试探索】（1）如图1，中，，直线 经过点，过作于点，过作于点．求证：． 【拓展提升】（2）如图2，在中，是上一点，，，求点到边的距离． 84．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”． (1)①点，，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，，则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 ． (2)如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标． (3)若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式． 85．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，和都是等边三角形，轴，垂足是E． 【问题提出】 （1）如图①，已知点，求线段BD的长度； 【尝试探究】 （2）如图②，设交x轴于点F，连接AF，探究与的数量关系； 【拓展延伸】 （3）如图③，若等边的边长是8，C是x轴上的一个动点且在点E左侧，点D在直线的下方，连接，请直接写出线段的最小值． 题型二十三 角平分线的性质与判定（共2小题） 86．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求证：平分． (2)求证：平分． (3)若，，，，求的面积． 87．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在锐角三角形中，，是角平分线，分别是，的高，点E在上，且，动点F在边上（不包括两端点），连接． 【问题感知】(1)填空： （填“”，“”或“”）； 【探究发现】(2)若，小杰经过探究，得到结论：．请你帮小杰证明此结论； 【类比探究】(3)若，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展提升】(4)已知，，，若点E关于DF的对称点落在边AC上，连接，请直接写出的面积． 题型二十四 垂直平分线的性质与判定（共2小题） 88．（23-24八年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，边，的垂直平分线分别交于点D，E．    (1)若，，则 ； (2)若，求的度数； (3)设直线，交于点O，判断点O是否在的垂直平分线上．   89．（20-21八年级上·浙江杭州·期末）已知，，，且． (1)如图①，若点在线段上，连接，试判断的形状，并说明理由． (2)如图②，连接，，且与相交于点，若，，，求和的长． 题型二十五 等面积法求高（共1小题） 90．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）学习了勾股定理后，老师给大家留了一个作业题，小华看了后，无从下手，请你帮帮小华．如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则CD的长是（    ） A． B．4 C． D． 题型二十六 利用中线求线段、面积（共3小题） 91．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，点，，分别是，，的中点，若的面积为，则的面积为(        )    A． B． C． D． 92．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）如图，是的中线，E是的中点，连结，．若的面积是8，则图中阴影部分的面积为（    ） A．4 B．5 C．5.5 D．6 93．（21-22八年级上·浙江·期末）在中， 是的中线，则与的周长之差是 ，面积之比是 ． 题型二十七 三角形内角与外角综合（共4小题） 94．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图是折叠式沙发椅的示意图，若将度数调到图上所示度数为最舒适角度，求此时 ． 95．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，平分，是的高，． (1)若，求的度数； (2)若为的4倍，求的度数． 96．（24-25八年级上·浙江·期末）在中，已知点在上，且，点在的延长线上，且． (1)如图，若，，求的度数； (2)试探求与的数量关系； (3)如图，若平分，于点，求证：． 97．（20-21七年级下·江苏扬州·期中）【概念认识】 如图①，在中，若叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．    【问题解决】 (1)如图②，在，，若∠B的三分线交于点D，求的度数； (2)如图③，在中，分别是邻三分线和邻三分线，，求∠A的度数； 【延伸推广】 (3)在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点P．若，直接写出的度数．（用含m的代数式表示 1．如图所示，乐乐用手电筒进行物理光学实验．地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的光线从点G出发，在平面镜上的B处反射后，恰好经过木板的边缘点F、落在墙上的点E处、点F到地面的高度米，、到平面镜B的距离相等．图中点、、、在同一条直线上．则灯泡到地面的高度为 米． 2．如图，中，和的外角平分线、交于点P，于点E，若的周长为12，，，则 ． 3．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论：①；②；③④．正确的是 （填序号）． 4．如图，在中，，的面积为21，的垂直平分线分别交、于点M、N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，连接，，则．的最小值为 ． 5．若不等式组的解集是，则的值是 ． 6．若三角形的三边长分别是2，x，10，且x是不等式的正整数解，该三角形的周长是 ． 7．在平面直角坐标系中，如果点和关于x轴对称，则 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是长方形，点A，C的坐标分别为，，点D是的中点，点P在上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ． 9．一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是 ．（用“”连接） 10．如果直线过第二、三、四象限， 与x轴的交点为， 那么关于x的不等式的解集是 ． 11．某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费y（元）与行李质量之间满足一次函数关系，部分对应值如下表： … 30 40 50 … y（元） … 4 6 8 … 则需付的行李费y（元）与行李质量满足的函数关系是 ． 12．如图，函数 的图象分别与x轴，y轴交于点 A，B，的平分线与轴交于点，则点 的坐标为 ． $