已知线面角求其他量、已知二面角求其他量、立体几何新定义问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

已知线面角求其他量、已知二面角求其他量、立体几何新定义问题专项训练 已知线面角求其他量、已知二面角求其他量、立体几何新定义问题专项训练 考点目录 已知线面角求其他量 已知二面角求其他量 立体几何新定义问题 考点一 已知线面角求其他量 例1．（25-26高二上·广东广州·月考）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，是棱的中点. (1)设. ①证明：平面平面. ②求点到平面的距离. (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面的夹角. 例2．（25-26高三上·安徽合肥·月考）如图，四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面.    (1)证明：； (2)若点是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 例3．（25-26高二上·云南昆明·月考）如图，在四棱柱中，平面，，，，为线段的中点，且． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)已知点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 变式1．（25-26高三上·湖南·月考）如图，在斜三棱柱中，，O是BC的中点． (1)求证：平面平面； (2)若底面ABC，且直线与底面ABC所成角为，D是棱的中点，求平面与平面ABC夹角的余弦值． 变式2．（25-26高三上·陕西商洛·月考）如图，在正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，D为棱的中点，E是棱上的动点（不与B、重合），连接BD．     (1)证明：． (2)已知直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面ABC夹角的余弦值. 变式3．（25-26高三上·重庆·月考）如图，平行四边形ABCD中，，，点E，G分别为线段AD，BC的中点，现将沿BE对折至，连接PC，PD，PG． (1)证明：； (2)当直线PG与平面BCDE所成夹角为30°时，若点M为线段PC上（不含端点）的动点，当为何值时，平面PBE与平面MGD所成夹角也为30°． 考点二 已知二面角求其他量 例1．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面平面ABCD，是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中，，，M为线段PA中点，连接BM．    (1)求M到平面PCD的距离； (2)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 例2．（25-26高二上·河南·月考）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，．平面平面为的中点，点为线段上的动点（点不与点重合）． (1)求证：平面． (2)当时，求证：平面． (3)是否存在点，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 例3．（2026·广东茂名·一模）如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点．    (1)若，证明：平面； (2)已知，平面和平面的夹角的余弦值为，求四棱锥的体积． 变式1．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，已知圆台，AB，CD，EF均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，． (1)证明：； (2)求异面直线EF与BC所成角； (3)已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长． 变式2．（25-26高二上·河南商丘·月考）如图，四棱锥的底面为正方形，平面平面ABCD，，，M为线段AD的中点，点Q为线段PB上一动点（不包含两端点）．    (1)若， （ⅰ）证明：平面PCD； （ⅱ）求直线CD与平面所成角的正弦值． (2)若平面与平面PCD的夹角的余弦值为，求MQ的长度． 变式3．（25-26高三上·江苏·月考）如图，在三棱柱中，为等腰直角三角形，，，，为棱的中点，为棱上的一点. (1)求证：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 考点三 立体几何新定义问题 例1．（25-26高二上·广东深圳·月考）在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为． (1)已知直线的方程为，请写出直线上一个点的坐标和直线的一个方向向量； (2)若直线与都在平面内，求平面的方程； (3)若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值． 例2．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个与、都垂直的向量，且它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段AD上一点． (1)求； (2)若为线段的中点，求二面角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26高二上·山东日照·月考）如图1，在平面四边形中，，，，是等腰直角三角形，，将沿折叠到的位置，形成如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：； (2)已知三棱锥，外接球球心为. ①若为线段上动点（不包含点），为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值. ②类似于平面中三角形的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则，当、、时，请在图3的基础上，试证三面角余弦定理，并用该结论求图2中二面角的余弦值. 变式1．（24-25高二上·辽宁·开学考试）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．已知三棱锥如图所示． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为，求点A到平面PBC的距离； (3)在（2）的前提下，又知点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度． 变式2．（24-25高二上·安徽六安·月考），，，，为空间中五点（，，，不共面），若满足，则为射线组的空间角平分线. (1)证明：由一点引出的不共面的三条射线有且仅有一条空间角平分线； (2)已知在三棱锥中，射线组，，的空间角平分线交于一点. （ⅰ）证明：射线组的空间角平分线为； （ⅱ）已知，，，求. 变式3．（24-25高二上·内蒙古兴安盟·月考）在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为. (1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； (2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，点到平面的距离； (3)若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积. 2 学科网（北京）股份有限公司 $已知线面角求其他量、已知二面角求其他量、立体几何新定义问题专项训练 已知线面角求其他量、已知二面角求其他量、立体几何新定义问题专项训练 考点目录 已知线面角求其他量 已知二面角求其他量 立体几何新定义问题 考点一 已知线面角求其他量 例1．（25-26高二上·广东广州·月考）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，是棱的中点. (1)设. ①证明：平面平面. ②求点到平面的距离. (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面的夹角. 【答案】(1)①证明见解析；② (2). 【详解】（1）①证明：取棱的中点，连接，. 因为，且是棱的中点，所以. 因为，且是棱的中点，所以. 因为，所以. 因为，所以，所以. 因为平面，平面，且， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. ②解：由①可知，，两两垂直，则以为坐标原点， ，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图1所示的空间直角坐标系. 由题中数据可得，，，， 则，，. 设平面的法向量为， 则令，得， 故点到平面的距离为. （2）解：以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图2所示的空间直角坐标系. 设（）， 则，，，， 故，，. 设平面的法向量为， 则 令，得. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以，解得. 因为，所以，则，. 因为，，，所以，. 设平面的法向量为， 则令，得. 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面的夹角为. 例2．（25-26高三上·安徽合肥·月考）如图，四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面.    (1)证明：； (2)若点是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，连接与交于点， 在底面矩形中，可得，， 即，则， 可得，所以， 因为平面， ，则平面， 且，所以， 因为，平面 可得平面，且平面， 所以. （2）以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，    则， 可得，，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设，其中， 则， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 则， 整理可得，解得或（舍去），即. 例3．（25-26高二上·云南昆明·月考）如图，在四棱柱中，平面，，，，为线段的中点，且． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)已知点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）因为平面平面，所以， 又，，，平面，所以平面， 又平面，所以． 故，，，建立以为坐标原点的空间直角坐标系，如图： 则，，，， 得，， 则直线与所成角的余弦值为． （2）因为，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，，则， 故点到平面的距离； （3）因为点在线段上， 所以设，其中，则． 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，，是平面的一个法向量， 故直线与平面所成角的正弦值为， 解得或． 故线段的长为或． 变式1．（25-26高三上·湖南·月考）如图，在斜三棱柱中，，O是BC的中点． (1)求证：平面平面； (2)若底面ABC，且直线与底面ABC所成角为，D是棱的中点，求平面与平面ABC夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接， 因为，O是BC的中点，所以， 又因为，， 所以与全等，所以， 又O是BC的中点，所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）取，由题意可得，所以， 若底面ABC，又底面，所以， 因为底面ABC，所以是直线在平面内的射影， 所以为直线与底面ABC所成的角，所以， 所以，所以， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， ， 所以， ， 设平面的一个法向量为， ，令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为底面ABC，所以平面ABC的一个法向量为， 设平面与平面ABC的夹角为， 所以， 所以平面与平面ABC夹角的余弦值． 变式2．（25-26高三上·陕西商洛·月考）如图，在正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，D为棱的中点，E是棱上的动点（不与B、重合），连接BD．     (1)证明：． (2)已知直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面ABC夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）在正三棱柱中，取中点，连接，则， 由D为棱的中点，得，而平面，则平面， 又平面，于是，由平面， 得平面，而平面，因此，而， 所以. （2）由（1）得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设，则， 平面平面，则平面与平面的一个法向量均为， 由直线与平面所成角的正弦值为， 得，解得， ，而，设平面的法向量为， 则，取，得， 所以平面与平面ABC夹角的余弦值为. 变式3．（25-26高三上·重庆·月考）如图，平行四边形ABCD中，，，点E，G分别为线段AD，BC的中点，现将沿BE对折至，连接PC，PD，PG． (1)证明：； (2)当直线PG与平面BCDE所成夹角为30°时，若点M为线段PC上（不含端点）的动点，当为何值时，平面PBE与平面MGD所成夹角也为30°． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：取BE中点为O，连接OP，OG，EG， ∵E，G分别为AD，BC的中点，且， ∴四边形ABGE为菱形，∴，， 又∵O为BE的中点，∴，， 又∵OP，平面OPG，， ∴平面OPG， 又∵平面OPG，∴． （2）由（1）可得平面OPG， 又∵平面BCDE，∴平面平面OPG， ∵平面平面， ∴在平面OPG内，过P作OG的垂线交GO的延长线于H， 则有平面BCDE， 过O点作，则有平面BCDE， 又∵，∴分别以OG，OE，OQ为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设平面PBE的法向量为，平面MGD的法向量为． ∵直线PG与平面BCDE所成夹角为30°，即， 又∵，∴， 则，， 则有，，， ，，，， 由，， 可得， 由，， ， 可得， ，解得． 考点二 已知二面角求其他量 例1．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面平面ABCD，是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中，，，M为线段PA中点，连接BM．    (1)求M到平面PCD的距离； (2)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，. 【详解】（1）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，    则，， 设平面的法向量为，则，取，得， 又，所以到平面的距离. （2）令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 平面的法向量为， 则， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 例2．（25-26高二上·河南·月考）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，．平面平面为的中点，点为线段上的动点（点不与点重合）． (1)求证：平面． (2)当时，求证：平面． (3)是否存在点，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，或. 【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接. 因为四边形是矩形，所以为的中点． 又因为为的中点，所以在中，. 因为平面平面，所以平面. （2）证明：因为，所以． 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. 因为平面，所以． 因为，所以两两垂直． 以点为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 因为，所以． 因为 ， 所以，即. 又因为平面平面， 所以平面. （3）解：设， 则． 设平面的法向量为， 则 即 令，则， 所以， 取平面的法向量， 则 ， 化简得，解得或． 所以或． 例3．（2026·广东茂名·一模）如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点．    (1)若，证明：平面； (2)已知，平面和平面的夹角的余弦值为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【详解】（1）因为平面，平面，所以，是直角三角形， 因为是的中点，所以，因为，所以，可得， 因为平面，，所以， 因为，，，平面，，所以平面； （2）设，因为两两垂直，以为坐标原点，向量分别为轴建立空间直角坐标系， 有， 设平面的法向量为，由， 有， 取，可得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，由， 有， 取，可得平面PCD的一个法向量为， 又由，， 有，又由平面和平面的夹角的余弦值为，有， 解得， 故，所以．    变式1．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，已知圆台，AB，CD，EF均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，． (1)证明：； (2)求异面直线EF与BC所成角； (3)已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)1. 【详解】（1）在圆台中，由为该圆台的母线，得的延长线交于一点， 所以四点共面， 而平面平面，平面平面，平面平面， 所以. （2）连接，由直线为圆台的轴，得的延长线交于一点， 由（1）同理得，由，得， 则，而，因此，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设， 则， ，则，即， 所以异面直线EF与BC所成角为. （3）由（2）得， 设平面与平面的法向量分别为， 则，取，得， ，取，得， 由二面角的余弦值为， 得， 所以，所以圆台的高的长为1. 变式2．（25-26高二上·河南商丘·月考）如图，四棱锥的底面为正方形，平面平面ABCD，，，M为线段AD的中点，点Q为线段PB上一动点（不包含两端点）．    (1)若， （ⅰ）证明：平面PCD； （ⅱ）求直线CD与平面所成角的正弦值． (2)若平面与平面PCD的夹角的余弦值为，求MQ的长度． 【答案】(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） (2) 【详解】（1）取CD的中点O，连接PO， 因为，所以， 因为，所以， 因为平面平面ABCD，平面平面，平面， 所以平面ABCD， 以O为原点，以平行于BC的直线为x轴，以OC，OP所在直线分别为y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，，， 因为，所以Q为PB的中点，所以，所以， （ⅰ）易知平面PCD的一个法向量为， 则，即， 因为平面PCD，所以平面PCD； （ⅱ）由上面分析得，，设平面的法向量为， 由，得，取，则． 则， 故直线CD与平面所成角的正弦值为． （2）由上可知，，，， 设，则， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 取，则， 又知平面PCD的一个法向量为， 所以， 整理得，解得或（舍去）， 所以，则，所以， 故的长度为． 变式3．（25-26高三上·江苏·月考）如图，在三棱柱中，为等腰直角三角形，，，，为棱的中点，为棱上的一点. (1)求证：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见详解； (2). 【详解】（1）因为，所以侧面为矩形，故， 又，即，且，平面， 所以平面， 而平面，故， 又，，故为等边三角形， 所以， 因为是线段的中点，故， 且，平面，故平面， 因为平面，故， 又，所以平面. （2）由（1）知，平面，又平面， 故平面平面， 以为原点，，所在直线分别为x，y轴， 过点C在平面内作垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 由（1）知为等边三角形，故为等边三角形，且轴， 所以，，，，， ，设，，， 则，解得， 故， 易得平面的一个法向量为， 设平面的法向量，则， 令，则. 记平面与平面夹角为， 故 ， 整理得，解得或（舍去）， 所以. 考点三 立体几何新定义问题 例1．（25-26高二上·广东深圳·月考）在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为． (1)已知直线的方程为，请写出直线上一个点的坐标和直线的一个方向向量； (2)若直线与都在平面内，求平面的方程； (3)若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)直线上一个点的坐标为，直线的一个方向向量为 (2) (3)的体积为，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为 【详解】（1）因为直线的方程为，即， 可得直线上一个点的坐标为，直线的一个方向向量为． （2）直线的方程为，即， 可知直线过点，直线的一个方向向量， 因为， 所以直线过点，且其一个方向向量为， 则为平面内一点， 设平面的法向量为， 则，令，则，可得， 所以平面的方程为，即． （3）由集合可知， 多面体与坐标轴交于各点， ，如图所示， 可知四边形为正方形，边长， 所以正方形的面积为， 而正四棱锥的高为，则， 所以多面体的体积为， 由集合所有的点构成了多面体的各个面， 点均满足方程， 可知平面的方程为，且该平面的一个法向量为， 同理可知，平面的方程为，该平面的一个法向量为， 平面的方程为，该平面的一个法向量为， 所以， 由对称性可知，任意相邻两平面的夹角的余弦值都为， 故多面体相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为， 综上，的体积为，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为． 例2．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个与、都垂直的向量，且它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段AD上一点． (1)求； (2)若为线段的中点，求二面角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在； 【详解】（1）因为底面为矩形，所以，， 又底面，底面， 所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为，所以为直线与所成角，即， 在直角中， 所以， . （2）因为且为矩形， 所以可如图建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量， 则， 令，得   所以， 因为  所以平面的法向量可取， 设二面角的平面角为 ，则， 所以 ，     所以， 所以二面角的正弦值为． （3）依题意，，， 又， 所以，， 设，， 则 ， 所以， 由， 得 ，  所以 ， ， 由（1）知， 又因 ， 所以， 所以线段上存在点，使得，此时． 例3．（25-26高二上·山东日照·月考）如图1，在平面四边形中，，，，是等腰直角三角形，，将沿折叠到的位置，形成如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：； (2)已知三棱锥，外接球球心为. ①若为线段上动点（不包含点），为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值. ②类似于平面中三角形的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则，当、、时，请在图3的基础上，试证三面角余弦定理，并用该结论求图2中二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2)①的最小值为；②证明见详解；二面角的余弦值为 【详解】（1）因为，，，由勾股定理得，. 因是等腰直角三角形，且，所以，. 在中，，所以，即. 因，，与相交于点，且平面，所以平面. 而平面，所以. （2）过点作平面. 以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系. 因为，所以. 因为，，与相交于点，且平面，所以平面. 则，，，线段的中点 因三棱锥底面为直角三角形，所以三棱锥的外接球球心在底面斜边上的中点的上方. 又因为球心距离点和的距离相等，所以球心. ①因为线段的中点，所以；为线段中点，所以 点在线段上运动，设，. ，，设平面的法向量为. 则，不妨令，则平面的一个法向量为. ，，设平面的法向量为. 则，不妨令，则平面的一个法向量为. 平面与平面的夹角为，则 因，所以要求的最小值，即求的最大值. . 设，则，则. 则，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. ②证明：点为射线上一点，过作交于，作交于，连接，则是二面角的平面角. 在中，由余弦定理得，； 在中，由余弦定理得，. 两式相减得， 由勾股定理得，，， 所以有 两边同时除以得，，即. 在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得. 设二面角的大小为， 则， 代入解得，所以二面角的余弦值为 变式1．（24-25高二上·辽宁·开学考试）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．已知三棱锥如图所示． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为，求点A到平面PBC的距离； (3)在（2）的前提下，又知点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度． 【答案】(1)2 (2) (3) 【详解】（1）根据离散曲率的定义得， ， ， 又因为 ， 所以． （2）∵平面平面，∴， 又∵，平面，∴平面， ∵平面，∴， ∵，即 ∴，∴，过点A作于点， 由平面平面，得， 又平面，则平面， 因此点A到平面PBC的距离为线段的长，在中，， ∴点到平面的距离为. （3）过点作交于，连结， ∵平面，∴平面， ∴为直线与平面所成的角， 依题意可得，， ， ，， 设，则， 在中， ， 又，所以， 则， ∴，解得：或（舍） 故. 变式2．（24-25高二上·安徽六安·月考），，，，为空间中五点（，，，不共面），若满足，则为射线组的空间角平分线. (1)证明：由一点引出的不共面的三条射线有且仅有一条空间角平分线； (2)已知在三棱锥中，射线组，，的空间角平分线交于一点. （ⅰ）证明：射线组的空间角平分线为； （ⅱ）已知，，，求. 【答案】(1)见解析 (2)（i）见解析；（ii） 【详解】（1）（1）证明：设点为原点，向量、、不共面，射线是射线组的空间角平分线. 由已知可得向量与向量、、的夹角相等且都是锐角， 这等价于向量在向量、、上的投影相等，且都是正值. 由向量在向量、、上的投影相等，可得到直线的距离相等； 由这些投影都是正值，所以点在直线上的投影点都在射线上. 不妨调整向量、、的长度（方向不变）， 使得向量在向量、、上的投影向量正好是向量、、， , , , ，平面, 则平面, 由于过一点与一定平面垂直的直线有只有一条， 所以直线有且只有一条， 又因为，所以射线有且只有一条； （2）（ⅰ）证明： 由于射线组，，的空间角平分线交于一点， 由空间角平分线的定义，根据（1）中的分析，可知 点到直线的距离相等①，点到直线的距离相等②， 点到直线的距离相等③， 由①②得点到直线的距离相等，点到的距离相等， 所以点到的距离相等， 同理由①③可得点到的距离相等， 所以点到的距离相等， 所以与所成的角相等， 根据已知，显然点在三棱锥中， 所以射线组的空间角平分线为； （ⅱ）解：由题意，各个射线组的起始点到在各个射线组的射线上的射影距离相等， 已知，，. 设在三棱锥各棱上的射影(垂线的垂足)依次为,如图所示. 设，则, ，解得, 所有, 变式3．（24-25高二上·内蒙古兴安盟·月考）在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为. (1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； (2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，点到平面的距离； (3)若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题可知，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则有， 所以，直线与平面所成角的余弦值为. （2）由题可知平面的法向量为，且过点， 因为,所以，所以点到平面的距离为. （3）建立空间直角坐标系，分别画平面， 然后得到几何体为 几何体是底面边长为的正方形，高为的长方体，故几何体的体积为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $