6.2二元一次方程组的解法（基础篇）讲义 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

6.12二元一次方程组的解法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 代入消元法 步骤： 1. 从方程组中选一个系数较简单的方程，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数（如）； 2. 将该代数式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程； 3. 解一元一次方程，求出一个未知数的值； 4. 将求得的值代入代数式，求出另一个未知数的值； 加减消元法 步骤： 1. 使方程组中某一个未知数的系数绝对值相等（若不相等，可通过等式两边同乘一个数实现）； 2. 将两个方程相加或相减，消去这个未知数，得到一元一次方程； 3. 解一元一次方程，求出一个未知数的值； 4. 将求得的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值； 5. 写出方程组的解。 解法核心 消元思想：通过代入或加减运算，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，体现“化未知为已知”的转化思想。 检验解的方法 将求得的(x,y)的值代入原方程组的两个方程，若两个方程左右两边均相等，则为方程组的解。 型 习 练 题 根据实际问题列二元一次方程组 1．我国古代数学著作《算法统宗》中记载着这样一道题，其大意是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人．若有33位客人总共饮了19瓶酒，且都醉倒了，问他们醇酒、薄酒各饮了多少瓶？设他们醇酒饮了瓶，薄酒饮了瓶，根据题意可列出方程组为（   ） A． B． C． D． 2．某游客欲购买若干“平安手机挂绳”和“美拉德挂饰”赠送亲友，已知一个“美拉德挂饰”比一个“平安手机挂绳”贵30元，该游客购买10个“平安手机挂绳”和5个“美拉德挂饰”共花费435元．若设“平安手机挂绳”为元个，“美拉德挂饰”为元/个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？”其大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱．如果乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱．甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为、，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 4．通榆某食品加工厂有66名工人生产绿豆礼盒和包装纸盒，每人每天可生产礼盒25个或纸盒30个，1个礼盒配1个纸盒，设安排x人生产礼盒，y人生产纸盒，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 5．《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 代入消元法 6．用代入消元法解二元一次方程组时，将变形为（　　） A． B． C． D． 7．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（   ） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 8．对于二元一次方程组将①代入②，消去可得，则方程①是（   ） A． B． C． D． 9．解二元一次方程组过程中，下列变形正确的是（    ） ． A．由①得代入②消去x B．由①得代入②消去x C．由②得代入①消去y D．由②得代入①消去y 10．解方程组时，把①代入②，得（   ） A． B． C． D． 加减消元法 11．已知二元一次方程组，则的值是（   ） A． B．-3 C．0 D．4 12．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 13．用加减消元法将方程组中的未知数消去，得到的方程是（    ） A． B． C． D． 14．已知关于x，y的方程组，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 15．已知是二元一次方程组的解，则（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 解二元一次方程组 16．解下列方程组： (1) (2) 17．解方程组： (1) (2) 18．解下列方程组： (1) (2) 19．解方程组： (1) (2) 20．解方程组： (1)； (2) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C A B B B B C D 题号 11 12 13 14 15 答案 A C B C B 1．B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 根据醇酒和薄酒的醉客效率，结合总瓶数和总醉客数即可列出方程组． 【详解】解：由题意得，， 故选B． 2．C 【分析】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系是解题关键．根据一个“美拉德挂饰”比一个“平安手机挂绳”贵30元可得，根据购买10个“平安手机挂绳”和5个“美拉德挂饰”共花费435元可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，可列方程组为． 故选：C． 3．C 【分析】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找出题中的等量关系是解本题的关键． 设甲、乙两人持钱的数量分别为、，根据甲得到乙钱的一半后共有50元；乙得到甲钱的三分之二后共有50元，列出方程组，即可． 【详解】解：设甲、乙两人持钱的数量分别为、，则可列方程组为 故选：C 4．A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到礼盒数量和纸盒数量的等量关系． 等量关系为：生产绿豆礼盒工人数量生产包装纸盒工人数量，生产的礼盒总数生产的纸盒总数，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：设安排x人生产礼盒，y人生产纸盒，可列方程组为： ． 故选：A 5．B 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 根据甲和乙的陈述，甲得乙9只羊后，羊数是乙的2倍；乙得甲9只羊后，两人羊数相等．由此列出二元一次方程组． 【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊， 甲得乙9只羊后，甲有只，乙有只，且； 乙得甲9只羊后，乙有只，甲有只，且； ∴方程组为． 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键．利用代入消元法变形即可得到结果． 【详解】解：用代入消元法解二元一次方程组时，将变形为， 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了等式的性质，准确的计算是解决本题的关键． 根据二元一次方程组的解法—代入消元法，可把方程组中一个方程的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，一般通过移项，系数化1，变形即可． 【详解】解：A、由得，，该选项正确，不符合题意； B、由得，，该选项错误，符合题意； C、由得，，该选项正确，不符合题意； D、由得，，该选项正确，不符合题意； 故选：B． 8．B 【分析】本题考查代入消元法，将消去的方程转化为，得到，即可得出结果． 【详解】解：将①代入②，消去可得， 即， ∴， 故方程①为； 故选B． 9．C 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握利用代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． 通过对方程组进行变形，判断每个选项的表达式是否正确即可． 【详解】解：由②可得， 代入①可消去， 则选项D错误， 由①得， 则选项A、选项B错误； 故选：C． 10．D 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握运用代入消元法解方程组是解题的关键． 将方程①代入方程②时，需用替换方程②中的x，据此即可解答． 【详解】解：， 将①代入②得：． 故选D． 11．A 【分析】本题考查解二元一次方程组，通过加减消元法，直接计算的值，即可． 【详解】解：， 得：， ， 故； 故选A． 12．C 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，根据加减消元法逐一排除即可，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：、，系数为，不能消去，不符合题意； 、，系数为，不能消去，不符合题意； 、，系数为，能消去，符合题意； 、，系数为，不能消去，不符合题意； 故选：． 13．B 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键．通过加减消元法消去未知数x，将两个方程相减即可． 【详解】解：得： 即   ∴．   故选：B． 14．C 【分析】题目主要考查解二元一次方程组，熟练掌握是解题关键． 根据代入消元法求解二元一次方程组，然后代入代数式求解即可． 【详解】解： 由②得：， 代入①： ∴ ∴ ∴ 则 ∴ ， 故选：C． 15．B 【分析】本题考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键． 先将代入二元一次方程组，得到关于和的方程，解出和的值，再计算． 【详解】解：∵是二元一次方程组的解， ∴， 将两式相加得到，解得， ∴， 解得， ∴， 故选：． 16．(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用代入消元法求解即可； （2）先将方程组化简，再利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 方程组可化为， 将代入得：， 解得：； 将代入得：； 所以方程组的解为； （2）解：， 方程组可化为， 得， 解得：； 将代入得：， 解得：； 所以方程组的解为． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解题关键是消元，常用方法有代入消元法和加减消元法． （1）通过代入消元求解； （2）先整理方程，再用加减消元法求解． 【详解】（1）解：， 将①代入②得， 化简，得 去分母,得， ， ， 把代入①得， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：， 整理得， 得， 得， 解得， 把代入得， 解得， ∴原方程组的解为． 18．(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法并根据方程特点灵活选用是解答的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把代入，得 ， 解得， 把代入，得 ． 该方程组的解为． （2）解： ，得 ， 解得， 把代入，得 ， 解得， 该方程组的解为． 19．(1) (2) 【分析】本题主要考查求解二元一次方程组的方法，加减消元法及代入消元法，熟练掌握解方程组的方法是解题关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）将原方程组化简，然后利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 方程组的解为：； （2）解：原方程组整理为：， 得：， 解得：， 将代入①解得：， 方程组的解为：； 20．(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组．掌握加减消元、代入消元并正确的运算是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）将第一个式子化简得到，再利用代入消元法求解即可． 【详解】（1）解： 得 解得 将代入得 所以方程组的解为； （2）解： 去分母得即， 将代入得即 解得 将代入 解得 所以方程组的解为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $