6.1二元一次方程组和它的解（基础篇）讲义 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

本讲义聚焦二元一次方程组核心知识，系统梳理二元一次方程的定义、一般形式、解的概念及特点，进而延伸至二元一次方程组的定义、组成条件，以及方程组解的定义、判断方法和情况，构建从单一方程到方程组的递进式学习支架。 资料含思维导图辅助直观理解，设计分层练习题（如定义辨析、解的判断、参数求解），通过详细解析培养抽象能力与推理意识。课中助力教师系统授课，课后学生可借练习与解析查漏补缺，提升应用意识，适合基础薄弱学生巩固提升。

6.1二元一次方程组 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 二元一次方程 1. 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2. 一般形式：ax + by = c（a、b、c为常数，且a、b不全为0）。 3. 解的概念：使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 4. 解的特点：一般情况下，二元一次方程有无数个解。 二元一次方程组 1. 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 2. 组成条件：方程组中含有两个未知数；每个方程都是整式方程；每个方程中含未知数的项的次数都是1。 二元一次方程组的解 1. 定义：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 2. 解的判断：要判断一组未知数的值是否为二元一次方程组的解，需将这组值代入方程组中的每个方程，只有当这组值同时满足所有方程时，才是方程组的解。 3. 解的情况：一般情况下，二元一次方程组有且只有一个解，但也可能无解或有无数个解（当两个方程表示同一条直线时）。 型 习 练 题 二元一次方程的定义、解 一、单选题 1．若是关于x，y的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 2．下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C．3 D． 3．下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．若是方程的一个解，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．已知是关于的二元一次方程的一个解，则的值为 （    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 二元一次方程组的定义、解 6．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 7．下列方程组中，①，②，③，④属于二元一次方程组的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 9．已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 10．在①，②，③，④中，解是的有（    ） A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④ 已知二元一次方程组的解求参数 11．小明求得方程组，的解为由于不小心滴下了两滴墨水，刚好把两个数“■”和“★”遮住了，则“■”和“★”表示的数分别为（    ） A．8，3 B．8，5 C．5，3 D．3，8 12．已知是的一组解，则的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 13．若是二元一次方程组的解，则的值是（　　） A．18 B．20 C．22 D．25 14．芳芳解方程组的解为，由于不小心，两滴墨水遮住了两个数和⊙，则与⊙表示的数分别是（   ） A．6，1 B．， C．，1 D．6， 15．已知关于、的二元一次方程组的解为则的值为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D B D D C B B C 题号 11 12 13 14 15 答案 A D D A A 1．D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义， 根据二元一次方程的定义，方程中两个未知数的系数都不能为零，但本题中y的系数已为，故只需x的系数即可保证为二元一次方程． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程，且y的系数， ∴x的系数， 解得. 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟知定义是解题的关键． 根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】解：A．中，未知数次数为2，不是二元一次方程； B．中，含有两个未知数x和y，且次数均为1，是整式方程，是二元一次方程； C．中含有分式，不是整式方程，不是二元一次方程； D．中只有一个未知数，且次数为2，不是二元一次方程； 故选：B． 3．D 【分析】此题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 根据定义依次判断即可． 【详解】解：A、方程中含有分式，不是整式方程，故此选项错误；   B、方程中含有3个未知数，不符合题意，故此选项错误；   C、含有2个未知数，整理后含未知数的次数的项的最高次数是2，不符合题意，故此选项错误；   D、符合二元一次方程定义，故此选项正确． 故选D． 4．B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程解答即可求解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 是方程的一个解， ∴， 解得， 故选：． 5．D 【分析】本题考查二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，的指数必须为，从而求出的值；再将已知解代入方程求出的值，最后计算． 【详解】∵ 方程是关于，的二元一次方程， ∴ x的指数，解得， ∴ 方程为， 将，代入方程：，即， 解得， ∴． 故选：D． 6．D 【分析】本题考查二元一次方程组的定义：方程组需含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知项的最高次数为，根据二元一次方程组的定义逐项判断即可. 【详解】解：A选项：方程组中含有三个未知数， 不是二元一次方程组， 故A选项不符合题意； B选项：方程组中含有两个未知数，但是未知项的次数是， 不是二元一次方程组， 故B选项不符合题意； C选项：方程组中含有两个未知数，但是未知项的次数是， 不是二元一次方程组， 故C选项不符合题意； D选项：方程组中含有两个未知数，未知项的最高次数是， 是二元一次方程组， 故D选项符合题意． 故选：D． 7．C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，满足三个条件：①共含有两个未知数；②未知数的最高次数为1次；③整式方程．据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：含有三个未知数，故①不属于二元一次方程组； 满足二元一次方程组的定义，故②属于二元一次方程组； 满足二元一次方程组的定义，故③属于二元一次方程组； 的未知数的最高次数是2，故④不属于二元一次方程组； 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．根据二元一次方程组的定义，需满足两个未知数，未知数的最高次数为1，且每个方程均为整式方程，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、含有三个未知数，不属于二元一次方程组，故该选项不符合题意； B、属于二元一次方程组，故该选项符合题意； C、次数不是1次，不属于二元一次方程组，故该选项不符合题意； D、不是整式方程，不属于二元一次方程组，故该选项不符合题意； 故选：B． 9．B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入对应方程组中的两个方程中，看两个方程是否成立即可． 【详解】解：A、方程组中，方程不是一次方程，故原方程不是二元一次方程组，不符合题意； B、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；故是原方程组的解，符合题意； C、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； D、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； 故选：B． 10．C 【分析】本题考查二元一次方程组的解．将代入各方程组，验证是否每个方程均成立，即可得出答案． 【详解】解：① 将代入第一个方程，，成立， 将代入第二个方程，，成立， 的解是； ② 将代入第一个方程，，不成立， 的解不是； ③ 将代入第一个方程，，不成立， 的解不是； ④ 将代入第一个方程，，成立， 将代入第二个方程，，成立， 的解是； 综上可知，解是的有①和④， 故选：C． 11．A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将已知解代入方程求出y，再代入求■． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴，． 故选：A． 12．D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解 将给定的解代入方程组，分别求出m和n的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵，是方程组的解， ∴代入得：， ∴． 代入得：， ∴． ∴． 故选：D． 13．D 【分析】本题考查方程组的解，解二元一次方程组，将解代入方程组，得到关于m和n的方程，解出m和n后计算的值． 【详解】∵是方程组的解， ∴ 解得， ∴． 故选：D． 14．A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，理解方程组的解是解答的关键． 将已知解代入方程求出，再代入求即可求解． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴将代入中，得：， 解得，即； 将，代入，得， ∴， 故选：A． 15．A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的应用，将方程组的解代入原方程，通过解方程求出未知参数是解题的关键． 将方程组的解代入原方程，先求出，再求即可判断． 【详解】∵ 方程组的解为 ， 代入 得： ， ∴ ， 代入 得：， ∴ ． 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $