17.3 一元二次方程根的判别式 课件 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根的判别式，通过历史溯源（巴比伦人到拉格朗日的发展）与配方法回顾，搭建从具体解法到抽象概念的学习支架，帮助学生理解判别式的由来和应用脉络。 其亮点在于融合历史背景与问题驱动教学，通过高阶思维题（如解法辨析）培养批判性思维，分类讨论题（等腰三角形周长）发展推理意识，真实情境题（DeepSeek对话）增强应用意识。采用典例精析和中考考点结合，学生能提升数学思维，教师可直接用于教学提升效率。

沪科版（新教材）数学八年级下册培优备课课件 17.3 一元二次方程根的判别式 第 17 章 一元二次方程及其应用 授课教师： . 班 级： . 时 间： 2026.01.09 . 1 学习目标 1.理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念； 2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况； 3.根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围. (重、难点) 符号化语言，提炼出核心表达式 b²－4ac 巴比伦人、花剌子模 笛卡尔 拉格朗日 从具体解法中 提炼出“解的存在性与系数关系”的直观认知. 术语定型与理论扩展，完成了从“实用解法”到“抽象概念”的升华. 追本溯源 韦达 回顾：用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0). 解：二次项系数化为 1，得 x2 + x + = 0. 配方，得 x2 + x + ( )2 = ( )2 - . 即 (x + )2 = 问题1：接下来能直接开平方吗？ 一元二次方程根的判别式 1 问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？ 我们知道，(x + )2≥0，4a2＞0. 当 b2–4ac＞0 时，x1 = ，x2 = 当 b2–4ac = 0 时，x1 = x2 = 当 b2–4ac＜0 时，不能开方(负数没有平方根)， 所以此时原方程没有实数根. 1．[杭州期末]方程x(x－3)＝0的根是__________________. 2．方程(x－1)(x－2)＝0的根是_________________. x1＝0，x2＝3 , 中考考法 6 3．一元二次方程x2－2x＝0的解是(　　) A．x＝0 B．x1＝2，x2＝0 C．x＝2 D．x1＝－2，x2＝－1 4．[杭州模拟]关于y的方程y(y－2)＝4(y－2)的解是__________________. B ， 中考考法 7 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 判别式的情况 根的情况 我们把 b2 - 4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用符号“Δ”表示，即 Δ = b2 - 4ac. Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 知识要点 5.解方程： (1) ； 解：, ， ， 或，所以， ． 中考考法 9 (2) . 解：, ， ， ， 或，所以， . 中考考法 10 3. 判别根的情况，得出结论。 1. 化为一般式，确定 a，b，c 的值； 根的判别式应用方法 2. 计算 Δ 的值，确定 Δ 的符号； 知识要点 典例精析 例1 用根的判别式判别下列方程根的情况： 解 (1) 因为 Δ = (-3)2 -4×5×( -2) = 49＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根. (2) 原方程可变形为 25y ² -20y + 4 = 0， 因为 Δ = ( -20)² -4×25×4 = 0， 所以原方程有两个相等的实数根. (1) 5x² - 3x - 2 = 0； (2) 25y² + 4 = 20y； (3) 2x² +x +1= 0. (3) 因为 Δ = ()² - 4×2×1 = -5 < 0， 所以原方程没有实数根. 6. (高阶思维·批判性思维 嘉兴二模)小李与小王两位同学解方程2(x－2)＝(x－2)2的过程如下： 小李： 解：两边同除以(x－2)，得 2＝x－2， 则x＝4. 小王：解：移项，得2(x－2)－(x－2)2＝0， 提取公因式，得(x－2)(2－x－2)＝0. 则x－2＝0或2－x－2＝0， 解得x1＝2，x2＝0. 中考考法 13 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若 错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程．(8分) 解：小李：×；小王：×. 正确的解答过程：移项，得2(x－2)－(x－2)2＝0， 提取公因式，得(x－2)[2－(x－2)]＝0， 即(x－2)(4－x)＝0，所以x－2＝0或4－x＝0， 解得x1＝2，x2＝4. 中考考法 判断一元二次方程根的情况的方法： 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Δ = b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根； Δ = b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根； Δ = b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根。 方法归纳 例2 若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A. k > -1 B. k > -1 且 k ≠ 0 C. k < 1 D. k < 1 且 k ≠ 0 解析：由于方程有两个不相等的实数根，故 Δ > 0，同时二次项系数不能为 0，即 ，k ≠ 0，解得 k > -1 且 k ≠ 0. B 7.因为 ,所以一元二次方程 可以用因式分解法解，原方程化为_______ ____________，可得 或__________，所以原方程的 解是__________________. ， 中考考法 17 8.如果二次三项式能因式分解成 ， 那么方程 的两个根为( ) A A.， B., C., D., 9．解方程：x2－4x－21＝0.(8分) 解：x2－4x－21＝0，(x－7)(x＋3)＝0， x－7＝0或x＋3＝0，所以x1＝7，x2＝－3. 中考考法 18 2星题 中档练 10. (分类讨论思想 安庆期中)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的两个根，则该三角形的周长是(　　) A．8 B．10 C．8或10 D．8或9或10 B 中考考法 19 11. (真实情境)如图，根据小丽与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是(　　) A．1 B．－1 C．－3 D．－1或－3 D 中考考法 20 12.解方程： (1) ； 解：， ， ，或 ， 解得， . 中考考法 21 (2) . 解： ， ， ， ， 所以或，所以， ． 中考考法 22 根的判别式：Δ = b2 - 4ac Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根 Δ < 0 时，方程没有实根 Δ = 0 时，方程有两个相等的实根 $