1.3 直角三角形（分层作业，8基础&2提升题型+培优）数学新教材北师大版八年级下册

1.3 直角三角形 题型一 直角三角形的性质与判定 一、单选题 1．在中，，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 2．一个三角形的两个内角分别为和，且，则这个三角形是（    ）三角形 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 3．在下列条件中：①，②，③，④，⑤，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题 5．中，，，则 °． 6．在中，，，则的度数是 ． 7．在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件： ①； ②； ③，，； ④，其中可以判定是直角三角形的有 个． 题型二 直角三角形性质的基础应用 一、单选题 1．如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则（    ） A． B． C． D． 2．在等腰中，，于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图， ，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后点，，在同一直线上，已知， 的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，在，，是边上的高，，，则 ． 7．如图，在中，，，于点，则= ° 8．如图，，，，若，则 ． 9．如图，在 中 ，，是的平分线，，，则 ． 10．如图，，交于点G，过点F作交于点H，连接，若平分，，则 ． 11．一副三角板如图所示摆放，C，B，E三点共线，，，．若，则的度数为 ． 12．如图，在3×3的正方形网格中，则 °． 题型三 利用方程求解直角三角形中锐角的度数 一、单选题 1．在一个直角三角形中，其中一个锐角比另一个锐角大，则该三角形中较小锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．一个三角形中，有一个角是另外两个角度数之和的两倍，则这个三角形是（  ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 二、填空题 3．已知一锐角度数→已知两锐角关系在中，．若，则的度数为 ． 4．若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是 三角形． 5．在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多，则两个锐角分别为 ． 6．在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，∠A=3∠B＋10°，则∠B等于 度． 题型四 分类讨论求角的度数 一、单选题 1．已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个顶角等于(    ) A．或 B． C． D．或 2．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 二、填空题 3．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数是 ． 4．等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为，则这个三角形的底角为 ． 题型五 一线三垂直模型基础应用 一、单选题 1．如图，，，于D，于E，且．若，，则的长是（） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 2．如图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子到，的位置（，，在同一平面内），测得，且C、D两点到的水平距离、分别为和，则F、E两点的高度差即的长为 m． 3．如图，已知，，，则正确的结论是 ．（填序号） ①；②； ③； ④ 4．如图，在中， ，，直线经过点，与相交 于点F，且于，于．给出下面四个结论：①；②与互余；③；④．其中，正确的序号为 ． 5．如图，，，，若，则 ． 6．如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ． 7．如图，，，，，垂足分别为D，E，，，求 cm． 8．如图所示，等腰直角三角形的直角顶点在直线上，于点，于点，且，，则梯形的面积是 ．    9．如图，，于点，、、三点在同一直线上，连结，，则的面积为 ． 三、解答题 10．如图，点、、共线，、两点在直线上方，，，，．求证：． 题型六 八字模型的应用 一、填空题 1．如图，在中，，，且与交于点H，若，则的度数为 °． 2．如图，中，，点D是边上一点，过点D作交于点E，交延长线于点F，，，则的长为 ． 3．如图，，，垂足为，，垂足为，，，则 ． 4．如图，在中，，的高，相交于点F．则的度数是 ． 5．如图，在中，，，于D，于E，与交于H，则 ． 6．如图，在中，，平分，，交的延长线于点，若，则 ． 7．如图，和均为等腰直角三角形，点E在上，若，则的度数为 ．    8．如图，△ABD≌△EBC，AB＝12，BC＝5，A，B，C三点共线，则下列结论中：①CD⊥AE；②AD⊥CE；③∠EAD＝∠ECD；正确的是 . 题型七 命题与逆命题、定理与逆定理 一、单选题 1．下列真命题中，不是公理的是（   ） A．同角的余角相等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．同位角相等，两直线平行 D．三边分别相等的两个三角形全等 2．下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线 D．同角的补角相等 3．下列说法中，正确的是（   ） A．每个命题不一定都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．真命题的逆命题仍是真命题 D．假命题的逆命题未必是假命题 4．下列语句中，是定义的是（    ） A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角 C．同角的余角相等 D．延长至D使 5．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C．如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么 D．如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数 6．定理“等腰直角三角形的两个锐角都是”的逆定理是(   ) A．两个锐角都是的三角形是等腰直角三角形 B．等腰直角三角形的角都是 C．两个角不是的三角形不是等腰直角三角形 D．有一个角是的三角形是等腰直角三角形 二、填空题 7．“两边相等的三角形是等腰三角形”有逆定理吗？ ．（填“有”或“没有”） 8．写出命题“两直线平行，对顶角相等”的逆命题 ． 三、解答题 9．（1）已知：如图，点B，E分别在，上，分别交，于点M，N，，．将下列证明过程补充完整： 求证：． 证明：因为（已知）， 又因为（ ）， 所以（等量代换）． 所以 （ ）， 所以（ ）． 又因为（已知）， 所以 （ ）． 所以 （两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． （2）指出（1）的推理中的一对互逆的真命题． 题型八 直角三角形全等的HL判定 一、单选题 1．如图，在中．为证明“等边对等角”这一结论，常添加辅助线，通过证明和全等从而得到角相等．下列辅助线添加方法和对应全等判定依据有错误的是（　　） A．角平分线，全等依据 B．中线，全等依据 C．角平分线，全等依据 D．高线，全等依据 2．如图，在△ABC中，AB＝AC．为证明“等边对等角”这一结论，常添加辅助线AD，通过证明△ABD和△ACD全等从而得到角相等．下列辅助线添加方法和对应全等判定依据有错误的是（    ） A．角平分线AD，全等依据SAS B．中线AD，全等依据SSS C．垂直平分线AD，全等依据HL D．高线AD，全等依据HL 二、填空题 3．如图，已知，，根据“”判定，还需添加的条件是 ． 4．如图,已知△ABC的两条高AD、BE交于F,AE=BE,若要运用“HL”说明△AEF≌△BEC，还需添加条件： . 三、解答题 5．如图，在中，为边上的一点，平分，于点，于点． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，，交于点（只保留作图痕迹，不写作法和结论）． (2)在（1）的条件下，求证：．请补全下面的证明过程． 证明：平分，，， ① （ ② ）， ． 是的垂直平分线， ，，． 在和中， ， ③ ， （ ④ ）． ∵，， ． 在和中， ， ． 题型一 利用勾股定理解直角三角形 一、单选题 1．对于边长为4的等边，以点C为坐标原点，所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点A的坐标为（　　）    A． B． C． D． 2．如图，是等腰直角三角形，，是等边三角形，且，连接CD．则的面积为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 3．如图，把等边沿着折叠，使点恰好落在边上的点处，且．若，，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．等边三角形的面积为，则其边长为 ． 5．已知在中，．以为边向三角形外作等边，以为边向上作等边，连接．若，，则 ． 6．如图，等边的边长为4，是的中线，点E是边上的动点，点P是中线上的动点，则的最小值是 ． 7．如图，点为等边中边上一点，于点，，求的长为 ． 8．如图，点是边长为的等边边上一点，，垂足为，，垂足为，则 ． 9．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，为坐标原点，与轴重合，与轴重合，为上点，沿折叠矩形使得点落在上，且知，则点坐标是 ． 10．如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E．若，则线段 ． 三、解答题 11．如图，在等边三角形中，，点是y轴上的一点，连接． (1)求点A的坐标； (2)求四边形的面积． 12．如图，在中，，，，D，E分别是边和边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点刚好落在边的中点上． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长度． 题型二 双等腰直角三角形手拉手模型 一、解答题 1．如图，已知：，，的平分线交于点，过作于点， 求证： 2．如图，在中，为延长线上一点，点在上，且，连结延长线交于． (1)求证：； (2)判断与的位置关系并说明理由； (3)若，求的长． 3．如图，已知和都是等腰直角三角形，，． (1)如图①所示，延长交于点F，求的度数； (2)将绕点A旋转如图②所示位置摆放，连接，，且与交于点F，请判断与之间位置与数量关系，并说明理由． 4．已知，和都是等腰直角三角形，，，，点是直线上的一动点（点不与，重合），连接． (1)如图1，当点在线段上，如果，则________度； (2)如图2，当点在边的延长线上时，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3中，当点在边的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出线段，，之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 一、解答题 1．实践探究题 【问题情境】 在学习《图形的平移与旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，在中，，点为斜边上的一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明； (2)【探究应用】如图2，点为等腰直角三角形内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若三点共线，求证：； (3)【拓展提升】如图3，若等腰直角三角形的直角边长为，点是线段上的动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．点在运动过程中，当的周长最小时，的长为_______（直接写答案）． 2．建立模型： 如图1，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD⊥ED于D，过C作CE⊥ED于E.则易证△ADB≌△BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”.它可以把倾斜的线段AB和直角∠ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用. 模型应用： (1)如图2，点A（0，4)，点B(3，0），△ABC是等腰直角三角形． ①若∠ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标； ②若AB为直角边，求点C的坐标； (2)如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若△MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标. 3．【概念呈现】：当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”． (1)【概念理解】：如图①，若，则四边形 （填“是”或“不是”）真等腰直角四边形； (2)【性质应用】：如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线是这个四边形的真等腰直角线，当时， ； (3)【深度理解】：如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，，对角线分别是这两个四边形的等腰直角线，试猜想并说明与的数量关系； (4)【拓展提高】：已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，若，请直接写出的长． 4．如图1，将含有角的三角板的直角顶点C放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 设直线（）与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)如图2，若，且是以B为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第一象限． ①直接填写：______，______； ②求点E的坐标． (2)如图3，若，过点B在y轴左侧作，且，连结，当k变化时，的面积是否为定值？请说明理由． (3)如图4，若，将直线（）向下平移6个单位．点P是平移后直线上的动点，点M在x轴负半轴上，，Q是y轴上的动点，是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 5．【提出问题】 （1）数学课上，张老师提出如下问题：如图1，在中，，．且，点在的延长线上，，连接．求证：． ①如图2，“勤学”小组的同学从已知条件出发，给出如下解题思路：过点作交的延长线于点，则，进而得到是等腰直角三角形，最后得出结论． ②如图3，“善思”小组的同学从结论出发，给出如下解题思路：在上截取线段．使，连接，则是等腰直角三角形，得到，再证明，最后得出结论． 请你选择一组同学的解题思路，写出证明过程． 【发现问题】 （2）张老师发现两组同学在解决问题的过程中都是构造了三角形全等，进而实现了边角之间的转化．为了帮助学生提高逻辑推理的能力，张老师将图形进行了变换； 如图4，在中，，，为上一点，，垂足为，若，求的长； 【解决问题】 （3）如图5，四边形中，，，，的面积为6，求的面积．    6．【新课标·项目式学习】 【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律． 【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等． 【实践操作】在支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点表示小球静止时的位置．小明将小球从摆到的位置，并向右推动小球，是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且与恰好垂直，在同一平面上． 【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，，过点作于点，过点作于点， 【数据测量】， 【问题解决】 (1)求证：； (2)求的长． 7．定义：若连接三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形． (1)如图1，在智慧三角形中，，为该三角形的智慧线，，则长为_____，的度数为_____． (2)如图2，为等腰直角三角形，，，F是斜边延长线上一点，连接，以为直角边作等腰直角三角形（点A，F，E按顺时针排列），, ，交于点D，连接，．当时，求线段的长； (3)如图3，中，，，若是智慧三角形，且为智慧线，求的面积． 8．定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则______． (2)如图，是直角三角形，． ①若是的角平分线，试说明是否为“准互余三角形”． ②若E是边上一点，是“准互余三角形”，，求的度数． 9．定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”， ，，则_____ ． (2)如图，是直角三角形，． ①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由． ②若点E是边上一点，是“准互余三角形”， ，求的度数． 10．定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫作“和谐三角形”．例如：在中，如果， ，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”． (1)如图①，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD． ①________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； ②若，请判断是否为“和谐三角形”，并说明理由． (2)如图②，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD．若是“和谐三角形”，则的度数为________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 直角三角形 题型一 直角三角形的性质与判定 一、单选题 1．在中，，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余． 根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：D． 2．一个三角形的两个内角分别为和，且，则这个三角形是（    ）三角形 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理及三角形的分类．利用三角形内角和定理，根据已知条件推导第三个角的大小，从而判断三角形类型． 【详解】解：∵三角形内角和为， 第三个角， ， ， ，即三角形有一个钝角， ∴这个三角形是钝角三角形． 故选：C． 3．在下列条件中：①，②，③，④，⑤，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形的判定，三角形的内角和定理，根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，逐一进行判断即可． 【详解】解：在中， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形；故①正确，符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形；故②正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形；故③正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形；故④正确，符合题意； ∵，， ∴， ∴不是直角三角形；故⑤错误，不符合题意； 综上：能确定是直角三角形的条件有4个； 故选：C． 4．在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的定义，利用三角形的内角和定理求出角的度数，即可分别进行判断． 【详解】解：①由得到，即，是直角三角形； ②由题可得，是直角三角形； ③由得到2，解得，，不是直角三角形； ④由得到，解得，，，是直角三角形； ⑤由得到，解得，不是直角三角形； 故选：C． 二、填空题 5．中，，，则 °． 【答案】 【分析】本题考查角度的减法运算，直角三角形的性质；根据直角三角形的性质，两锐角互余，可得即可求解. 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴. 故答案为：. 6．在中，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余得到，再结合已知条件求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件： ①； ②； ③，，； ④，其中可以判定是直角三角形的有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，对于①④，求出各内角的度数，判断即可；对于②③，根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】∵，， ∴， ∴是直角三角形， 则①正确； ∵， ∴， 即， ∴是直角三角形， 则②正确； ∵，，， ∴， ∴不是直角三角形． 则③不正确； 设，根据三角形内角和定理，得 ， 解得， ∴，，， ∴不是直角三角形． 则④不正确． 正确的有2个． 故答案为：2． 一、单选题 1．如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质、对顶角相等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据直角三角形的性质得到，根据对顶角相等得到，，再根据等量代换即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 2．在等腰中，，于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，由“三线合一”可得，进而根据直角三角形两锐角互余即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，于，， ∴，， ∴， 故选：． 3．如图， ，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形两个锐角互余，全等三角形的性质，根据，得，再结合直角三角形两个锐角互余，得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 4．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后点，，在同一直线上，已知， 的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余；由折叠性质可得，，，根据折叠后点，，在同一直线上，，则有，最后通过直角三角形性质即可求解，理解折叠的性质，掌握角度的和差计算是解题的关键． 【详解】解：由折叠性质可得，，， ∵折叠后点，，在同一直线上，， ∴，， ∴， 故选：． 5．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 二、填空题 6．如图，在，，是边上的高，，，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为5． 7．如图，在中，，，于点，则= ° 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等、直角三角形两锐角互余是解题的关键． 先根据等腰三角形性质求出底角的度数，再结合直角三角形两锐角互余求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，，，，若，则 ． 【答案】/28度 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，熟练掌握这个知识并能灵活应用是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余求出的度数，由得，由平角定义得的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 9．如图，在 中 ，，是的平分线，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线定义，垂直定义，直角三角形的性质，由角平分线定义得，又，则，根据直角三角形性质可得，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，是平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，，交于点G，过点F作交于点H，连接，若平分，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义及垂线的定义，熟知平行线的性质、角平分线的定义及垂线的定义是解题的关键． 根据平行线的性质、角平分线的定义及垂线的定义进行计算即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11．一副三角板如图所示摆放，C，B，E三点共线，，，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两个锐角互余，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 由，，根据直角三角形两个锐角互余，即可求出、的度数，在中根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵，，， ∴，． ， ， ， ， ， 即的度数为． 故答案为：． 12．如图，在3×3的正方形网格中，则 °． 【答案】180 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． 通过观察正方形网格，找出全等的直角三角形，利用全等三角形的性质得到角的互余关系，进而计算出四个角的和． 【详解】解：∵在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：180． 题型三 利用方程求解直角三角形中锐角的度数 一、单选题 1．在一个直角三角形中，其中一个锐角比另一个锐角大，则该三角形中较小锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，直角三角形两锐角互余，掌握相关知识点是解题关键．利用直角三角形两锐角之和为的性质，设较小锐角为未知数，列方程求解． 【详解】解：设较小锐角为，则较大锐角为， 由题意得：， 解得：， 故选：D． 2．一个三角形中，有一个角是另外两个角度数之和的两倍，则这个三角形是（  ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理及三角形类型的判定，解题关键是利用三角形内角和为结合已知条件求出角的度数． 设三角形三个角为、、，根据题意有一个角是另外两个角之和的两倍，利用三角形内角和为，代入条件求解，得出该角为，因此三角形为钝角三角形． 【详解】解：∵三角形内角和为，且有一个角是另外两个角之和的两倍， 设该角为、另外两个角为、， 则， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴三角形为钝角三角形． 故选：C． 二、填空题 3．已知一锐角度数→已知两锐角关系在中，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形中，两个锐角互余，解题的关键是掌握上述知识点． 利用直角三角形中，两个锐角互余得到，再加上，可求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵在中，， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 4．若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．本题通过外角与内角的关系及互余条件联立方程，求出各内角度数，进而判断三角形类型． 【详解】解：设这个内角为，则相邻外角为，而内角与外角的和为， ∴， 解得：， 设另一个内角为，根据互余条件：， ， 此时第三个内角为：， ∴这个三角形是直角三角形； 故答案为：直角． 5．在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多，则两个锐角分别为 ． 【答案】和 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 通过设未知数，列方程求解两个锐角的度数． 【详解】解：设较小的锐角为， 则较大的锐角为． 根据直角三角形两锐角互余，得． 解得：， 则． 故两个锐角分别为和， 故答案为：和． 6．在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，∠A=3∠B＋10°，则∠B等于 度． 【答案】20 【分析】根据直角三角形两锐角互余列方程求解即可． 【详解】∵∠C=Rt∠， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠A=3∠B＋10°， ∴3∠B＋10°+∠B=90°， 解得∠B=20°． 故答案为20． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并列出关于∠B的方程是解题的关键． 题型四 分类讨论求角的度数 一、单选题 1．已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个顶角等于(    ) A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含度角的直角三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的性质与判定以及三角形外角的性质，正确的分类讨论是解答本题的关键． 【详解】解：当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，如图，为等腰三角形腰上的高，并且，取边中点E，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴顶角， 当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，如图， 为等腰三角形腰上的高，并且， 同理可得， ∴顶角， 故选：D． 2．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及直角三角形两锐角互余，通过分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况，并画出对应的图形进行分类讨论是正确解答本题的关键． 【详解】解：设该等腰三角形为，且， ①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1所示，    由题意得，， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，    由题意得：，， ∴， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； 综上所述，此等腰三角形的顶角的度数为或， 故选：D． 二、填空题 3．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形外角的性质．分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，即可求解． 【详解】解：当等腰三角形的顶角是钝角时，如图，在钝角中，交的延长线于点D，则， ∵， ∴； 当等腰三角形的顶角是锐角时，如图，在锐角中，于点D，则， ∵， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数是或． 故答案为：或 4．等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为，则这个三角形的底角为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质的运用．分两种情况讨论，求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数． 【详解】解：有两种情况； （1）如图，当是锐角三角形时，于， 则， 已知， ， ， ； （2）如图，当是钝角三角形时，于， 则， 已知， ， ， ， ， 故答案为：或． 题型五 一线三垂直模型基础应用 一、单选题 1．如图，，，于D，于E，且．若，，则的长是（） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等角的余角相等，根据等角的余角相等得到，再证明得到即可求解，利用全等三角形的性质求解线段长是解题的关键． 【详解】解：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 2．如图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子到，的位置（，，在同一平面内），测得，且C、D两点到的水平距离、分别为和，则F、E两点的高度差即的长为 m． 【答案】0.4/ 【分析】本题考查了全等三角形的应用，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据垂直的定义，余角的性质以及全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：，， ． ． ， ． ． 在和中， ， ． ，． ． 故答案为：0.4． 3．如图，已知，，，则正确的结论是 ．（填序号） ①；②； ③； ④ 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，关键是全等三角形判定定理的应用．先根据角角边证明，再根据全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等的性质对各选项判断求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故①正确，符合题意； ∴， 故②正确，符合题意； ∵， ∴， 但不一定等于， 故③不正确，不符合题意；④正确，符合题意． 综上所述，正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 4．如图，在中， ，，直线经过点，与相交 于点F，且于，于．给出下面四个结论：①；②与互余；③；④．其中，正确的序号为 ． 【答案】①②④ 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形两锐角互余，根据题意得到，然后证明出，推出，进而逐项判断即可． 【详解】①∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，故①正确； ∴ ∵ ∴ ∴与互余，故②正确； ∵中， ∴，故③错误； ∵ ∴， ∴，故④正确． 综上所述，正确的序号为①②④． 故答案为：①②④． 5．如图，，，，若，则 ． 【答案】/28度 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，熟练掌握这个知识并能灵活应用是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余求出的度数，由得，由平角定义得的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 6．如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ． 【答案】40 cm 【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； 由题意得：AD＝EC＝12cm，DC＝BE＝28cm， ∴DE＝DC＋CE＝40（cm）， 答：两堵木墙之间的距离为40cm， 故答案为：40 cm． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，涉及到垂直的定义、直角三角形的性质和两个三角形全等的判定与性质等知识点，解题的关键是正确找出证明三角形全等的条件． 7．如图，，，，，垂足分别为D，E，，，求 cm． 【答案】8 【分析】根据已知条件证明，则可得，进而根据即可求得的长． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，． ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 8．如图所示，等腰直角三角形的直角顶点在直线上，于点，于点，且，，则梯形的面积是 ．    【答案】 【分析】根据全等三角形的判定证，得，．即可求解． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，． 所以． 所以梯形的面积为：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，垂线定义，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 9．如图，，于点，、、三点在同一直线上，连结，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据等腰三角形三线合一的性质作垂线．过点作交于点，过点作交于点，根据等腰三角形三线合一的性质得出，根据直角三角形两个锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判断和性质得出，即可求解． 【详解】解：过点作交于点，过点作交于点，如图： ∵，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故的面积为． 故答案为：． 三、解答题 10．如图，点、、共线，、两点在直线上方，，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和直角三角形两锐角互余，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．由，，，根据等角的余角相等得，然后根据“”可判断． 【详解】证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 一、填空题 1．如图，在中，，，且与交于点H，若，则的度数为 °． 【答案】130 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由三角形的外角性质得，． 故答案为：130． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键． 2．如图，中，，点D是边上一点，过点D作交于点E，交延长线于点F，，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】先证明，即有，问题随之得解． 【详解】∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了直角三角形中两锐角互余，等腰三角形的判定等知识，证明，是解答本题的关键． 3．如图，，，垂足为，，垂足为，，，则 ． 【答案】1 【分析】根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，计算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴， 在和中 ∵ ∴， ∴， ∴（）． 故答案为：1 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余、全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 4．如图，在中，，的高，相交于点F．则的度数是 ． 【答案】/120度 【分析】由三角形的高的定义可知，从而可求出，再由三角形外角的定义和性质即可求出． 【详解】解：∵的高，相交于点F， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的高的定义，直角三角形的两个锐角互余，三角形外角的定义和性质．掌握三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和是解题关键． 5．如图，在中，，，于D，于E，与交于H，则 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形两个锐角互余，三角形的高的性质等知识，延长交于点M，可得在中，三边所在的高交于一点，即，由此即可解答． 【详解】解：延长交于点M，如图， 在中，三边所在的高交于一点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．如图，在中，，平分，，交的延长线于点，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，熟记性质是解题的关键． 根据等角的余角相等求出，再根据角平分线的定义可得的度数，可得答案． 【详解】解：，， ，， 对顶角相等， ， 平分， ． 故答案为：． 7．如图，和均为等腰直角三角形，点E在上，若，则的度数为 ．    【答案】/65度 【分析】根据和均为等腰直角三角形得到，， ，，即可得到，结合即可得到答案； 【详解】解：∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ，， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是证明．． 8．如图，△ABD≌△EBC，AB＝12，BC＝5，A，B，C三点共线，则下列结论中：①CD⊥AE；②AD⊥CE；③∠EAD＝∠ECD；正确的是 . 【答案】①②③ 【分析】首先延长AD交EC于点N，延长CD交AE于点M，根据全等三角形的性质，得出∠ABD＝∠EBC，AB＝EB，BD＝BC，∠DAB＝∠CEB，再根据等边对等角，得出∠BAE＝∠BEA，∠BDC＝∠BCD， 又因为∠ABD+∠EBC＝180°，进而得出∠ABD＝∠EBC＝90°，再利用三角形的内角和等于，得出∠BAE＝∠BEA＝45°，∠BDC＝∠BCD＝45°，即可证明①正确；再根据直角三角形两锐角互余，得出∠CEB+∠ECB＝90°，再根据全等三角形的性质，得出∠BAD＝∠BEC，进而得出∠BAD+∠ECB＝90°，即可证明②正确；再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得出∠ADB＝∠EAD+∠AED＝∠EAD+45°，再根据∠ECB＝∠ECD+∠BCD＝∠ECD+45°，又因为∠ADB＝∠ECB，得出∠EAD＝∠ECD，即可证明③正确． 【详解】解：延长AD交EC于点N，延长CD交AE于点M， ∵△ABD≌△EBC， ∴∠ABD＝∠EBC，AB＝EB，BD＝BC，∠DAB＝∠CEB， ∵∠ABD+∠EBC＝180°，∠BAE＝∠BEA，∠BDC＝∠BCD， ∴∠ABD＝∠EBC＝90°， ∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∠BDC＝∠BCD＝45°， ∴∠BAE+∠BCD＝90°， ∴∠AMC＝90°， ∴CD⊥AE，故①正确； ∵∠CEB+∠ECB＝90°，∠BAD＝∠BEC， ∴∠BAD+∠ECB＝90°， ∴∠ANC＝90°， ∴AD⊥CE，故②正确； ∵∠ADB＝∠EAD+∠AED＝∠EAD+45°， ∠ECB＝∠ECD+∠BCD＝∠ECD+45°， ∠ADB＝∠ECB， ∴∠EAD＝∠ECD，故③正确； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、等边对等角、三角形的内角和定理、直角三角形两锐角互余、三角形的外角定理等知识点，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理． 题型七 命题与逆命题、定理与逆定理 一、单选题 1．下列真命题中，不是公理的是（   ） A．同角的余角相等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．同位角相等，两直线平行 D．三边分别相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】本题考查了公理的定义，公理是逻辑或数学系统中的基本假设，是不证自明的命题，作为推理的起点．根据公理的定义以及平行线的判定，全等三角形的判定等知识内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A. 同角的余角相等不是公理，符合题意； B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等是公理，不符合题意； C. 同位角相等，两直线平行是公理，不符合题意； D. 三边分别相等的两个三角形全等是公理，不符合题意； 故选：A． 2．下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】根据定理是真命题进行判定． 本题考查了定理的理解，定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述． 【详解】解：A. 在直线上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B. 如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，叙述语句是假命题，不是定理，不符合题意； C. 作射线，不是命题，不是定理，不符合题意； D. 同角的补角相等，真命题，是定理，符合题意； 故选：D． 3．下列说法中，正确的是（   ） A．每个命题不一定都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．真命题的逆命题仍是真命题 D．假命题的逆命题未必是假命题 【答案】D 【分析】本题考查的是命题与定理的区别，（1）判断正确的命题叫定理；（2）任何一个命题都有逆命题，但不一定是真命题；不是任何一个定理都有逆定理． 根据逆命题的概念、真假命题的概念判断即可． 【详解】解：A、每个命题都有逆命题，故本选项说法错误，不符合题意； B、每个定理都有逆命题，不一定有逆定理，故本选项说法错误，不符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项说法错误，不符合题意； D、假命题的逆命题不一定是假命题，本选项说法正确，符合题意； 故选：D． 4．下列语句中，是定义的是（    ） A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角 C．同角的余角相等 D．延长至D使 【答案】A 【分析】本题考查了定义的概念，互为余角的定义，对顶角的定义和性质，余角的性质，几何语言，利用定义的定义分别判断各项是解题的关键． 【详解】解：A. 若两角之和为，则这两个角互余，是定义，符合题意； B.相等的角是对顶角，不是定义，不符合题意； C.同角的余角相等，不是定义，不符合题意； D. 延长至D使，不是定义，不符合题意； 故选：A． 5．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C．如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么 D．如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数 【答案】C 【分析】此题考查了真假命题和逆命题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 将原命题的条件和结论互换得到逆命题，再判断每个选项的逆命题的真假即可． 【详解】解：选项A的逆命题是如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等； 选项B的逆命题是如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，假命题，例如3和绝对值相等但不相等； 选项C的逆命题是如果三角形的三条边长满足，那么这个三角形是直角三角形，这是勾股定理的逆定理，真命题； 选项D的逆命题是如果两个实数的积是正数，那么这两个实数都是正数，假命题，例如两个负数的积也是正数但实数不是正数； 只有选项C的逆命题是真命题， 故选：C 6．定理“等腰直角三角形的两个锐角都是”的逆定理是(   ) A．两个锐角都是的三角形是等腰直角三角形 B．等腰直角三角形的角都是 C．两个角不是的三角形不是等腰直角三角形 D．有一个角是的三角形是等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了逆定理．原定理的条件是“等腰直角三角形”，结论是“两个锐角都是”，逆定理需将条件和结论互换．逆定理是原命题的条件与结论互换，需严格对应． 【详解】解：∵ 原定理：若三角形是等腰直角三角形，则两个锐角都是． ∴ 逆定理：若两个锐角都是，则三角形是等腰直角三角形． 故选：A． 二、填空题 7．“两边相等的三角形是等腰三角形”有逆定理吗？ ．（填“有”或“没有”） 【答案】有 【分析】本题考查的是逆定理，原命题是等腰三角形的定义，其逆命题“等腰三角形有两边相等”也成立，因此有逆定理． 【详解】解：原命题“两边相等的三角形是等腰三角形”是等腰三角形的定义，其逆命题为“等腰三角形有两边相等”，该逆命题同样成立，故存在逆定理． 故答案为：有． 8．写出命题“两直线平行，对顶角相等”的逆命题 ． 【答案】如果对顶角相等，那么两直线平行 【分析】本题考查了写逆命题． 逆命题是通过交换原命题的条件和结论而得到的新命题．原命题“两直线平行，对顶角相等”是一个条件命题，可以表述为“如果两直线平行，那么对顶角相等”． 【详解】解：原命题的条件是“两直线平行”，结论是“对顶角相等”， 交换条件和结论，得到逆命题“如果对顶角相等，那么两直线平行”． 故答案为：如果对顶角相等，那么两直线平行． 三、解答题 9．（1）已知：如图，点B，E分别在，上，分别交，于点M，N，，．将下列证明过程补充完整： 求证：． 证明：因为（已知）， 又因为（ ）， 所以（等量代换）． 所以 （ ）， 所以（ ）． 又因为（已知）， 所以 （ ）． 所以 （两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． （2）指出（1）的推理中的一对互逆的真命题． 【答案】（1）对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；； （2）“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”或“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．（写其中一个即可） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，逆命题，真命题． （1）先利用对顶角相等可得，从而可得，然后利用同位角相等，两直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，再利用内错角相等，两直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，最后利用等量代换即可解答． （2）任意找出一对互逆的真命题即可． 【详解】解：（1）因为（已知）， 又因为（对顶角相等）， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 又因为（已知）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 故答案为：对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；； （2）两个互逆的真命题为：“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”或“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．（写其中一个即可） 题型八 直角三角形全等的HL判定 一、单选题 1．如图，在中．为证明“等边对等角”这一结论，常添加辅助线，通过证明和全等从而得到角相等．下列辅助线添加方法和对应全等判定依据有错误的是（　　） A．角平分线，全等依据 B．中线，全等依据 C．角平分线，全等依据 D．高线，全等依据 【答案】C 【分析】根据角平分线、中线、高线和垂直平分线的性质以及全等三角形的判定逐项分析即可． 【详解】解：A、当是角平分线时，则利用可判定，从而可解，故A不符合题意； B、当是中线时，则利用可判定，从而可解，故B不符合题意； C、当是角平分线时，则利用可判定△，从而可解，原说法错误，故C符合题意； D、当是高线时，则利用可判定，从而可解，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定，熟练掌握相关性质和判定定理是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC．为证明“等边对等角”这一结论，常添加辅助线AD，通过证明△ABD和△ACD全等从而得到角相等．下列辅助线添加方法和对应全等判定依据有错误的是（    ） A．角平分线AD，全等依据SAS B．中线AD，全等依据SSS C．垂直平分线AD，全等依据HL D．高线AD，全等依据HL 【答案】C 【分析】根据角平分线、中线、高线和垂直平分线的性质以及全等三角形的判定逐项分析即可． 【详解】解：A、∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， 又∵AB＝AC，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD（SAS），即添加方法和对应全等判定依据正确； B、∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 又∵AB＝AC，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD（SSS），即添加方法和对应全等判定依据正确； C、作辅助线时，不能直接说BC的垂直平分线经过了点A，即添加方法和对应全等判定依据错误； D、∵AD是BC边上的高线， ∴AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB＝AC，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD（HL），即添加方法和对应全等判定依据正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定，熟练掌握相关性质和判定定理是解题的关键． 二、填空题 3．如图，已知，，根据“”判定，还需添加的条件是 ． 【答案】或 【分析】本题考查直角三角形全等的“”判定定理，明确“”判定定理的条件（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）是解题的关键． 根据“”判定定理分析满足斜边和一条直角边对应相等即可解答． 【详解】解：∵，， ∴是直角三角形，且由公共边分别为两直角三角形的斜边，即， ∴要使，只需找一组对应的直角边，即或． 故答案为：或． 4．如图,已知△ABC的两条高AD、BE交于F,AE=BE,若要运用“HL”说明△AEF≌△BEC，还需添加条件： . 【答案】AF=BC 【详解】HL指的是斜边、直角边定理，只能添加两条斜边相等，即AF=BC. 三、解答题 5．如图，在中，为边上的一点，平分，于点，于点． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，，交于点（只保留作图痕迹，不写作法和结论）． (2)在（1）的条件下，求证：．请补全下面的证明过程． 证明：平分，，， ① （ ② ）， ． 是的垂直平分线， ，，． 在和中， ， ③ ， （ ④ ）． ∵，， ． 在和中， ， ． 【答案】(1)图见解析 (2)①；②角平分线的性质；③；④等量代换；⑤ 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、三角形全等的判定与性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图解答即可得； （2）先根据角平分线的性质可得，根据线段垂直平分线的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，，交于点． ． （2）证明：平分，，， （角平分线的性质），． 是的垂直平分线， ，，． 在和中， ， ， ， （等量代换）． ∵，， ． 在和中， ， ， ． 故答案为：①；②角平分线的性质；③；④等量代换；⑤． 题型一 利用勾股定理解直角三角形 一、单选题 1．对于边长为4的等边，以点C为坐标原点，所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点A的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点A作于D，根据等这三角形“三线合一”性质得，再利用勾股定理求出，即可得出点A的坐标． 【详解】解：如图，过点A作于D，    ∵等边， ∴， ∴ ∵点A在第二象限内， ∴点A的坐标为 故选：D． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，点的坐标，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 2．如图，是等腰直角三角形，，是等边三角形，且，连接CD．则的面积为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质．过D点作，交的延长线于F点，根据等边三角形的性质可得，再由直角三角形的性质可得，再由三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，过D点作，交的延长线于F点， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：B 3．如图，把等边沿着折叠，使点恰好落在边上的点处，且．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，含直角三角形的定义，等边三角形的性质，熟悉掌握各性质是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，得到的边长，即可求出的长，再证出，即可通过含直角三角形的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵折叠， ∴， ∴，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 二、填空题 4．等边三角形的面积为，则其边长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，勾股定理的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据等边三角形性质，设等边的边长为，过点作于点，由勾股定理得到，结合面积公式和题意即可求解． 【详解】解：如图所示，设等边的边长为，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 解得，（负值舍去）， ∴该等边三角形的边长为4． 故答案为：4． 5．已知在中，．以为边向三角形外作等边，以为边向上作等边，连接．若，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质是解决问题的关键． 证明和全等得，，在中，根据得，则，在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 6．如图，等边的边长为4，是的中线，点E是边上的动点，点P是中线上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称一最短路线问题、等边三角形的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，先证明，则，当三点共线，且时，取最小值，据此回答即可． 【详解】解：连接， 是边长为4的等边三角形，是中线， ，即垂直平分， 在上， ， ， 是边上的动点 当时，到的距离最小， ， 点E是的中点， 当三点共线，且点是的中点时，取最小值． 在中， ， 当三点共线，且点是的中点时，取最小值为． 故答案为：.． 7．如图，点为等边中边上一点，于点，，求的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和直角三角形的性质，由是等边三角形得，由得，可得，可得，从而可求出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 8．如图，点是边长为的等边边上一点，，垂足为，，垂足为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算方法等知识． 连接，作交于点，由，得，再根据等边三角形的性质以及勾股定理求出的长即可得到答案，通过作辅助线，根据三角形面积相等得出是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接，作交于点， 则， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，为坐标原点，与轴重合，与轴重合，为上点，沿折叠矩形使得点落在上，且知，则点坐标是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形．在直角中利用勾股定理即可求得的长，则、的横坐标可以求得，则点的纵坐标就是点的纵坐标，由此得出点的坐标；设，则，在直角中利用勾股定理即可列方程求得的值，从而求得的纵坐标． 【详解】解：在直角中，， 则，即、的横坐标是， 则点坐标为； 设，则， 在直角中，， ， 则， 解得：． 故的坐标是． 10．如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E．若，则线段 ． 【答案】5 【分析】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解题的关键． 设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，即可求出线段的值． 【详解】解：长方形中， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则 ∴， 故答案为：5． 三、解答题 11．如图，在等边三角形中，，点是y轴上的一点，连接． (1)求点A的坐标； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查图形与坐标，等边三角形的性质，勾股定理，掌握等边三角形“三线合一”是解题关键． （1）根据等边三角形的性质，得到．作出边上的高线，由等边三角形“三线合一”，得到，再根据勾股定理算出，结合图中点A在第二象限，从而得到A点坐标． （2）因为点C在y轴上，所以点C的横坐标为0，得到．将四边形分成等边三角形和直角三角形两部分，各自求出面积后，相加得到结果． 【详解】（1）过A作轴于E，则在等边三角形中，垂直平分， ∵等边三角形中，， ∴， ∴，， 在直角三角形中，， ∵点A在第二象限， 点A坐标为； （2）∵点C在y轴上， ∴， ∴，点C坐标为， ∴， ， ， ． 12．如图，在中，，，，D，E分别是边和边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点刚好落在边的中点上． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长度． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2)． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，折叠的性质． （1）根据勾股定理逆定理证明即可； （2）根据中点的定义得到，设，根据折叠的性质结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， 即是直角三角形； （2）解：∵刚好落在边的中点上， ∴， 设， ∵把沿着直线折叠，顶点的对应点落在边中点上， ∴， ∴中，， ∴， 解得：． 题型二 双等腰直角三角形手拉手模型 一、解答题 1．如图，已知：，，的平分线交于点，过作于点， 求证： 【答案】见解析 【分析】延长，根据已知条件可知，进而得到，最后根据已知条件可知，从而得到结论． 【详解】解：∵的平分线交于点， ∴， ∵过作于点， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和，余角的性质等相关知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 2．如图，在中，为延长线上一点，点在上，且，连结延长线交于． (1)求证：； (2)判断与的位置关系并说明理由； (3)若，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）由两个三角形全等的判定定理判定即可得到； （2）由（1）中，得到，在中，由得到，从而得到，即可确定与的位置关系； （3）在、中，由勾股定理分别求出，设，在中，由勾股定理求出，在中，由勾股定理列方程求解得到，数形结合计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：， 理由如下： 由（1）知，， ， 在中，， 在中，，则， ； （3）解：在中，，则由勾股定理可得， 在中，，则由勾股定理可得， 设， 在中，，则由勾股定理可得， ，， ，， 在中，，，则由勾股定理可得， 即， 解得， ． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及三角形全等的判定与性质、直角三角形两锐角互余、直角三角形判定、勾股定理、一元一次方程的应用等知识，熟记三角形全等的判定与性质、勾股定理求线段长是解决问题的关键． 3．如图，已知和都是等腰直角三角形，，． (1)如图①所示，延长交于点F，求的度数； (2)将绕点A旋转如图②所示位置摆放，连接，，且与交于点F，请判断与之间位置与数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)与相互垂直，，理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ， ， ， ； （2）解：与相互垂直，． 理由如下：， ， 即， 在和中，    ， ， ， ， ， ． 4．已知，和都是等腰直角三角形，，，，点是直线上的一动点（点不与，重合），连接． (1)如图1，当点在线段上，如果，则________度； (2)如图2，当点在边的延长线上时，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3中，当点在边的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出线段，，之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 【答案】(1)90 (2)，理由见解析 (3)， 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，垂线的判定，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由得到，根据“”证明，得到，由得到，即可解答； （2）同（1）思路证明，得到，即可解答； （3）先补全图形，同（1）思路证明，得到，，从而得出，又，，得到，因此． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为：90． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， 即． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：，．理由如下： 补全图形如下： ∵， ∴， 即． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵， ， ∴， ∴． 一、解答题 1．实践探究题 【问题情境】 在学习《图形的平移与旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，在中，，点为斜边上的一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明； (2)【探究应用】如图2，点为等腰直角三角形内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若三点共线，求证：； (3)【拓展提升】如图3，若等腰直角三角形的直角边长为，点是线段上的动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．点在运动过程中，当的周长最小时，的长为_______（直接写答案）． 【答案】(1)，证明见解析 (2)见解析 (3)2 【分析】（1）根据将线段绕点逆时针旋转得到线段，得，即可得出，证明，即可得． （2）根据将线段绕点逆时针旋转得到线段，得出，，即可得．同（1）得，得出，即可证明； （3）根据，得出，根据的周长，即得当点在线段上时，的周长，根据，为等腰直角三角形，得出，，即最小时，的周长最小，此时，根据等腰三角形的性质即可求解； 【详解】（1）解：． 证明：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ∴，即， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． （2）证明：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴． 同（1）得， ， ， ； （3）解：当点在线段上，的周长最小值时，的长为2， 理由如下： ∵， ∴， ∴的周长， ∴当点在线段上时，的周长， ∵，为等腰直角三角形， ∴，， ∴的值最小时，的周长最小，此时， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．建立模型： 如图1，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD⊥ED于D，过C作CE⊥ED于E.则易证△ADB≌△BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”.它可以把倾斜的线段AB和直角∠ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用. 模型应用： (1)如图2，点A（0，4)，点B(3，0），△ABC是等腰直角三角形． ①若∠ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标； ②若AB为直角边，求点C的坐标； (2)如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若△MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标. 【答案】（1）①（7,3）；②（7,3）、（4,7）、（-4,1）、（-1,-3）；（2）（4，2）、. 【分析】（1）①过C作CD垂直于x轴构造“一线三垂直”，再根据全等三角形的性质求解即可；②点C有四处，分别作出图形，根据“一线三垂直”或对称求解即可；（2）当点G为直角顶点时，分点G在矩形MFNO的内部与外部两种情况构造“一线三垂直”求解即可． 【详解】（1）①如图，过C作CD垂直于x轴， 根据“一线三垂直”可得△AOB≌△BDC，∴AO=BD，OB=CD， ∵点A（0，4)，点B(3，0），∴AO=4，OB=3    ， ∴OD=3+4=7， ∴点C的坐标为（7,3）； ②如图，若AB为直角边，点C的位置可有4处， a、若点C在①的位置处，则点C的坐标为（7,3）； b、若点C在的位置处，同理可得，则点的坐标为（4,7）； c、若点C在的位置处，则、关于点A对称， ∵点A（0，4)，点（4,7），∴点的坐标为（-4,1）； d、若点C在的位置处，则、C关于点B对称， ∵点B(3，0），点C（7,3），∴点的坐标为（-1,-3）； 综上，点C的坐标为（7,3）、（4,7）、（-4,1）、（-1,-3）； （2）当点G位于直线y=2x-6上时，分两种情况： ①当点G在矩形MFNO的内部时，如图，过G作x轴的平行线AB，交y轴于A，交直线NF于点B，设G（x，2x-6）； 则OA=2x-6，AM=6-（2x-6）=12-2x，BG=AB-AG=8-x； 则△MAG≌△GBP，得AM =BG， 即：12-2x=8-x，解得x=4， ∴G（4，2）； 当点G在矩形MFNO的外部时，如图，过G作x轴的平行线AB，交y轴于A，交直线NF的延长线于点B，设G（x，2x-6）； 则OA=2x-6，AM=（2x-6）-6=2x-12，BG=AB-AG=8-x； 则△MAG≌△GBP，得AM =BG， 即：2x-12=8-x，解得， ∴G ； 综上，G点的坐标为（4，2）、. 【点睛】本题考查的是一次函数综合题，涉及到点的坐标、矩形的性质、一次函数的应用、等腰直角三角形以及全等三角形等相关知识的综合应用，需要考虑的情况较多，难度较大． 3．【概念呈现】：当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”． (1)【概念理解】：如图①，若，则四边形 （填“是”或“不是”）真等腰直角四边形； (2)【性质应用】：如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线是这个四边形的真等腰直角线，当时， ； (3)【深度理解】：如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，，对角线分别是这两个四边形的等腰直角线，试猜想并说明与的数量关系； (4)【拓展提高】：已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，若，请直接写出的长． 【答案】(1)是 (2)4或2 (3) (4) 【分析】对于（1），根据勾股定理证明，根据定义解答即可； 对于（2），由题意可得是等腰三角形，当时，根据勾股定理求出；当时，根据勾股定理求出； 对于（3），根据“边角边”证明，可得答案； 对于（4），构造等腰直角三角形，利用（3）中的全等三角形的性质得，再根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵是等腰三角形， ∴四边形是真等腰直角四边形． 故答案为：是； （2）解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线，且， ∴是等腰三角形． 当时，根据勾股定理，得； 当时，根据勾股定理，得． 所以或2． 故答案为4或2； （3）解：． 由题意可知和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：. 由题意知，是等腰直角三角形，如图，作，，连接， 由（3）可知， ∴． ∵，是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，新定义的理解，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．如图1，将含有角的三角板的直角顶点C放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 设直线（）与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)如图2，若，且是以B为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第一象限． ①直接填写：______，______； ②求点E的坐标． (2)如图3，若，过点B在y轴左侧作，且，连结，当k变化时，的面积是否为定值？请说明理由． (3)如图4，若，将直线（）向下平移6个单位．点P是平移后直线上的动点，点M在x轴负半轴上，，Q是y轴上的动点，是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1)①，；②点E的坐标为 (2)k变化时，的面积是定值，且定值为8，理由见解析 (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）①已知，代入可直接写出解析式，分别令，即可求解；②过点作轴垂线，运用全等三角形的性质证明边长相等，即可求得点坐标． （2）过点作轴垂线，运用全等三角形的性质表示出点坐标，再用三角形边长表示出三角形面积，即可判断． （3）分两种情况，平移后的解析式为，①当点在轴的下方时，过点作轴于，由全等三角形的性质证明边长相等，进一步求解即可；②当点在轴上方时，同理过点作轴于，同理用全等三角形的性质证明边长相等，进一步求解即可求解． 【详解】（1）解：①由题意可得，， 令，则， 令，则，解得：， ∴， ∴，， 故答案为：，； ②过点E作于点D，如图2， ∴， ∵是以B为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴点E的坐标为； （2）解：当k变化时，的面积是定值，理由如下： 在中，令，则，则， 过点N作轴于点M，如图3， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴k变化时，的面积是定值，且定值为8； （3）解：点Q的坐标为或． 理由如下： ∵将直线（）向下平移6个单位， ∴平移后的解析式为， ①当P点在x轴的下方时，过点P作轴于H，如图4， 设，， ∵，， 同理可得：， ∴，， ∴， 解得：， ∴点； ②当点P在x轴上方时，同理过点P作轴于H，如图5， 同理可得：， ∴，， ∴， 解得：，， ∴点， 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象和性质、动点求面积问题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质．熟练掌握一次函数的图象及性质，构造全等三角形及利用全等三角形的性质是解答本题的关键． 5．【提出问题】 （1）数学课上，张老师提出如下问题：如图1，在中，，．且，点在的延长线上，，连接．求证：． ①如图2，“勤学”小组的同学从已知条件出发，给出如下解题思路：过点作交的延长线于点，则，进而得到是等腰直角三角形，最后得出结论． ②如图3，“善思”小组的同学从结论出发，给出如下解题思路：在上截取线段．使，连接，则是等腰直角三角形，得到，再证明，最后得出结论． 请你选择一组同学的解题思路，写出证明过程． 【发现问题】 （2）张老师发现两组同学在解决问题的过程中都是构造了三角形全等，进而实现了边角之间的转化．为了帮助学生提高逻辑推理的能力，张老师将图形进行了变换； 如图4，在中，，，为上一点，，垂足为，若，求的长； 【解决问题】 （3）如图5，四边形中，，，，的面积为6，求的面积．    【答案】（1）见解析；（2）；（3）2 【分析】本题是三角形综合题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）“勤学”小组：过点作交的延长线于点，则，进而得到是等腰直角三角形，最后得出结论； “善思”小组：在上截取线段，使，连接，则是等腰直角三角形，得到，再证明，最后得出结论； （2）过点作垂足为，证明，推出，据此求解即可； （3）过点作，垂足为；过点作垂足为；证明，推出，证明是等腰直角三角形，据此求解即可． 【详解】（1）证明：“勤学”小组：过点作交的延长线于点， ∵，， ∴，． ∴． 在和中 ， ∴． ∴，． ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． “善思”小组：在上截取线段， ∵， 是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． （2）证明：过点作垂足为， ∵，， ∴，． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 在中，，且，， ∴． ∴； （3）过点作，垂足为；过点作垂足为； ∵，， ∴． ∵，， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵的面积为6，， ∴． ∴． 在中，， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴的面积为：． 6．【新课标·项目式学习】 【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律． 【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等． 【实践操作】在支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点表示小球静止时的位置．小明将小球从摆到的位置，并向右推动小球，是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且与恰好垂直，在同一平面上． 【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，，过点作于点，过点作于点， 【数据测量】， 【问题解决】 (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识； （1）证，，即可得出结论； （2）先证，得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得： 由（1）得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 7．定义：若连接三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形． (1)如图1，在智慧三角形中，，为该三角形的智慧线，，则长为_____，的度数为_____． (2)如图2，为等腰直角三角形，，，F是斜边延长线上一点，连接，以为直角边作等腰直角三角形（点A，F，E按顺时针排列），, ，交于点D，连接，．当时，求线段的长； (3)如图3，中，，，若是智慧三角形，且为智慧线，求的面积． 【答案】(1)2，； (2)； (3)16或． 【分析】（1）利用勾股定理求出，再根据等腰直角三角形的性质求出即可； （2）根据条件易证，再证明，最后利用勾股定理即可求出答案； （3）如图3中，过点A作于点H．有两种情形：当时，或当时，，是智慧三角形，有勾股定理可求出答案． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵是智慧三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 故答案为：2， （2）∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴, ∴, ∵ ∴ ∴ ∵,， ∴， ∴, 设，, ∴在中， ∴ 即； （3）如图3中，过点A作于点H． 当时，是智慧三角形， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，是智慧三角形， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的的面积为16或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会几何中的边角转化． 8．定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则______． (2)如图，是直角三角形，． ①若是的角平分线，试说明是否为“准互余三角形”． ②若E是边上一点，是“准互余三角形”，，求的度数． 【答案】(1)； (2)的度数为或． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键． （1）根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是，求解即可； （2）①由题意可得，所以只要证与满足，即可解答，②由题意可得，所以分两种情况，，，分别求解即可． 【详解】（1）解： 是“准互余三角形”，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①是“准互余三角形”，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”， ②∵， ∴， 如图： 是“准互余三角形”， ∴， ∵， ， ∴， 如图： 是“准互余三角形”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为或． 9．定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”， ，，则_____ ． (2)如图，是直角三角形，． ①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由． ②若点E是边上一点，是“准互余三角形”， ，求的度数． 【答案】(1) (2)①是“准互余三角形”，理由见解析；②或 【分析】本题考查了直角三角形的性质，理解新定义，运用分类讨论思想是解题的关键； （1）根据“准互余三角形”可知，，即可得解； （2）①根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质可得，符合定义，即可得解； ②分两种情况讨论，和，分别求出，再根据直角三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解： 是“准互余三角形”， ， ， ， 故答案为：． （2）解：①是“准互余三角形”，理由如下，如图， 是的平分线， ， ， ， ， 是“准互余三角形”； ②如图， 由题意得， 是“准互余三角形”， 当时， ， ， ， 当时， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 10．定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫作“和谐三角形”．例如：在中，如果， ，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”． (1)如图①，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD． ①________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； ②若，请判断是否为“和谐三角形”，并说明理由． (2)如图②，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD．若是“和谐三角形”，则的度数为________． 【答案】(1)①是②是“和谐三角形”，理由见解析 (2)或 【分析】（1）①根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再由“和谐三角形”的定义即可得出结论；②根据三角形内角和定理求出的度数，由可知，再求出各角的度数，进而可得出结论； （2）由“和谐三角形”的定义可知分或两种情况求解，据此得出结论． 【详解】（1）解：①是“和谐三角形”，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴是“和谐三角形”； 故答案为：是． ②是“和谐三角形”．理由如下： ，， ． ， ， ， ， 是“和谐三角形”． （2）解：或   【提示】由题意知，，． ，， ， ． 又，， ∴当是“和谐三角形”时，分或两种情况求解． 当时，； 当时， ， ． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形内角和定理，以及新定义“和谐角”和“和谐三角形”的概念，涉及到了分类讨论的思想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $