55.函数y=Asin(ωx+φ)的图像绘制 （中等）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以五点法为核心，通过跨章节整合概念、分层题型训练和逆向推导，系统构建三角函数图像绘制的方法体系，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心概念|2个跨章节整合概念（五点法原理、振幅周期初相）|五点法关键点选取原理（1最高1最低3平衡位置）|从基础定义出发，关联二次函数图像变换逻辑，构建概念网络| |性质辨析|2类综合辨析（平移变换、振幅最值）|平移变换"先伸缩后平移需调整平移量"，振幅与最值关系（考虑A符号）|对比正确表述与易错点，结合跨函数案例深化理解| |题型分类|2类核心题型（基础型、逆向型，各含1例题+3举一反三）|基础型：设相位→求关键点→描点连线；逆向型：定振幅→算周期→求初相|从正向绘制到逆向参数求解，形成完整解题链| |分层测试|3卷15题（基础5+中等5+拔高5）|分层递进训练，基础巩固概念，拔高融合单调性、零点等综合考法|从单点突破到综合应用，覆盖不同能力层级需求|

高中数学三角函数特色专项训练 55.函数y=Asin(ωx+φ)的图像绘制 （中等）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】五点法绘制图像的核心原理 ￮ 定义表述：五点法是选取函数一个周期内，使相位依次取的五个关键点，计算对应、值后描点连线，得到函数图像的方法。 ￮ 数学符号/表达式：设，，则，（）。 ￮ 关键特征：五个关键点包含1个最高点、1个最低点、3个平衡位置点；相邻关键点的水平间距为（为函数周期）。 ￮ 跨章节关联：适用于的图像绘制，类比二次函数顶点式的图像变换逻辑。 2. 【概念2】振幅、周期、初相的定义 ￮ 定义表述：为振幅，是函数偏离平衡位置的最大距离；为角频率，决定函数周期；为初相，决定函数图像的左右平移位置。 ￮ 数学符号/表达式：振幅，周期，初相。 ￮ 关键特征：影响图像纵向伸缩，影响横向伸缩，影响左右平移（“左加右减”仅针对）。 ￮ 跨章节关联：与中（纵向伸缩）、（左右平移）的作用原理一致。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 平移变换规则 函数先平移个单位（左加右减），再横向伸缩倍，得；若先伸缩后平移，平移量为 1. 先伸缩后平移时，误将平移量记为； 2. 平移时直接对加减 二次函数先伸缩为，再右移1个单位，应为，而非 振幅与最值关系 当时，的最大值为，最小值为 忽略的符号，直接用(A) 三、题型分类与例题精析 题型1：已知，用五点法绘制函数图像（基础型） 题型特征：直接给出的具体数值，需计算一个周期内的五个关键点坐标，完成图像绘制。 解题步骤： 1. 设相位， 2. 分别解出对应值，代入函数计算值，列出关键点坐标表； 3. 描点并用光滑曲线连接，得到一个周期内的函数图像。 例题1：用五点法绘制函数在区间上的图像。 解析： 1. 设，令，解方程求： · 时，， · 时，， · 时，， · 时，， · 时，， 2. 关键点坐标表： 3. 描点，用光滑曲线连接即可。 答案：图像见解析步骤3。 举一反三1-1 用五点法绘制函数在一个周期内的图像。 解析： 1. 设，设，则令，得，计算对应值： 2. 描点连线，得到周期内的图像。 答案：图像略。 举一反三1-2 用五点法绘制函数在区间上的图像。 解析： 1. 设，令设，，解得，计算对应值： 2. 描点连线，得到区间内的函数图像。 答案：图像略。 举一反三1-3 用五点法绘制函数在一个周期内的图像。 解析： 1. 设，令设，，解得，计算对应值： 2. 描点连线，得到周期内的图像。 答案：图像略。 题型2：已知关键点坐标，用五点法求（逆向型） 题型特征：给出函数图像上的部分关键点，反求参数的值。 解题步骤： 1. 由最高点或最低点的纵坐标确定振幅； 2. 由相邻关键点的水平间距计算周期，再由求角频率； 3. 代入一个关键点坐标，结合的取值范围（通常）求初相。 例题2：已知函数（）的图像过点，最高点为，最低点为，求的值。 解析： 1. 求：最高点纵坐标为，故； 2. 求：最高点到最低点的水平间距为，即，得，则； 3. 求：函数解析式为，代入点得，又，故。 答案：，， 举一反三2-1 已知函数的图像过点，求的值。 解析： 1. 求：最高点纵坐标为，故； 2. 求：五个点为一个周期，周期，则； 3. 求：解析式为，代入点得，取。 答案：，， 举一反三2-2 已知函数（）的图像中，相邻两个与轴交点为和，且过点，求的值。 解析： 1. 求：点为最高点，故； 2. 求：相邻轴交点间距为，即，得，则； 3. 求：解析式为，代入点得，取。 答案：，， 举一反三2-3 已知函数（）的最高点为，相邻最低点为，求函数解析式。 解析： 1. 求：最高点纵坐标为，故； 2. 求：最高点到最低点间距为，即，得，则； 3. 求：解析式为，代入点得，解得，取，得（满足）。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题：用五点法绘制的图像时，第一个关键点（对应点）的坐标为（） A. B. C. D. 解析：令，得，，故选A。 答案：A 2. 多选题：关于五点法绘制的图像，下列说法正确的有（） A. 五个关键点的横坐标间隔相等 B. 振幅决定图像的纵向高度 C. 初相决定图像的左右位置 D. 周期与成正比 解析：A正确，间隔为；B正确，是最值绝对值；C正确，平移由决定；D错误，，与成反比。故选ABC。 答案：ABC 3. 填空题：用五点法绘制的图像时，当时，对应的，。 解析：，。 答案：； 4. 解答题 (1) 用五点法绘制函数在区间上的图像。 解析： ① 设，设，得； ② 对应值为； ③ 描点连线即可。 答案：图像略。 (2) 已知函数的五个关键点为，求函数解析式。 解析： ① 由最值得； ② 周期，得； ③ 解析式为（代入得）。 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题：用五点法绘制的图像时，当时，对应的值为（） A. B. C. D. 解析：为最低点，此时，故选C。 答案：C 2. 多选题：已知函数（）的图像过点和，且，则下列结论正确的有（） A. B. C. D. 周期 解析：由得，，B、D正确；点为最高点，，A正确；代入得，C错误。故选ABD。 答案：ABD 3. 填空题：已知函数的图像中，最高点为，相邻轴交点为，则______。 解析：最高点到轴交点间距为，得，。 答案： 4. 解答题 (1) 用五点法绘制函数在区间上的图像，并指出单调递增区间。 解析： ① 设，令，得,； ② 对应值为，描点连线得图像； ③ 单调递增区间为和。 答案：图像略；递增区间为 (2) 已知函数（）过点，且关键点为和，求解析式并绘图。 解析： ① 由最值得； ② 周期，得； ③ 代入得，解析式为； ④ 五点法绘图略。 答案：解析式为；图像略。 5. 创新题：函数的图像由先左移，再横向缩短为，纵向伸长为倍得到，求解析式并用五点法绘图。 解析： ① 变换过程：； ② 五点法绘图：设，令，得，对应值为，描点连线即可。 答案：解析式为；图像略。 （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题：函数的五个关键点横坐标成等差数列，公差为，最大值为，则（） A. B. C. D. 解析：公差为，得，，故选B。 答案：B 2. 多选题：关于函数的五点法图像，说法正确的有（） A. 五个关键点中两个点纵坐标为 B. 图像关于点对称 C. 函数在上单调递增 D. 图像可由左移得到 解析：A错误，三个点纵坐标为；B正确，是关键点；C正确，代入单调区间公式验证；D正确，平移量为。故选BCD。 答案：BCD 3. 填空题：函数的图像与直线的相邻交点横坐标为和，则______。 解析：相邻交点间距为，得。 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数（）过点，且在上单调递减，求解析式并求上的最值。 解析： ① 由得； ② 单调递减区间长度为，得，； ③ 代入点得，解析式为； ④ 在上，最大值为，最小值为。 答案：；最大值，最小值 (2) 用五点法绘制和的图像，并指出关系。 解析： ① 化简； ② 两个函数解析式相同，五点法绘制的图像重合。 答案：图像重合；图像略。 5. 压轴题：已知函数（）过点、，且对任意成立，求解析式并求上的零点个数。 解析： ① 由得为最大值，故； ② 点为平衡位置点，间距为，得，； ③ 代入得，，解析式为； ④ 求零点：令，得，在上的零点为，共2个。 答案：解析式为；零点个数为2。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 55.函数y=Asin(ωx+φ)的图像绘制 （中等）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】五点法绘制图像的核心原理 ￮ 定义表述：五点法是选取函数一个周期内，使相位依次取的五个关键点，计算对应、值后描点连线，得到函数图像的方法。 ￮ 数学符号/表达式：设，，则，（）。 ￮ 关键特征：五个关键点包含1个最高点、1个最低点、3个平衡位置点；相邻关键点的水平间距为（为函数周期）。 ￮ 跨章节关联：适用于的图像绘制，类比二次函数顶点式的图像变换逻辑。 2. 【概念2】振幅、周期、初相的定义 ￮ 定义表述：为振幅，是函数偏离平衡位置的最大距离；为角频率，决定函数周期；为初相，决定函数图像的左右平移位置。 ￮ 数学符号/表达式：振幅，周期，初相。 ￮ 关键特征：影响图像纵向伸缩，影响横向伸缩，影响左右平移（“左加右减”仅针对）。 ￮ 跨章节关联：与中（纵向伸缩）、（左右平移）的作用原理一致。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 平移变换规则 函数先平移个单位（左加右减），再横向伸缩倍，得；若先伸缩后平移，平移量为 1. 先伸缩后平移时，误将平移量记为； 2. 平移时直接对加减 二次函数先伸缩为，再右移1个单位，应为，而非 振幅与最值关系 当时，的最大值为，最小值为 忽略的符号，直接用(A) 三、题型分类与例题精析 题型1：已知，用五点法绘制函数图像（基础型） 题型特征：直接给出的具体数值，需计算一个周期内的五个关键点坐标，完成图像绘制。 解题步骤： 1. 设相位， 2. 分别解出对应值，代入函数计算值，列出关键点坐标表； 3. 描点并用光滑曲线连接，得到一个周期内的函数图像。 例题1：用五点法绘制函数在区间上的图像。 举一反三1-1 用五点法绘制函数在一个周期内的图像。 举一反三1-2 用五点法绘制函数在区间上的图像。 举一反三1-3 用五点法绘制函数在一个周期内的图像。 题型2：已知关键点坐标，用五点法求（逆向型） 题型特征：给出函数图像上的部分关键点，反求参数的值。 解题步骤： 1. 由最高点或最低点的纵坐标确定振幅； 2. 由相邻关键点的水平间距计算周期，再由求角频率； 3. 代入一个关键点坐标，结合的取值范围（通常）求初相。 例题2：已知函数（）的图像过点，最高点为，最低点为，求的值。 举一反三2-1 已知函数的图像过点，求的值。 举一反三2-2 已知函数（）的图像中，相邻两个与轴交点为和，且过点，求的值。 举一反三2-3 已知函数（）的最高点为，相邻最低点为，求函数解析式。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题：用五点法绘制的图像时，第一个关键点（对应点）的坐标为（） A. B. C. D. 2. 多选题：关于五点法绘制的图像，下列说法正确的有（） A. 五个关键点的横坐标间隔相等 B. 振幅决定图像的纵向高度 C. 初相决定图像的左右位置 D. 周期与成正比 3. 填空题：用五点法绘制的图像时，当时，对应的，。 4. 解答题 (1) 用五点法绘制函数在区间上的图像。 (2) 已知函数的五个关键点为，求函数解析式。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题：用五点法绘制的图像时，当时，对应的值为（） A. B. C. D. 2. 多选题：已知函数（）的图像过点和，且，则下列结论正确的有（） A. B. C. D. 周期 3. 填空题：已知函数的图像中，最高点为，相邻轴交点为，则______。 4. 解答题 (1) 用五点法绘制函数在区间上的图像，并指出单调递增区间。 (2) 已知函数（）过点，且关键点为和，求解析式并绘图。 5. 创新题：函数的图像由先左移，再横向缩短为，纵向伸长为倍得到，求解析式并用五点法绘图。 （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题：函数的五个关键点横坐标成等差数列，公差为，最大值为，则（） A. B. C. D. 2. 多选题：关于函数的五点法图像，说法正确的有（） A. 五个关键点中两个点纵坐标为 B. 图像关于点对称 C. 函数在上单调递增 D. 图像可由左移得到 3. 填空题：函数的图像与直线的相邻交点横坐标为和，则______。 4. 解答题 (1) 已知函数（）过点，且在上单调递减，求解析式并求上的最值。 (2) 用五点法绘制和的图像，并指出关系。 5. 压轴题：已知函数（）过点、，且对任意成立，求解析式并求上的零点个数。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $