54.正切函数的对称中心求解（无对称轴）（提升）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 54.正切函数的对称中心求解（无对称轴）（提升）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】函数的对称中心 ￮定义表述：对于函数，若存在点，使得对定义域内任意，都有成立，则称点为函数的对称中心。 ￮数学符号/表达式：，为对称中心 ￮关键特征：① 对称中心是一个点，而非一条直线；② 函数图象上任意一点关于对称中心的对称点仍在函数图象上；③ 若，则对称中心在轴上。 ￮跨章节关联：适用于幂函数、三角函数、分式函数等各类函数的对称中心判定与求解。 2. 【概念2】正切函数的对称中心 ￮定义表述：正切函数的对称中心分为两类，一类是图象与轴的交点，另一类是渐近线与轴的交点，其对称中心为。 ￮数学符号/表达式：对称中心为。 ￮关键特征：① 正切函数无对称轴，仅有对称中心；② 对称中心均在轴上，纵坐标恒为；③ 相邻两个对称中心之间的距离为，是最小正周期的一半。 ￮跨章节关联：是求解正切型函数对称中心的基础，可迁移到三角函数的图象变换与性质综合问题。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 正切函数对称中心的完整 的对称中心为。 包含为偶数和奇数的情况 仅认为对称中心是，遗漏为奇数时的对称中心 对比：的对称中心是，对称轴是，与正切函数性质差异明显 正切函数的对称性本质 正切函数的对称中心源于其周期性和奇偶性，图象绕对称中心旋转后与原图象重合 误认为正切函数存在对称轴，或混淆对称中心与渐近线的关系 对比：既有对称轴又有对称中心，而只有对称中心，无对称轴 正切型函数对称中心的求解逻辑 求解的对称中心，需令，解出后得到对称中心横坐标 直接套用的对称中心公式，忽略和的变换影响 对比：的对称中心需令，与正切型函数的求解方程形式不同 三、题型分类与例题精析 题型1： 求基本正切函数的对称中心 题型特征：直接求解的对称中心或判断某点是否为其对称中心，属于基础提升题型。 解题步骤：1. 明确的对称中心为；2. 若判断某点是否为对称中心，代入公式验证是否为整数；3. 若求特定范围内的对称中心，确定的取值范围，计算对应坐标。 例题1 求函数的对称中心，并判断点和是否为其对称中心。 举一反三1-1 求函数在区间内的所有对称中心。 举一反三1-2 下列点中，不是函数对称中心的是（） A. B. C. D. 举一反三1-3 函数的相邻两个对称中心之间的距离为（） A. B. C. D. 题型2： 求正切型函数的对称中心 题型特征：求解含参数的正切型函数的对称中心，需结合图象变换规律，属于中等提升题型。 解题步骤：1. 令内层函数；2. 解关于的方程，得到；3. 写出对称中心的坐标为。 例题2 求函数的对称中心。 举一反三2-1 求函数的对称中心。 举一反三2-2 函数的一个对称中心可以是（） A. B. C. D. 举一反三2-3 若函数的一个对称中心为，则的最小值为（） A. B. C. D. 题型3： 正切函数对称中心的综合应用（含参数求解） 题型特征：结合函数的定义域、周期性或图象过定点等条件，求解与对称中心相关的参数值，属于拔高题型。 解题步骤：1. 根据正切型函数对称中心公式写出对称中心坐标；2. 结合题目给出的附加条件（如对称中心在某直线上、过某定点等）列出关于参数的方程；3. 解方程求出参数的值，并验证是否符合题意。 例题3 已知函数的最小正周期为，且图象的一个对称中心为，求和的值。 举一反三3-1 已知函数的图象过点和，且这两个点都是函数的对称中心，求函数的最小正周期的可能值。 举一反三3-2 若函数的对称中心都在直线的右侧，则的取值范围是（） A. B. C. D. 举一反三3-3 已知函数的图象向右平移个单位后，对称中心为，求的最小值。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数的对称中心是（） A. B. 。 C. 。 D. 2. 多选题 下列关于正切函数对称性的说法，正确的有（） A. 的对称中心均在轴上 B. 相邻两个对称中心的距离为 C. 点是的一个对称中心 D. 既有对称轴又有对称中心 3. 填空题 函数的一个对称中心坐标为______（写出一个即可）。 4. 解答题 (1) 判断点是否为函数的对称中心，并说明理由。 (2) 求函数在区间内的所有对称中心。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 函数的对称中心为（） A. 单调 。 B. 单调 C. 单调 D. 单调 2. 多选题 已知函数的一个对称中心为，且最小正周期为，则下列说法正确的有（） A. B. 的可能值为 C. 函数的解析式可以是 D. 函数在区间内单调递增 3. 填空题 若函数的对称中心到原点的最近距离为，则______。 4. 解答题 (1) 已知函数的最小正周期为，且图象的一个对称中心为，求的值，并写出一个满足条件的函数解析式。 (2) 求证：点是函数的对称中心。 （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题 若函数的图象关于点中心对称，且，，则的最小值为（） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数，下列说法正确的有（） A. 若的对称中心为，则 B. 若的图象过原点，则 C. 若在区间内单调递增，则的取值无限制 D. 若的周期为，则对称中心之间的最小距离为 3. 填空题 已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则的对称中心坐标为______。 4. 解答题 (1) 已知函数的图象经过点和，且是函数的一个对称中心，求和的值。 (2) 已知函数，若存在点，使得对任意定义域，都有，求的取值。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 54.正切函数的对称中心求解（无对称轴）（提升）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】函数的对称中心 ￮定义表述：对于函数，若存在点，使得对定义域内任意，都有成立，则称点为函数的对称中心。 ￮数学符号/表达式：，为对称中心 ￮关键特征：① 对称中心是一个点，而非一条直线；② 函数图象上任意一点关于对称中心的对称点仍在函数图象上；③ 若，则对称中心在轴上。 ￮跨章节关联：适用于幂函数、三角函数、分式函数等各类函数的对称中心判定与求解。 2. 【概念2】正切函数的对称中心 ￮定义表述：正切函数的对称中心分为两类，一类是图象与轴的交点，另一类是渐近线与轴的交点，其对称中心为。 ￮数学符号/表达式：对称中心为。 ￮关键特征：① 正切函数无对称轴，仅有对称中心；② 对称中心均在轴上，纵坐标恒为；③ 相邻两个对称中心之间的距离为，是最小正周期的一半。 ￮跨章节关联：是求解正切型函数对称中心的基础，可迁移到三角函数的图象变换与性质综合问题。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 正切函数对称中心的完整 的对称中心为。 包含为偶数和奇数的情况 仅认为对称中心是，遗漏为奇数时的对称中心 对比：的对称中心是，对称轴是，与正切函数性质差异明显 正切函数的对称性本质 正切函数的对称中心源于其周期性和奇偶性，图象绕对称中心旋转后与原图象重合 误认为正切函数存在对称轴，或混淆对称中心与渐近线的关系 对比：既有对称轴又有对称中心，而只有对称中心，无对称轴 正切型函数对称中心的求解逻辑 求解的对称中心，需令，解出后得到对称中心横坐标 直接套用的对称中心公式，忽略和的变换影响 对比：的对称中心需令，与正切型函数的求解方程形式不同 三、题型分类与例题精析 题型1： 求基本正切函数的对称中心 题型特征：直接求解的对称中心或判断某点是否为其对称中心，属于基础提升题型。 解题步骤：1. 明确的对称中心为；2. 若判断某点是否为对称中心，代入公式验证是否为整数；3. 若求特定范围内的对称中心，确定的取值范围，计算对应坐标。 例题1 求函数的对称中心，并判断点和是否为其对称中心。 解析：1. 根据正切函数对称中心的结论，其对称中心为；2. 对于点，令，解得，故是对称中心；3. 对于点，令，解得，故是对称中心。 答案：对称中心为；点和都是函数的对称中心。 举一反三1-1 求函数在区间内的所有对称中心。 解析：1. 对称中心为。 ；2. 令，解得；3. 取，对应对称中心坐标为、、、、。 答案：、、、、 举一反三1-2 下列点中，不是函数对称中心的是（） A. B. C. D. 解析：根据对称中心公式，。A选项，C选项，D选项，均为整数；B选项解得，故不是对称中心。选B。 答案： 举一反三1-3 函数的相邻两个对称中心之间的距离为（） A. B. C. D. 解析：相邻两个对称中心的横坐标分别为和，距离为。选B。 答案： 题型2： 求正切型函数的对称中心 题型特征：求解含参数的正切型函数的对称中心，需结合图象变换规律，属于中等提升题型。 解题步骤：1. 令内层函数；2. 解关于的方程，得到；3. 写出对称中心的坐标为。 例题2 求函数的对称中心。 解析：1. 令；2. 解方程：，；3. 因此，函数的对称中心为。 答案:。 举一反三2-1 求函数的对称中心。 解析：1. 令；2. 解得；. 函数的对称中心为. 。 答案：. 举一反三2-2 函数的一个对称中心可以是（） A. B. C. D. 解析：1. 令，解得；2. 当时，，对应对称中心，符合选项A。 答案： 举一反三2-3 若函数的一个对称中心为，则的最小值为（） A. B. C. D. 解析：1. 令；2. 整理得；3. 因为，当时，取得最小值。选B。 答案： 题型3： 正切函数对称中心的综合应用（含参数求解） 题型特征：结合函数的定义域、周期性或图象过定点等条件，求解与对称中心相关的参数值，属于拔高题型。 解题步骤：1. 根据正切型函数对称中心公式写出对称中心坐标；2. 结合题目给出的附加条件（如对称中心在某直线上、过某定点等）列出关于参数的方程；3. 解方程求出参数的值，并验证是否符合题意。 例题3 已知函数的最小正周期为，且图象的一个对称中心为，求和的值。 解析：1. 由最小正周期公式，解得；2. 函数解析式为，令；3. 整理得，因为，当时，，符合条件。 答案：， 举一反三3-1 已知函数的图象过点和，且这两个点都是函数的对称中心，求函数的最小正周期的可能值。 解析：1. 正切型函数相邻对称中心的距离为，故两个对称中心的横坐标之差为；2. 横坐标之差为，即，解得；3. 当时，最小正周期的最小值为。 答案：最小正周期的可能值为，最小值为 举一反三3-2 若函数的对称中心都在直线的右侧，则的取值范围是（） A. B. C. D. 解析：1. 令，解得；2. 函数的对称中心横坐标的最小值为当时，（不符合），时，；3. 由题意，解得，又，故。选A。 答案： 举一反三3-3 已知函数的图象向右平移个单位后，对称中心为，求的最小值。 解析：1. 平移后的函数解析式为，其对称中心满足，即；2. 由题意；3. 因为，当时，取得最小值。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数的对称中心是（） A. B. 。 C. 。 D. 解析：根据正切函数对称中心的结论，其对称中心为。，选B。 答案： 2. 多选题 下列关于正切函数对称性的说法，正确的有（） A. 的对称中心均在轴上 B. 相邻两个对称中心的距离为 C. 点是的一个对称中心 D. 既有对称轴又有对称中心 解析：选项A、B、C均符合正切函数对称中心的性质；选项D错误，无对称轴。 答案： 3. 填空题 函数的一个对称中心坐标为______（写出一个即可）。 解析：令，当时，，对称中心为。 答案：（答案不唯一） 4. 解答题 (1) 判断点是否为函数的对称中心，并说明理由。 解析：令，解得，符合对称中心为。，故是对称中心。 答案：是；理由：令得，符合对称中心公式。 (2) 求函数在区间内的所有对称中心。 解析：1. 令，解得；2. 令，解得，取；3. 当时，；当时，；对称中心为、。 答案：、 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 函数的对称中心为（） A. 单调 。 B. 单调 C. 单调 D. 单调 解析：1. 令；2. 解得；3. 对称中心 ，选A。 答案： 2. 多选题 已知函数的一个对称中心为，且最小正周期为，则下列说法正确的有（） A. B. 的可能值为 C. 函数的解析式可以是 D. 函数在区间内单调递增 解析：A选项，，，正确；B选项，令，时，符合，正确；C选项，解析式可以是，正确；D选项，单调区间为，在该区间内，单调递增，正确。 答案： 3. 填空题 若函数的对称中心到原点的最近距离为，则______。 解析：1. 令，解得；2. 当时，；3. 解得。 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数的最小正周期为，且图象的一个对称中心为，求的值，并写出一个满足条件的函数解析式。 解析：1. 由，解得；2. 令，取，得；3. 取，函数解析式为。 答案：；解析式可以是（答案不唯一） (2) 求证：点是函数的对称中心。 解析：1. 设，定义域为；2. 计算；3. 满足对称中心的定义（此处），故得证。 答案：证明见解析。 （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题 若函数的图象关于点中心对称，且，，则的最小值为（） A. B. C. D. 解析：1. 令，得；2. 当时，，；验证：，符合条件；对比选项，，选项A最接近，且为最小值。 答案： 2. 多选题 已知函数，下列说法正确的有（） A. 若的对称中心为，则 B. 若的图象过原点，则 C. 若在区间内单调递增，则的取值无限制 D. 若的周期为，则对称中心之间的最小距离为 解析：A选项，若，对称中心为，反之也成立，正确；B选项，，则，正确；C选项，正切型函数的单调区间长度固定，与无关，正确；D选项，相邻对称中心距离为，正确。 答案： 3. 填空题 已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则的对称中心坐标为______。 解析：1. ；2. 令，解得；3. 对称中心为。 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数的图象经过点和，且是函数的一个对称中心，求和的值。 解析：1. 因为是对称中心，故；2. 函数过点，故，即；3. 用第一个方程减第二个方程得，整理得；4. 因为，取，得（舍去）；取，得；代入，得，符合。 答案：， (2) 已知函数，若存在点，使得对任意定义域，都有，求的取值。 解析：1. 由得；2. 根据正切函数性质，故，解得；3. 的取值为。 答案：值为。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $