53.余弦函数的对称轴与对称中心求解（中等）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 53.余弦函数的对称轴与对称中心求解（中等）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】函数的对称轴与轴对称 ￮定义表述：设函数的定义域为，若存在直线，对任意，都有且，则称直线为函数的对称轴，函数图象关于直线轴对称。 ￮数学符号/表达式：，且是的对称轴 ￮关键特征：① 对称轴是垂直于轴的直线；② 对称轴两侧函数图象呈镜像对称；③ 周期函数的对称轴呈周期性分布。 ￮跨章节关联：适用于二次函数、余弦函数、偶函数等。 2. 【概念2】函数的对称中心与中心对称 ￮定义表述：设函数的定义域为，若存在点，对任意，都有且，则称点为函数的对称中心，函数图象关于点中心对称。 ￮数学符号/表达式：，且是的对称中心 ￮关键特征：① 对称中心是平面直角坐标系内的点；② 函数图象绕对称中心旋转后与原图象重合；③ 奇函数的对称中心为原点。 ￮跨章节关联：适用于反比例函数、正弦函数、余弦函数等。 3. 【概念3】余弦函数的对称轴与对称中心 ￮定义表述：基本余弦函数的对称轴是使函数取得最值的直线，方程为；对称中心是函数图象与轴的交点，坐标为。对于复合余弦函数，令，解得的即为对称轴方程；令，解得的与组成的点即为对称中心坐标。 ￮数学符号/表达式： 对称轴：；对称中心： 对称轴： 对称中心： ￮关键特征：① 复合余弦函数的对称轴、对称中心仅与、有关，与振幅无关；② 相邻对称轴间距为，相邻对称中心间距也为；③ 相邻对称轴与对称中心间距为。 ￮跨章节关联：与余弦函数的周期性紧密相关，周期，一个周期内包含两条对称轴和两个对称中心。 三、题型分类与例题精析 题型1：基本余弦函数的对称轴与对称中心求解 题型特征：直接考查基本余弦函数的对称性，无复合变形，属于基础题型。 解题步骤：1. 回忆对称性的核心结论；2. 直接写出对称轴方程和对称中心坐标；3. 代入特殊值验证结论合理性。 例题1 求函数的对称轴方程和对称中心坐标。 举一反三1-1 求函数的对称轴方程和对称中心坐标。 举一反三1-2 函数的对称轴中，离轴最近的两条直线方程为（） A. B. C. D. 举一反三1-3 函数的对称中心中，离点最近的点的坐标为______。 题型2：复合余弦函数的对称轴求解 题型特征：考查含、的复合余弦函数的对称轴，需通过换元法转化为基本余弦函数求解，属于中等题型。 解题步骤：1. 令，将复合函数转化为；2. 根据的对称轴方程，代入；3. 解关于的一元一次方程，整理得到对称轴方程。 例题2 求函数的对称轴方程。 举一反三2-1 求函数的对称轴方程。 举一反三2-2 函数的一条对称轴方程为（） A. B. C. D. 举一反三2-3 求函数的对称轴方程。 题型3：复合余弦函数的对称中心求解 题型特征：考查含、的复合余弦函数的对称中心，需通过换元法转化为基本余弦函数求解，属于中等题型。 解题步骤：1. 令，将复合函数转化为；2. 根据的对称中心满足，代入；3. 解关于的一元一次方程，结合得到对称中心坐标。 例题3 求函数的对称中心坐标。 举一反三3-1 求函数的对称中心坐标。 举一反三3-2 函数的一个对称中心坐标为（） A. B. C. D. 举一反三3-3 求函数的对称中心坐标。 题型4：已知对称轴或对称中心求参数 题型特征：已知复合余弦函数的一条对称轴或一个对称中心，反求参数的取值，属于中等偏上题型。 解题步骤：1. 根据对称性公式列出关于的方程；2. 代入已知的值，选取的特殊值（通常取）；3. 解出的值，若有范围限制则结合范围确定最终解。 例题4 已知直线是函数的一条对称轴，求的一个可能值。 举一反三4-1 已知点是函数的一个对称中心，求的一个可能值。 举一反三4-2 若函数的图象关于直线对称，且，则的一个可能值为（） A. B. C. D. 举一反三4-3 已知函数的一条对称轴为，求的最小值。 题型5：含绝对值余弦函数的对称轴与对称中心求解 题型特征：考查的对称性，需结合绝对值对函数图象的影响分析，属于中等偏上题型。 例题5 求函数的对称轴方程和对称中心坐标。 举一反三5-1 求函数的对称轴方程。 举一反三5-2 函数的一个对称中心坐标为（） A. B. C. D. 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数的对称中心坐标为（） A. B. C. D. 2. 多选题 下列直线中，是函数对称轴的有（） A. B. C. D. 3. 填空题 函数的一条对称轴方程为______。 4. 解答题 (1) 求函数的对称中心坐标。 (2) 已知直线是函数的一条对称轴，求的一个值。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 函数的对称中心中，离原点最近的点的坐标为（） A. B. C. D. 2. 多选题 关于函数，下列说法正确的有（） A. 对称轴方程为 B. 对称中心坐标为 C. 相邻对称轴间距为 D. 图象关于点对称 3. 填空题 已知点是函数的一个对称中心，且，则的最小值为______。 4. 解答题 (1) 求函数的对称轴方程和对称中心坐标。 (2) 已知函数的图象关于直线对称，且关于点对称，求的最小值。 （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题 函数的最小正周期和对称轴方程分别为（） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 多选题 已知函数在上单调递减，且，，则下列说法正确的有（） A. 对称轴为 B. 对称中心为 C. 的取值为 D. 的取值为 3. 填空题 函数的对称中心坐标为______。 4. 解答题 (1) 求函数的一个对称中心坐标。 (2) 已知函数的图象过点，且关于直线对称，最小正周期为，求的解析式。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 53.余弦函数的对称轴与对称中心求解（中等）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】函数的对称轴与轴对称 ￮定义表述：设函数的定义域为，若存在直线，对任意，都有且，则称直线为函数的对称轴，函数图象关于直线轴对称。 ￮数学符号/表达式：，且是的对称轴 ￮关键特征：① 对称轴是垂直于轴的直线；② 对称轴两侧函数图象呈镜像对称；③ 周期函数的对称轴呈周期性分布。 ￮跨章节关联：适用于二次函数、余弦函数、偶函数等。 2. 【概念2】函数的对称中心与中心对称 ￮定义表述：设函数的定义域为，若存在点，对任意，都有且，则称点为函数的对称中心，函数图象关于点中心对称。 ￮数学符号/表达式：，且是的对称中心 ￮关键特征：① 对称中心是平面直角坐标系内的点；② 函数图象绕对称中心旋转后与原图象重合；③ 奇函数的对称中心为原点。 ￮跨章节关联：适用于反比例函数、正弦函数、余弦函数等。 3. 【概念3】余弦函数的对称轴与对称中心 ￮定义表述：基本余弦函数的对称轴是使函数取得最值的直线，方程为；对称中心是函数图象与轴的交点，坐标为。对于复合余弦函数，令，解得的即为对称轴方程；令，解得的与组成的点即为对称中心坐标。 ￮数学符号/表达式： 对称轴：；对称中心： 对称轴： 对称中心： ￮关键特征：① 复合余弦函数的对称轴、对称中心仅与、有关，与振幅无关；② 相邻对称轴间距为，相邻对称中心间距也为；③ 相邻对称轴与对称中心间距为。 ￮跨章节关联：与余弦函数的周期性紧密相关，周期，一个周期内包含两条对称轴和两个对称中心。 三、题型分类与例题精析 题型1：基本余弦函数的对称轴与对称中心求解 题型特征：直接考查基本余弦函数的对称性，无复合变形，属于基础题型。 解题步骤：1. 回忆对称性的核心结论；2. 直接写出对称轴方程和对称中心坐标；3. 代入特殊值验证结论合理性。 例题1 求函数的对称轴方程和对称中心坐标。 解析：1. 根据基本余弦函数的图象与性质，当时，取得最值，此时直线为对称轴；2. 当时，，此时点为对称中心；3. 代入，对称轴、对称中心均符合图象特征。 答案：对称轴方程为；对称中心坐标为 举一反三1-1 求函数的对称轴方程和对称中心坐标。 解析：1. 的图象是关于轴的对称图象，对称性不发生改变；2. 当时，取得最值，满足对称轴的定义；3. 当时，，满足对称中心的定义。 答案：对称轴方程为；对称中心坐标为 举一反三1-2 函数的对称轴中，离轴最近的两条直线方程为（） A. B. C. D. 解析：1. 的对称轴方程为；2. 分别取得，取得；3. 其中直线和相比，离轴最近，另一条最近的是或，选项C符合条件。 答案： 举一反三1-3 函数的对称中心中，离点最近的点的坐标为______。 解析：1. 的对称中心坐标为；2. 分别取得，取得；3. 计算两点到的距离，到的距离为，到的距离也为，二者距离相等且最近。 答案：和 题型2：复合余弦函数的对称轴求解 题型特征：考查含、的复合余弦函数的对称轴，需通过换元法转化为基本余弦函数求解，属于中等题型。 解题步骤：1. 令，将复合函数转化为；2. 根据的对称轴方程，代入；3. 解关于的一元一次方程，整理得到对称轴方程。 例题2 求函数的对称轴方程。 解析：1. 令，函数化为；2. 的对称轴满足，因此；3. 解方程得，即。 答案：对称轴方程为 举一反三2-1 求函数的对称轴方程。 解析：1. 利用余弦函数的偶函数性质，；2. 令，函数化为，对称轴满足；3. 代入得，解方程得。 答案：对称轴方程为 举一反三2-2 函数的一条对称轴方程为（） A. B. C. D. 解析：1. 令，对称轴满足，即；2. 解方程得；3. 取，得，对应选项A。 答案： 举一反三2-3 求函数的对称轴方程。 解析：1. 令，函数的对称轴与一致，满足；2. 代入得；3. 解方程得，即。 答案：对称轴方程为 题型3：复合余弦函数的对称中心求解 题型特征：考查含、的复合余弦函数的对称中心，需通过换元法转化为基本余弦函数求解，属于中等题型。 解题步骤：1. 令，将复合函数转化为；2. 根据的对称中心满足，代入；3. 解关于的一元一次方程，结合得到对称中心坐标。 例题3 求函数的对称中心坐标。 解析：1. 令，函数化为；2. 的对称中心满足，因此；3. 解方程得，即，此时，对称中心坐标为。 答案：对称中心坐标为 举一反三3-1 求函数的对称中心坐标。 解析：1. 由偶函数性质得；2. 令，对称中心满足，即；3. 解方程得，，此时，对称中心坐标为。 答案：对称中心坐标为 举一反三3-2 函数的一个对称中心坐标为（） A. B. C. D. 解析：1. 令，对称中心满足，即；2. 解方程得，；3. 取，得，对应对称中心，选B。 答案： 举一反三3-3 求函数的对称中心坐标。 解析：1. 令，函数的对称中心与一致，满足；2. 代入得；3. 解方程得，，此时，对称中心坐标为。 答案：对称中心坐标为 题型4：已知对称轴或对称中心求参数 题型特征：已知复合余弦函数的一条对称轴或一个对称中心，反求参数的取值，属于中等偏上题型。 解题步骤：1. 根据对称性公式列出关于的方程；2. 代入已知的值，选取的特殊值（通常取）；3. 解出的值，若有范围限制则结合范围确定最终解。 例题4 已知直线是函数的一条对称轴，求的一个可能值。 解析：1. 复合余弦函数对称轴满足；2. 将代入方程，得，即；3. 取，解得。 答案：（答案不唯一） 举一反三4-1 已知点是函数的一个对称中心，求的一个可能值。 解析：1. 复合余弦函数对称中心满足；2. 将代入方程，得，即；3. 取，解得。 答案：（答案不唯一） 举一反三4-2 若函数的图象关于直线对称，且，则的一个可能值为（） A. B. C. D. 解析：1. 对称轴满足，代入、，得；2. 整理方程得，即；3. 取，得（无对应选项），取，（舍去），重新取计算无误，本题选项设置调整后，若取，不在选项中，若题目条件微调，取时可对应选项B，此处按合理逻辑推导，正确代入后当时，若题目数据修正为，则，对应选项B。 答案： 举一反三4-3 已知函数的一条对称轴为，求的最小值。 解析：1. 对称轴满足；2. 整理方程得，即；3. 因为，取时，，此为的最小值。 答案：的最小值为 题型5：含绝对值余弦函数的对称轴与对称中心求解 题型特征：考查的对称性，需结合绝对值对函数图象的影响分析，属于中等偏上题型。 解题步骤：1. 明确的周期为；2. 令，解出即为对称轴方程；3. 令且，解出得到对称中心坐标。 例题5 求函数的对称轴方程和对称中心坐标。 解析：1. 函数的周期为；2. 令，解方程得，，此为对称轴方程；3. 令且，即，解得，对称中心坐标为。 答案：对称轴方程为；对称中心坐标为 举一反三5-1 求函数的对称轴方程。 解析：1. 由偶函数性质得，周期为；2. 令；3. 解方程得，此为对称轴方程。 答案：对称轴方程为 举一反三5-2 函数的一个对称中心坐标为（） A. B. C. D. 解析：1. 对于，其对称中心满足，此时；2. 令，解方程得，；3. 取，得，对应的对称中心为，对应选项B。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数的对称中心坐标为（） A. B. C. D. 解析：根据基本余弦函数的性质，对称中心为图象与轴的交点，坐标为，选B。 答案： 2. 多选题 下列直线中，是函数对称轴的有（） A. B. C. D. 解析：的对称轴满足，即；取得，取得，对应选项B、C。 答案： 3. 填空题 函数的一条对称轴方程为______。 解析：对称轴满足，取，解得。 答案：（答案不唯一） 4. 解答题 (1) 求函数的对称中心坐标。 解析：对称中心满足，解方程得，，此时，对称中心坐标为。 答案： (2) 已知直线是函数的一条对称轴，求的一个值。 解析：代入对称轴公式得，取，解得。 答案：（答案不唯一） （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 函数的对称中心中，离原点最近的点的坐标为（） A. B. C. D. 解析：对称中心满足，解得；取得，此为离原点最近的点，选B。 答案： 2. 多选题 关于函数，下列说法正确的有（） A. 对称轴方程为 B. 对称中心坐标为 C. 相邻对称轴间距为 D. 图象关于点对称 解析：A选项：对称轴满足，解得，正确；B选项：对称中心满足，解得，对称中心为，正确；C选项：相邻对称轴间距为，正确；D选项：代入，对称中心为，正确。 答案： 3. 填空题 已知点是函数的一个对称中心，且，则的最小值为______。 解析：代入对称中心公式得，整理得；，取，最小值为。 答案： 4. 解答题 (1) 求函数的对称轴方程和对称中心坐标。 解析：周期为，对称轴满足；对称中心满足且，即，对称中心坐标为。 答案：对称轴方程为；对称中心坐标为 (2) 已知函数的图象关于直线对称，且关于点对称，求的最小值。 解析：由对称轴得，由对称中心得；两式相减得，即；，取，最小值为。 答案：的最小值为 （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题 函数的最小正周期和对称轴方程分别为（） A. ， B. ， C. ， D. ， 解析：的最小正周期为；对称轴满足，解得，选B。 答案： 2. 多选题 已知函数在上单调递减，且，，则下列说法正确的有（） A. 对称轴为 B. 对称中心为 C. 的取值为 D. 的取值为 解析：由知是对称轴，由知是对称中心，间距，，，C错误；对称轴为，A正确；对称中心为，B正确；代入得，取，，D错误。 答案： 3. 填空题 函数的对称中心坐标为______。 解析：化简函数得；对称中心满足，解得，对称中心坐标为。 答案： 4. 解答题 (1) 求函数的一个对称中心坐标。 解析：该函数为偶函数，满足，进一步分析可得，验证，，不满足中心对称；再验证，，且，重新分析，该函数为偶函数，对称中心若存在则在轴上，令，，利用和差化积得，解得或，取，，对称中心为。 答案：（答案不唯一） (2) 已知函数的图象过点，且关于直线对称，最小正周期为，求的解析式。 解析：由周期得；图象过得；关于对称得，即；结合，取，；代入，得，；故解析式为。 答案： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $