摩擦角动态平衡和自锁的法宝 讲义 -2026届高考物理二轮复习

该高中物理高考复习讲义聚焦摩擦角、动态平衡及自锁等力学核心考点，以全反力概念为统领，按“定义-应用场景-解题方法”逻辑架构知识体系，通过考点梳理（表格概括应用逻辑）、方法指导（全反力合成与几何化处理）、真题训练（含2013山东卷、2022湖北卷等高考题），帮助学生构建力学平衡问题的分析框架。 讲义创新采用摩擦角几何化思维，将四力平衡转化为三力矢量三角形问题，培养学生科学思维与模型建构能力。设计“常规解法与摩擦角解法对比”教学活动，如调研2中用全反力求最小拉力，配合分层练习（基础题如调研1、综合题如调研5），助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

摩擦角动态平衡和自锁的法宝 摩擦角是高中物理中一个极具实用价值的概念，它将摩擦力与支持力合成为一个“全反力”，并通过一个确定的夹角（摩擦角，满足tan=μ，μ为摩擦因数）来刻画接触面的摩擦特性。这种思维方式能将复杂的多力平衡问题转化为更简洁的几何问题，尤其在处理一些特定类型的题目时，优势非常明显。 下表概括了摩擦角在一些典型场景中的应用逻辑，你可以快速了解其核心价值。 应用场景 核心问题类型 摩擦角思维带来的简化 简化受力分析​ 物体在粗糙面上受多个力作用下的平衡问题。 将支持力（N）和摩擦力（f）合成为全反力（R），将四力平衡转化为三力平衡，便于构建矢量三角形进行几何求解。 判断自锁现象​ 分析“无论推力多大，物体都静止”的临界条件。 当主动力的合力方向落在摩擦角范围内时，发生自锁。这为分析千斤顶、楔子等工具的力学原理提供了清晰的判据。 求解极值问题​ 求解使物体匀速运动所需拉力的最小值。 在三力平衡的矢量三角形中，当拉力F垂直于全反力R时，F取得最小值，其大小为Fmin=Gsin（G为物体重力）。 动态平衡分析​ 分析某个力方向变化时，其他力的大小变化。 在全反力R方向固定的前提下，通过观察矢量三角形的动态变化，直观判断各力变化趋势，避免繁琐的计算。 💡从定义到应用：摩擦角如何简化问题 摩擦角的核心在于全反力的概念。物体在粗糙接触面上受到的支承面作用力，是法向支持力N和切向摩擦力f的合力，这个合力称为全反力R。当摩擦力达到最大值（无论是静摩擦最大值还是滑动摩擦力）时，全反力R与法线方向的夹角就是摩擦角，满足tan=μ。 这个定义的直接应用是简化受力分析。例如，一个物体在拉力F、重力G、支持力N和摩擦力f四个力作用下平衡。利用摩擦角，可以将N和f合成为全反力R，问题立刻简化为重力G、拉力F和全反力R的三力平衡问题。根据三力平衡必共点的特性，可以绘制矢量三角形，利用几何关系轻松求解。这种方法比正交分解再解方程组往往更直观快捷。 🔒自锁现象：摩擦角的临界判断 自锁是摩擦角最经典的应用之一。当作用在物体上的所有主动力的合力，其作用线落在摩擦角φ之内时，无论这个合力有多大，物体都不会发生运动。 一个典型的例子是斜面上的物体。当斜面倾角θ小于等于摩擦角（即θ≤arctanμ）时，物体在斜面上“自锁”，不会自行滑下。这也是千斤顶、螺旋夹紧装置等工具的工作原理：设计时保证螺纹的导程角小于摩擦角，使得被顶起的重物不会因为自重而反向旋转螺杆下降，实现了“单向锁定”。 在高考题中，自锁条件常被考查。例如，分析推拖把的题目：当人手施加的推力与竖直方向的夹角θ小于摩擦角φ时，满足自锁条件，无论用多大的力都无法推动拖把。 📉求解极值：摩擦角的几何威力 摩擦角法在求解极值问题时展现出强大的几何直观性。例如经典问题：“用最小的力拉动水平面上的物体匀速前进，这个最小的拉力是多大？方向如何？” 解法： 确定全反力R的方向。因为物体滑动，摩擦力为滑动摩擦力，故全反力R与法线的夹角固定为摩擦角。 物体受重力G、拉力F和全反力R三力平衡，构成闭合三角形。 在这个三角形中，重力G的大小和方向固定，全反力R的方向固定。当拉力F的方向变化时，三角形的形状随之变化。 由几何关系可知，当拉力F垂直于全反力R时，F取得最小值。此时，最小值Fmin​=Gsin。这种通过几何作图寻找极值的方法非常简洁。 🔄动态平衡分析：跟踪变化趋势 当物体在多个力作用下处于动态平衡（即各力大小变化，但物体始终平衡）时，摩擦角也能帮助直观分析。例如，用绕过光滑滑轮的绳子斜向上拉水平面上的物体，缓慢改变拉力的方向，分析拉力F、支持力N和摩擦力f的变化。 分析步骤： 全反力R的方向始终与法线成角，但其大小和指向可变。 重力G不变，拉力F方向变化。三力平衡构成的矢量三角形是动态的。 通过观察这个动态三角形的边长和角度变化，可以直观判断出，随着拉力方向趋于水平，拉力F的大小先减小后增大，而全反力R（即支持力和摩擦力的合力）可能一直减小等趋势。这比单纯用数学函数求导分析要形象得多。 💎掌握摩擦角的价值 摩擦角不仅仅是一个解题技巧，它更是一种物理思想的体现：通过抓住主要矛盾（最大摩擦趋势），将复杂问题模型化、几何化。掌握它，能让你在应对相关问题时： 看得更透：从“力”的矢量叠加本质理解平衡。 算得更快：避免冗长的计算，用几何关系直击答案。 想得更深：理解自锁等工程现象背后的物理原理。 希望这些讲解能帮助你真正理解并运用好摩擦角这个强大的工具。如果在具体题目中遇到困惑，欢迎随时提出，我们可以一起用这个新的视角来分析。 【调研1】如图所示，一轻质晒衣架静置于水平地面上，水平横杆与四根相同的斜杆垂直，两斜杆夹角θ=60o，一重为G的物体悬挂在横杆中点，则每根斜杆受到地面的() A．作用力为G B．作用力为G C．摩擦力为G D．摩擦力为G θ θ 【解析】本题考查受力分析．晒衣架左侧斜杆受力分析如图所示，由整体平衡可知4FN=G，对斜杆，有tan30o=，解得FN=，f=，每根斜杆受到地面的作用力F==G，故B正确，A、C、D错误． θ θ f FN F 【调研2】(2013山东卷·T9)如图所示，一质量m=0.4kg的小物块，以v0=2m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t=2s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L=10m，已知斜面倾角θ=30o，物块与斜面之间的动摩擦因数μ=，重力加速度g取10m/s2。 (1)求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小； (2)拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少? F B A θ v0 【解析】(1)物体做匀加速直线运动，根据运动学公式，有 L=v0t+at2 v=v0+at 联立解得；a=3m/s2，v=8m/s (2)对物体受力分析如图，物体受重力、拉力、支持力和滑动摩擦力作用 F θ θ mg α Ff FN 根据牛顿第二定律，在平行斜面方向：Fcos-mgsin30o-Ff=ma 在垂直斜面方向：Fsin+FN-mgcos30o=0 其中Ff=μFN 联立解得F==。 故当=30o时，拉力F有最小值，为Fmin=N。 【另解】摩擦角解法 对物体受力分析如图所示，斜面的支持力和摩擦力的合力为F全， F θ mg α Ff FN F全 F θ mg α Ff FN F全 Fmin F全 A C F合 B mg 可计算出摩擦角大小=arctan=arctanμ，代入数据得=30o 根据矢量运算法则，平移全反力F全与重力mg首尾相接，如图所示，依题意知，外力的合力F合为一定值，所以由图可知，只有当拉力F垂直全反力F全时取最小。 因=30o，则有∠BAC=60o，又因∠ACB=60o，可得∠ABC=60o，或者说△ABC是等边三角形。 从而有F=mg，代入数据得F=4N，则最小值Fmin=(F+F合)sin∠BAC 代入数据得Fmin=N。 【再解】摩擦角解法的另一种思路 物体沿着斜面向上以加速度a做匀加速直线运动，等效为物体在受重力、拉力、支持力和滑动摩擦力4个作用力的同时，再受到一个大小为ma，方向沿斜面向下的力(即惯性力)的作用而合力为零，又用全约束反力(全反力)FR等效替代物块所受到的支持力和摩擦力，则物体受力如图甲。 F θ mg α ma FR θ 甲 F θ α FS FR 乙 Fmin F θ α ma FR 丙 mg x y ma与mg的合力恒定，用FS表示，则物体受力等效为图乙，其中FS恒定，FR方向不变，由图解法知当拉力F与FR垂直时拉力F最小，则=，因tan=μ，所以=30o。 建立直角坐标系如图丙，由y方向合力为零得：Fmin=macos+mgcos， 得Fmin=N。 【调研3】如图甲所示，质量为m、长为l的均匀杆AB下端靠在墙上，借助绳DC保持倾斜状态，如图所示，绳的一端固定在墙上C点，而另一端系在杆上D点，AD=AB，绳和杆分别与墙成角和，试求杆与墙之间一切可能的摩擦因数值。 C B A D l β α 甲 C B A D Ff β α β FN φ FN φ mg Ff FT α E O 乙 【解析】杆受到重力mg，绳的拉力FT和墙对杆的作用力F(墙对A点的弹力FN和摩擦力Ff的合力)三个力的作用，因为杆在三力作用下保持平衡，故此三力汇交，图中E点为三力汇交点，为摩擦角，各力矢量关系如图乙所示。对图中几何△ADE和△DOE运用正弦定理可得： =，= 解得杆与墙之间最小摩擦因数μmin=|tan|=， 所以杆与墙之间的摩擦因数μ≥μmin， 即μ≥时，杆处于平衡状态，且对于所有的角和组合均有解。 【调研4】如图，将质量m=0.1kg的圆环套在固定的水平直杆上，圆环的直径略大于杆的截面直径，圆环与杆间动摩擦因数μ=0.8，对圆环施加一位于竖直平面内与杆夹角为θ斜右上的拉力F。 (1)当θ=53o时，若使圆环以a=4.4m/s2的加速度沿杆运动，求F的大小(取sin53o=0.8，cos53o=0.6)； (2)拉力F变为与杆夹角为斜右下。当达某一角度后，无论拉力F多大都拉不动圆环，求此时最小值的正切。 F θ 【解析】(1)当FN1向上时，受力如图甲，由牛顿第二定律得，水平方向和竖直方向分别有 F θ FN1 Ff mg 甲 F θ FN2 Ff mg 乙 Fcosθ-μFN1=ma，FN1+Fsinθ-mg=0， 联立解得F=1N 若当FN2向下时受力如图乙，由牛顿第二定律，水平方向和竖直方向分别有 Fcosθ-μFN2=ma，Fsinθ=FN2+mg， 解得F=9N。 (2)由题知，无论拉力F多大都拉不动圆环，应满足Fcos≤μFN， 竖直方向有FN=Fsin+mg， 得Fcos≤μFsin+μmg， 因为μmg>0，当Fcos≤μFsin，无论拉力F多大都拉不动圆环， 即tan≥=， 所以最小值的正切为。 【另解】摩擦角解法 (1)如图丙1所示，当拉力较大时，杆向下支持圆环，则圆环受到的全反力斜向左下方。矢量合成如图丙2所示，=tan=μ，代入数据解得F=9N。 F θ FN2 Ff mg 丙1 FR α F θ ma mg 丙2 FR α Fcosθ-ma Fsinθ-mg F θ FN2 Ff mg 丁1 FR α F θ ma mg 丁2 FR α Fcosθ-ma mg-Fsinθ (2)如图丁1所示，当F较小时，杆向上支持圆环，圆环受到的全反力斜向左上方.矢量合成如图丁2所示=tan=μ，代入数据解得F=1N。 【调研5】(2022湖北卷·T11)(多选)如图所示，两平行导轨在同一水平面内。一导体棒垂直放在导轨上，棒与导轨间的动摩擦因数恒定。整个装置置于匀强磁场中，磁感应强度大小恒定，方向与金属棒垂直、与水平向右方向的夹角θ可调。导体棒沿导轨向右运动，现给导体棒通以图示方向的恒定电流，适当调整磁场方向，可以使导体棒沿导轨做匀加速运动或匀减速运动。已知导体棒加速时，加速度的最大值为g；减速时，加速度的最大值为g，其中g为重力加速度大小。下列说法正确的是() B θ I v A．棒与导轨间的动摩擦因数为 B．棒与导轨间的动摩擦因数为 C．加速阶段加速度大小最大时，磁场方向斜向下，θ=60o D．减速阶段加速度大小最大时，磁场方向斜向上，θ=150o 【解析】设磁场方向与水平方向夹角为θ1，θ1<90o；当导体棒加速且加速度最大时，合力向右最大，根据左手定则和受力分析可知安培力应该斜向右上方，磁场方向斜向右下方，此时有 Fsinθ1-μ(mg-Fcosθ1)=ma1， 令cos=，sin=， 根据数学知识可得Fsin(θ1+)=ma1+μmg 则有sin(θ1+)=≤1， 同理，磁场方向与水平方向夹角为θ2，θ2<90o，当导体棒减速，且加速度最大时，合力向左最大， 根据左手定则和受力分析可知安培力应该斜向左下方，磁场方向斜向左上方，此时有Fsinθ2+μ(mg+Fcosθ2)=ma2， 有 Fsin(θ2+)=ma2-μmg 所以有sin(θ2+)=≤1，当加速或减速的加速度分别最大时，不等式均取等于，联立可得μ=，代入cos=，可得=30o， 此时θ1=θ2=60o 加速阶段加速度大小最大时，磁场方向斜向右下方， 有θ=θ2=60o减速阶段加速度大小最大时，磁场方向斜向左上方，有θ=-θ2=120o 故B、C正确，A、D错误。故选B、C。 如果使用全反力与摩擦角，我们可以怎么做呢? 【另解】摩擦角解法 (1)导体棒加速 将FN与f的合力F、安培力F安平移，与重力G首尾相连，由于安培力F安大小不变， 由几何关系可知，当F安⊥F时，有合力的最大值F合=mg 如图(a)所示，由几何关系知PQ段长度PQ=mgtanθ=-mg① (2)导体杆减速 F合=mg θ f v F FN θ θ F F安 Q P a mg F合=mg θ f v F FN θ θ F F安 Q P b mg 同理可知，当F安⊥F时，有合力的最大值F合=mg，如图(b)所示。 由几何关系知PQ段长度PQ=mgtanθ=mg-② 联立①②式可得tanθ==μ，F安=mg 再利用左手定则可得磁感应强度的方向。 【再解】摩擦角与辅助圆法 FR ma2 F F A B a mg ma1 FR FR mg F F A B b mg FR α mg mg 如图，我们先画出重力mg，然后在mg的终点画出安培力，由于磁场方向任意，磁场大小不变，所以最后安培力是一个方向任意但是大小恒定的力，我们可以用一个圆来表示，安培力终点的轨迹是一个圆。 全反力是一个大小可变，方向恒定的力，我们把它接在安培力尾部。 由题意，合力一定在水平方向，所以三力合成后合力必然在水平方向。 FR与圆相切时，产生的ma最大。于是如图a、b所示，我们可以画出两种情况对应的力的四边形。 求解动摩擦因数，就是求解摩擦角，就是求全反力倾斜的角度，我们从圆心作一条辅助线与安培力方向垂直，我们可以发现，由于半径相等，作出的直线将线段AB等分，又有导体棒加速时，加速度的最大值为g，减速时，加速度的最大值为g，我们便可在重力为直角边、新作直线为斜边的直角三角形中求出=60o，另一侧的角度为120o，故选B、C。 尽管在中学物理教材中并没有提及摩擦角和全反力这两个概念，但从以上的分析和举例不难看出，这两个概念对高中学生来说是完全能够接受的，了解其所蕴涵的解决问题的思想方法，有助于提高学生的分析和解决问题的能力. 从解法三中我们发现，有时候我们用“辅助圆”来解决问题时，会给解题带来更大的方便。实际上，关于“辅助圆”在高中物理中有很多重要的应用，我们将在以后专门学习用“辅助圆”及与圆相关的方法解高中物理中的一系列问题。 学科网（北京）股份有限公司 $