17.2.1 配方法 课件2025-2026学年沪科版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的直接开平方法与配方法，通过油漆刷正方体盒子的实际问题导入，从平方根概念出发，搭建“复习平方根—直接开平方法—配方法”的学习支架，帮助学生逐步掌握解法。 其亮点在于结合实际问题培养数学眼光，通过例1解(3x²=12)、例3解(x²-4x-1=0)等例题及中考考点训练推理意识，步骤归纳（移项、配方等）强化模型意识。学生能提升解题能力，教师可直接使用分层例题和考点解析，提高教学效率。

沪科版（新教材）数学八年级下册培优备课课件 17.2.1 配方法 第 17 章 一元二次方程及其应用 授课教师： . 班 级： . 时 间： 2026.01.09 . 1 学习目标 1. 理解直接开平方法和配方法，会利用这两种方法熟练地解二次项系数为 1 的一元二次方程； (重点) 2. 会利用配方法灵活地解决二次项系数不为 1 的一元二次方程； 3. 通过不同方程的转化，获得解决问题的经验，体会数学中的转化思想. (难点) 1. 如果 x2 = a，那么 x 叫作 a 的 . 平方根 2. 如果 x2 = a (a≥0)，那么 x = . 3. 如果 x2 = 64，那么 x = . ±8 4. 任何数都可以作为被开方数吗？ 负数不可以作为被开方数. 问题：一桶油漆可刷的面积为 1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设盒子的棱长为 x dm，则一个正方体盒子的表面积为 6x2 dm2．由此可列方程 10×6x2 = 1500, 即 x2 = 25． 开平方得 x = ±5， 即 x1 = 5，x2 = －5． ∵ 棱长不能为负值，∴ 盒子的棱长为 5 dm． 直接开平方法 1 (2) 当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0； (3) 当 p < 0 时，因为任何实数 x，都有 x2≥0， 所以方程无实数根. 一般地，对于可化为 x2 = p 的方程， (1) 当 p > 0 时，根据平方根的意义，方程 有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = ； 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 归纳 知识要点 1.［知识初练］解方程 .解：移项，得_______, 开平方，得_________，解得____, ______. 2.一元二次方程 的根是_________________. ， 中考考法 6 3．[苏州月考] 的根是( ) C A., B. C.无实数根 D.以上均不正确 中考考法 7 例1 用直接开平方法解下列方程： (1) 3x² = 12； (2) (x + 3)² = 5. 解： (1) 两边同除以 3 ，得 x² = 4. 开平方，得 x = ±2. 所以原方程的根是 x = 2，x = -2. 典例精析 在解方程 x2 = 25 时，由直接开平方法得 x = ±5. 由此想到，由 (x + 3)2 = 5， ① 得 对照上面方法，你认为怎样解方程 (x + 3)2 = 5？ 于是，方程 (x + 3)2 = 5 的两个根为 思考延伸 4.用直接开平方法解下列方程： (1) ； 中考考法 10 (2) . 中考考法 11 例2 解下列方程： (1) 解得 x1 = 3，x2 = -1. 解：移项，得 ∵ x - 1 是 4 的平方根， ∴ x - 1 = ±2. 解得 x1 = ， x2 = . (2) 解： 移项，得 两边都除以 12，得 ∵ 3 - 2x 是 0.25 的平方根， ∴ 3 - 2x = ±0.5, 即 3 - 2x = 0.5 或 3 - 2x = -0.5. 1. 能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有 x2 = p 或 (x＋n)2 = p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解. 2. 任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明. 探究交流 5.［知识初练］解方程： . 解：两边同除以2，得_____________， 直接开平方，得____________， 即 ______， 解得___, ____. 3 中考考法 14 6. 一元二次方程 可转化为两个一 元一次方程，其中一个一元一次方程是 ，则另一个 一元一次方程是____________. 7. 若方程有实数根，则 的 值可以是______________. (写出一个即可) 2(答案不唯一) 中考考法 15 问题1 你还记得完全平方公式吗？填一填： (1) a2 + 2ab + b2 = ( )2; (2) a2 - 2ab + b2 = ( )2. a + b a - b 配方法 问题2 填上适当的数或式，使下列各等式成立. (1) x2 + 4x + = ( x + )2 (2) x2 - 6x + = ( x - )2 22 2 32 3 (3) x2 + 8x + = ( x + )2 (4) x2 - x + = ( x - )2 你发现了什么规律？ 42 4 2 二次项系数为 1 的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方. 配方的方法 想一想：x2 + px + ( )2 = (x + )2. 归纳总结 解方程：x2 + 2x - 1 = 0. (1) 问题1 方程 (1) 怎样变成 (x + n)2 = p 的形式呢？ x2 + 2x - 1 = 0 x2 + 2x = 1 移项 x2 + 2x + 1 = 1 + 1 两边都加上 1 二次项系数为 1 的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方 探究交流 问题2 为什么在方程 x2 + 2x = 1 的两边加上 1？加其他数行吗？ 不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完全平方式。 要点归纳 像这样通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫作配方法。 把一元二次方程化为 (x + n)2 = p 的形式，通过开平方将方程降次，转化为一元一次方程求解。 “化归方法”是将待解的问题转化成先前已经解决的问题的一种数学思想方法。 配方法是将一元二次方程通过配方转化成可用直接开平方法求解的方法，这是一种化归方法。 配方法解一元二次方程的基本步骤 一移、移动常数项； 二配、[配上 ]； 三写、 写出 (x + n)2 = p (p≥0)； 四开平方、直接开平方法解方程。 归纳总结 8.用直接开平方法解下列方程： (1) ； 解：开平方， 得 . 解得 , . 中考考法 21 (2) . 解：开平方， 得 , 所以 或 ， 解得, . 中考考法 22 例3 解下列方程： (1) x2 - 4x - 1 = 0. 解 (1) 移项，得 x2 - 4x = 1. 配方，得 x2 - 2×x×2 + = 1 + . 则 ( x - )² = . 开平方，得 . 所以原方程的根是 x1 = ，x2 = . 22 22 2 5 (2) 2x2 - 3x - 1 = 0. (2) 先把 x² 的系数变为 1，即把原方程两边同除以 2， 得 移项，得 配方，得 由此可得 即 移项和二次项系数化为 1 这两个步骤能不能交换呢？ 配方，得 ∵ 实数的平方不会是负数， ∴ x 取任何实数时，上式都不成立. ∴ 原方程无实数根. 解：移项，得 二次项系数化为 1，得 为什么方程两边都加 12？ 即 9.[合肥期中] 若与互为倒数，则实数 的 值为( ) C A. B. C. D. 根据题意，得,即 ,解 得 . 中考考法 26 10.(分类讨论思想)已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是 方程 的一个根，则此三角形的周长为________. 15 11. [易 错 题北京期中] 若 ，则 ___. 4 忽略 致错. 中考考法 27 例4 利用配方法求最值. (1) 2x2 - 4x + 5 的最小值； (2) -3x2 + 5x + 1 的最大值. 解：(1) 2x2 - 4x + 5 = 2(x - 1)2 + 3， 当 x = 1 时有最小值 3. (2) -3x2 + 5x + 1 = -3(x - )2 + ， 当 x = 时有最大值 . 12.用直接开平方法解下列方程： (1) ； 解：移项，得 ，两边同除以4， 得，开平方，得 ， 解得， . 中考考法 29 (2) . 解：开平方，得 ， 所以或 , 解得， . 中考考法 30 配方法 定义 通过配完全平方式解一元二次方程的方法 步骤 一移常数项，二配方[配上 ]， 三写成 (x+n)2=p (p≥0)，四开平方解方程 应用 求代数式的最值或字母值 直接开平方法 利用平方根的定义求方程的根的方法 解：二次项系数化为1，得x2＝5， 开平方，得x＝±，解得x1＝，x2＝－. 解：移项，得x2＝12，二次项系数化为1，得x2＝36，开平方，得x＝±6，解得x1＝6，x2＝－6. $