精品解析：山西省现代双语学校集团校2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

2025-2026学年高二年级上学期1月月考 数学试题 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 试题个数：共19题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点到准线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的方程直接求解即可. 【详解】，焦点到准线的距离是. 故选：A 2. 数列，，，，…的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将原数列变形，再分别观察分子、分母的规律即可求解. 【详解】将数列，，，，…变为，，，，…，从而可知分子的规律为，分母的规律为，再结合正负的调节，可知其通项为. 故选：D 3. 在递增的等差数列中，，，则公差（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】结合等差数列的通项公式和已知条件即可求出公差. 【详解】由已知､得由①，得，代入②得，解得或（舍）. 故选:. 4. 已知直线与直线平行，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行的条件求解即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或， 当时，与平行， 当时，与平行，均符合题意， 故选：C 5. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. 36 B. 28 C. 24 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意可得，解得， 又因为，所以， 所以， 故选：D 6. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（ ） A. 15 B. 17 C. 19 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列的项数为，利用等差数列的性质，求出所有奇数和与所有偶数和的比与的关系，求出，即可求出项数. 【详解】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有偶数项和为，则， 由，解得， 项数. 故选：C. 7. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于（ ） A B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】设出点的坐标，根据已知建立方程组，求出点的纵坐标即可求出面积. 【详解】椭圆的半焦距，则，设点， 于是，消去得， 所以的面积. 故选：C 8. 在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有个正三角形），这个过程称之为迭代．在边长为的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形（图中共有个正三角形），其中最小的正三角形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记第个正三角形边长为，第个正三角形的边长为，根据与的关系判断出为等比数列，由此求解出最小的正三角形的边长，从而面积可求. 【详解】设第个正三角形的边长为，则个正三角形的边长为， 由条件可知：， 又由图形可知：，所以， 所以，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，所以， 所以最小的正三角形的面积为：， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将已知问题转化为等比数列问题，通过每一次的迭代分析正三角形的边长之间的关系，从而分析得到正三角形的边长成等比数列，据此可进行相关计算. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为数列的前项和，为数列的前项积，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 当取最大值时， 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据题意求出等比数列的通项公式，根据等比数列的基础知识能判断,结合等比数列的通项公式及指数运算，等差数列的求和公式来判断C选项，最后结合二次函数指数函数的性质来判断D选项. 【详解】已知数列满足，可得该数列的首项为，公比为的等比数列. 根据等比数列的通项公式可知：，故A正确. 由等比数列的求和公式可知,故B错误. 因为为数列的前项积，所以，故C正确. 易知: 由函数的知识可知：当或时可取得最小值， 当取得最小值时，能取到最大值.故D错误. 故选：AC 10. 已知双曲线的方程为，则（ ） A. B. 的焦点可以在轴上 C. 的焦距一定为8 D. 的渐近线方程可以为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据方程为双曲线可得，且焦点在轴上，即A正确，B错误；易知焦距为8，且当时，渐近线方程为，可得CD正确. 【详解】由题意得，解得，即A正确； 可得双曲线的标准方程为，故双曲线的焦点一定在轴上，所以B错误； 易知双曲线的焦距为，所以C正确； 显然当时，双曲线的标准方程为，其渐近线方程为，所以D正确． 故选:ACD． 11. 已知数列满足，数列满足，设中不在中的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，则（   ） A. B. 是等比数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由的递推公式得出数列是常数列可判断A；由得出是等比数列，求出可判断B；逐一列举出重合的项，确定数列中含的个数可判断C；通过计算的部分项之和与公共项之和的差可判断D. 【详解】对于A：由，可得， 所以数列是各项为的常数列，所以，故A正确； 对于B：，所以， ，所以，所以， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，故，则， 则，不是等比数列，故B错误； 对于C：数列的第106项为， 又，，，，，，， 所以在数列的前106项中，共有这6项也属于数列， 故的第项（即）为， 所以，故C正确； 所以的前项和为 ，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为等比数列，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】结合等比数列的性质，即可求解. 【详解】设公比为．由题可得， 所以，即， 又，所以． 故答案为： 13. 已知等差数列的前项和为，且，则取最小正值时，______． 【答案】18 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列的性质求出，，再利用等差数列的求和公式判断的符号. 【详解】设等差数列的公差为， 由可得， 由可得，则，故， 故数列为递减数列， 又， 因此当时，取得最小正值. 故答案为： 14. 已知点，为抛物线上的动点，点在直线上的射影为，为曲线上的动点，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出抛物线焦点坐标为，由抛物线定义得到，数形结合当三点共线时，取得最小值，最小值为，的最小值即为的最小值，将图形整体向上平移两个单位，等价于在圆上找到点，使得取得最小值，结合三角换元即可求解. 【详解】的焦点坐标为，为抛物线的准线， 故，则， 连接，与交于点，即当三点共线时， 取得最小值，最小值为， 的最小值即为的最小值， 为了计算的简便，先将图形整体向上平移两个单位，如下图， 其中，， 原问题等价于在圆上找到点，使得取得最小值， 根据圆的对称性，不妨设在第一象限， 设，， ， 设， 则， 令，则， 而， 故，当时，当时，， 故在为减函数，在上为增函数， 故， 则的最小值为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知数列的首项为，且满足. （1）求证：是等比数列. （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）变形得到，从而得到为首项为，公比为的等比数列； （2）由（1）求得，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意，数列满足，即， 则， 又由，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知，得到， 所以数列的前项和. 16. 已知，动点满足到两点的距离之比为，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若直线与曲线交于两点，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求P的轨迹方程，首先设出点，然后根据两点间距离公式，求得方程； （2）先求出直线的定点坐标，然后根据垂径定理求得的距离，又因为直线过定点，所以最大取到直径，最小就是垂径定理求得的距离，故可得的取值范围. 【小问1详解】 设，， 由题意可得，两端同时平方得， 故，化简得. 故曲线的方程为：. 【小问2详解】 直线：，即， 令，解得， 故直线过定点. 代入点到圆的方程：， 故点在圆的内部. 设圆心到直线的距离为，又， 所以. 又因为，， 所以,解得. 故的取值范围为：. 17. 如图，平面平面，四边形是正方形，． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明平面，证明，证明平面，证明； （2）证明平面，证明，证明，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量法即可求解. 【小问1详解】 证明：因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以．因为四边形是正方形， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以； 【小问2详解】 由（1）知平面， 又平面，所以， 又四边形是正方形，所以， 所以两两垂直． 以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则 令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则， 令，得，， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 已知为数列的前项和，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． （3）设，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用的关系，根据等比数列的定义求通项公式. （2）由（1）可得，应用裂项相消法求. （3）应用错位相减法求得，由题设有，讨论为奇数、偶数求的取值范围． 【小问1详解】 当时，，可得， 当时，，可得， ∴是首项、公比都为的等比数列，故. 【小问2详解】 由（1），， ∴. 小问3详解】 由题设，， ∴， 则， ∴， 由对一切恒成立， 令，则， ∴数列单调递减， ∴当为奇数，恒成立且在上递减，则， 当为偶数，恒成立且在上递增，则， 综上， 19. 折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸. 步骤1：设圆心是，在圆内不是圆心处取一点，标记为； 步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过点，此时圆周上与点重合的点标记为； 步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时与折痕交于点； 步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕和越来越多的交点. 现取半径为4的圆形纸片，定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸.以线段的中点为原点，线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的标准方程； （2）直线与曲线交于两点，，且平分，求的中点到点的最小距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由条件可得的方程，即可得到结果； （2）设直线，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，即可得到点的轨迹方程，从而得到结果. 【小问1详解】 以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系， 设为椭圆上一点，由题意可知且， 则椭圆以为左右焦点，长轴长，焦距， 则， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可知：直线的斜率存在， 设直线， 联立方程，消去y得， 则， 可得，即， 因为平分，则， 整理可得， 则， 整理可得，则或， 若，则直线过点，不合题意； 若，则， 且，解得， 当直线过，则，可知 可知中点点的轨迹为， 可知垂直且过的直线方程为， 联立方程，解得， 所以中点M到点的最小距离即为点到直线的距离. 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二年级上学期1月月考 数学试题 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 试题个数：共19题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点到准线的距离是（ ） A. B. C. D. 2. 数列，，，，…通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 3. 在递增的等差数列中，，，则公差（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知直线与直线平行，则实数的值为（ ） A 1 B. C. 1或 D. 或 5. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. 36 B. 28 C. 24 D. 30 6. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（ ） A. 15 B. 17 C. 19 D. 21 7. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 3 8. 在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有个正三角形），这个过程称之为迭代．在边长为的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形（图中共有个正三角形），其中最小的正三角形面积为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为数列前项和，为数列的前项积，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 当取最大值时， 10. 已知双曲线的方程为，则（ ） A. B. 的焦点可以在轴上 C. 的焦距一定为8 D. 的渐近线方程可以为 11. 已知数列满足，数列满足，设中不在中的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，则（   ） A. B. 是等比数列 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为等比数列，，，则______． 13. 已知等差数列的前项和为，且，则取最小正值时，______． 14. 已知点，为抛物线上的动点，点在直线上的射影为，为曲线上的动点，则的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知数列的首项为，且满足. （1）求证：是等比数列. （2）求数列的前项和. 16. 已知，动点满足到两点的距离之比为，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若直线与曲线交于两点，求的取值范围. 17. 如图，平面平面，四边形是正方形，． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知为数列的前项和，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． （3）设，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 19. 折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸. 步骤1：设圆心是，在圆内不是圆心处取一点，标记为； 步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过点，此时圆周上与点重合的点标记为； 步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时与折痕交于点； 步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条折痕和越来越多的交点. 现取半径为4的圆形纸片，定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸.以线段的中点为原点，线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的标准方程； （2）直线与曲线交于两点，，且平分，求的中点到点的最小距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $