第02讲 整式与因式分解（复习讲义，8考点3题型1重难）（上海专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“整式与因式分解”核心模块，覆盖中考必考的幂的运算、合并同类项、乘法公式及因式分解等考点，通过“考情剖析-知识导航-考点解析-真题训练”的递进式架构，帮助学生构建从概念到运算的知识网络，系统突破整式乘除、公式应用等难点。 亮点在于“分层突破+核心素养融合”的教学设计，如针对因式分解设置“提公因式→公式法→综合分解”三阶训练，结合2025年中考真题培养运算能力与推理意识。分层练习涵盖基础巩固到全国新趋势题型，配合即时反馈机制，助力学生高效提升应考能力，教师可据此精准把控复习节奏。

整式与因式分解 一由数或字母用运算符号连接而成 一定义 单独一个数或字母也是代数式 代数式 列代数式厂文字语言一数学运算 ·注意运算顺序和括号使用 一代入求值 代数式的值 ~值随字母取值变化 定义：数或字母的积 单项式十系数：数字因数 次数：所有字母指数之和 整式 定义：几个单项式的和 多项式 项、常数项、次数 称为“b次a项式” 定义一字母相同，且相同字母的指数相同 同类项 与系数大小、字母顺序无关 注意事项 合并同类项 所有常数项都是同类项 合并同类项 一法则一 系数相加，字母和指数不变 公式：am·an=am+n 同底数幂乘法 底数不变，指数相加 公式：（am)n=amn 幂的乘方 底数不变，指数相乘 逆用：amn=（am)n=（an)m 幂的运算 公式：（ab)n=abn 积的乘方 每个因式分别乘方 推广：(abc)n=arbrcn 公式：am÷an=am-n(a≠0，m>n) 同底数幂除法 零指数幂：a0=1(a≠0 ·单项式×单项式：系数、同底数幂分别相乘 一整式乘法 单项式×多项式：分配律 多项式×多项式：项项互乘，积相加 整式乘除运算 ,单项式÷单项式：系数、同底数幂分别相除 整式除法 多项式：单项式：每一项分别除 「先乘方，再乘除，后加减 混合运算顺序 有括号先算括号内 公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 平方差公式 适配结构：两项式、符号相反、均为平方 公式：(a士b)2=a2士2ab+b2 乘法公式 完全平方公式 适配结构：三项式、含两个平方项+中间交叉项 先匹配公式结构，注意符号（尤其完全平方的中间项） 使用要点 可逆用公式（如因式分解）》 步骤：先提公因式，再用公式法 提公因式法 L示例：aax2-ay2=a(x2-y2)=a(c+）(c-） 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 公式法 因式分解 完全平方公式：a2士2ab+b2=(a士b)2 十字相乘法一2+（p+q)x+pq=(+p)(x+q) -2+2分组 分组分解法 C3+1分组 第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 12 命题点一 整式乘除及混合运算 题型01整式的乘除运算 命题点二 乘法公式 题型01 整式乘法核心公式 命题点三 公式法分解因式 题型01 因式分解核心公式法 05·重难突破·思维进阶 15 突破一 综合提公因式和公式法分解因式 06·优题精选·练能提分 16 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点类别 具体考点 考频 课表要求 整式的运算 同底数幂相乘/幂的乘方/积的乘方 2023年（T1） 2024年（T7） 2025年（T1） 掌握同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方的运算法则，能准确进行计算（指数为整数） 合并同类项 2023年（T1） 2025年（T1） 理解同类项的定义，掌握合并同类项法则，能对同类项进行正确合并 平方差公式运算 2024年（T8） 掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行整式乘法运算，了解公式的逆用 因式分解 提公因式法 2025年（T7） 理解公因式的概念，掌握提公因式法的分解步骤，能对多项式进行提公因式分解 平方差公式分解 2023年（T7） 掌握平方差公式分解的条件，能运用公式对符合条件的多项式进行彻底分解 命题预测 2026年上海中考该模块命题将延续“题型以选择、填空、计算为主，考点聚焦幂的运算法则、合并同类项、提公因式法/平方差公式因式分解”的特点，无偏怪考点，侧重法则应用准确性与运算规范性，可能融入整式运算与分式化简的轻度综合题，强调运算的规范性与准确性 备考建议 备考时可围绕核心考点针对性练习：1. 每日默写核心法则与定义，标注易错点，训练T1、T7、T8类基础题确保运算结果准确；2. 按“整式运算→因式分解”分层刷题，总结“先提公因式再用公式”的分解流程；3. 规避幂的运算、因式分解、合并同类项的常见陷阱，练习整式与分式/二次根式的轻度综合题；4. 整理近3年真题归纳命题规律，强化基础题得分率 考点一 代数式及其应用 1. 用字母表示数 （1）用字母表示数 一般地，用字母表示数，就是用字母代表一个确定的数，或确定范围中的一批数，甚至所有的数表示数的字母可以作为数的“替身”参与运算，建立数与数之间的关系，表达数及其运算的性质，等等 （2）用含有字母的式子表示数量关系的书写规定 ①数字与字母相乘或字母与字母相乘，通常将乘号写作“.”或省略不写: ②数字与字母相乘时，数字通常写在字母前面; ③式子中有加减运算且后面有单位时，式子要加上括号; ④除法运算通常写成分数形式； ⑤数字因数是1或-1时，“1”常省略不写； ⑥带分数与字母相乘时要将带分数化成假分数. 2.代数式 （1）定义由数或表示数的字母用运算符号连接所成的式子叫做代数式； （2）单独一个数或一个字母也是代数式. 3. 列代数式 （1）列代数式 在解决实际问题时，常常先把问题中有关的数量用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性.列代数式的实质就是把文字语言转化为数学语言 （2）列代数式的步骤 ①认真审题，把问题中表示数量关系的词语正确地转换为对 应的运算; ②注意题目的语言叙述所表示的运算顺序:(3)弄清题目中数量关系的运算顺序，正确使用表明运算顺序的括号，分出层次，逐步列出代数式 4. 代数式的值 （1）代数式的值一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算计算得出的结果，叫做代数式的值 （2）求代数式的值的一般步骤 ①代入:用指定的字母的数值代替代数式里的字母，其他的运算符号和原来的数都不能改变 ②计算:按照代数式指明的运算，根据有理数的运算法则进行计算 （3）一般地，代数式的值不是固定不变的，它随着代数式中字母取值的变化而变化 1．（2025·上海·二模）已知方程组，那么代数式的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 2．（2025·上海普陀·三模）2025年“体重管理年”正式启动，其中所涉及的体质指数“”是衡量人体胖瘦程度的标准，其计算公式为（m表示体重，单位：公斤；h表示身高，单位：米），成年人数值标准见表： BMI范围 胖瘦程度 偏瘦 正常 偏胖 肥胖 已知某位成年人身高1.6米，体重64公斤，则该成年人胖瘦程度为（    ） A．偏瘦 B．正常 C．偏胖 D．肥胖 3．（2025·上海·模拟预测）如图，某中学的操场有4条跑道，其中每条跑道的弯道部分都是半圆，每条跑道的直道部分的长度都相同．从内至外分别称为第1跑道、第2跑道、第3跑道、第4跑道．假如相邻跑道之间的距离为a米，第1跑道的周长为250米，那么第4跑道的周长为 米（结果保留）． 4．（2025·上海杨浦·二模）某新能源汽车销售公司2022年盈利a万元，如果该公司每年盈利增长的百分率都为，那么该公司2024年盈利 万元．（用含a的代数式表示） 5．（2025·上海浦东新·模拟预测）中考新趋势是培养学生结合实际的开放性思维 对代数式“3x”，我们可以这样来解释：某人以米/秒的速度走了小时，他一共走的路程是米．请你对“”再给出另一个实际生活方面的解释： 6．（2025·上海·二模）一家商店在节假日期间开放优惠活动，设客户结账时货品原价为t元，可以选择优惠方案A、B中任意一个． A：每满300元购买额，就可以减一次价，减n元（）； B：购买额在400元及以下的部分打九折，400元以上的打八折． (1)令，，分别求出选A、B方案的实际支付额． (2)若可以同时满足条件①：若选A方案，则减一次价，②：选A、B方案没有实际区别，请用t表示n，并求出n的取值范围． 考点二 整式 1．单项式 （1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义． （2）单项式的系数、次数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 2．多项式 （1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 1．（2025·上海·模拟预测）下列说法中正确的是（    ） A．单项式的次数为4次 B．是二项式 C．关于x的代数式是三项式 D．是单项式 2．（2025·上海静安·二模）按照一定规律排列的单项式：，，，，则第个单项式是 （ ） A． B． C． D． 3．（2025·上海·模拟预测）如果代数式为单项式，则p的值为 ． 4．（2025·上海杨浦·模拟预测）代数式中项的系数是 ． 5．（2025·上海徐汇·模拟预测）天干地支纪年法是我国的文化瑰宝．其中天干分别为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推2024年是“甲辰”年，那么据此推算，2224年用天干地支纪年法对应的年份是 年 考点三 同类项 （1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等． （2）注意事项： ①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项． 1．（2025·上海松江·二模）下列单项式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海浦东新·二模）下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海金山·二模）下列单项式中，与单项式是同类项的是（   ） A． B． C． D． 考点四 合并同类项 合并同类项 （1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项． （2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． （3）合并同类项时要注意以下三点： ①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数； ②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的； ③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数 1．（2025·上海·中考真题）下列代数式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海普陀·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·上海崇明·二模）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·上海静安·二模）下列运算的结果等于的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·上海闵行·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·上海宝山·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·上海·模拟预测）计算： ． 考点五 同底数幂的乘法 同底数幂的乘法 同底数幂的乘法法则 一般地，对于任意底数与任意正整数， 语言叙述 同底数幂相乘，底数不变,指数相加 同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用 单个字母或数字可以看成是指数为1的幂. 底数不一定只是一个数或一个字母，也可以是单项式或多项式.例如： 注意：在进行同底数幂的运算时，不能忽略了指数为1的幂. 1．（2025·上海徐汇·二模）下列运算中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海杨浦·二模）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·上海·二模）以下运算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·上海浦东新·二模）计算： ． 考点六 幂的乘方 1. 幂的乘方 （1）幂的乘方的意义 幂的乘方是指几个相同的幂相乘.如是n个相乘，读作的m次幂的n次方 （2）乘方法则 一般地，对于任意底数与任意正整数， （3）语言叙述 幂的乘方，底数不变,指数相乘 2. 幂的乘方的逆用 （1）幂的乘方法则可推广为 （2）幂的乘方法则的逆用: 1．（2025·上海金山·二模）下列运算一定正确的是（   ） A． B． C．（为正整数） D． 2．（2025·上海·二模）计算：= ． 3．（2025·上海·模拟预测）计算： ． 4．计算： ． 5．已知：，，则 ． 考点七 积的乘方 1. 积的乘方的意义 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方.如,等. (积的乘方的意义) (乘法交换律、结合律) 积的乘方等于乘方的积，即（是正整数）. 2. 积的乘方法则 一般地，对于任意底数与任意正整数， 3. 语言叙述 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即乘方的积. 4.积的乘方，等于乘方的积，即（是正整数）.一般地，（是正整数）. 5. 积的乘方法则可推广:三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质，例如 6. 幂的乘方法则的逆用: 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·上海徐汇·二模）计算 ． 5．计算： ． 考点八 同底数幂的除法 1. 同底数幂的除法 （1）同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变,指数相减 （2）同底数幂的除法运算法则的推导 推导1： 一般地，设， 推导2： 因为除法是乘法的逆运算，由,可以得到同底数幂的除法运算法则 2. 零指数幂 如果把公式(，推广到的情形,那么有.又,所以规定,即任何不等于零的数的零次幂为1 3. 幂的运算顺序 在含有乘方的同底数幂的乘除运算中，先算积的乘方、幂的乘方，再算同底数幂的乘除: 在只有乘除的运算中，应按从左到右的顺序进行,有括号的先算括号里面的 1．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海崇明·二模）下列运算中，计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海浦东新·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·上海·模拟预测）在2025年电影春节档中，电影《哪吒2魔童闹海》大受欢迎，截至2025年2月5日，其总票房已突破90亿人民币．据上海人社局数据，2024年上海市民人均年薪约为14.4万人民币，若《哪吒2魔童闹海》的票房以90亿人民币计，则《哪吒2魔童闹海》的累计票房是2024年上海市民人均年薪的 倍（用科学记数法表示）． 5．若m、n满足，则 ． 命题点一 整式乘除及混合运算 ►题型01整式的乘除运算 整式乘法： ①单项式×单项式：系数、同底数幂分别乘，单独字母连指数留作积的因式。 ②单项式×多项式：单项式乘每一项，积相加（用分配律）。 ③多项式×多项式：项项互乘，积相加。 整式除法： ①单项式÷单项式：系数、同底数幂分别除，被除式独有的字母连指数留作商的因式。 ②多项式÷单项式：每一项分别除单项式，商相加。 混合运算： 顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号内，同级从左到右。 技巧：及时合并同类项简化运算。 【典例1】（2025·上海普陀·二模）下列各式计算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·上海·模拟预测）计算： ． 【变式1-2】（2025·上海模拟）计算： ． 【变式1-3】（2025·上海杨浦·模拟预测）解不等式： 【变式1-4】（2025·上海杨浦·模拟预测）①存在数字，使得，则称为虚数 ②若（、为实数），则称为复数 (1)判断：___________复数，___________复数，0___________复数 (2)化简： (3)在复数范围内解方程：． 命题点二 乘法公式 ►题型01 整式乘法核心公式 乘法公式的＂三个关键＂ 1．公式类型： 平方差： 完全平方： 2．使用要点： 先匹配式子的公式结构，再注意符号（尤其完全平方的中间项符号）。 3．变形技巧： 可逆用公式（如因式分解），或凑结构适配公式（如拆分 用完全平方）。 【典例1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·上海·模拟预测）若是关于的方程的两实数根，，则之间距离的最小值为 ． 【变式1-2】（2025·上海浦东新·三模）先化简，再求值：，其中，． 【变式1-3】（2025·上海静安·二模）解不等式组：； 【变式1-4】（2025·上海·模拟预测）已知一元二次方程的求根公式为，当是一元二次方程的两根时，则有：①；②． 【结论证明】请在中选择一个结论进行证明； 【知识应用】若是一元二次方程的两个根，不解方程，求的值； 【类比拓展】若是一元三次方程的三个根，则原方程可变形为，则有：，，，．已知一元三次方程的三个根分别为，求的值． 【变式1-5】（2025·上海普陀·三模）（1）计算： （2）化简： 命题点三 公式法分解因式 ►题型01 因式分解核心公式法 ★核心公式与适配结构： 平方差公式 适配＂两项式、符号相反且均为平方形式＂； 完全平方公式 适配＂三项式、含两个平方项＋中间交叉项＂。 ★使用关键： 先判断式子结构是否匹配公式，再确认符号（如完全平方的中间项符号），可直接套用或凑结构后使用。 【典例1】（2025·上海·模拟预测）若，则 ． 【变式1-1】（2025·上海嘉定·二模）分解因式： ． 【变式1-2】（2025·上海静安·二模）在实数范围内分解因式： ． 【变式1-3】（2025·上海·模拟预测）因式分解的结果是 ． 【变式1-4】（2025·上海·模拟预测）因式分解： ． 【变式1-5】（2025·上海静安·二模）分解因式： ． 【变式1-6】（2025·上海徐汇·二模）解方程组． 突破一 综合提公因式和公式法分解因式 【典例1】（2025·上海宝山·模拟预测）分解因式： 【变式1-1】因式分解： ． 【变式1-2】分解因式： ． 【变式1-3】在实数范围内分解因式： ． 1．（2025·上海静安·二模）单项式的系数是（    ） A． B．4 C． D． 2．（2025·上海静安·二模）按照一定规律排列的单项式：，，，，则第个单项式是 （ ） A． B． C． D． 3．（2025·上海·中考真题）下列代数式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·上海·中考真题）分解因式： ． 5．（2025·上海·模拟预测）计算： ． 6．（2025·上海·模拟预测）如果代数式为单项式，则p的值为 ． 7．（2025·上海·中考真题）据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． 8．（2025·上海浦东新·三模）先化简，再求值：，其中，． 1．（2025·上海模拟）观察图形，若有六边形个，则需火柴棍 根（用含的代数式表示）． 2．（2025·上海模拟）数学知识广泛应用于化学领域，是研究化学的重要工具．比如在学习化学式时，甲烷化学式为，乙烷化学式为，丙烷化学式为，按此规律，当碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目是 ． 3．在实数范围内分解因式： ． 4．（2025·上海宝山校级模拟）在实数范围内因式分解： 1．（2025·江苏淮安·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）下列计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 3．分解因式= ． 4．（2025·江苏南京·中考真题）已知，试比较与的大小． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $整式与因式分解 一由数或字母用运算符号连接而成 一定义 单独一个数或字母也是代数式 代数式 列代数式厂文字语言一数学运算 心注意运算顺序和括号使用 一代入求值 代数式的值 ~值随字母取值变化 定义：数或字母的积 单项式十系数：数字因数 次数：所有字母指数之和 整式 定义：几个单项式的和 多项式 项、常数项、次数 称为“b次a项式” 定义一字母相同，且相同字母的指数相同 同类项 与系数大小、字母顺序无关 注意事项 合并同类项 所有常数项都是同类项 合并同类项一法则一系数相加，字母和指数不变 公式：am·an=am+n 同底数幂乘法 底数不变，指数相加 公式：（am)n=amn 幂的乘方 底数不变，指数相乘 逆用：amn=（am)n=(an)m 幂的运算 公式：(ab)n=abn 积的乘方 每个因式分别乘方 推广：（abc)n=abcn 公式：am÷an=am-n(a≠0，m>n) 同底数幂除法 零指数幂：a0=1(a≠0) ,单项式×单项式：系数、同底数幂分别相乘 整式乘法 单项式×多项式：分配律 多项式×多项式：项项互乘，积相加 整式乘除运算 ,单项式÷单项式：系数、同底数幂分别相除 整式除法 多项式：单项式：每一项分别除 先乘方，再乘除，后加减 混合运算顺序 有括号先算括号内 公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 平方差公式 适配结构：两项式、符号相反、均为平方 公式：(a士b)2=a2士2ab+b2 乘法公式 完全平方公式 适配结构：三项式、含两个平方项+中间交叉项 先匹配公式结构，注意符号（尤其完全平方的中间项》 使用要点 可逆用公式（如因式分解） 步骤：先提公因式，再用公式法 提公因式法 -示例：ax2-ay2=a(c2-y2）=a(x+）(x-） 平方差公式：a2-b2=(a十b)(a-b) 公式法 因式分解 完全平方公式：a2士2ab+b2=(a士b)2 十字相乘法一x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) -2+2分组 分组分解法 C3+1分组 第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 5 04·命题洞悉·题型预测 23 命题点一 整式乘除及混合运算 题型01整式的乘除运算 命题点二 乘法公式 题型01 整式乘法核心公式 命题点三 公式法分解因式 题型01 因式分解核心公式法 05·重难突破·思维进阶 33 突破一 综合提公因式和公式法分解因式 06·优题精选·练能提分 34 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点类别 具体考点 考频 课表要求 整式的运算 同底数幂相乘/幂的乘方/积的乘方 2023年（T1） 2024年（T7） 2025年（T1） 掌握同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方的运算法则，能准确进行计算（指数为整数） 合并同类项 2023年（T1） 2025年（T1） 理解同类项的定义，掌握合并同类项法则，能对同类项进行正确合并 平方差公式运算 2024年（T8） 掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行整式乘法运算，了解公式的逆用 因式分解 提公因式法 2025年（T7） 理解公因式的概念，掌握提公因式法的分解步骤，能对多项式进行提公因式分解 平方差公式分解 2023年（T7） 掌握平方差公式分解的条件，能运用公式对符合条件的多项式进行彻底分解 命题预测 2026年上海中考该模块命题将延续“题型以选择、填空、计算为主，考点聚焦幂的运算法则、合并同类项、提公因式法/平方差公式因式分解”的特点，无偏怪考点，侧重法则应用准确性与运算规范性，可能融入整式运算与分式化简的轻度综合题，强调运算的规范性与准确性 备考建议 备考时可围绕核心考点针对性练习：1. 每日默写核心法则与定义，标注易错点，训练T1、T7、T8类基础题确保运算结果准确；2. 按“整式运算→因式分解”分层刷题，总结“先提公因式再用公式”的分解流程；3. 规避幂的运算、因式分解、合并同类项的常见陷阱，练习整式与分式/二次根式的轻度综合题；4. 整理近3年真题归纳命题规律，强化基础题得分率 考点一 代数式及其应用 1. 用字母表示数 （1）用字母表示数 一般地，用字母表示数，就是用字母代表一个确定的数，或确定范围中的一批数，甚至所有的数表示数的字母可以作为数的“替身”参与运算，建立数与数之间的关系，表达数及其运算的性质，等等 （2）用含有字母的式子表示数量关系的书写规定 ①数字与字母相乘或字母与字母相乘，通常将乘号写作“.”或省略不写: ②数字与字母相乘时，数字通常写在字母前面; ③式子中有加减运算且后面有单位时，式子要加上括号; ④除法运算通常写成分数形式； ⑤数字因数是1或-1时，“1”常省略不写； ⑥带分数与字母相乘时要将带分数化成假分数. 2.代数式 （1）定义由数或表示数的字母用运算符号连接所成的式子叫做代数式； （2）单独一个数或一个字母也是代数式. 3. 列代数式 （1）列代数式 在解决实际问题时，常常先把问题中有关的数量用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性.列代数式的实质就是把文字语言转化为数学语言 （2）列代数式的步骤 ①认真审题，把问题中表示数量关系的词语正确地转换为对 应的运算; ②注意题目的语言叙述所表示的运算顺序:(3)弄清题目中数量关系的运算顺序，正确使用表明运算顺序的括号，分出层次，逐步列出代数式 4. 代数式的值 （1）代数式的值一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算计算得出的结果，叫做代数式的值 （2）求代数式的值的一般步骤 ①代入:用指定的字母的数值代替代数式里的字母，其他的运算符号和原来的数都不能改变 ②计算:按照代数式指明的运算，根据有理数的运算法则进行计算 （3）一般地，代数式的值不是固定不变的，它随着代数式中字母取值的变化而变化 1．（2025·上海·二模）已知方程组，那么代数式的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，以及通过方程组的变形直接求代数式的值的能力．把两个方程相减可得，即可求出代数式的值． 【详解】解：， 得，， ， 故选：B． 2．（2025·上海普陀·三模）2025年“体重管理年”正式启动，其中所涉及的体质指数“”是衡量人体胖瘦程度的标准，其计算公式为（m表示体重，单位：公斤；h表示身高，单位：米），成年人数值标准见表： BMI范围 胖瘦程度 偏瘦 正常 偏胖 肥胖 已知某位成年人身高1.6米，体重64公斤，则该成年人胖瘦程度为（    ） A．偏瘦 B．正常 C．偏胖 D．肥胖 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据题意求即可得解． 【详解】解：∵某位成年人身高 1.6 米，体重 64 公斤， ， ， ∴该成年人胖瘦程度为偏胖； 故选：C． 3．（2025·上海·模拟预测）如图，某中学的操场有4条跑道，其中每条跑道的弯道部分都是半圆，每条跑道的直道部分的长度都相同．从内至外分别称为第1跑道、第2跑道、第3跑道、第4跑道．假如相邻跑道之间的距离为a米，第1跑道的周长为250米，那么第4跑道的周长为 米（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，根据题意表示出直道部分的总长度及第4跑道的弯道部分的半径是解决问题的关键． 【详解】解：令直道部分的总长度为米， 设第1跑道的弯道部分的半径为 ​米，则第1跑道的周长为 （米）， 所以，直道部分的总长度（米）， 第4跑道的弯道部分的半径为 （米）， 因此第4跑道的周长 （米）， 所以第4跑道的周长为（米）， 故答案为：． 4．（2025·上海杨浦·二模）某新能源汽车销售公司2022年盈利a万元，如果该公司每年盈利增长的百分率都为，那么该公司2024年盈利 万元．（用含a的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，根据题意可得2023年盈利万元，则2024年盈利万元． 【详解】解；由题意得，该公司2024年盈利万元， 故答案为；． 5．（2025·上海浦东新·模拟预测）中考新趋势是培养学生结合实际的开放性思维 对代数式“3x”，我们可以这样来解释：某人以米/秒的速度走了小时，他一共走的路程是米．请你对“”再给出另一个实际生活方面的解释： 【答案】香蕉每千克元，某人买了千克，共付款元(答案不唯一，合理即可) 【分析】本题考查了代数式在生活中的实际意义，代数式“”，是与的积，表示生活中的相乘计算，比如：香蕉每千克元，某人买了千克，共付款元． 【详解】解：香蕉每千克元，某人买了千克，共付款元． 故答案为：香蕉每千克元，某人买了千克，共付款元(答案不唯一)． 6．（2025·上海·二模）一家商店在节假日期间开放优惠活动，设客户结账时货品原价为t元，可以选择优惠方案A、B中任意一个． A：每满300元购买额，就可以减一次价，减n元（）； B：购买额在400元及以下的部分打九折，400元以上的打八折． (1)令，，分别求出选A、B方案的实际支付额． (2)若可以同时满足条件①：若选A方案，则减一次价，②：选A、B方案没有实际区别，请用t表示n，并求出n的取值范围． 【答案】(1)A方案的实际支付额为642元，B方案的实际支付额为600元． (2)，；或，． 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式组，代数式求值，二元一次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）当，时的实际支付额，依据方案中满减、折扣的规则进行计算即可； （2）分情况讨论t的取值范围：①当时，②当时，根据“选A、B方案没有实际区别”这一条件，建立等式，将n用t表示出来，再根据t的范围确定n的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴A方案的实际支付额为（元）； ∵， ∴B方案的实际支付额为（元）． 答：A方案的实际支付额为642元，B方案的实际支付额为600元； （2）①当时，， 解得，， 即， ∴，； ②当时，， 解得，． 综上所述，，；或，． 考点二 整式 1．单项式 （1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义． （2）单项式的系数、次数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 2．多项式 （1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 1．（2025·上海·模拟预测）下列说法中正确的是（    ） A．单项式的次数为4次 B．是二项式 C．关于x的代数式是三项式 D．是单项式 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及整式的定义，根据单项式次数和系数的定义，多项式的定义和单项式的定义逐一判断即可．表示数与字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数；整式是单项式和多项式的统称． 【详解】解：A．单项式的次数为次，故A错误； B．含有两个单项式，是二项式，故B正确； C．当时，关于x的代数式是二项式，故C错误； D．是分式，不是单项式，故D错误； 故选：B． 2．（2025·上海静安·二模）按照一定规律排列的单项式：，，，，则第个单项式是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式中的规律探究，观察可知，单项式的系数规律为从1开始的连续的奇数，指数为从1开始连续的整数，进行求解即可． 【详解】解：单项式：，，，，，， 第个单项式为， 故选：B． 3．（2025·上海·模拟预测）如果代数式为单项式，则p的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查单项式的概念，将代数式化为，根据单项式的概念即可得到答案． 【详解】解：， 要使其为单项式，则只可能为， 故， 故答案为：5． 4．（2025·上海杨浦·模拟预测）代数式中项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘方，根据多项式的乘方公式进行计算即可求解． 【详解】解： ∴项的系数是 故答案为：． 5．（2025·上海徐汇·模拟预测）天干地支纪年法是我国的文化瑰宝．其中天干分别为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推2024年是“甲辰”年，那么据此推算，2224年用天干地支纪年法对应的年份是 年 【答案】甲子 【分析】本题考查了数字类规律探究．由题意可知天干10年为一周期，地支十二年为一周期，分别用200除以两个周期得到余数，再根据余数判断即可． 【详解】解：由题意可知天干10年为一周期，地支十二年为一周期， ， 则，则2224年的天干为甲， 余8 ，则2224年的地支为子， 则2224年是甲子年， 故选：甲子． 考点三 同类项 （1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等． （2）注意事项： ①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项． 1．（2025·上海松江·二模）下列单项式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【详解】解：A、相同字母的指数不相同，不是同类项； B、相同字母的指数不相同，不是同类项； C、符合同类项的定义，是同类项； D、相同字母的指数不相同，不是同类项； 故选：C． 2．（2025·上海浦东新·二模）下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同；相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关．根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案． 【详解】 解：A．所含字母相同且相同字母的指数也相同，故A符合题意； B．所含相同字母的指数不同，故B不符合题意； C．所含相同字母的指数不同，故C不符合题意； D．所含相同字母的指数不同，故D不符合题意； 故选：A． 3．（2025·上海金山·二模）下列单项式中，与单项式是同类项的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类项，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型．所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，据此判断即可． 【详解】解：A，与，所含的字母相同，但是相同字母的指数不相同，不是同类项，故本选项不合题意； B，与，所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，是同类项，故本选项符合题意； C，与，所含的字母相同，但是相同字母的指数不尽相同，不是同类项，故本选项不合题意； D，与，所含的字母相同，但是相同字母的指数不相同，不是同类项，故本选项不合题意； 故选：B． 考点四 合并同类项 合并同类项 （1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项． （2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． （3）合并同类项时要注意以下三点： ①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数； ②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的； ③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数 1．（2025·上海·中考真题）下列代数式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的运算，涉及合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方等基本法则；逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：A：，合并同类项时，系数相加，字母部分不变，的系数为1，故，结果为，计算正确； B：加法运算中，指数不改变，仅系数相加；正确结果应为，而非，计算错误； C：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；，结果应为，而非，计算错误； D：幂的乘方运算中，底数不变，指数相乘；，结果应为，而非，计算错误； 故选：A． 2．（2025·上海普陀·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算、合并同类项以及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 分别对每个选项根据相应运算法则进行计算，判断其正确性． 【详解】A、，该选项正确； B、，而不是，该选项错误； C、，该选项错误； D、，该选项错误． 故选：A． 3．（2025·上海崇明·二模）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方运算法则分别判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、与不能合并，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 4．（2025·上海静安·二模）下列运算的结果等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂除法等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂除法法则逐项判断即可． 【详解】解：A． 和不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意；     B． ，故该选项正确，符合题意；         C． ，故该选项错误，不符合题意；         D． ，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 5．（2025·上海闵行·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，完全平方公式，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 6．（2025·上海宝山·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】】本题考查完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用完全平方公式，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，则A不符合题意， B、，则B不符合题意， C、，则C不符合题意， D、，则D符合题意， 故选：D． 7．（2025·上海·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键 【详解】解：， 故答案为：． 考点五 同底数幂的乘法 同底数幂的乘法 同底数幂的乘法法则 一般地，对于任意底数与任意正整数， 语言叙述 同底数幂相乘，底数不变,指数相加 同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用 单个字母或数字可以看成是指数为1的幂. 底数不一定只是一个数或一个字母，也可以是单项式或多项式.例如： 注意：在进行同底数幂的运算时，不能忽略了指数为1的幂. 1．（2025·上海徐汇·二模）下列运算中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．根据合并同类项，同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方逐项计算即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 2．（2025·上海杨浦·二模）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，积的乘方计算，单项式除以单项式和合并同类项，根据相关计算法则分别求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3．（2025·上海·二模）以下运算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂乘法及除法，幂的乘方，利用合并同类项法则，同底数幂乘法及除法法则，幂的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A、与不能合并，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，则选项符合题意． 故选：D． 4．（2025·上海浦东新·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂，同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则；根据同底数幂的乘法运算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 考点六 幂的乘方 1. 幂的乘方 （1）幂的乘方的意义 幂的乘方是指几个相同的幂相乘.如是n个相乘，读作的m次幂的n次方 （2）乘方法则 一般地，对于任意底数与任意正整数， （3）语言叙述 幂的乘方，底数不变,指数相乘 2. 幂的乘方的逆用 （1）幂的乘方法则可推广为 （2）幂的乘方法则的逆用: 1．（2025·上海金山·二模）下列运算一定正确的是（   ） A． B． C．（为正整数） D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分数指数幂，二次根式的性质与化简，积的乘方和幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．直接利用二次根式的性质与化简、积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则分别计算即可得出答案． 【详解】解：A．，故此选项错误； B．，故此选项正确； C．，故此选项错误； D．，故此选项错误． 故选：B． 2．（2025·上海·二模）计算：= ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方与同底数幂的除法运算，解题关键是熟练掌握幂的乘方法则和同底数幂的除法法则． 【详解】解： 故答案为：． 3．（2025·上海·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，利用幂的乘方即可解答，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题关键． 先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法即可得． 【详解】解：． 故答案为：． 5．已知：，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法，即可得到答案． 【详解】解：∵， ， 故答案为： ． 考点七 积的乘方 1. 积的乘方的意义 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方.如,等. (积的乘方的意义) (乘法交换律、结合律) 积的乘方等于乘方的积，即（是正整数）. 2. 积的乘方法则 一般地，对于任意底数与任意正整数， 3. 语言叙述 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即乘方的积. 4.积的乘方，等于乘方的积，即（是正整数）.一般地，（是正整数）. 5. 积的乘方法则可推广:三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质，例如 6. 幂的乘方法则的逆用: 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方与幂的乘方，运用相关知识计算各选项，然后再判断即可． 【详解】解：A.，原选项计算错误，不符合题意； B. ，原选项计算错误，不符合题意； C. ，原选项计算错误，不符合题意； D. ，计算正确，符合题意， 故选：D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项，单项式与单项式的乘法，积的乘方，同底数幂的除法法则逐项分析即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故不正确，不符合题意； B．，故不正确，不符合题意； C．，正确，符合题意； D．，故不正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了合并同类项，单项式与单项式的乘法，积的乘方，同底数幂的除法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘法，除法，积的乘方，合并同类项，逐一计算即可得出结果． 【详解】解：选项，，故错误，不符合题意； 选项，，故正确，符合题意； 选项，，故错误，不符合题意； 选项，，故错误，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，除法，积的乘方，合并同类项，掌握相关运算法则是解题的关键． 4．（2025·上海徐汇·二模）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，准确的计算是解决本题的关键． 根据积的乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，根据积的乘方的计算法则进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 考点八 同底数幂的除法 1. 同底数幂的除法 （1）同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变,指数相减 （2）同底数幂的除法运算法则的推导 推导1： 一般地，设， 推导2： 因为除法是乘法的逆运算，由,可以得到同底数幂的除法运算法则 2. 零指数幂 如果把公式(，推广到的情形,那么有.又,所以规定,即任何不等于零的数的零次幂为1 3. 幂的运算顺序 在含有乘方的同底数幂的乘除运算中，先算积的乘方、幂的乘方，再算同底数幂的乘除: 在只有乘除的运算中，应按从左到右的顺序进行,有括号的先算括号里面的 1．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了幂的运算，根据同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项分别进行判断即可． 【详解】A. ，故选项正确，符合题意；     B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意；     D. 和不是同类项，不能运算，故选项错误，不符合题意； 故选：A 2．（2025·上海崇明·二模）下列运算中，计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，合并同类项，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项正确，符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查整式的运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 3．（2025·上海浦东新·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法和除法法则及合并同类项的法则进行计算即可． 【详解】解：A．，不符合题意； B．，不符合题意； C．，符合题意； D．，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查整式的加减乘除运算，熟练掌握同底数幂的乘法和除法法则及合并同类项的法则是解题的关键． 4．（2025·上海·模拟预测）在2025年电影春节档中，电影《哪吒2魔童闹海》大受欢迎，截至2025年2月5日，其总票房已突破90亿人民币．据上海人社局数据，2024年上海市民人均年薪约为14.4万人民币，若《哪吒2魔童闹海》的票房以90亿人民币计，则《哪吒2魔童闹海》的累计票房是2024年上海市民人均年薪的 倍（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法的运算及同底数幂的除法，熟练掌握科学记数法的表示形式及运算规则是解题的关键．先将票房和人均年薪的单位统一，再用票房除以人均年薪，最后将结果用科学记数法表示． 【详解】解：万，亿， ， 故答案为：． 5．若m、n满足，则 ． 【答案】16 【分析】先将已知变形为，再将变形为，然后整体代入即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：16． 【点睛】本题考查代数式值，幂的乘方和同底数幂除法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂除法法则是解题的关键． 命题点一 整式乘除及混合运算 ►题型01整式的乘除运算 整式乘法： ①单项式×单项式：系数、同底数幂分别乘，单独字母连指数留作积的因式。 ②单项式×多项式：单项式乘每一项，积相加（用分配律）。 ③多项式×多项式：项项互乘，积相加。 整式除法： ①单项式÷单项式：系数、同底数幂分别除，被除式独有的字母连指数留作商的因式。 ②多项式÷单项式：每一项分别除单项式，商相加。 混合运算： 顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号内，同级从左到右。 技巧：及时合并同类项简化运算。 【典例1】（2025·上海普陀·二模）下列各式计算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的除法及单项式乘单项式，利用整式的除法及单项式乘单项式法则，合并同类项法则将各式计算后进行判断即可． 【详解】解：，则A符合题意， ，则B不符合题意， ，则C不符合题意， 与无法合并，则D不符合题意， 故选：A． 【变式1-1】（2025·上海·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先利用法则去括号，再合并同类项即可． 【详解】， ， ， ， 故答案为：． 【变式1-2】（2025·上海模拟）计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了单项式乘单项式的乘法法则，熟记单项式乘单项式的乘法法则是解题的关键． 根据单项式乘单项式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-3】（2025·上海杨浦·模拟预测）解不等式： 【答案】不等式无解 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．先根据多项式乘多项式的运算法则计算去括号，然后移项合并同类项，即可的到答案． 【详解】解： 原不等式无解． 【变式1-4】（2025·上海杨浦·模拟预测）①存在数字，使得，则称为虚数 ②若（、为实数），则称为复数 (1)判断：___________复数，___________复数，0___________复数 (2)化简： (3)在复数范围内解方程：． 【答案】(1)是；是；是 (2) (3)，， 【分析】本题考查了新定义，特殊角三角函数的运算，多项式乘多项式，理解题中新定义是解题的关键． （1）根据题中复数的定义直接判断即可； （2）先计算特殊角的三角函数值，然后根据多项式乘多项式的运算法则和去括号，合并同类项即可； （3）设（、为实数），则，根据多项式乘多项式的运算法则和去括号，合并同类项得到，可知，然后由①得到，解得或，最后利用代入法解出、值即可得到答案． 【详解】（1）解：若（、为实数），则称为复数， ，符合定义，是复数；，符合定义，是复数；，符合定义，是复数； 故答案为：是；是；是． （2）解： （3）解：根据题意，设（、为实数）， ， 则， ， ， ； ， 由①得，，解得或， 把代入②，得，解得，此时； 把代入②，得，解得， 此时，解得，此时； 原方程的解为，，． 命题点二 乘法公式 ►题型01 整式乘法核心公式 乘法公式的＂三个关键＂ 1．公式类型： 平方差： 完全平方： 2．使用要点： 先匹配式子的公式结构，再注意符号（尤其完全平方的中间项符号）。 3．变形技巧： 可逆用公式（如因式分解），或凑结构适配公式（如拆分 用完全平方）。 【典例1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算，同底数幂的乘法的运算，合并同类项的方法，以及完全平方公式的应用，要熟练掌握．根据幂的乘方，同底数幂乘法，完全平方公式以及合并同类项，逐项判断即可． 【详解】解：∵，∴选项A符合题意； ∵，∴选项B不符合题意； ∵，∴选项C不符合题意； ∵，不是同类项，不能合并，∴选项D不符合题意． 故选A． 【变式1-1】（2025·上海·模拟预测）若是关于的方程的两实数根，，则之间距离的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，两点间距离公式，根的判别式，完全平方公式，二次函数的性质，利用根和系数的关系可得，，进而得到，再利用根的判别式可得，得到，最后利用二次函数的性质即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的两实数根， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴当时，取最小值，最小值为， ∴的最小值为，即之间距离的最小值为， 故答案为：． 【变式1-2】（2025·上海浦东新·三模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，包括完全平方公式，平方差公式以及对分子分母因式分解，二次根式的运算，分母有理化的计算，正确使用公式化简求值是解决本题的关键． 先使用完全平方公式和平方差公式对分式进行化简，再将，代入式子中进行计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴上式 ． 【变式1-3】（2025·上海静安·二模）解不等式组：； 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，乘法公式的应用，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，． 所以不等式组的解集为． 【变式1-4】（2025·上海·模拟预测）已知一元二次方程的求根公式为，当是一元二次方程的两根时，则有：①；②． 【结论证明】请在中选择一个结论进行证明； 【知识应用】若是一元二次方程的两个根，不解方程，求的值； 【类比拓展】若是一元三次方程的三个根，则原方程可变形为，则有：，，，．已知一元三次方程的三个根分别为，求的值． 【答案】[结论证明]见解析；[知识应用]47；[类比拓展]4 【分析】本题考查根与系数的关系，高次方程，乘法完全平方公式，代数式求值，根据所给的结论，能够灵活应用结论是解题的关键． [结论证明]求出两个根，分别求和与积即可； [知识应用]利用根与系数的关系可得，再由代入求值即可； [类比拓展]根据已知可得，再求 【详解】解：[结论证明]，， ， ； [知识应用] ， ， ； [类比拓展] ， ， ． 【变式1-5】（2025·上海普陀·三模）（1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）首先将化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，计算乘方，然后进行加减运算即可； （2）先根据乘方的完全平方公式和平方差公式展开，再进行合并同类项即可． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及二次根式的化简、特殊角的三角函数值，乘方运算，整式的混合运算，乘方的完全平方公式，平方差公式，合并同类项等知识，熟练掌握法则是关键． 命题点三 公式法分解因式 ►题型01 因式分解核心公式法 ★核心公式与适配结构： 平方差公式 适配＂两项式、符号相反且均为平方形式＂； 完全平方公式 适配＂三项式、含两个平方项＋中间交叉项＂。 ★使用关键： 先判断式子结构是否匹配公式，再确认符号（如完全平方的中间项符号），可直接套用或凑结构后使用。 【典例1】（2025·上海·模拟预测）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解——运用公式法．先对等式的左边进行因式分解，进而得出答案． 【详解】解：∵， 又， ∴． 故答案为：． 【变式1-1】（2025·上海嘉定·二模）分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 直接根据平方差公式进行分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式1-2】（2025·上海静安·二模）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数范围内因式分解，熟练掌握配方法是解题的关键． 根据配方法化为平方差的形式，进而因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 【变式1-3】（2025·上海·模拟预测）因式分解的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方差公式，熟记公式是解题的关键． 根据平方差公式即可求解． 【详解】， 故答案为：． 【变式1-4】（2025·上海·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，前三项先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式即可完成分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-5】（2025·上海静安·二模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-6】（2025·上海徐汇·二模）解方程组． 【答案】， 【分析】本题考查解二元二次方程组，把二元二次方程组化为两个二元一次方程组是解题的关键，先将二元二次方程组化成二元一次方程组，然后再运用加减消元求解即可． 【详解】解： 整理得：， 即或， 解得： ，． 综上，原方程组的解为：，． 突破一 综合提公因式和公式法分解因式 【典例1】（2025·上海宝山·模拟预测）分解因式： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，根据因式分解的方法：1、提公因式法；2、公式法（完全平方式，平方差公式）；3、“十字相乘”法对其分解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-1】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先提公因式，然后再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1-2】分解因式： ． 【答案】 【分析】先提公因式，再用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】因式分解时，要牢记“一提二看三检查”步骤． 【变式1-3】在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键． 先提取公因数3，再运用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为． 1．（2025·上海静安·二模）单项式的系数是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．根据单项式的系数的概念求解即可． 【详解】解：单项式的系数是， 故选：A． 2．（2025·上海静安·二模）按照一定规律排列的单项式：，，，，则第个单项式是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式中的规律探究，观察可知，单项式的系数规律为从1开始的连续的奇数，指数为从1开始连续的整数，进行求解即可． 【详解】解：单项式：，，，，，， 第个单项式为， 故选：B． 3．（2025·上海·中考真题）下列代数式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的运算，涉及合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方等基本法则；逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：A：，合并同类项时，系数相加，字母部分不变，的系数为1，故，结果为，计算正确； B：加法运算中，指数不改变，仅系数相加；正确结果应为，而非，计算错误； C：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；，结果应为，而非，计算错误； D：幂的乘方运算中，底数不变，指数相乘；，结果应为，而非，计算错误； 故选：A． 4．（2025·上海·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】原式提取ab进行分解即可． 【详解】解：原式= 故答案为： 【点睛】此题考查了提公因式法的运用，熟练掌握因式分解的提公因式方法是解本题的关键． 5．（2025·上海·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先利用法则去括号，再合并同类项即可． 【详解】， ， ， ， 故答案为：． 6．（2025·上海·模拟预测）如果代数式为单项式，则p的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查单项式的概念，将代数式化为，根据单项式的概念即可得到答案． 【详解】解：， 要使其为单项式，则只可能为， 故， 故答案为：5． 7．（2025·上海·中考真题）据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，根据题意可得1秒等于皮秒，再由该器件执行一次擦写需要400皮秒列式求解即可． 【详解】解：， ∴该器件一秒可以擦写次， 故答案为：． 8．（2025·上海浦东新·三模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，包括完全平方公式，平方差公式以及对分子分母因式分解，二次根式的运算，分母有理化的计算，正确使用公式化简求值是解决本题的关键． 先使用完全平方公式和平方差公式对分式进行化简，再将，代入式子中进行计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴上式 ． 1．（2025·上海模拟）观察图形，若有六边形个，则需火柴棍 根（用含的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查探索与表达规律，列代数式，熟练掌握列代数式是解题的关键； 对于找规律的题目首先应找出发生变化的位置，并且观察变化规律，进而用式子表示一般规律．观察图形发现，然后可求出第个六边形需要根小棒． 【详解】解：有六边形个，需要火柴棒根数为， 有六边形个，需要火柴棒根数为， 有六边形个，需要火柴棒根数为， 有六边形个，需要火柴棒根数为， …… 有六边形个，需要根小棒． 故答案为：． 2．（2025·上海模拟）数学知识广泛应用于化学领域，是研究化学的重要工具．比如在学习化学式时，甲烷化学式为，乙烷化学式为，丙烷化学式为，按此规律，当碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察发现出规律成为解题的关键． 经观察可以发现：烷烃中氢原子数是碳原子的2倍加上2，据此规律即可解答． 【详解】解：碳原子个数为1时，氢原子数为个， 碳原子个数为2时，氢原子数为个， 碳原子个数为3时，氢原子数为个， ……， 以此类推，可知，碳原子个数为n时，氢原子数为个． 故答案为：． 3．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键． 先提取公因数3，再运用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为． 4．（2025·上海宝山校级模拟）在实数范围内因式分解： 【答案】 【分析】令，则式子可化为，令，求解即可． 【详解】解：令，则式子可化为， 令 则，， 则， 故答案为： 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了换元法和一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得方程的根． 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（    ）    A．128 B．64 C．32 D．16 【答案】A 【分析】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出， ，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案． 【详解】调整后，甲袋中有个球，，乙袋中有个球，，丙袋中有个球． ∵一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同， ∴调整后每只袋中有（个）球， ∴，， ∴，，     ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了幂的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答本题的关键． 2．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 【答案】21 【分析】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．根据第1个图案中矩形的个数：；第2个图案中矩形的个数：；第3个图案中矩形的个数：；…第n个图案中矩形的个数：，算出第10个图案中矩形个数即可． 【详解】解：∵第1个图案中矩形的个数：； 第2个图案中矩形的个数：； 第3个图案中矩形的个数：； … 第n个图案中矩形的个数：， ∴则第10个图案中矩形的个数为：， 故答案为：21． 3．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查数字类规律探究，整式加减中不含某一项问题，先根据，令，求出相应的结果，进而推导出当时的结果，利用新定义，求出，再根据新定义求出，根据不含项，得到项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴ ， ∵不含项， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∵均为的整数幂，为偶数， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：15． 4．（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ． 【答案】 【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果． 【详解】根据题意得：展开后系数为：， 系数和：， 展开后系数为：， 系数和：， 展开后系数为：， 系数和：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律． 5．（2025·江苏盐城·中考真题）小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律． ［发现问题］ 黄铁矿的晶体（如图（1））是一个正方体：它由六个面组成．每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接三条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正边形，且各顶点连接（）条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． ［提出问题］ 小明思考：这样的正多面体有几个？ ［分析问题］ 一个正面体的每个面都是全等的正边形，有个顶点，条棱，且每个顶点都连接条棱．小明对部分正面体（如图（2））进行了观察，列出以下数据： 正多面体 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 （1）根据表中的数据，请写出、、之间存在的等量关系式_________； （2）小明进一步发现，正面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24，又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12． 正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ②从顶点出发：正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ［解决问题］ （3）已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接3条棱，求这个正多面体的面数． （4）满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）；（4）个 【分析】本题考查了新定义，数字类规律，分式的化简，理解难度大，理解题意是解题的关键． （1）观察数据即可解答； （2）①正面体，它有个面，每个面都有条边，则个面的边数之和为，又因为正面体的两个面共用一条边，所以正面体的棱数为；②正面体，它有个顶点，且每个顶点都连接条棱，则个顶点的棱数之和为，又因为正面体的一条棱连接两个顶点，所以正面体的棱数为； （3）上述公式列方程即可解答； （4）由题意可得，代入可得，整理后，利用逐一判断即可． 【详解】解：（1）根据观察可得， 故答案为：； （2）①正面体，它有个面，每个面都有条边，则个面的边数之和为， 又因为正面体的两个面共用一条边，所以正面体的棱数为， 故答案为：； ②正面体，它有个顶点，且每个顶点都连接条棱，则个顶点的棱数之和为， 又因为正面体的一条棱连接两个顶点，所以正面体的棱数为， 故答案为：； （3）由题意可得，， ， 根据（1）中公式可得， 可得， 解得， 则这个正多面体的面数为； （4）由题意可得，， 代入可得， ， ， ， 为正整数，且，， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，无论取任何值，，故不成立， 综上，满足正多面体定义的几何体一共有个． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $