专题八 圆锥的认识及体积（导学案）六年级数学寒假自学课（西南大学版）

2025-2026学年西南大学版数学六年级寒假新课衔接 专题八 圆锥的认识及体积 一、思维导图 二、考点精讲 考点一：圆锥的认识及特征 （1）圆锥有一个底面和一个侧面； （2）圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面； （3）圆锥只有一条高 【典例分析】标出下图中各部分的名称。 【答案】见详解 【分析】圆锥的尖端叫圆锥的顶点；圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高，据此填空。 【详解】 【变式训练1】在下图中分别标出圆柱和圆锥底面半径和高。 【变式训练2】下面的图形中，是圆锥的画“√”，不是圆锥的画“×”。                            ( )    ( )    ( )                 ( )    ( )    ( ) 【变式训练3】下面图形沿轴旋转一周后形成什么图形？连一连。 考点二：圆锥的体积 圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的，一般地，用字母表示：V=Sh 如已知底面半径、直径或周长，也可以用以下公式： V=πrh、V=π(d÷2)²h、V=π(C÷π÷2)²h 【典例分析】求下面各立体图形的体积。（单位：cm） （1）（2） 【答案】（1） （2） 【分析】根据圆锥体积＝底面积×高×，列式计算即可。 【详解】（1） （2） 【变式训练1】一个圆锥的底面积是15cm2，高是3cm，体积是( )cm3。 【变式训练2】求下面各立体图形的体积。（单位：cm）                 考点三：圆柱与圆锥的体积关系 【典例分析】一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是96dm3，圆锥的体积是( )dm3。 【答案】24 【分析】等底等高的圆柱和圆锥的比是3∶1，也就是圆柱是3份，圆锥是1份，总共是4份是96 dm3，每一份是24 dm3，则圆锥的体积是24 dm3。 【详解】等底等高的圆柱和圆锥的比是3∶1 96÷（3＋1） ＝96÷4 ＝24（dm3） 则圆锥的体积是24 dm3。 【变式训练1】在一个高24厘米的圆锥形量杯里装满了水，如果将这些水倒入与它底面积相等的圆柱形量杯中，水面高( )厘米。 【变式训练2】等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积比圆锥大42dm3，圆柱的体积是( )dm3，圆锥的体积是( )dm3。 【变式训练3】圆柱和圆锥的体积相等，底面积也相等，那么圆柱的高是圆锥的高的( ) A．9倍 B．3倍 C． 【变式训练4】24个完全相同的圆锥形实心铁块，可以熔铸成（　　）个与它们等底等高的圆柱形实心铁块。 A．4 B．8 C．12 D．72 考点四：等积变换 【典例分析】一辆货车车厢是一个长方体，它的长是4米，宽是1.5米，高是4米，装满一车沙，卸完后将沙堆成一个高是5米的圆锥形，它的底面积是多少平方米？ 【答案】14.4平方米 【分析】根据长方形体积＝长×宽×高，先求出这个火车车厢的体积，装满沙则沙子的体积和车厢的体积一样，再根据圆锥的体积＝×底面积×高，据此求出底面积即可。 【详解】4×1.5×4＝6×4＝24（立方米） 24×3÷5 ＝72÷5 ＝14.4（平方米） 答：它的底面积是14.4平方米。 【变式训练1】一块钢坯的体积是6.28立方分米，将这块钢坯锻造成一个底面半径是5厘米的圆柱形钢件。钢件的高是多少厘米？ 【变式训练2】一个长是6米，宽5米的长方体容器，里面装了1.2米深的水，把一个高是12分米的圆锥形零件放入容器内，水面升高到1.4米。圆锥的底面积是多少平方米？ 【变式训练3】一个圆锥形的沙堆，底面积是28.26平方米，高是1.6米，用这堆沙子在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？ 【变式训练4】一个圆锥形沙堆，底面直径是4米，高是2.1米。用这堆沙铺一个长是8米，宽是3米的长方体跳远沙坑，大约能铺多少米厚？（得数保留两位小数） 三、强化训练 1．圆锥有( )个顶点、( )个底面和( )个侧面，它的底面是一个( )。 2．一个长方体、一个圆柱和一个圆锥，它们的底面积和体积分别相等，如果长方体的高是6厘米，那么圆锥的高是( )厘米。 3．把一个圆柱削成一个圆锥，这个圆锥的体积一定是圆柱体积的。( ) 4．圆锥底面半径3分米，高9分米，求体积。 5．圆锥的底面半径扩大两倍，高也扩大两倍，则圆锥体积（    ）。 A．扩大4倍 B．扩大6倍 C．扩大8倍 6．把一个棱长是6dm的正方体，削成最大的圆锥，这个圆锥的底面半径是（    ）。 A．6dm B．18.84dm C．9.42dm D．3dm 7．如图所示是一个陀螺，这个陀螺的体积是多少？ 8．把一个体积是180立方厘米的圆柱削成一个最大的圆锥，削成的圆锥体积是( )立方厘米。 9．圆锥的底面半径是3分米，高是2分米，求它的体积。 10．圆锥的底面周长是6.28分米，高是6分米，求它的体积。 11．已知一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，圆锥的体积是圆柱的，圆锥的高是9厘米米，圆柱的高是多少厘米？ 12．一个圆锥形沙堆，它的占地面积是18平方米，高是1.2米，每立方米的沙重1.7吨，用载重为2吨的汽车把这堆沙运走，几次才运完？ 13．在打谷场上，有一个近似于圆锥的稻谷堆，测得底面直径是4米，高是1.2米。每立方米稻谷约重735千克，这堆稻谷约有多少千克？（得数保留整千克） 14．小明的爷爷把小麦堆成两个相同的近似于圆锥的小麦堆，测得圆锥的底面周长是12.56米，高1.2米，如果每立方米小麦重745千克，请你算一算小明家收小麦多少千克？ 15．一个长方体容器，长5厘米，宽4厘米，高3厘米，装满水后将水全部倒入一个高6厘米的圆锥形的容器内刚好装满。这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？ 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 考点一 【变式训练1】 【详解】圆柱的上下两个面叫做底面，它们是完全相同的两个圆，两个底之间的距离是圆柱的高，可以将两个圆的圆心相连即可得到高，底面圆的半径是圆柱的底面半径，连接圆锥的顶点和底面圆心的线段是圆锥的高，底面圆的半径是圆锥的底面半径，据此解答。 【变式训练2】 × √ × √ √ × 【分析】以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 圆锥由一个顶点，一个侧面和一个底面组成，从顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 圆锥有两个面，底面是圆形，侧面是曲面。 根据圆锥的定义和特征进行解答。 【详解】由分析可知： 从左边数，第①、③、⑥个图形不符合圆锥的特征，第②、④、⑤个图形是圆锥。 （×）       （√）       （×）        （√）        （√）       （×） 【变式训练3】见详解 【分析】以长方形的一边为轴旋转一周后形成一个圆柱体； 以半圆的直边为轴旋转一周后形成一个球体； 以三角形的一条直角边为轴旋转一周后形成一个圆锥； 据此解答。 【详解】由分析可知： 考点二 【变式训练1】15 【分析】根据圆锥体积＝底面积×高÷3，列式计算即可。 【详解】15×3÷3＝15（cm3） 体积是15cm3。 【变式训练2】左：75.36cm3；右18.84cm3 【分析】圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面为一圆形，侧面展开图是扇形，是曲面。圆锥的体积等于与他等底等高的圆柱体积的，则圆锥的体积＝，S是圆锥底面面积，r是圆锥底面半径，h是圆锥的高。 【详解】左： ＝（cm3） 圆锥的体积是75.36cm3。 右： （cm3） 圆锥的体积是18.84cm3。 考点三 【变式训练1】8 【分析】由题意可知，在两个容器里，水的体积不变，圆锥形量杯与圆柱形量杯底面积相等，根据等底等体积的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱高的3倍，据此解答。 【详解】（厘米） 即如果将这些水倒入与它底面积相等的圆柱形量杯中，水面高8厘米。 【变式训练2】 63 21 【分析】等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，用体积差除以倍数差，即可求出一倍数，即圆锥体积。再用圆锥体积×3＝圆柱体积，据此解题即可。 【详解】圆锥的体积： ＝ ＝21（dm3） 圆柱的体积： （dm3） 等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积比圆锥大42dm3，圆柱的体积是（63）dm3，圆锥的体积是（21）dm3。 【变式训练3】C 【详解】假设圆柱和圆锥的体积都是V，底面积都是S， 则圆柱的高是：V÷S=， 圆锥的高是：3V÷S=， ÷=×=. 故答案为C. 【变式训练4】B 【分析】据题意，熔铸前后的体积不变，因为等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，所以3个相同的圆锥形铁块就能熔铸成一个与它等底等高的圆柱形实心铁块，利用除法的意义求出24里面有几个3，据此解答。 【详解】据题意： 24÷3＝8（个） 所以，24个完全相同的圆锥形实心铁块，可以熔铸成8个与它们等底等高的圆柱形实心铁块。 【点睛】本题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系的灵活应用。 考点四 【变式训练1】80厘米 【分析】根据题意可知，圆柱形钢件的体积等于钢胚的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，高＝体积÷底面积，代入数据，即可解答，注意单位名数的换算。 【详解】6.28立方分米＝6280立方厘米 6280÷（3.14×52） ＝6280÷（3.14×25） ＝6280÷78.5 ＝80（厘米） 答：钢件的高是80厘米。 【变式训练2】15平方米 【分析】根据题意可知，水面上升部分的体积等于这个圆锥零件的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出水面上升部分的体积，也就是圆锥的体积，再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高×，底面积＝体积÷高÷，代入数据，即可解答。 【详解】12分米＝1.2米 6×5×（1.4－1.2） ＝30×0.2 ＝6（立方米） 6÷1.2÷ ＝5÷ ＝5×3 ＝15（平方米） 答：圆锥的底面积是15平方米。 【点睛】熟练掌握和灵活运用长方体体积公式，圆锥的体积公式是解答本题的关键，注意单位名数的换算。 【变式训练3】75.36米 【分析】2厘米＝0.02米，根据圆锥的体积公式：V＝Sh，用28.26×1.6×即可求出沙堆的体积，然后再据长方体体积公式：V＝abh，用沙堆的体积÷10÷0.02即可求出能铺的长度。据此解答。 【详解】28.26×1.6×＝15.072（立方米） 2厘米＝0.02米 15.072÷10÷0.02＝75.36（米） 答：用这堆沙子在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺75.36米。 【点睛】本题主要考查了圆锥的体积公式和长方体的体积公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 【变式训练4】0.37米 【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，用×3.14×（4÷2）2×2.1即可求出沙堆的体积，再根据长方体的体积＝长×宽×高，用长方体的体积÷8÷3即可求出能铺的厚度。 【详解】这个圆锥形沙堆的体积是： ×3.14×（4÷2）2×2.1 ＝×3.14×22×2.1 ＝×3.14×4×2.1 ＝8.792（立方米） 能铺：8.792÷8÷3≈0.37（米） 答：大约能铺0.37米厚。 【点睛】本题主要考查了圆锥的体积公式、长方体的体积公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 强化训练 1． 1（或一） 1（或一） 1（或一） 圆形（或圆） 【详解】圆锥有1个顶点、1个底面和1个侧面，它的底面是一个圆形。 2．18 【分析】根据长方体体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，它们的底面积和体积分别相等，由此可知，长方体的高＝圆锥的高×；圆锥的高＝长方体的高×3，据此解答。 【详解】6×3＝18（厘米） 一个长方体、一个圆柱和一个圆锥，它们的底面积和体积分别相等，如果长方体的高是6厘米，那么圆锥的高是18厘米。 3．× 【分析】等底等高的圆柱和圆锥，圆锥体积是圆柱体积的，据此判断。 【详解】把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆柱和圆锥等底等高，圆锥的体积是圆柱体积的，本题没有明确是削成一个最大的圆锥，所以原题说法错误。 故答案为：× 4．84.78立方分米 【分析】根据圆锥的体积公式：圆锥的体积＝底面积×高×计算即可。 【详解】3.14×32×9× ＝3.14×9×9× ＝3.14×27 ＝84.78（立方分米） 【点睛】此题考查的是圆锥的体积公式的熟练运用，要牢牢掌握。 5．C 【分析】圆锥的体积＝×底面积×高，设原来的底面半径为r，高为h，则扩大后的底面半径为2r，高为2h，分别求出其体积，即可知道体积扩大的倍数。 【详解】设原来的底面半径为r，高为h，则扩大后的底面半径为2r，高为2h， 原来的体积：πr2h 扩大后的体积：π（2r）2×2h＝πr2h， 体积扩大的倍数：πr2h÷πr2h ＝÷ ＝×3 ＝8 圆锥体积将扩大8倍。 故答案为：C 【点睛】此题主要考查圆锥体积计算公式V＝πr2h的灵活应用。 6．D 【分析】根据题意可知，把这个正方体木块削成一个最大的圆锥，也就是削成的圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，进而求出圆锥的底面半径。 【详解】6÷2＝3（dm） 这个圆锥的底面半径是3dm。 故答案为：D 【点睛】解答本题的关键明确正方体内削成最大的圆锥，圆锥的底面直径和圆锥的高等于这个正方体的棱长。 7．43.96cm3 【分析】由题意可知，这个陀螺是由一个底面直径为4cm，高为3cm的圆柱与一个底面直径为4cm，高为1.5cm的圆锥构成的，要求陀螺的体积即为求圆柱的体积和圆锥的体积之和；据此解答即可。 【详解】4÷2＝2（cm） 3.14×22×3＋×3.14×22×1.5 ＝12.56×3＋×3.14×6 ＝37.68＋6.28 ＝43.96（cm3） 答：这个陀螺的体积是43.96cm3。 【点睛】本题主要考查了组合体的体积，关键是要观察图形，分析出组合图形是由哪些常见的立体图形构成的。 8．60 【解析】略 9．18.84立方分米 【详解】×3.14×32×2=18.84（立方分米） 10．6.28立方分米 【详解】×3.14×（6.28÷3.14÷2）2×6=6.28（立方分米） 11．12厘米 【详解】9÷3÷=12（厘米） 12．7次 【分析】根据圆锥的体积公式：V＝Sh，用18×1.2×即可求出沙堆的体积，然后根据乘法的意义，用沙堆的体积乘1.7吨即可求出沙堆的总重量，已知汽车每次只能运2吨，根据除法的意义用沙堆的总重量除以2吨即可求出运的次数，结果用进一法取值。 【详解】18×1.2×＝7.2（立方米） 7.2×1.7＝12.24（吨） 12.24÷2≈7（次） 答：7次才能运完。 【点睛】本题主要考查了圆锥体积公式的灵活应用。 13．3693千克 【分析】根据底面直径计算出底面半径，圆锥的体积＝×底面积×高，这堆稻谷的质量＝稻谷的总体积×每立方米稻谷的质量，据此解答。 【详解】×3.14×（4÷2）2×1.2×735 ＝3.14×4××1.2×735 ＝（3.14×4）×（×1.2×735） ＝12.56×294 ≈3693（千克） 答：这堆稻谷约有3693千克。 【点睛】掌握圆锥的体积计算公式是解答题目的关键。 14．7485.76千克 【分析】根据底面周长：C＝2πr，用12.56÷3.14÷2即可求出圆锥的底面半径，然后根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入即可求出每个小麦堆的体积，然后根据乘法的意义，用每个小麦堆的体积×2×每立方米小麦的质量即可求出小麦的总质量。 【详解】底面半径： 12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米） 一堆小麦的重量： 3.14×22×1.2× ＝3.14×4×1.2× ＝5.024（立方米） 5.024×2×745＝7485.76（千克） 答：小明家收小麦7485.76千克。 【点睛】本题考查了圆锥体积公式的灵活应用，熟记相关公式是解答本题的关键。 15．30cm2 【详解】5×4×3=60（cm3）60×3÷6=30（cm2） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $