精品解析：山东省泰安市2026届高三上学期期末考试数学试题

高三年级考试 数学试题 2026.01 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，再由此求出对应点所在象限. 【详解】因为， 所以，可得 ， 所以z在复平面内对应的点在第四象限. 故选：D 2. “”的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式得到“”的充要条件，再根据充分条件的概念进行判断. 【详解】由. 所以“”是“”充要条件. 所以AD是“”的必要条件， B既不是“”的必要条件，也不是“”的充分条件， 只有C是“”的充分条件. 故选：C 3. 已知实数且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，通过取特殊值，即可判断A、B和D的正误，对C，根据条件，利用不等式的性质，即可求解. 【详解】对于A，取，显然满足且， 但，所以A错误， 对于B，取，显然满足且，但，所以B错误， 对于C，因为，则，，所以，故C正确， 对于D，，显然满足且，但，所以D错误， 故选：C. 4. 终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出终边落在边上的角为，结合图象，即可得答案. 【详解】因为， 所以终边落在边上的角为， 所以终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为. 故选：C 5. 已知等比数列满足，且，则（ ） A. 24 B. 或24 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用求出公比的值，再分类讨论即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， ，，，，， 当时，； 当时，. 的值为或. 故选：B. 6. 已知向量，若与的夹角不超过，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意确定，再通过求其范围，即可求解. 【详解】由题意设，得，且， 因为，在单位圆上取， 因为与的夹角不超过， 所以， 所以， 又，所以， 所以， 所以， 故的范围是， 故选：A 7. 已知点P是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（ ） A. 4 B. C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】注意到是椭圆的下焦点，则上焦点为，故，而的最大值为，由此求得的最大值. 【详解】由椭圆方程可知，， 故为椭圆的下焦点，则椭圆的上焦点为，如图， 根据椭圆的定义，有， 根据三角形两边的差小于第三边可知， 故的最大值为. 故选：D 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析恒成立的条件，再确定参数符号，化简目标式，利用导数法求值域. 【详解】要使对恒成立，两因式需同号且零点重合. 因式零点：；，所以. 在单调递增，要使两因式同号，需单调递增，得. 由及可知，令，则，且，由得. 则目标式：. 设，求导得，所以在上单调递减. 由单调性知：时，；时，因此 . 综上，的取值范围为. 故选： B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列选项正确的是（ ） A. 展开式中的二项式系数最大项为第3项和第4项 B. C. D. 当时，除以8的余数为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A直接用二项式系数的性质判断；对于B用赋值法可得；对C可对二项式两边求导，然后再赋值可得；对于D则将按二项式展开式进行判断可得. 【详解】对于A：由二项式展开式中的二项式系数为，所以时二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大，故A不正确； 对于B：令，可得.再令，得， 所以，所以B正确； 对于C：对两边求导，得， 再令，得，所以C正确； 对于D：当时，， 而 ，即除以8的余数为1，所以D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数的最小正周期为，且恒成立，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递减 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用辅助角公式把化为标准形式，利用最小正周期公式求出，结合恒成立求出，再根据正弦函数的性质逐一分析判定选项． 详解】， 最小正周期为，， ，， ，，故， ，即， ， ， 选项A：，故A正确； 选项B：正弦函数的对称中心满足， ， 的图象不关于点对称，故B错误； 选项C：的单调递减区间为， ，解得， 当时，的递减区间为， ， 在上单调递减，故C正确； 选项D：， ，即①或②， 式①化简得，又， ，取，则； 式②化简得，与矛盾，舍去， ，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，则下列选项正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A项，可证明点同时满足即可；对于B项，可利用，且为奇函数，赋值求解即可；对于C项，由函数关于点对称，再结合函数关于对称，即可证明；对于D项，应用，可证明，可得，，， ，依次构成等差数列，进而可判断正误. 【详解】对于A项，设点是图象上任意一点， 则，而， 所以点也是图象上的点， 所以的图象关于直线对称，故A项正确； 对于B项，因为为奇函数， 所以，取，可知，所以； 又因为，所以， 于是，故B项错误； 对于C项，因为为奇函数，所以， 即，令， 则，， 所以， 因为的值域为，所以该结论对任意实数都成立， 即，故C项正确； 对于D项，由以上推理知， 所以， 所以； 又因为，， 所以，，，，，，依次构成等差数列，其首项为，公差为， 所以，故D项正确； 故选：ACD. 【点睛】解题关键点：灵活应用性质“”与“为奇函数”是解题的关键点，在应用性质时，在判断C项正误中灵活使用，； 在应用为奇函数时，我们顺次采用了；两种形式. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知顶点在坐标原点且开口向上的抛物线C过点，则C的准线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线开口向上,可设抛物线标准方程为,且抛物线过点,可以求得.所以准线方程为. 【详解】因为抛物线开口向上，所以设抛物线标准方程为， 又抛物线过点，则， 所以准线方程为. 故答案为：. 13. 某芯片研发部门共有8名核心工程师，其中3人精通算法，另外5人精通硬件架构，现需分为两个小组进行技术攻关，每组4人，每组满足以下要求：①至少有1名算法工程师，②指定一名组长，组长由硬件架构工程师担任．则有________种不同的分组方法（用数字作答）． 【答案】180 【解析】 【分析】先根据条件选择4人组成第一组，确定组长，则第二组人员随之确定，只需确定组长即可. 【详解】先从3个精通算法的工程师中选1人，从5个精通硬件架构的工程师中选3人，再从3个精通硬件架构的工程师中选1人做组长，有种选法， 此时第二组的人员已经确定，由2个精通算法的工程师和2个精通硬件架构的工程师组成，选1个精通硬件架构的工程师做组长，有种选法. 综上，满足条件的分组方法有种. 故答案为：180 14. 已知在四棱锥中，底面，且，动点E在侧面内以点P为圆心，1为半径的圆弧上，动点F在直线上，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先明确动点进行轨迹分析，再利用余弦定理进行距离转化，利用线面角的性质确定 的最小值，最后通过几何关系求出线面角的正弦值，即可得到 的最小值. 【详解】如图，因为四棱锥满足底面， 且，， ， 所以以P为球心1为半径的球与(包括边界)的交线 即为内以P为圆心，1为半径一截圆弧， 因为，所以则当F点固定时， 由余弦定理可知，的距离只取决于越小，距离越小， 过B作面的垂线，垂足为G，易知在中，，， 所以 ， 因为平面， 平面， 则，又易知，，平面， 则平面，又因为平面，则， ， 在中，， 所以 ， 由 得， ， 所以，且由等面积可知在上， 延长交圆弧为，过作的垂线，垂足为，此时为线面角，取到最小值， 所以， 取到最小值. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若的周长为，面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角及正弦的和角公式得，即可求解； （2）利用三角形的面积公式及余弦定理，再结合条件得，即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 又，所以，则，得到， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以，得， 又因为，又，得， 由的周长为， 所以，整理得到， 解得. 16. 如图，在三棱锥中，平面，，平面平面，棱的中点为O． （1）求证：平面； （2）若，到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三棱锥的几何性质，结合已知条件，利用线面垂直定理证明结论； （2）根据三棱锥的几何性质，结合已知条件，建立空间直角坐标系，得出相关点坐标，进而得出相关向量，并求出法向量，最后利用向量夹角的余弦公式计算求解． 【小问1详解】 证明：平面，平面， ， ，， 为中点，， 平面平面平面，平面平面，平面， 平面，， 又平面，平面． 【小问2详解】 作，垂足为D， 平面平面，， 又平面，平面，， ，， ，，， 取中点E，连接为的中位线， ，平面， 以所在直线分别为x轴，y轴、z轴建立下图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为，则 即， 令，得，， ， 设直线与平面所成角为， ， 直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知数列的前n项和为． （1）求数列的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由递推公式可得，进而可得数列的奇数项和偶数项分别为公差为6的等差数列，从而可得数列的通项公式. （2）根据（1）的结论求得 ，再利用放缩法和裂项求和法证明不等式. 【小问1详解】 ，， . 当时，，且，. ，． ，， 所以中奇数项是以为首项，6为公差的等差数列；偶数项是以为首项，6为公差的等差数列. 所以当n为偶数时，， 当n为奇数时，， ． 【小问2详解】 证明：由（1）知是以1为首项，3为公差的等差数列， ，. 当时， 当时，， . . 18. 已知函数． （1）若在处的切线方程为，求的值； （2）当时，，总存在，使得成立，求 的取值范围； （3）当时，有三个不同零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求得，得到，得到方程，求得的值，再将代入切线方程，求得，得出，求得的值； （2）当时，，利用二次函数的性质，求得，求得，得出函数的单调性，求得，得出不等式，即可求解； （3）转化为有三个不相等实根，设，利用导数求得的单调区间和极值，结合与有三个交点，列出不等式，即可求解. 【小问1详解】 由函数，可得， 则，所以， 因为在处的切线方程为， 可得，解得， 将代入切线方程，可得， 即，解得，所以. 【小问2详解】 当时，， 因为函数的图像象开口向上，对称轴为， 所以， 又因为，所以， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因为，可得， 所以，则，解得， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 当时，可得， 因为有三个不同零点，所以有三个不相等实根， 即与的图象有三个交点， 设，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又由，且时，；时，， 因为与的图象有三个交点，所以， 所以实数的取值范围为. 19. 已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长是焦距的2倍，短轴长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若是椭圆上的两个不同的动点，直线的斜率分别为． （i）求坐标原点到直线的距离的取值范围； （ii）设的中点为，点满足，过作轴，过作轴，直线与直线交于点，以为邻边作，求线段长度的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）椭圆长轴是焦距的2倍，短轴长为， 结合椭圆核心关系式得到最终方程， （2）当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，直线与椭圆的方程联立，再根据得到坐标原点O到直线的距离d的取值范围；当直线的斜率存在时，设直线的方程为联立，利用韦达定理，再根据得到d的取值范围， （ii）根据条件由两点的横纵坐标得到，得到，得到点M在以原点为圆心，以为半径的圆上，得到的轨迹，，，，从而得到的坐标，进而得到的长度， 【小问1详解】 椭圆长轴是焦距的2倍，短轴长为， ，又，， 椭圆的标准方程为， 【小问2详解】 （i）当直线的斜率不存在时，设直线的方程为 由得 ，， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 由，得 化简得：，，且 （或）， 由且（或由且）， 得 综上所述，； （ii）由（i）， 点在以原点为圆心，以为半径的圆上 由， ，， 的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级考试 数学试题 2026.01 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. “”的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知实数且，则（ ） A. B. C. D. 4. 终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为（ ） A. B. C D. 5. 已知等比数列满足，且，则（ ） A 24 B. 或24 C. D. 或 6. 已知向量，若与的夹角不超过，则的范围是（ ） A B. C. D. 7. 已知点P是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（ ） A. 4 B. C. D. 8 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列选项正确的是（ ） A. 展开式中的二项式系数最大项为第3项和第4项 B. C. D. 当时，除以8的余数为1 10. 已知函数的最小正周期为，且恒成立，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递减 D. 若，则 11. 已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，则下列选项正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知顶点在坐标原点且开口向上的抛物线C过点，则C的准线方程为________． 13. 某芯片研发部门共有8名核心工程师，其中3人精通算法，另外5人精通硬件架构，现需分为两个小组进行技术攻关，每组4人，每组满足以下要求：①至少有1名算法工程师，②指定一名组长，组长由硬件架构工程师担任．则有________种不同的分组方法（用数字作答）． 14. 已知在四棱锥中，底面，且，动点E在侧面内以点P为圆心，1为半径的圆弧上，动点F在直线上，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若的周长为，面积为，求． 16. 如图，在三棱锥中，平面，，平面平面，棱的中点为O． （1）求证：平面； （2）若，到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知数列的前n项和为． （1）求数列的通项公式； （2）证明：． 18 已知函数． （1）若在处切线方程为，求的值； （2）当时，，总存在，使得成立，求 的取值范围； （3）当时，有三个不同零点，求的取值范围． 19. 已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长是焦距的2倍，短轴长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若是椭圆上的两个不同的动点，直线的斜率分别为． （i）求坐标原点到直线的距离的取值范围； （ii）设的中点为，点满足，过作轴，过作轴，直线与直线交于点，以为邻边作，求线段长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $