专题05线段与角及其计算（6大知识点+12大考点+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材苏科版

专题05线段与角及其计算 （6大知识点+12大考点+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：直线、射线、线段 1.直线、射线、线段的表示方法 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB． ②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）． （2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． 2.直线的基本事实：两点确定一条直线 （1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．  简称：两点确定一条直线． （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了． 知识点2 ：线段的中点及n等分点 1.线段的中点： 如图，点M在线段AB上，AM=BM,点M是线段AB的中点， 应用：因为点M是线段AB的中点，所以AM=BM=AB.AB=2AM=2BM. 2.线段的等分点 如图①所示，B,C是线段AD上的两点，且AB=BC=CD=AD或AD=3AB=3BC=3CD,我们称点B,C是线段AD的三等分点.类似地，还有线段的四等分点，如图②所示，AB=BC=CD=DE=AE 知识点3 ：线段的性质及两点间的距离 1. 线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短. 简单说成：两点之间，线段最短， 2.两点的距离：连接两点间的线段的长度. 注意：线段是一个图形，两点的距离是指线段的长度，是一个数值，而不是线段本身，因此不能说“A,B两点间的距离是线段AB”,而应说“A,B两点间的距离是线段AB的长度”. 知识点4 ：角的概念、度量及表示方法 1.角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． 2.角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． 3.平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． 4.角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″． 5.比较角的大小有两种方法： ①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大． ②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置． 知识点5 ：角的平分线及角的计算 1.角的计算 （1） 角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 2. 角的平分线 （1）角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线 （2）注意：角的平分线是角的内部平分已知角的射线 （3）几何语言 OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=COB=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠COB 知识点6 余角和补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 【考点1】直线、射线、线段 【例1】（25-26七年级上·江苏南通·月考）如图，平面上有四个点A，B，C，D．按下列要求画出图形． (1)连接； (2)画直线交于点M； (3)画射线； (4)此时图中共有几条线段． 【变式训练】 1．（25-26七年级上·河北石家庄·月考）如图，点A，B，C在直线l上．下列说法正确的是（   ） A．点A在线段上 B．射线与射线是同一条射线 C．点C在线段的延长线上 D．图中共6条射线 2．（23-24七年级上·宁夏银川·月考）下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．如图①，点C在线段AB的延长线上 B．如图②，射线BC经过点A C．如图③，直线a和直线b相交于点A D．如图④，射线CD和线段AB没有交点 3．（2025七年级上·重庆·专题练习）读句子画图：如图A、B、C、D在同一平面内 (1)过点A、B画直线，与射线相交于点P (2)连接和相交于点E (3)连接并延长，在延长线上取一点F，使 (4)在所画图中，以点为端点的射线有几条； 【考点2】直线、射线、线段的数量 【例2】（25-26七年级上·河北衡水·期中）若直线上有两个点，则以这两个点为端点可以确定一条线段，解决下列问题： (1)若直线l上有三个点，，，则可以确定______条线段，______条射线； (2)若平面上有四个点，，，，则可以确定______条线段，______条直线； (3)2026年世界杯预选赛中国队所在小组共有六支球队，进行的是双循环赛（即每两支球队之间进行两次比赛），则需要进行多少场比赛？ 【变式训练】 4．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）如图，在一条笔直的公路上有五个车站，依次为，车站要准备车票，一共要准备车票（   ） A．20种 B．10种 C．8种 D．4种 5．（25-26七年级上·重庆·月考）如图，该图形中共有（   ）条不同的射线 A．16 B．14 C．15 D．12 6．（25-26七年级上·江西吉安·月考）位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行 场比赛． 【考点3】直线、线段的基本事实 【例3】（25-26七年级上·河北衡水·期中）2025年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，盛大阅兵仪式在天安门广场举行，受阅部队的口令“向右看齐”应用的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点，有无数条直线 C．点动成线，线动成面 D．两点之间线段最短 【变式训练】 7．（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）下列四种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、弯曲公路改直、拉绳插秧，其中可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是（    ） A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 8．（25-26七年级上·江苏南通·月考）下列各选项中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（   ） A．B．C． D． 9．（25-26七年级上·吉林白城·期末）如图，把一个三角形沿虚线剪去一个角后得到一个四边形，若原三角形的周长为，得到的四边形的周长为，则与的大小关系是，道理是 ． 【考点4】线段的中点 【例4】．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知：如图，，点是线段的中点，点在线段上，且满足． (1)求线段的长； (2)若点为线段上一点，且，求线段的长． 【变式训练】 10．（25-26七年级上·全国·期末）如图，点C是线段上一点，点D是线段的中点，则下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，点C是线段的中点，，点D在线段上，且，则线段的长为(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 12．（2025七年级上·重庆万州·专题练习）如图，A、B、C三点在同一条直线上，点D是线段的中点，点E是线段的中点． (1)如图1，点C在线段上，若，，求线段的长； (2)如图2，点C在线段的延长线上，若，求线段的长． 【考点5】两点间的距离 【例5】（22-23七年级上·全国·期末）线段，P为线段的中点，C在直线上，，Q为的中点，求的长． 【变式训练】 13．（22-23七年级上·河北保定·期末）已知点在直线上，线段，点是的中点，，那么，之间的距离是( ) A． B．或 C． D．或 14．（24-25七年级上·山东青岛·月考）如果A，B，C在同一条直线上，线段，，则A，C两点间的距离是 ． 15．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）已知点是直线上一点，且点是线段的中点．若，，请根据题意画出示意图，并求线段的长度． 【考点6】线段的有关计算 【例6】（25-26七年级上·全国·期末）如图，点C在线段上，点M，N分别是，的中点． (1)若，，求线段的长； (2)若点C为线段上任意一点，满足，其他条件不变，请猜想的长度，并说明理由； (3)若点C在线段的延长线上，且满足，M，N分别为，的中点，请画出图形，猜想的长度，并说明理由． 【变式训练】 16．（25-26七年级上·吉林四平·期末）已知：如图，，点M是线段的中点，点C在线段上，且满足． (1)求线段的长； (2)若点N为线段上一点，且，求线段的长． 17．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）如图，E为线段上靠近点A的三等分点，B，D为线段上的两点，且满足． (1)若，求线段的长； (2)若图中所有线段的长度之和是线段长度的5倍，，求线段的长； (3)若，，动点P从A点、动点Q从B点同时出发，分别以，的速度沿直线向右运动，当时，求动点P运动的时间． 18．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）如图，点为线段上一点，点为线段的中点，且，． (1)求线段的长度． (2)若点在线段上，且点是线段的三等分点，求线段的长度． 【考点7】线段的动点综合问题 【例7】（24-25七年级上·江西九江·月考）如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【变式训练】 19．（25-26七年级上·全国·期末）如图，M是线段上一点，，C，D两点分别从M，B两点同时出发以，的速度沿线段向左运动．（假设C在线段上且不与点A重合，D在线段上且不与点M重合） (1)【知识技能】当点C，D运动了时，这时图中有______条线段； (2)【数学思考】当点C，D运动了时，求的值； (3)【思维延伸】当点C，D运动时，总有，求的长． 20．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 21．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                图1                        图2 (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【考点8】角的概念与表示方法 【例8】（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）如图，下列四种说法：①与是同一个角；②也可用来表示；③图中共有三个角：，，；④与是同一个角．其中正确的是 （填序号）． 【变式训练】 22．（25-26七年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，下列说法中不正确的是（    ） A．与是同一个角 B．也可用来表示 C．图中共有三个角，， D．与是同一个角 23．（25-26七年级上·全国·期末）下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（   ） A．B．C． D． 24．（24-25六年级下·山东东营·期中）如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在内画1条射线，观察发现图中共有3个角：在内画2条射线时，则图中共有6个角：在内画3条射线时，则图中共有10个角：按照此规律，在内画条射线时，图中共有 个角． 【考点9】角的度量与计算 【例9】（2025七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 【变式训练】 25．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）若，，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．以上都不对 26．（25-26七年级上·全国·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D．（精确到分） 27．（25-26七年级上·西藏林芝·期末）计算： (1) (2) 【考点10】角的比较 【例10】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）小正方形网格如图所示，点、、、、均为格点，那么 （填“”、“”或“”）． 【变式训练】 28．（22-23七年级上·广西河池·期末）在内任取一点C，作射线，那么一定有（    ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级上·江西吉安·期末）已知，，，下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 30．（25-26七年级上·全国·期末）为了比较和的大小，小庆用尺规作图如下，由作图痕迹可以判断 （填“>”“<”或“=” 【考点11】余角与补角 【例11】（25-26七年级上·四川自贡·期末）如果一个角的补角比这个角的余角2倍还多10度，这个角是多少度？ 【变式训练】 31．（25-26七年级上·吉林长春·月考）如果一个角的余角是，那么这个角的补角度数是（    ） A． B． C． D． 32．（25-26七年级上·吉林长春·期末）互为补角的两个角的比是，则这两个角中较小角的大小是（   ） A． B． C． D． 33．（25-26七年级上·全国·期末）已知与互余，且的度数比的度数的3倍还多，求的度数． 【考点12】角平分线 【例12】（25-26七年级上·宁夏固原·月考）已知，作射线，使等于是的平分线，那么的度数是 ． 【变式训练】 34．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图是直线上的一点，平分平分，则的度数是（   ） A． B． C． D．随OC位置的变化而变化 35．（25-26七年级上·辽宁抚顺·期末）为内部一条射线，下列条件中不能确定平分的是（   ） A． B． C． D． 36．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，已知，，三点在同一条直线上，过点作射线，且平分，平分，则下列结论正确的有（   ） ①与互补；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【考点13】角平分线的有关计算 【例13】（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）如图，射线在的内部，分别是的平分线． (1)如果，那么是多少度？并说明理由； (2)请写出与的数量关系，并说明理由． 【变式训练】 37．（24-25七年级上·云南红河·期末）如图，为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数； (2)试判断是否平分，并说明理由． 38．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点O为直线上一点，过点O作，在内有一条射线，平分，且． (1)试说明：； (2)在（1）的条件下，过点O在直线的上方有一条射线，若，，求的度数． 39．（25-26七年级上·辽宁抚顺·期末）如图，点是直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【考点14】角的计算综合问题 【例14】（24-25七年级上·广西来宾·期末）综合与实践 如图，为直线上的一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图，将三角板的一边与射线重合，求的度数； (2)如图，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，使得是的平分线，求的度数； (3)如图，将三角板继续绕点逆时针旋转至内部，使得．求的度数． 【变式训练】 40．（24-25七年级上·福建福州·期末）阅读理解：已知一个锐角，从这个角的顶点出发，在角的外部作一条射线，分别与这个角的两边组成两个角，若这两个角互为余角，则称该射线为“外邻余线”，例如，如图，已知，射线在外部，射线分别与的两边所组成的两个角是和，若和互为余角，则称射线是的“外邻余线”． (1)如图，已知是的“外邻余线”．求的度数． (2)如图，已知是的“外邻余线”，是的“外邻余线”，且，试判断是否为的三等分线？并说明理由． (3)如图，已知点在同一条直线上，平分平分和分别是和的“外邻余线”，求的度数（用含的式子表示）． 41．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，，将一直角三角尺的顶点与重合，，平分，三角尺始终在的内部（可以与，重合）． (1)如图1，当在射线上时，_____； (2)如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数； (3)如图3，，将三角尺以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，同时射线从处出发以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当到达处时三角尺和射线都停止旋转．设运动时间为秒，当时，求的值． 42．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）探究学习，寻求真知 (1)特例感知：如图1，已知线段，线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），点和点分别是的中点． ①若，则______； ②当线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出线段的长度？如果变化，请说明理由． (2)知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和，请你猜想和之间有怎样的数量关系，并说明理由． (3)类比探究：如图3，在的内部转动，当时，用含的式子表示和之间的数量关系（直接写出结果）． 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）下列说法中，正确的有（　　）个． ①两直线相交，对顶角相等； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ④如果，那么点M是的中点． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，一只蚂蚁外出觅食，它与食物间有三条路径，从上到下依次记为①，②，③，则蚂蚁选择第②条路径的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．两点之间线段的长度叫做两点间的距离 3．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）图中的角是，若用一个放大5倍的放大镜看这个角，它是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图,、相交于点O，射线平分，下列结论中错误的是（   ） A．与互为补角 B．与互为余角 C．与互为补角 D．与为对顶角 5．（25-26七年级上·河北衡水·期中）已知点，，在同一条直线上，如果，线段，点为线段的中点，则的长为（   ） A．6或15 B．3或15 C．6或 D．3或 6．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）如果和互补，且，那么下列式子中一定表示的余角的有（        ）个 ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图1，线段表示一条拉直铺平的细线（细线无弹性），A、B两点在线段上，且，．现将该细线沿点A折叠，使点B落在处，如图2所示．分别在点B和处，用剪刀沿与细线垂直的方向将细线剪断，把细线分成、、三段，则线段、、的长度之比是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，是我们平常所用的两把三角尺，将绕着点C沿逆时针（箭头方向）旋转一周．在旋转过程中，当是钝角时，旋转角度α的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 9．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）已知，那么的补角的大小为 ． 10．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）已知点C是直线上一点，若，则线段的长为 ． 11．（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）如图，点是直线上一点，，是的平分线，且，则 °． 12．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）已知，自的顶点引射线，若，那么的度数是 ． 13．（24-25七年级上·河北唐山·期末）【新知理解】如图1，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． 【问题解决】如图2，若，点C是线段的巧点，则 ． 14．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；……连续这样操作2025次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ． 三、解答题 15．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知平面内四个点，，，分别表示四个村庄，根据下列要求画图，并回答问题．（不要求写作法，但保留作图痕迹） (1)连接，作直线； (2)作射线，并用无刻度的直尺和圆规在射线上找点，使得（请作出所有符合要求的点）； (3)若要在线段上建一所供电站，向四个村庄供电，且满足到村庄与村庄所用电线最短，则供电站应建在何处，请画出供电站点的位置，并说明这样建的理由是______． 16．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点． (1)求的长度； (2)若点在直线上，且，求线段的长度． 17．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 18．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图，直线与相交于点，，分别是，的平分线． (1)写出的补角； (2)试说明：和互为余角． 19．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长． 20．（23-24七年级上·吉林白城·期末）如图，线段，点是线段上的一个动点，点从点出发，以的速度从点运动到点，再从点运动到点，然后停止．设点运动的时间为． (1)当时，________；当时，________； (2)用含的式子表示整个运动过程中的长度； (3)设是线段的中点，是线段的中点． ①当点从点向点运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由； ②当时，直接写出的值，________． 21．（21-22七年级上·河北廊坊·期末）如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．    (1)若点C，D的速度分别是，． ①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm； ②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________； (2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长 22．（24-25七年级上·广东佛山·月考）如图1，已知，，在内，在内， ，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则 °； (2)从图2中的位置绕点O逆时针旋转（且），求的度数； (3)从图2中的位置绕点O顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 23．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，在一副三角板中，，，． (1)如图，若一副三角板的直角顶点重合． ①当时，求的大小； ②当平分时，判断与的位置关系，并说明理由； ③当所在直线与所在直线互相垂直时，的度数为______． (2)如图，，若三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，若边与三角板的一条直角边平行时，的值为______． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05线段与角及其计算 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：直线、射线、线段 1.直线、射线、线段的表示方法 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB． ②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）． （2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． 2.直线的基本事实：两点确定一条直线 （1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．  简称：两点确定一条直线． （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了． 知识点2 ：线段的中点及n等分点 1.线段的中点： 如图，点M在线段AB上，AM=BM,点M是线段AB的中点， 应用：因为点M是线段AB的中点，所以AM=BM=AB.AB=2AM=2BM. 2.线段的等分点 如图①所示，B,C是线段AD上的两点，且AB=BC=CD=AD或AD=3AB=3BC=3CD,我们称点B,C是线段AD的三等分点.类似地，还有线段的四等分点，如图②所示，AB=BC=CD=DE=AE 知识点3 ：线段的性质及两点间的距离 1. 线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短. 简单说成：两点之间，线段最短， 2.两点的距离：连接两点间的线段的长度. 注意：线段是一个图形，两点的距离是指线段的长度，是一个数值，而不是线段本身，因此不能说“A,B两点间的距离是线段AB”,而应说“A,B两点间的距离是线段AB的长度”. 知识点4 ：角的概念、度量及表示方法 1.角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． 2.角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． 3.平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． 4.角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″． 5.比较角的大小有两种方法： ①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大． ②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置． 知识点5 ：角的平分线及角的计算 1.角的计算 （1） 角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 2. 角的平分线 （1）角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线 （2）注意：角的平分线是角的内部平分已知角的射线 （3）几何语言 OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=COB=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠COB 知识点6 余角和补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 【考点1】直线、射线、线段 【例1】（25-26七年级上·江苏南通·月考）如图，平面上有四个点A，B，C，D．按下列要求画出图形． (1)连接； (2)画直线交于点M； (3)画射线； (4)此时图中共有几条线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)7条 【分析】本题考查了基本的几何作图，包括连线、直线、射线的画法，线段的数量，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据连线的画法作图即可； （2）根据直线的画法作图即可； （3）根据射线的画法作图即可； （4）正确数出图中的线段即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，直线和点M即为所求； （3）解：如图所示，射线即为所求； （4）解：共有7条线段，分别为线段． 【变式训练】 1．（25-26七年级上·河北石家庄·月考）如图，点A，B，C在直线l上．下列说法正确的是（   ） A．点A在线段上 B．射线与射线是同一条射线 C．点C在线段的延长线上 D．图中共6条射线 【答案】D 【分析】本题考查了线段、射线的相关概念，需要根据这些概念对每个选项逐一进行分析判断即可． 【详解】解：A．点A在线段外，故A错误； B．射线与射线的端点不同，方向不同，不是同一条射线，故B错误； C．点C在线段的延长线上，故C错误； D．从点A、点B、点C出发，各自有两条不同方向的射线，共有（条），故D正确， 故选：D． 2．（23-24七年级上·宁夏银川·月考）下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．如图①，点C在线段AB的延长线上 B．如图②，射线BC经过点A C．如图③，直线a和直线b相交于点A D．如图④，射线CD和线段AB没有交点 【答案】C 【分析】本题需要根据直线、射线、线段的位置关系，逐一分析每个选项中几何图形与语言描述是否相符． 【详解】选项A：图①中，点C在线段的延长线上，而非线段的延长线上，该选项错误； 选项B：图②中，射线的延伸方向不经过点A，该选项错误； 选项C：图③中，直线a和直线b相交于点A，该选项正确； 选项D：图④中，射线延伸后会与线段有交点，该选项错误． 故选： C． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段的位置关系，掌握直线、射线、线段的延伸性以及它们之间的位置关系判断方法是解题的关键． 3．（2025七年级上·重庆·专题练习）读句子画图：如图A、B、C、D在同一平面内 (1)过点A、B画直线，与射线相交于点P (2)连接和相交于点E (3)连接并延长，在延长线上取一点F，使 (4)在所画图中，以点为端点的射线有几条； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)2 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是熟练掌握直线，射线，线段的定义． （1）根据直线、射线的定义画出图形即可； （2）根据线段的定义画出图形即可； （3）根据题意画出图形即可； （4）根据射线的定义可直接求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：如图，点即为所求， （3）解：如下图即为所求， （4）解：在所画图中，以点为端点的射线有，共2条． 【考点2】直线、射线、线段的数量 【例2】（25-26七年级上·河北衡水·期中）若直线上有两个点，则以这两个点为端点可以确定一条线段，解决下列问题： (1)若直线l上有三个点，，，则可以确定______条线段，______条射线； (2)若平面上有四个点，，，，则可以确定______条线段，______条直线； (3)2026年世界杯预选赛中国队所在小组共有六支球队，进行的是双循环赛（即每两支球队之间进行两次比赛），则需要进行多少场比赛？ 【答案】(1)3，6 (2)6，1或4或6 (3)30场 【分析】本题考查了线段、射线、直线的定义，有理数乘法的应用，解题的关键是正确理解线段、射线、直线的定义的区别． （1）根据线段和射线的定义即可求解； （2）根据线段的定义即可求解条数，然后数直线需要分类讨论，画图求解即可； （3）根据共有6支队伍，则每个队伍需要比赛5场，即可求解总场数． 【详解】（1）解：直线l上有三个点，，，则可以确定线段，共3条； 分别以为端点，左右两边各1条，共条； 故答案为：3，6 （2）解：平面上有四个点，，，，则可以确定线段，共6条； 当四个点，，，共线时，如图： 则只有1条直线； 当有3个点共线时，如图： 有条直线； 当有2个点共线时，如图： 有条直线， ∴可以确定直线条数为1或4或6， 故答案为：6，1或4或6； （3）解：由题意得，（场） 答：需要进行30场比赛． 【变式训练】 4．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）如图，在一条笔直的公路上有五个车站，依次为，车站要准备车票，一共要准备车票（   ） A．20种 B．10种 C．8种 D．4种 【答案】A 【分析】本题考查了线段数量的计算，理解图示，掌握线段数量计算与实际问题的运用是解题的关键．根据题意，分别从端点开始找出线段即可求解． 【详解】解：以点开始，有4段，即， 以点开始，有3段，即， 以点开始，有2段，即， 以点开始，有1段，即， 同理，反向如此， ∴共有， ∴车站一共要准备车票20种． 故选：A． 5．（25-26七年级上·重庆·月考）如图，该图形中共有（   ）条不同的射线 A．16 B．14 C．15 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了射线：直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，熟练掌握射线的定义是解题关键．根据射线的定义解答即可得． 【详解】解：以点为端点的射线有5条， 以点为端点的射线有4条， 以点为端点的射线有4条， 以点为端点的射线有3条， 所以该图形中不同的射线共有（条）， 故选：A． 6．（25-26七年级上·江西吉安·月考）位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行 场比赛． 【答案】 【分析】本题考查了数线段规律及其应用，每位同学都要与其他位同学比赛，但每场比赛被重复计算一次，所以总场次为，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：每位同学都要与其他位同学比赛，但每场比赛被重复计算一次， 所以总场次为：， 故答案为：． 【考点3】直线、线段的基本事实 【例3】（25-26七年级上·河北衡水·期中）2025年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，盛大阅兵仪式在天安门广场举行，受阅部队的口令“向右看齐”应用的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点，有无数条直线 C．点动成线，线动成面 D．两点之间线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了两点确定一条直线． “向右看齐”口令要求士兵调整方向，使队伍形成一条直线，这直接应用了“两点确定一条直线”的几何性质． 【详解】解：在队列中，士兵以相邻士兵为参考点调整位置，使所有士兵的视线或身体对齐形成一条直线； ∴这基于“两点确定一条直线”的原理，即通过两个点可唯一确定一条直线，其他点均落在此直线上． 故选：A． 【变式训练】 7．（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）下列四种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、弯曲公路改直、拉绳插秧，其中可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是（    ） A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 【答案】C 【分析】本题考查两点之间线段最短；逐项判断各现象是否基于该事实． 【详解】解： A、木匠弹墨线基于“两点确定一条直线”，不符合题意； B、打靶瞄准基于“两点确定一条直线”，不符合题意； C、弯曲公路改直是为了缩短距离，基于“两点之间线段最短”，符合题意， D、拉绳插秧基于“两点确定一条直线”，不符合题意； 故选：C． 8．（25-26七年级上·江苏南通·月考）下列各选项中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的性质，两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 根据两点之间，线段最短逐一判断即可． 【详解】 解：A．反映的是“垂线段最短”； B．反映的是“两点确定一条直线”； C．反映的是“两点之间，线段最短”； D．反映的是“两点确定一条直线”； 故选：C． 9．（25-26七年级上·吉林白城·期末）如图，把一个三角形沿虚线剪去一个角后得到一个四边形，若原三角形的周长为，得到的四边形的周长为，则与的大小关系是，道理是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】由两点之间线段最短即可得到答案． 本题考查了线段的性质．掌握两点之间线段最短是解题的关键． 【详解】解：三角形的周长比四边形的周长长，的原因是：两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 【考点4】线段的中点 【例4】．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知：如图，，点是线段的中点，点在线段上，且满足． (1)求线段的长； (2)若点为线段上一点，且，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了线段的和差，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据线段中点的定义求出，进而根据比即可求解； （2）分点在点左侧和右侧两种情况，根据线段的和差关系解答即可求解． 【详解】（1）解：，点是线段的中点， ， ， ； （2）解：当点在点左侧时，如图， ，， ； 当点在点右侧时，如图， ，， ； 综上，线段的长为或． 【变式训练】 10．（25-26七年级上·全国·期末）如图，点C是线段上一点，点D是线段的中点，则下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义， 根据线段的和差可说明A，B，再根据中点的定义解答D，进而说明C即可． 【详解】解：根据题意可知． 因为点D是的中点， 所以． 因为点C是上一点， 所以，， 所以A，B，D成立，C不成立． 故选：C． 11．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，点C是线段的中点，，点D在线段上，且，则线段的长为(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的性质及线段的和差计算，解题的关键是利用中点性质得到线段长度，再通过和差求目标线段． 由中点得，再用计算长度． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴ 又∵， ∴． 故选：C． 12．（2025七年级上·重庆万州·专题练习）如图，A、B、C三点在同一条直线上，点D是线段的中点，点E是线段的中点． (1)如图1，点C在线段上，若，，求线段的长； (2)如图2，点C在线段的延长线上，若，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的性质． （1）根据线段中点的定义可得和的长度，再根据线段的和差可得； （2）根据题意，，即可求出． 【详解】（1）解：是线段的中点，是线段的中点， ，， ； （2）解：是线段的中点，是线段的中点， ，， ， ． 【考点5】两点间的距离 【例5】（22-23七年级上·全国·期末）线段，P为线段的中点，C在直线上，，Q为的中点，求的长． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段中点的性质，线段的和差，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 根据中点的性质求出相关线段的长度，再利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：①如图所示， ∵线段，P为线段的中点, ∴， ∵，Q为的中点， ∴， ∴； ②如图所示， ∵线段，P为线段的中点, ∴， ∵，Q为的中点， ∴， ∴； ∴的长为2或4． 【变式训练】 13．（22-23七年级上·河北保定·期末）已知点在直线上，线段，点是的中点，，那么，之间的距离是( ) A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】此题考查的知识点是两点间的距离，在画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想． 首先考虑到、、三点之间的位置关系：①当点在线段上；②点在的延长线上；再根据正确画出的图形解题即可得解． 【详解】当点在线段上， ，， ， 是的中点， ， 点在的延长线上， ，， ， 是的中点， ， 的值为或． 故选． 14．（24-25七年级上·山东青岛·月考）如果A，B，C在同一条直线上，线段，，则A，C两点间的距离是 ． 【答案】4或8 【分析】本题考查两点间的距离，本题需要分析两种情况，当点在点的右侧时，当点在点的左侧时，分别求解即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当点在点的右侧时， ， ∵线段，， ∴， 当点在点的左侧时， ， ∵线段，， ∴， 综上所述，A，C两点间的距离是或， 故答案为：4或8． 15．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）已知点是直线上一点，且点是线段的中点．若，，请根据题意画出示意图，并求线段的长度． 【答案】图见解析，或 【分析】本题考查的知识点是两点间的距离、线段中点的有关计算、线段的和与差，解题关键是理解线段的和差关系． 分两种情况解答：点在中间；点在延长线上，画出图形后根据线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：第一种情况：如图所示，点在中间，        图，， ， 是线段的中点， ， ； 第二种情况：如图所示，点在延长线上，      图，， ， 是线段的中点， ， ． 综上，线段的长度为或． 【考点6】线段的有关计算 【例6】（25-26七年级上·全国·期末）如图，点C在线段上，点M，N分别是，的中点． (1)若，，求线段的长； (2)若点C为线段上任意一点，满足，其他条件不变，请猜想的长度，并说明理由； (3)若点C在线段的延长线上，且满足，M，N分别为，的中点，请画出图形，猜想的长度，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)画图见解析，，理由见解析 【分析】本题考查了线段中点的相关计算，线段中点的定义，熟练掌握线段中点的相关计算是关键． （1）根据线段中点的定义，得到，，，即得答案； （2）根据线段中点的定义，得到，，再将两式相加即可； （3）根据线段中点的定义，得到，，再将两式相减即可． 【详解】（1）解：点M是的中点，， ， 同理可得，， ； （2）解：点M，N分别是，的中点， ，， ， ， ； （3）解：如图所示， 猜想．理由如下： 点M，N分别是，的中点， ，， ， ， ． 【变式训练】 16．（25-26七年级上·吉林四平·期末）已知：如图，，点M是线段的中点，点C在线段上，且满足． (1)求线段的长； (2)若点N为线段上一点，且，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段的和差问题，线段的中点性质，掌握线段的和差运算是解题关键． （1）先利用点M是线段的中点，求出线段的长，再通过比例关系求出即可； （2）先通过和差运算求出线段的长，再通过求和运算求出即可． 【详解】（1）解：∵点M是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 17．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）如图，E为线段上靠近点A的三等分点，B，D为线段上的两点，且满足． (1)若，求线段的长； (2)若图中所有线段的长度之和是线段长度的5倍，，求线段的长； (3)若，，动点P从A点、动点Q从B点同时出发，分别以，的速度沿直线向右运动，当时，求动点P运动的时间． 【答案】(1) (2) (3)存在，动点P运动的时间为或 【分析】本题考查了一元一次方程的几何问题，线段的和差倍分，利用一元一次方程的方法求解是解题的关键． （1）根据三等分点的定义求出的长度，然后根据线段的和差关系求解即可； （2）先求出所有线段的和为，结合已知可得出，设，则，，根据三等分点的定义求出，则可得方程，解方程即可求解； （3）分三种情况：①在左边时，；②在右边，在左边时，；③在右边时且在右边时，，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵E为线段上靠近点A的三等分点，， ∴， ∴， （2）解：∵以A为端点的线段有，，，；以E为端点的线段有，，；以B为端点的线段有，，以D为端点的线段有， ∴所有线段的和为 ， ， ∵所有线段的长度之和是线段长度的5倍， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， 又， ∴， ∵E为线段上靠近点A的三等分点， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵，，E为线段上靠近点A的三等分点， ∴，， ∴，， ①在左边时，， ，， ∴， 解得； ②在右边，在左边时，， ，， ∴， 解得（舍去）； ③在右边时且在右边时，， ，， ∴， 解得， 综上，存在某个时刻使得成立，此时动点P运动的时间为或． 18．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）如图，点为线段上一点，点为线段的中点，且，． (1)求线段的长度． (2)若点在线段上，且点是线段的三等分点，求线段的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查线段的和差，中点的定义，三等分点的定义， （1）根据，即可求解； （2）先求出的长，再根据三等分点的定义可求解； 根据题意得出各线段之间的和、差及倍数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴线段的长度为； （2）当时，则， ∵， ∴，， ∵， ∴； 当时，则， ∵， ∴，， ∵， ∴； ∴线段的长度为或． 【考点7】线段的动点综合问题 【例7】（24-25七年级上·江西九江·月考）如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】本题主经考查了动点产生的线段的计算．熟练掌握线段中点定义，线段的和差倍分关系，是解题的关键． （1）根据中点，得，，根据，得； （2）①存在，当P、Q相遇时，，得，解得；当P、Q相遇后，，得，解得；②根据中点，得，得，根据，即得． 【详解】（1）解：∵是线段的中点，．∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵点在线段上且， ∴；    （2）解：①存在， 当P、Q相遇时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当P、Q相遇后， ∵， ∴， 解得； 故或；       ②，理由： ∵分别是线段和的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    【变式训练】 19．（25-26七年级上·全国·期末）如图，M是线段上一点，，C，D两点分别从M，B两点同时出发以，的速度沿线段向左运动．（假设C在线段上且不与点A重合，D在线段上且不与点M重合） (1)【知识技能】当点C，D运动了时，这时图中有______条线段； (2)【数学思考】当点C，D运动了时，求的值； (3)【思维延伸】当点C，D运动时，总有，求的长． 【答案】(1)10； (2)； (3)． 【分析】本题考查线段的和与差，以及动点问题， （1）确定运动1秒后点C、D的位置，以A、C、M、D、B为端点，依次找出所有线段，统计线段数量即可． （2）根据题意算出，，再由，即可解题． （3）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． 【详解】（1）运动时，点C从M向左移动，点D从B向左移动． 此时图中的线段有：、、、、、、、、、，共10条． 故答案为：10； （2）解：当点C、D运动了时，，， ， ． （3）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ； ∵， 20．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了线段上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据题意得出，，推得，根据，，即可求出的长，即可求解； （2）由（1）可得，根据，，求出，，即可得出点为的中点； （3）由（1）可得，即，根据题意可得，推得，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设且运动时间为， ∴，， 故， 即， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则． 故答案为：． （2）解：由（1）可得， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则， 即， 故点为的中点． （3）解：由（1）可得， 即， 若点，运动到任一时刻，总有， 即， 整理得， ∴， 故的长为． 21．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                图1                        图2 (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【分析】本题考查线段的和与差，以及动点问题， （1）根据题意算出，，再由，即可解题． （2）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）根据N是直线上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段上时和当点N在线段的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ； （3）解：当点N在线段上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ， 又， ，即．综上所述的值为或． 【考点8】角的概念与表示方法 【例8】（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）如图，下列四种说法：①与是同一个角；②也可用来表示；③图中共有三个角：，，；④与是同一个角．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了角的概念，准确计算是解题的关键． 直接利用角的概念以及角的表示方法，进而分别分析得出即可． 【详解】解：由图可得，与是同一个角；图中共有三个角：，，；与是同一个角；不可用来表示， ∴①③④正确， 故答案为：①③④． 【变式训练】 22．（25-26七年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，下列说法中不正确的是（    ） A．与是同一个角 B．也可用来表示 C．图中共有三个角，， D．与是同一个角 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的概念，准确计算是解题的关键．直接利用角的概念以及角的表示方法，进而分别分析得出即可； 【详解】解：A、 与是同一个角，故该选项正确，不符合题意； B、 不可用来表示，故该选项不正确，符合题意； C、 图中共有三个角，，，故该选项正确，不符合题意；     D、 与是同一个角，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 23．（25-26七年级上·全国·期末）下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的表示方法，熟练掌握“当以某点为顶点的角只有一个时，可用该顶点字母表示这个角”是解题的关键．判断每个选项中以为顶点的角的个数，若只有一个角，则可用表示，同时结合、是否表示同一个角． 【详解】解：选项，以为顶点的角只有一个，且、、都表示这个角，故项正确； 选项，∵以为顶点的角不止一个， ∴不能用表示该角，故项错误； 选项，∵以为顶点的角有多个， ∴不能用表示该角，故项错误； 选项， ∵以为顶点的角有多个， ∴不能用表示该角，故项错误； 故选：A． 24．（24-25六年级下·山东东营·期中）如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在内画1条射线，观察发现图中共有3个角：在内画2条射线时，则图中共有6个角：在内画3条射线时，则图中共有10个角：按照此规律，在内画条射线时，图中共有 个角． 【答案】 【分析】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律． 根据图形数出即可得出前三个的答案，根据结果得出规律． 【详解】解：在内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 画条射线，图中共有个角， 故答案为：． 【考点9】角的度量与计算 【例9】（2025七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的计算，解题的关键是牢记角的化简，注意角的书写形式，根据，求解即可． （1）将度、分、秒分别计算再相加即可； （2）按照分不足则取化为再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】 25．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）若，，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了角度制，角的大小比较，将的单位统一为度分形式，再进行比较大小，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∵，且， ∴， 故选：B． 26．（25-26七年级上·全国·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D．（精确到分） 【答案】D 【分析】本题考查角度运算，涉及度与分的加减乘除，需注意进位和借位规则（），以及除法中的精确计算． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、（精确到分），故此选项正确，符合题意． 故选：D． 27．（25-26七年级上·西藏林芝·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了度分秒的混合运算； （1）将原算式化为，按度分秒的减法进行运算，即可求解； （2）将度和分分别乘以，再按进行化简，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【考点10】角的比较 【例10】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）小正方形网格如图所示，点、、、、均为格点，那么 （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的大小比较，取点E，连接，由网格可知，根据可得． 【详解】解：如图，取点E，连接， 由网格可知， ， ， 故答案为：． 【变式训练】 28．（22-23七年级上·广西河池·期末）在内任取一点C，作射线，那么一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比较角的大小，角的和差，根据射线在的内部，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵射线在的内部， ∴， ∴， 的大小关系跟的位置有关，可能大于、小于或等于； 故选A． 29．（24-25七年级上·江西吉安·期末）已知，，，下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角的大小的比较，掌握角的度，分，秒之间的转化是解题的关键． 将转化为，即可得出答案． 【详解】解：由， 又因为， 所以． 故选：A． 30．（25-26七年级上·全国·期末）为了比较和的大小，小庆用尺规作图如下，由作图痕迹可以判断 （填“>”“<”或“=” 【答案】< 【分析】本题利用尺规作图的痕迹来比较两个角的大小，解题的关键在于理解尺规作图中角的复制原理以及角的大小比较方法，先根据尺规作图的痕迹，得出，再观察图②的一边和有公共边，并且的另一边落在的内部，根据角的大小比较的原理，可得出，最后通过等量代换可得到． 【详解】解：由作图痕迹可知，， ∵的一边落在的内部， ∴， ∴， 故答案为：<． 【考点11】余角与补角 【例11】（25-26七年级上·四川自贡·期末）如果一个角的补角比这个角的余角2倍还多10度，这个角是多少度？ 【答案】这个角是． 【分析】本题考查了补角、余角，一元一次方程的应用，解题的关键在于熟练掌握补角与余角．设这个角的角度为度，依题意得方程并解方程解决． 【详解】解：设这个角的角度为度，依题意得， ， 解得：， 答：这个角是． 【变式训练】 31．（25-26七年级上·吉林长春·月考）如果一个角的余角是，那么这个角的补角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角，根据余角定义求出这个角的度数，再根据补角定义求出补角． 【详解】解：∵一个角的余角是， ∴这个角的度数是， ∴这个角的补角度数是． 故选：C． 32．（25-26七年级上·吉林长春·期末）互为补角的两个角的比是，则这两个角中较小角的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了补角的定义，根据比例设出这两个角可以使求解更加简便．补角之和为，根据比例设角为和，求解，再求较小角． 【详解】解：∵两角互为补角， ∴两角之和为， ∵两角之比为，设两角分别为和， ∴， 即， ∴， ∴ 较小角为． 故选：C． 33．（25-26七年级上·全国·期末）已知与互余，且的度数比的度数的3倍还多，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，余角的定义，根据题意列出方程是解题的关键． 设的度数为，则的度数为，根据余角的定义可得，解方程即可解答． 【详解】解：设的度数为，则的度数为， 根据题意得， 解得， 故的度数为． 【考点12】角平分线 【例12】（25-26七年级上·宁夏固原·月考）已知，作射线，使等于是的平分线，那么的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查角平分线，角的运算 ；由于射线的位置不确定，需分两种情况讨论：当在内部时和当在外部时，分别计算的度数，再根据角平分线定义求出结果即可． 【详解】解：分为两种情况： ①当在内部时， ， ∵是的平分线， ∴． ②当在外部时， ， ∵是的平分线， ∴ 故答案为：或． 【变式训练】 34．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图是直线上的一点，平分平分，则的度数是（   ） A． B． C． D．随OC位置的变化而变化 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义．根据角平分线的定义得到，，根据计算即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴． 故选：C． 35．（25-26七年级上·辽宁抚顺·期末）为内部一条射线，下列条件中不能确定平分的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线，角平分线的定义是射线将角分成两个相等的角，即. 选项C仅表示部分角之和等于整个角，但不保证两角相等，因此不能确定平分． 【详解】解：A．，能确定平分，不合题意； B．由可得，能确定平分，不合题意； C．由，不能得出，不能确定平分，符合题意； D．由可得，能确定平分，不合题意； 故选：C． 36．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，已知，，三点在同一条直线上，过点作射线，且平分，平分，则下列结论正确的有（   ） ①与互补；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，角与角的和与差，补角的定义，根据题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键． 根据角平分线的定义和平角的定义得出，， ，，然后逐个进行判断即可得解． 【详解】解：，，三点在同一条直线上，过点作射线，且平分，平分， ，即， ，， ，即①正确， ，即②正确， ，故③错误， ，即④正确， 正确的有3个， 故选：． 【考点13】角平分线的有关计算 【例13】（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）如图，射线在的内部，分别是的平分线． (1)如果，那么是多少度？并说明理由； (2)请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义和角度的和差倍分计算，根据图形得出角之间的关系是解题的关键． （1）根据角平分线的定义求得及的度数，再由角之间的和差关系计算即可； （2）根据角平分线的定义表示出及，再由角之间的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，分别是，的平分线，且，， ∴，， ∴， （2）解：，理由如下： ∵射线在的内部，，分别是，的平分线， ∴， ∴． 【变式训练】 37．（24-25七年级上·云南红河·期末）如图，为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数； (2)试判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【分析】本题主要考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义以及邻补角的定义是解题的关键． （1）根据，首先利用角平分线的定义求得，即可求出； （2）根据平角和余角的性质可得，从而求解． 【详解】（1）解：，平分， ， ． （2）解：平分． 理由如下： ，， ． 又， ，即平分． 38．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点O为直线上一点，过点O作，在内有一条射线，平分，且． (1)试说明：； (2)在（1）的条件下，过点O在直线的上方有一条射线，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的性质，余角性质等，解题的关键是掌握角的和差及角平分线的性质． （1）根据余角性质得出，再根据角平分线的性质即可得出结论； （2）根据角的和差及倍数关系求出相关角的度数即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴，， ∴，， ∵射线在直线的上方， ∴， ∴． 39．（25-26七年级上·辽宁抚顺·期末）如图，点是直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平面几何中角度的计算与角平分线的应用，解决本题的关键在于利用邻补角、余角关系及角平分线性质求解未知角． （1）结合平角定义和角度的和差求解即可； （2）先根据角平分线求解的度数，利用“互余”条件即可求解． 【详解】（1）解：∵点是直线上一点，且，， ∴ 又∵， ∴； （2）解：∵平分，， ∴ ∵与互余， ∴． 【考点14】角的计算综合问题 【例14】（24-25七年级上·广西来宾·期末）综合与实践 如图，为直线上的一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图，将三角板的一边与射线重合，求的度数； (2)如图，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，使得是的平分线，求的度数； (3)如图，将三角板继续绕点逆时针旋转至内部，使得．求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，互为余角和补角的概念，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）依题意得，，再根据可得出答案； （2）依题意得，，根据角平分线的定义得，再根据可得出答案； （3）设，则，根据，且和互补，得，再根据得，由此解出，进而可得的度数． 【详解】（1）解：依题意得：，， 和互余， ； （2）解：依题意得：，， 是的平分线， ， ； （3）解：设， ， ， ，且和互补， ， 又，， ， 解得：， ． 【变式训练】 40．（24-25七年级上·福建福州·期末）阅读理解：已知一个锐角，从这个角的顶点出发，在角的外部作一条射线，分别与这个角的两边组成两个角，若这两个角互为余角，则称该射线为“外邻余线”，例如，如图，已知，射线在外部，射线分别与的两边所组成的两个角是和，若和互为余角，则称射线是的“外邻余线”． (1)如图，已知是的“外邻余线”．求的度数． (2)如图，已知是的“外邻余线”，是的“外邻余线”，且，试判断是否为的三等分线？并说明理由． (3)如图，已知点在同一条直线上，平分平分和分别是和的“外邻余线”，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)或 (2)是三等分线，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了余角的定义及性质，角平分线的定义，角的三等分线，掌握余角的定义和性质是解题的关键． ()根据“外邻余线”的定义得，考虑到的不同位置分两种情况讨论即可求解； ()根据“外邻余线”及余角性质得，进而可得，得到 ，即可求解； ()由平角定义得，进而由角平分线的定义得，，再根据“外邻余线”的定义得，即得，即可求解； 【详解】（1）解：∵是的“外邻余线”， ∴， 情况在远离的一侧 此时． 设，则， ∴，得， ∴． 情况在远离的一侧 此时． 设，则， ∴，解得， 综上的度数为或． （2）解：是三等分线，理由如下： ∵是的“外邻余线”， 即与互余， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵是的“外邻余线”， 即与互余， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴是的三等分线； （3）解：∵点在同一条直线上，， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的“外邻余线”，是的“外邻余线”， ∴， ∴． 即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 41．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，，将一直角三角尺的顶点与重合，，平分，三角尺始终在的内部（可以与，重合）． (1)如图1，当在射线上时，_____； (2)如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数； (3)如图3，，将三角尺以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，同时射线从处出发以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当到达处时三角尺和射线都停止旋转．设运动时间为秒，当时，求的值． 【答案】(1)45 (2) (3)的值为或 【分析】本题主要考查了利用一元一次方程解决动角问题以及角平分线的定义和角的计算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． (1)根据角平分线的定义可知，再根据角的和差求解即可； (2) ，则，再由角平分线的定义求出，进而再表示出和，建立方程求解即可； (3)根据点N的运动轨迹求出t的范围，再结合在左侧和右侧讨论，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：平分，， ， ， ， 故答案为：45； （2）解：设，则， 平分， ， ， 平分， ， ， ， 解得， 即； （3）解：由题意得，先到达，， ， 出发前，， ， 秒后，， ， 当与重合时， 秒， ①当时，， ， ， 解得； ②当时，， ， ， 解得； 综上所述， 的值为或． 42．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）探究学习，寻求真知 (1)特例感知：如图1，已知线段，线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），点和点分别是的中点． ①若，则______； ②当线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出线段的长度？如果变化，请说明理由． (2)知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和，请你猜想和之间有怎样的数量关系，并说明理由． (3)类比探究：如图3，在的内部转动，当时，用含的式子表示和之间的数量关系（直接写出结果）． 【答案】(1)①21；②线段的长度不会发生变化，长度为19 (2) (3) 【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． （1）①根据题意可得，再由线段中点的定义，可得，即可求解；②根据题意可得，再由线段中点的定义，可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，再由，即可求解； （3）根据，可得， 从而得到，再由，即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵点和点分别是的中点， ∴， ∴； 故答案为：21 ②∵， ∴， ∵点和点分别是的中点， ∴， ∴， ∴线段的长度不会发生变化，长度为19； （2）解：∵射线和射线分别平分和， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）下列说法中，正确的有（　　）个． ①两直线相交，对顶角相等； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ④如果，那么点M是的中点． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查对顶角性质、平行公理、垂线段最短性质和中点定义，根据以上知识点逐项判断正误即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①两直线相交，对顶角相等，原说法正确； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，原说法正确； ④当点在线段上时，才表示M是的中点，否则不一定，故原说法错误； 综上所述，正确的有2个， 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，一只蚂蚁外出觅食，它与食物间有三条路径，从上到下依次记为①，②，③，则蚂蚁选择第②条路径的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．两点之间线段的长度叫做两点间的距离 【答案】B 【分析】本题考查了线段的性质，熟记两点之间，线段最短是解题的关键． 根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：蚂蚁选择第②条路径的理由是“两点之间线段最短”． 故选：B 3．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）图中的角是，若用一个放大5倍的放大镜看这个角，它是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查角的含义，角的度数的大小，只与两边张开的大小有关，所以用一个放大5倍的放大镜看一个的角，仍然是，放大镜放大的只是两边的长短． 【详解】解：用一个放大5倍的放大镜看一个的角，那么看到的仍然是的角， 故选：A． 4．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图,、相交于点O，射线平分，下列结论中错误的是（   ） A．与互为补角 B．与互为余角 C．与互为补角 D．与为对顶角 【答案】D 【分析】本题考查了补角、余角的定义，对顶角的性质，以及角平分线和垂直的性质，解题的关键是结合图形在钝角内部）利用相关定义和性质逐一分析各选项． ​根据邻补角定义判断与的关系；结合和平分，推导与的和是否为；依据补角定义和图形中角的位置关系分析与相关角的补角关系；根据对顶角定义判断的对顶角． 【详解】解：∵、相交于点O平分，且在钝角内部，​ ∴． A、∵与组成平角，即， ∴与互为补角，此选项不符合题意； B、∵， ∴，即互为余角，此选项不符合题意； C、∵， ∴，互为补角，此选项不符合题意； D、∵的对顶角是，而非， ∴此选项符合题意． 故选：D． 5．（25-26七年级上·河北衡水·期中）已知点，，在同一条直线上，如果，线段，点为线段的中点，则的长为（   ） A．6或15 B．3或15 C．6或 D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了线段的中点的有关运算． 点A、B、C在同一直线上，但位置关系不确定，需分两种情况讨论：当B在线段上时；当A在线段上时，根据线段中点的性质求解即可． 【详解】解：∵，D为中点， ∴． 情况1：当B在线段AC上时， ； 情况2：当A在线段上时， ； 综上，的长为3或15． 故选：B． 6．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）如果和互补，且，那么下列式子中一定表示的余角的有（        ）个 ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了补角和余角的定义．根据互补角定义，，余角定义为．逐一验证每个式子是否等于． 【详解】解：和互补， ， 的余角为． ①，直接是余角，正确． ②，是余角，正确． ③，不一定等于，错误． ④，是余角，正确． ∴正确的有3个． 故选：C． 7．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图1，线段表示一条拉直铺平的细线（细线无弹性），A、B两点在线段上，且，．现将该细线沿点A折叠，使点B落在处，如图2所示．分别在点B和处，用剪刀沿与细线垂直的方向将细线剪断，把细线分成、、三段，则线段、、的长度之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和与差，根据比例关系合理设出细线的长度是解题的关键． 根据，，，的比例关系，设线段为，求出对应的线段长度即可解得． 【详解】解：设，则，，，， ∴， 由折叠的性质得，， ∴，， ∴． 故选：D． 8．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，是我们平常所用的两把三角尺，将绕着点C沿逆时针（箭头方向）旋转一周．在旋转过程中，当是钝角时，旋转角度α的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查三角尺，图形的旋转，大于90度小于180度的角是钝角，分，，三种情况，分别判断即可． 【详解】解：由题意知，旋转前，，，， 当时，，是钝角； 当时，，是锐角； 当时，，是钝角； 故当是钝角时，旋转角度α的取值范围是或， 故选D． 二、填空题 9．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）已知，那么的补角的大小为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个角的补角的度数，度数之和为180度的两个角互补，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的补角的大小为， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）已知点C是直线上一点，若，则线段的长为 ． 【答案】3或9 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，先求出线段的长，再分两种情况：点C在线段上和点C在的延长线上，根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当点C在线段上时，则， 当点C在的延长线上时，则， 综上所述，线段的长为3或9， 故答案为：3或9． 11．（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）如图，点是直线上一点，，是的平分线，且，则 °． 【答案】 【分析】本题考查余角，补角，角平分线的定义，解一元一次方程，解题的关键是灵活运用余角，补角，角平分线的定义，根据，设，则，求得，利用列方程，即可求解． 【详解】解：∵， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴． 12．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）已知，自的顶点引射线，若，那么的度数是 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了角的计算，分两种情况求解是解答本题的关键．分为两种情况：①在的内部时，②在的外部时，求出的度数，即可求解． 【详解】解：如图，当在内部时， ，， ， ； 如图，当在外部时， ，， ， ； 或， 故答案为：或． 13．（24-25七年级上·河北唐山·期末）【新知理解】如图1，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． 【问题解决】如图2，若，点C是线段的巧点，则 ． 【答案】或或12 【分析】本题考查新定义与线段的计算，熟练运用分类讨论思想是解题关键． 根据题干的新定义，共可分为，，，四种可能，逐一计算即可． 【详解】解：当时，此时点C是线段的中点， ∴， 同理，当时，点C也是线段的中点，即， 当时， ∵， ∴， 解得，， 当时， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：6或9或12． 14．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；……连续这样操作2025次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上两点的距离与规律探索，理解题意，运用线段中点的定义来逐步探寻规律是解题关键． 根据线段中点的定义，尝试计算几组线段的长，归纳总结出规律后，计算出答案． 【详解】解：∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴， 同理，， ， 归纳得，， ∴， 设， 两边同乘以得，， 将得，，即． 故答案为：． 三、解答题 15．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知平面内四个点，，，分别表示四个村庄，根据下列要求画图，并回答问题．（不要求写作法，但保留作图痕迹） (1)连接，作直线； (2)作射线，并用无刻度的直尺和圆规在射线上找点，使得（请作出所有符合要求的点）； (3)若要在线段上建一所供电站，向四个村庄供电，且满足到村庄与村庄所用电线最短，则供电站应建在何处，请画出供电站点的位置，并说明这样建的理由是______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析；两点之间，线段最短 【分析】本题考查画直线，射线和线段，尺规作图—作线段，线段的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据线段和直线的定义，画图即可； （2）根据射线的定义，画出射线，以为圆心，的长为半径画弧，找到点即可； （3）根据两点之间线段最短，连接，与的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，线段，直线即为所求； （2）如图，射线即为所求，点即为所求； （3）如图，点即为所求，这样建的理由是两点之间，线段最短； 16．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点． (1)求的长度； (2)若点在直线上，且，求线段的长度． 【答案】(1) (2)的长度为或 【分析】本题考查线段的中点的计算，正确理解中点的概念和线段之间的数量关系是解题的关键． （1）由题意可得的长度，求解的长度，根据是的中点，得出，则即是答案； （2）需要讨论在点的左侧还是右侧两种情况，分情况分别求出即可． 【详解】（1）解：，是的中点 ， 是的中点 （2）当在点的左侧时 当在点的右侧时 综上所述或． 17．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解角度之间的和差关系． （1）先由角平分线求出，即可求解，再结合垂直的定义求解即可； （2）由题意可设，则，则，然后表示出，再由垂直的定义建立方程求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图，直线与相交于点，，分别是，的平分线． (1)写出的补角； (2)试说明：和互为余角． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义． （1）根据互补两角的和为进行判断即可； （2）根据角平分线的定义得到，由同角的补角相等得到，即，可知和互为余角． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴是的补角， ∵，， ∴是的补角， ∵， ∴是的补角， ∴的补角有； （2）证明：因为，分别是，的平分线， 所以， 因为，， 所以， 所以， 即和互为余角． 19．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长． 【答案】(1)， (2)①6.5；②或 【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段和差的计算，利用数形结合思想是解题的关键． （1）观察图形可知，，由已知，可得出，即可求出的长，进而得出的长； （2）①根据题意，画出图形，同（1）方法求出，，根据点E是的中点，可得出，由可计算出长，再根据计算即可得出结果； ②根据题意，分两种情况，画出图形，（i）当点F在点C左侧时，（ii）当点F在点C的右侧时，利用线段的和差倍分计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，已知点C在上，． ∵，，， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：①如图所示． ∵，， ∴， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； ②分两种情况： （i）如图1所示，当点F在点C右侧时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （ii）如图2所示，当点F在点C左侧时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为或 20．（23-24七年级上·吉林白城·期末）如图，线段，点是线段上的一个动点，点从点出发，以的速度从点运动到点，再从点运动到点，然后停止．设点运动的时间为． (1)当时，________；当时，________； (2)用含的式子表示整个运动过程中的长度； (3)设是线段的中点，是线段的中点． ①当点从点向点运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由； ②当时，直接写出的值，________． 【答案】(1)4；8 (2)①当点从运动到点时，；②当点从运动到点时， (3)①当点从点向点运动时，线段的长度不变，；②或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，线段的和差以及线段中点的有关计算，分情况计算是解题关键． （1）根据题意先得出当时，点C运动到点B处，时，点C从点B处返回点A，然后求出以及时的结果即可； （2）由（1）分析可知：当点从运动到点时以及当点从运动到点时，两种情况下的的长度； （3）①设D是线段的中点，E是线段的中点，根据线段中点的相关计算即可求解；②在若点C从点A向点B运动，时，点C从点B向点A运动，时，两种情况下分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知当时，点C运动到点B处，时，点C从点B处返回点A， 当时，（厘米）， 当时，（厘米）， 故答案为：4，8． （2）解：由（1）可知： 当点从运动到点时，即时，， 当点从运动到点时，即时，． （3）解：设D是线段的中点，E是线段的中点， ①当点C从点A向点B运动，线段的长度不变化， D是线段的中点，E是线段的中点， ， ， 即的长度为； ②当时， 若点C从点A向点B运动，时， 是线段的中点，E是线段的中点， ， ，即有， ； 若点C从点B向点A运动，时， D是线段的中点，E是线段的中点， ， ，即有， ， 综上可知，当时，t的值为或． 21．（21-22七年级上·河北廊坊·期末）如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．    (1)若点C，D的速度分别是，． ①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm； ②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________； (2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长 【答案】(1)①12；② (2) 【分析】（1）①先分别求出，再根据即可得； ②设运动时间为，则，再根据线段中点的定义可得，由此即可得； （2）设运动时间为，则，从而可得，再根据可得，从而可得，由此即可得． 【详解】（1）解：①依题意得：， ，点仍在线段上， ∴， 故答案为：； ②设运动时间为，则， ∵当点到达中点时，点也刚好到达的中点， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：设运动时间为，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差、线段的中点，熟练掌握线段之间的数量关系是解题的关键． 22．（24-25七年级上·广东佛山·月考）如图1，已知，，在内，在内， ，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则 °； (2)从图2中的位置绕点O逆时针旋转（且），求的度数； (3)从图2中的位置绕点O顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【答案】(1)100 (2) (3)50或70 【分析】本题考查角度的计算与探究，解决本题的关键是对不同情况进行画图并分类讨论． （1）当从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点O逆时针旋转（且），分两种情况画图：①当时，如图1，②当时，如图2，结合（1）进行角的和差计算即可； （3）根据从图2中的位置绕点O顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， 当从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2， ∴ ； 故答案为：100； （2）从图2中的位置绕点O逆时针旋转（且）， ①当时，如（图1）， ∵， ∴， ， ∴ ； ②当时，如（图2）， ∵， ∴， ， ∴ ； 综上所述：的度数为； （3）从图2中的位置绕点O顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ∵， ∴， ∴， ， ∴ ， ∴, ∴； ②当时，如图4， ∵， ∴， ∴， ， ∴ ， ∴， ∴； 当时，如图5， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴ ， ∴， ∴； 综上所述：的值为50或70． 23．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，在一副三角板中，，，． (1)如图，若一副三角板的直角顶点重合． ①当时，求的大小； ②当平分时，判断与的位置关系，并说明理由； ③当所在直线与所在直线互相垂直时，的度数为______． (2)如图，，若三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，若边与三角板的一条直角边平行时，的值为______． 【答案】(1)①；②，理由见解析；③或 (2)或 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定、三角形内角和及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质与判定、三角形内角和及三角形外角的性质是解题的关键； （1）①由题意易得，则有，然后问题可求解； ②由题意易得，然后可得，进而问题可求解； ③当所在直线与所在直线互相垂直时，然后分两种情况进行分类求解即可； （2）由题意可分当时，当时，进而分类求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ， ， ， ∴， 答：的大小为； ②，理由如下： 平分， ， ， ， ； 当所在直线与所在直线互相垂直时，分两种情况： Ⅰ、如图，于，交于点， ， ， ； Ⅱ、如图，直线于，交于点， ，． ，， ， ， 故答案为：或； （2）解：边与三角板的一条直角边平行时，分两种情况： 当时，如图，延长交于点，延长交于点， 由题意得：，， 三角形外角定理， ， ∵， ， ∵， ∴， 即， 解得：， 当时，如图， 延长交于点S，延长交于点， 由题意得：，， ， ∵， ， ∵， ， ， 即， 解得：， 故答案为：或． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $