专题6.2 空间向量的数量积（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第二册

本讲义聚焦空间向量的数量积核心知识点，系统梳理空间向量夹角的定义与范围，数量积的定义、性质及运算律，延伸至投影向量概念。通过概念辨析、数量积计算、夹角与模的求解、垂直应用、综合应用及投影向量求解七大题型，构建从基础到综合的递进式学习支架。 该资料以题型分层设计为特色，例题与变式题结合，引导学生用数学思维推理向量运算规律，在正方体、正四面体等空间情境中培养几何直观与空间观念。课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过针对性练习查漏补缺，提升用数学语言表达空间关系的应用意识。

专题6.2 空间向量的数量积（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 空间向量数量积的概念辨析】 1 【题型2 求空间向量的数量积】 3 【题型3 空间向量的夹角（余弦值）的计算】 4 【题型4 利用空间向量的数量积求模】 5 【题型5 空间向量垂直的应用】 5 【题型6 空间向量数量积的应用】 7 【题型7 投影向量的求解】 9 知识点1 空间向量的夹角与数量积 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作． (2)范围：0≤≤π. 特别地，当＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 5．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； (2)利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 【题型1 空间向量数量积的概念辨析】 【例1】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二下·四川凉山·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【变式1-2】（24-25高二上·山东威海·期中）对任意的空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 【变式1-3】（24-25高二上·湖北襄阳·阶段练习）设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 求空间向量的数量积】 【例2】（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【变式2-1】（24-25高二上·海南·期中）已知是空间中的三个单位向量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.若E，F分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3). 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： (1)； (2). 【题型3 空间向量的夹角（余弦值）的计算】 【例3】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）已知平行六面体中，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·山东烟台·期中）已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【变式3-3】（24-25高二上·北京·阶段练习）如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【题型4 利用空间向量的数量积求模】 【例4】（24-25高二上·江西萍乡·期末）已知，，是空间中两两垂直的单位向量，则（    ） A． B．14 C． D．2 【变式4-1】（24-25高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（   ） A． B．2 C． D．1 【变式4-2】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 【题型5 空间向量垂直的应用】 【例5】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·河北邯郸·期末）如图，已知三棱锥的侧棱，，且两两所成的角均为60°．若空间中的点D，E满足，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【变式5-3】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点. (1)证明：；（用向量方法证明） (2)求直线与所成角的余弦值. 【题型6 空间向量数量积的应用】 【例6】（24-25高二上·浙江台州·阶段练习）如图，在三棱锥中，若，，，点为棱上一点，且，点为线段的中点 (1)求的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【变式6-1】（24-25高二上·湖北·期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为，且.    (1)求的长度； (2)求直线和直线所成角的余弦值. 【变式6-2】（2025高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)判断与是否垂直． 【变式6-3】（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，．    (1)用分别表示． (2)若，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 知识点2 向量的投影 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【题型7 投影向量的求解】 【例7】（24-25高一下·山西大同·期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二上·河北唐山·期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 【变式7-3】（24-25高二上·安徽合肥·期中）若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（　　） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2 空间向量的数量积（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 空间向量数量积的概念辨析】 2 【题型2 求空间向量的数量积】 4 【题型3 空间向量的夹角（余弦值）的计算】 6 【题型4 利用空间向量的数量积求模】 8 【题型5 空间向量垂直的应用】 11 【题型6 空间向量数量积的应用】 14 【题型7 投影向量的求解】 18 知识点1 空间向量的夹角与数量积 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作． (2)范围：0≤≤π. 特别地，当＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 5．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； (2)利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 【题型1 空间向量数量积的概念辨析】 【例1】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量数量积的运算律可知选项A，B，C正确；根据与表示的意义可知选项D错误. 【解答过程】由数量积运算的交换律可得,选项A正确. 由数量积运算的分配率可得，选项B正确. 由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确. 表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定相等，选项D错误. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高二下·四川凉山·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【解题思路】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可求解A. 【解答过程】对于A，若，则且，不能得到，故A错误， 对于B，，B正确， 对于C，若，且，则，则，无法得出，所以C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量，所以与不一定相等，故D错误， 故选：B. 【变式1-2】（24-25高二上·山东威海·期中）对任意的空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 【答案】C 【解题思路】根据空间向量的概念逐项判断即可. 【解答过程】选项A：若，，则与不一定平行，如在正方体中，    满足，，此时，故A说法错误； 选项B：表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以与不一定相等，B说法错误； 选项C：向量的数量积满足乘法分配律，所以，C说法正确； 选项D：若，则与模长相等，方向不一定，所以与不一定相等，D说法错误； 故选：C. 【变式1-3】（24-25高二上·湖北襄阳·阶段练习）设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】本题考查空间向量加减法和数量积的运算律，根据运算律判断即可． 【解答过程】由向量加法的结合律知A项正确；由向量数量积的运算律知B项、D项正确；C项若，不共线且不垂直，则，故C不一定正确． 故选：C. 【题型2 求空间向量的数量积】 【例2】（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【解题思路】根据，计算可求数量积. 【解答过程】 . 故选：B. 【变式2-1】（24-25高二上·海南·期中）已知是空间中的三个单位向量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意可求得，再结合数量积的定义分析运算. 【解答过程】因为，则， ， 又， 故当，即与同向时，有最大值. 所以. 故选：D. 【变式2-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.若E，F分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3). 【答案】（1）； （2）； （3） 【解题思路】根据空间向量的数量积的定义求解各小题即可. 【解答过程】（1）由题意，E，F分别是，的中点， 则 . （2）. （3） . 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： (1)； (2). 【答案】（1）； （2）； 【解题思路】（1）根据题意易得，，进而根据空间向量的数量积计算即可； （2）根据空间向量的数量积的运算性质求解即可. 【解答过程】（1）在正四面体中，， ， 则. （2） . 【题型3 空间向量的夹角（余弦值）的计算】 【例3】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据数量积的运算律以及模长公式，结合夹角公式即可代入求解. 【解答过程】由，的夹角为，且，得， ， 设与的夹角为，则， 由于，故 故选：A. 【变式3-1】（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）已知平行六面体中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求，结合向量夹角公式可求解. 【解答过程】如图： ， 所以. 故选：B． 【变式3-2】（24-25高二上·山东烟台·期中）已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【解题思路】由，利用向量数量积的运算律有，即可求与的夹角大小. 【解答过程】由题设，则， 所以，又，可得，即. 故选：C. 【变式3-3】（24-25高二上·北京·阶段练习）如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设向量，根据向量的运算法则，求得和，且，结合向量的夹角公式，即可求解. 【解答过程】设向量，且， 可得， 则，所以， ， 所以， 且， 所以. 故选：B. 【题型4 利用空间向量的数量积求模】 【例4】（24-25高二上·江西萍乡·期末）已知，，是空间中两两垂直的单位向量，则（    ） A． B．14 C． D．2 【答案】A 【解题思路】利用空间向量数量积的性质即可求解. 【解答过程】依题意得，，； 所以， 故选：A. 【变式4-1】（24-25高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【解题思路】利用空间向量的线性运算可得，结合空间向量数量积的运算律计算可得. 【解答过程】由题意得，，，，， ∴，，. ∵， ∴ . 故选：D. 【变式4-2】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据向量的线性运算，可得的表达式，两边平方即可求得. 【解答过程】由已知：平行六面体所有棱长均为， ，则， 又因为：， 同理可得：， 则 ，则. 故选：. 【变式4-3】（24-25高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】取的中点，连接，结合图形由向量的加法和数量积的运算律以及数量积的定义计算可得. 【解答过程】取的中点，连接， 由图形可得， 所以 ， 所以. 故选：B. 【题型5 空间向量垂直的应用】 【例5】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解题思路】用表示，再根据它们的数量积为零可求的值. 【解答过程】由题设有， 故， 而， 同理，， 因为为直角，故， 故，故， 故（舍）或， 故选：D. 【变式5-1】（24-25高二上·河北邯郸·期末）如图，已知三棱锥的侧棱，，且两两所成的角均为60°．若空间中的点D，E满足，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先利用余弦定理求出，再对已知式子化简可得，，从而可得点D，E分别在以AB，AC为直径的球面上，进而可求出的最大值. 【解答过程】因为，，且两两所成的角均为60°， 所以， ． 由，得， 所以， 由，得， 所以，所以， 因此点D，E分别在以AB，AC为直径的球面上，两个球的半径分别为，， 设点，分别是AB，AC的中点，则， 所以DE的最大值为， 故选：A． 【变式5-2】（2025高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【答案】（1）； （2）垂直 【解题思路】（1）根据数量积的定义直接计算即可； （2）计算与的数量积，根据结果可得答案. 【解答过程】（1）正方体中，， 故. （2）由题意， ， ， 故与垂直. 【变式5-3】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点. (1)证明：；（用向量方法证明） (2)求直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解题思路】（1）根据空间向量的线性运算易得，，进而结合空间向量的数量积计算即可； （2）利用空间向量的数量积的定义求解即可. 【解答过程】（1）证明：由题意，因为，， 所以 ， 所以，即. （2）由（1）知，， 所以 ， 又， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 【题型6 空间向量数量积的应用】 【例6】（24-25高二上·浙江台州·阶段练习）如图，在三棱锥中，若，，，点为棱上一点，且，点为线段的中点 (1)求的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）； （2） 【解题思路】（1）根据向量的四则运算，用，，表示，结合向量数量积的运算律求解即可； （2）根据向量数量积公式和运算律求解即可. 【解答过程】（1）因为为线段的中点，，所以，， 所以 ， 又因为，， 所以. （2）由（1）得 ， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 【变式6-1】（24-25高二上·湖北·期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为，且.    (1)求的长度； (2)求直线和直线所成角的余弦值. 【答案】（1）； （2） 【解题思路】（1）设，，，将用、、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得线段的长度； （2）计算得出，利用空间向量数量积的运算性质可求得直线和直线所成角的余弦值. 【解答过程】（1）设，，， 由题意可知，，， 由空间向量数量积的定义可得， ， 则， 故. （2）， 则， ，则. 故直线和直线所成角的余弦值为. 【变式6-2】（2025高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)判断与是否垂直． 【答案】（1）； （2）； （3）垂直 【解题思路】（1）利用数量积的公式可得； （2）先用表示，利用数量积运算律可得、进而利用公式可得与的夹角的余弦值. （3）利用数量积运算律得，进而可得与是否垂直． 【解答过程】（1）正方体中，， 故. （2）由题意知，， ， ， 故， 故. （3）由题意， ， ， 故与垂直. 【变式6-3】（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，．    (1)用分别表示． (2)若，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 【答案】（1），； （2）（i）； （ii） 【解题思路】（1）连接，结合空间向量的线性运算以为基底表示向量即可； （2）确定空间基底向量的模长与数量积，结合空间向量的数量积的运算性质分别求解，即可得结论. 【解答过程】（1）如图，连接，    因为六边形为正六边形， 所以，则， 所以，； （2）因为六边形为正六边形，所以， 又， 所以， （i） ； （ii）因为， 所以 . 知识点2 向量的投影 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【题型7 投影向量的求解】 【例7】（24-25高一下·山西大同·期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据数量积的运算律可求得，根据投影向量定义直接求解即可. 【解答过程】，，， ，， ，，. 故选：C. 【变式7-1】（24-25高二上·河北唐山·期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】在四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【解答过程】在四面体中，因为， 设，且，， 则， 在上的投影向量为. 故选：B. 【变式7-2】（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解. 【解答过程】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影数量为. 所以所求投影向量的模长为2. 故选：A. 【变式7-3】（24-25高二上·安徽合肥·期中）若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设向量的夹角为，根据题意，求得，得到所以在方向上的投影为，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】因为，设向量的夹角为， 所以，可得， 解得， 所以在方向上的投影为 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以在方向上的投影的最大值为． 故选：C. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $