专题03图形的初步认识（期末复习知识清单，15知识&25常考&3易错题型）七年级数学上学期新教材华东师大版

该初中数学知识清单聚焦“图形的初步认识”专题，涵盖立体与平面图形、点线面体、三视图、直线射线线段、角等15个核心知识模块，搭建从概念认知到性质应用的递进式学习支架。 清单通过“知识清单+题型分类+易错辨析”三维架构呈现知识体系，如“正方体11种展开图”“截正方体截面形状”等内容培养空间观念与几何直观。设计25类典型题型（如组合体构成、三视图还原）和3类易错点分析，助力学生系统掌握知识，教师可据此精准教学，提升学习实效。

专题03图形的初步认识（15知识&25题型&3易错） 【清单01】立体图形与平面图形 从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。 立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。 平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。 【清单02】点、线、面、体 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 （2） 点动成线，线动成面，面动成体。 【清单03】生活中的立体图形 柱体：圆柱， 棱柱，球体，椎体：，圆锥，棱锥 棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。 侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。 n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点。 棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上下两个底面是相同的多边形，直棱柱的侧面是长方形。棱柱的侧面有可能是长方形，也有可能是平行四边形。 【清单04】正方体的11种平面展开图： 【清单05】截一个正方体 用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。 【清单06】三视图 物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。 主视图：从正面看到的图，叫做主视图。 左视图：从左面看到的图，叫做左视图。 俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。 【清单07】直线、射线、线段 1、直线、射线、线段的比较 名称 不同点 联系 共同点 延伸性 端点数 线段 不能延伸 2 线段向一方延长就成射线，向两方延长就成直线 都是直的线 射线 只能向一方延伸 1 直线 可向两方无限延伸 无 2、点、直线、射线和线段的表示 在几何里，我们常用字母表示图形。 一个点可以用一个大写字母表示，如点A 一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示，如直线l,或者直线AB 一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面），如射线l,射线AB 一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示，如线段l,线段AB 【清单08】点和直线的位置关系有两种： ①点在直线上，或者说直线经过这个点。 ②点在直线外，或者说直线不经过这个点。 【清单09】线段的性质 （1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。 （2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 （3）线段的中点到两端点的距离相等。 （4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。 【清单10】线段的中点： 点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点。 【清单11】直线的性质 （1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。 （2）过一点的直线有无数条。 （3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。 （4）直线上有无穷多个点。 （5）两条不同的直线至多有一个公共点。 【清单12】角 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。 平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。 角的表示： ①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。 ②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。 ③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。 ④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。 注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。 用一副三角板，可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165° 角的度量 角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。1°=60’，1’=60” 把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。 把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。 【清单13】角的性质 （1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。 （2）角的大小可以度量，可以比较 （3）角可以参与运算。 【清单14】角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 【清单15】余角和补角 ①如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β互余；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90° ②如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180° ③同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。 【题型一】组合体的构成 【例1】组成如图所示的陀螺的是（ ） A．长方体和圆锥 B．长方形和三角形 C．圆和三角形 D．圆柱和圆锥 【答案】D 【分析】此题考查从实物中抽象出立体图形，要求学生掌握常见的圆柱、圆锥、球这些立体图形的特征． 图中的几何体上面是圆柱，下面是圆锥，由此可得解． 【详解】解：如图所示的陀螺是由圆柱和圆锥组成的． 故选D． 【变式1-1】若一个长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，现在两部分已拼接完毕，如图所示，下列选项中能与它们拼成长方体的几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形，看要拼成长方体还差几个小正方体，再在选项根据图形作出判断． 【详解】由长方体和已知的几何体可知，要拼成长方体还差至少4个小正方体，一层有三个正方体（不是一条线），另一层有一个正方体，与选项A相符． 故选：A． 【点睛】本题考查了认识立体图形，找到要拼成长方体缺少的几何体的形状是解题的关键． 【变式1-2】指出图中各物体是由哪些立体图形组成的． 【答案】题图①由正方体、圆柱、圆锥组成；题图②由圆柱、长方体、三棱柱组成；题图③由五棱柱、球组成． 【分析】此题考查了立体图形的识别，明确常见立体图形的特征是解答此题的关键；仔细分析给出的三个立体图形，结合常见的立体图形的特征即可解答题目． 【详解】解：题图①由正方体、圆柱、圆锥组成； 题图②由圆柱、长方体、三棱柱组成； 题图③由五棱柱、球组成． 【题型二】几何体的顶点、棱和面 4．一个多面体的顶点数有10个，面数有12个，那么它的棱有 条． 【答案】20 【分析】本题考查了几何体中的点、棱、面．根据题意得计算棱数． 【详解】解：根据题意得：顶点数棱数面数． 已知，， 代入得， 解得． 故答案为：20． 【变式1-1】一个棱柱有5个面，则该棱柱是 棱柱，有 个顶点． 【答案】 三 6 【分析】本题考查棱柱的构造特征，掌握棱柱的特点是解题的关键．一个n棱柱有个面，个顶点，条棱． 根据棱柱的构造特征得到该棱柱是三棱柱，进而计算顶点即可． 【详解】解：棱柱有5个面，底面数为2，因此侧面数为，故该棱柱是三棱柱； 三棱柱有个顶点； 故答案为：三，6． 【变式1-2】欧拉是世纪瑞士著名的数学家，他发现不论什么形状的凸多面体，其顶点数、面数和棱数之间存在一个固定的关系式，被称为多面体欧拉公式，请你观察下列图表，解答下列问题． 正多面体 顶点数 面数 棱数 正四面体 正方体 正八面体 正十二面体 【实践操作】（1）直接写出 _______，_______， _______； 【归纳总结】（2），，之间的数量关系是_______； 【尝试应用】（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有个顶点，每个顶点处都有条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值． 【答案】（1）4，6，；（2）；（3） 【分析】本题考查了正多面体，多面体的顶点数，面数和棱数的关系，掌握以上知识并正确理解题意是解答本题的关键； （1）直接观察多面体模型，即可求解； （2）根据正四面体：，正方体：，正八面体：， 正十二面体：，通过分析即可得到规律； （3）先求得该多面体的棱数，然后根据（2）中的，即可求解； 【详解】解（1）由多面体模型图案可得：正四面体顶点数为4，正方体面数为6，正八面体棱数为， 故答案为：；6；； （2）∵正四面体：，正方体：，正八面体：， 正十二面体：， ∴， 故答案为：； （3）∵该多面体有个顶点，每个顶点处都有条棱， ∴共有条棱， ∵， ∴， 解得， ∴该多面体外表面个数为个， ∴； 【题型三】常见的几何体 【例1】下列图形为三棱柱的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三棱柱的识别，解题的关键是掌握常见的立体图形． 根据常见的立体图形逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该图形为圆柱，不符合题意； B.该图形为三棱柱，符合题意； C.该图形为三棱锥，不符合题意； D.该图形为圆锥，不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】对于如图所示的几何体，下列说法正确的是(    ) A．几何体是三棱锥 B．几何体有3个侧面 C．几何体的侧面是三角形 D．几何体有6条侧棱 【答案】B 【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握三棱柱的特征是解题的关键．根据三棱柱的特征，逐一判断选项，即可． 【详解】解：∵该几何体是三棱柱， ∴底面是三角形，侧面是四边形，且有3个侧面，3条侧棱， 故B说法正确，A、C、D说法错误， 故选：B． 【变式1-2】把下面的几何体填在相应的横线上（友情提示：将各序号用逗号分开）． （1）柱体的是 ； （2）锥体的是 ； （3）球体的是 ； （4）有曲面的是 ． 【答案】 ②，③，⑥ ①，④ ⑤ ①，③，⑤ 【分析】本题考查立体图形的判断，熟练掌握每种立体图形的特征是解题关键． 按照立体图形的特征逐一判断，然后填到适当的横线上即可． 【详解】根据立体图形的特征判断，①是圆锥，②是棱柱，③是圆柱，④是棱锥，⑤是球体，⑥是棱柱． ∴柱体包括②，③，⑥，锥体包括①，④，球体包括⑤，有曲面的是①，③，⑤． 【题型四】旋转而成的几何体 【例1】如图，将下列的平面图形绕轴旋转一周，能围成的几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握立体图形的特征是解此题的关键． 根据面动成体并结合图形即可得解． 【详解】 解：将下列的平面图形绕轴旋转一周，能围成的几何体是． 故选：B． 【变式1-1】如图所示的花瓶中，其表面可以看作由如图的平面图形绕虚线旋转一周形成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了面动成体，通过面的特征推断体的形状熟即可解题． 由面动成体．由题目中的图示可知：此图形旋转可成脖子长有口的瓶子． 【详解】解：B是可由所给图形旋转而成的花瓶． 故选：B． 【变式1-2】下图所示的是由直角三角形和长方形拼成的四边形． (1)将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是_______（填序号）． ①点动成线：②线动成面；③面动成体． (2)求得到的立体图形的体积．（，结果保留） 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题考查了点、线、面、体的关系及旋转体体积的计算，解题的关键是理解面动成体的原理，结合旋转轴和相关边长准确确定旋转后立体图形的组成及参数． （1）根据四边形绕虚线旋转成立体图形的过程，判断体现的点、线、面、体关系； （2）明确沿长方形一边旋转后，立体图形由底面半径、高的圆柱和底面半径、高的圆锥组成，根据圆柱和圆锥的体积公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：四边形绕虚线旋转一周得到立体图形，说明面动成体． 故答案为：③． （2）解：由题意得，沿长方形一边旋转后，立体图形由底面半径、高的圆柱和底面半径、高的圆锥组成， ∴得到的立体图形的体积为： ． 【题型五】几何体展开图的识别 【例1】如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（   ） A．圆锥 B．三棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 【答案】C 【分析】本题考查了几何体展开图的认识，根据几何体展开图的特征，判断对应的几何体形状，熟练掌握几何体展开图的特征是解此题的关键． 【详解】解：由展开图可得，该几何体是三棱柱， 故选：C． 【变式1-1】某个几何体的表面展开图如图所示，则该几何体为（   ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．长方体 D．圆锥 【答案】B 【分析】本题考查几何体的展开图，熟记常见几何体的展开图是解题的关键.由展开图可知，几何体的上下底面为三角形，侧面为矩形，得到几何体为三棱柱即可. 【详解】解：由图可知，该几何体为三棱柱； 故选：B． 【变式1-2】下列图形中，能折成棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，解题关键在于熟练掌握展开图折叠成几何体的性质． 根据立体图形的平面展开图进行逐项分析即可． 【详解】解：A、该图形能折成圆锥，故A不符合题意； B、该图形能折成圆柱，故B不符合题意； C、该图形不能折叠成四棱柱，有两个面重叠，故C不符合题意； D、该图形能折叠成五棱柱，，故D符合题意； 故选D． 【题型六】含有图案或文字的正方体展开图 【例1】如图是一个正方体的表面展开图，把展开图折叠成正方体后，“数”字一面的相对面是（　　） A．长 B．成 C．伴 D．学 【答案】C 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题；正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点解答即可. 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形“数”与“伴”相对 故选：C. 【变式1-1】下图哪一个是左边正方体的展开图（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力．根据有图案的表面之间的位置关系解答即可. 【详解】根据有图案的表面之间的位置关系，正确的展开图是D． 故选D． 【变式1-2】如图是一个正方体的展开图，下面的四个正方体中，只有一个是和这个展开图对应的，这个正方体是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方体展开图，根据正方体展开图的11种特征，属于“1﹣4﹣1”型，折叠成正方体后，两个含有圆的面相对所以排除B；C上面应是深色圆形，所以排除C；D前面应是涂色的三角形而不是空白，所以也要排除；所以只有选项A合适． 【详解】解： 折叠成正方体后，两个含有圆的面相对所以排除B；C上面应是深色圆形，所以排除C；D前面应是涂色的三角形而不是空白，所以也要排除，四个正方体中只有一个是和这个展开图对应的，这个正方体是： 故选：A． 【变式1-3】如图，要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之和为2， ． 【答案】 【分析】本题考查了正方体的平面展开图、代数式求值，熟练掌握正方体的平面展开图特点是解题关键．先得出与6处在正方体的相对面上，与3处在正方体的相对面上，与处在正方体的相对面上，再根据相对面上两个数之和为2，可得，，代入计算即可得． 【详解】解：由正方体的平面展开图可知，与6处在正方体的相对面上，与3处在正方体的相对面上，与处在正方体的相对面上， ∵相对面上两个数之和为2， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型七】正方体的展开图 【例1】如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，根据正方体展开图分析即可求解． 【详解】解：如图， ④的对面是⑤，故不能裁掉④． 故选：D． 【变式1-1】如图，在图中增加一个大小相同的小正方形，使所得图形经过折叠能够围成一个正方体，下图中的黑色小正方形分别由四位同学补画，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方体展开图的特征，或者熟记正方体的11种展开图，只要有“田”，“凹”字格的图都不是正方体的表面展开图． 根据正方体展开图的特征作答即可． 【详解】解：由正方体展开图的特征可知，A同学补画正确． 故选：A． 【变式1-2】【问题背景】 七（2）班综合实践小组开展废纸再利用的环保小卫士活动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 【空间想象】 （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图①中的______（填字母）经过折叠能围成一个无盖正方体纸盒． 【深入思考】 （2）图②是小明的设计图，把它折成一个无盖正方体纸盒后，与“保”字相对面的文字是“______”． 【实践操作】 （3）如图③，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成一个无盖长方体纸盒． ①请你在图③中画出示意图，并用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求折成的无盖纸盒的容积． 【答案】（1）C；（2）卫；（3）①见详解；② 【分析】本题主要考查了展开图折叠几何体，正方体相对两面上的字，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的关键． （1）无盖正方体有五个面，的组合不能折叠成立方体，据此解答； （2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案； （3）①在现有正方形四个角画出全等的四个小正方形，然后依次用虚线连接相邻两个小正方形在大正方形内的顶点； ②长方体的高即为小正方形的边长，长和宽为大正方形边长减去两个小正方形的边长，然后根据长方体的体积公式计算即可． 【详解】解：（1）无盖正方体有五个面， ∴B和D不符合题意， 的组合不能折叠成立方体，∴A不符合题意； 故选：C； （2）图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“保”字相对的字是“卫”， 故答案为：卫； （3）①如图： ②折成的无盖纸盒的容积为： ． 【题型八】判断简单几何体的三视图 【例1】如图，该几何体的俯视图为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据俯视图的意义，从上面看该几何体所得到的图形结合选项进行判断即可得出答案． 【详解】解：该几何体的俯视图为 ， 故选：A． 【变式1-1】中国古建筑精妙绝伦，擎檐柱是木结构建筑用以支撑屋面出檐的柱子，多用于重檐或重檐带平座的建筑物上，用来支撑挑出较长的屋檐及角梁翼角等．如图是一根擎檐柱的结构图，它是由一根圆柱形柱子中间挖去一个柱体后形成的，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三视图的知识，解题的关键在于掌握左视图是从物体的左面看得到的视图． 根据几何体找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在左视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线． 【详解】解：从左面看，是一个长方形，并且中间的凹槽看不见，要用虚线表示， 即左视图如图所示： ， 故选：B． 【变式1-2】如图是一个长方体从中间去掉一个圆柱得到的几何体，则该几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单几何体的三视图， 判断这个几何体的俯视图即可． 【详解】解：这个几何体的俯视图为： 故选：C． 【题型九】判断简单组合体的三视图 【例1】用5个完全相同的小正方体组成如图所示的几何体，则它的俯视图为（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三视图，根据俯视图是从上往下看得到的图形，进行判断即可. 【详解】解：由图可知，俯视图为： 故选D. 【变式1-1】如图所示的是一种常用的圆顶螺杆，它的俯视图是（   ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了俯视图，熟练掌握俯视图的概念是解题关键．根据俯视图的定义：从上面观察物体所得到的视图是俯视图求解即可． 【详解】 解：圆顶螺杆的俯视图是． 故选：B． 【变式1-2】如图所示的几何体的主视图是（   ） A． B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，掌握主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形，且能够看到的线用实线，看不到的线用虚线画出是解题关键．根据主视图是从正面看到的图形判断即可． 【详解】解：如图所示的几何体的主视图为： 故选：A． 【题型十】画简单几何体的三视图 【例1】画出如图所示几何体的三视图．（请规范画图，注意位置和大小．） 【答案】见详解 【分析】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．根据几何体画出三视图即可得到答案． 【详解】解：三视图如图所示． 【变式1-1】如图，一个几何体是由大小相同的小立方块搭成的，请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，从正面看得到从左往右3列正方形的个数依次为2，1，3；从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为3，1；从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为2，1，1，依此画出图形即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图： 【变式1-2】画出下面几何体的三视图． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画简单组合体的三视图，根据从正面，上面和左面看到的图形画出对应的三视图即可． 【详解】解：作图如下： 【题型十一】画简单组合体的三视图 【例1】如图，桌面上放置了两个几何体，请按每个几何体下面的要求画出相应视图． 【答案】见解析． 【分析】此题考查了几何体的三视图，根据题意，分别画出主视图和左视图即可，掌握几何体的三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：如图所示 【变式1-1】如图所示的几何体由5个大小相同的小正方体搭成． (1)画出该几何体的三视图； (2)当去掉小正方体______时，几何体的主视图没有改变．（填序号） 【答案】(1)见解析 (2)② 【分析】本题主要考查了画三视图、简单组合体的三视图等知识点，理解三视图的定义是解题的关键． （1）根据三视图的定义画出三视图即可； （2）根据从前面看的形状不变，进行判断即可． 【详解】（1）解：画出三视图如下： （2）解：由三视图可知，当去掉小正方体②时，剩余部分的主视图没有改变． 故答案为：②． 【变式1-2】一个几何体由大小相同的小立方块搭成，这个几何体的俯视图如下图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出这个几何体的主视图和左视图． 【答案】见解析 【分析】本题考查几何体的三视图绘制，掌握根据俯视图中每个位置的小立方块个数，确定主视图和左视图每列的层数是解题的关键． 根据俯视图中每个位置小立方块的个数，确定主视图和左视图每列的层数，进而画出视图． 【详解】解：主视图：从正面看，有3列，第1列有3层，第2列有4层，第3列有2层，据此画出主视图； 左视图：从左面看，有2列，第1列有4层，第2列有2层，据此画出左视图， 几何体的主视图和左视图如图所示． 【题型十二】已知部分视图判断其它视图 【例1】由若干个大小形状完全相同的小立方块所搭几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．由俯视图知该几何体共3列，其中第1列前一排3个正方形、后一排2个正方形，第2列只有后排1个正方形，第3列只有后排1个正方形，据此可得左视图． 【详解】解：由俯视图知该几何体共3列，其中第1列前一排3个正方形、后一排2个正方形，第2列只有后排1个正方形，第3列只有后排1个正方形， 所以从左面看到的这个几何体的形状图是： 故选：B． 【变式1-1】如图是一个由大小相同的小立方体搭成的物体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方体的个数，请你画出该物体的主视图与左视图． 【答案】见解析 【分析】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．由已知条件可知，主视图有4列，每列小正方形数目分别为2，4，3，1；左视图有3列，每列小正方形数目分别为1，4，1．据此可画出图形． 【详解】解：主视图和左视图依次如下图． 【变式1-2】如图是由小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】作图见详解 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，“长对正，宽相等，高平齐”是画三视图的基本原则．分别利用小立方块的个数得出其形状，进而画出从正面和左面看到的形状图即可． 【详解】解：如图所示，即为所求作； 【题型十三】由三视图还原几何体 【例1】如图是某个几何体的三视图，该几何体是（   ） A．圆锥 B．圆柱 C．长方体 D．正三棱柱 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握常见几何体的三视图特征是解题的关键．根据三视图的形状，匹配对应几何体的三视图特征． 【详解】解：圆柱的主视图：长方形，俯视图：圆，左视图：长方形， 该几何体的三视图符合圆柱的三视图特征，故该几何体是圆柱． 故选：B． 【变式1-1】图是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，则该几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体．根据主视图和左视图的定义解答即可． 【详解】解：从主视图来看：从左向右，第一列可看到三个小正方形，第二列看到两个小正方形，第三列可看到一个小正方形； 从左视图来看：第一列有三个小正方形，第二列有一个小正方形． 故符合题意的图形为： 故选：C． 【变式1-2】图中三种视图对应的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据三视图判断几何体． 根据三视图判断即可． 【详解】解：由三视图可知，对应的几何体是 ． 故选：D． 【题型十四】有三视图计算几何体的有关数据 【例1】如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由三视图判断几何体和几何体的表面积． 由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积． 【详解】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥． 根据三视图知：该圆锥的母线长为，底面半径为， 故表面积． 故选：B． 【变式1-1】如图是某几何体的三视图． (1)这个几何体的名称是___________； (2)若主视图是宽为，长为的矩形，左视图是宽为的矩形，俯视图是斜边为的直角三角形，则这个几何体的表面积是多少？ 【答案】(1)三棱柱 (2)120平方厘米 【分析】本题考查由三视图判断几何体、求棱柱的表面积，解题的关键是： （1）从三视图的主视图看这是一个矩形，而左视图是一个扁平的矩形，俯视图为一个三角形，故可知道这是一个三棱柱； （2）根据直三棱柱的棱长的和以及表面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由三视图可知，这个几何体为三棱柱， 故答案为：三棱柱； （2）解：由题知，该几何体的表面积． 【变式1-2】如图是由6个棱长为的小正方体组成的几何体． (1)在网格中画出这个几何体从正面、左面、上面看到的形状； (2)求这个几何体的表面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查简单几何体的三视图的画法，主视图、左视图、俯视图分别是从正面、左面、上面正投影所得到的图形． （1）根据几何体的形状，画出从正面、左面、上面看到的形状即可； （2）表面积就是主视图、左视图、俯视图看到的图形面积的2倍． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：这个几何体的表面积为： 【题型十五】有三视图判定构成几何体的小正方体数量 【例1】如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三种视图，则构成这个几何体的小正方体的个数是（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力，理解三视图是解决本题的关键． 根据口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”即可得到解答． 【详解】解：由三视图可知，该几何体共2行3列，其分布情况如图所示： ∴构成这个几何体的小正方体的个数是6个， 故选：B． 【变式1-1】如图，由若干个完全相同的小正方体堆成的一个几何体放置在平整的地面上． (1)请画出这个几何体的三视图． (2)在这个几何体的表面喷上红色的漆（底部不喷漆），则在所有的小正方体中，有 个小正方体只有三个面是红色． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查简单组合体的三视图的画法．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．注意涂色面积指组成几何体的外表面积． （）先分析几何体的小正方体堆叠结构，再分别从正面、左面、上面观察，确定每列小正方形的个数与分布，据此画出主视图、左视图、俯视图； （）明确底层不喷漆的规则，逐一分析各层小正方体的暴露面数(贴合面与底面不计)，结合几何体堆叠结构，数出仅三个面暴露的小正方体数量即可解答． 【详解】（1）解：由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方形数目分别为； 左视图有列，每列小正方形数目分别为； 俯视图有列，每列小正方形数目分别为．据此可画出图形； （2）解：正方体只有三个面是红色的应该是：第一列个，第二列个，第三列最底层个， ∴共个． 故答案为：． 【变式1-2】如图是由6个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)请在方格中分别画出该几何体的主视图、左视图、俯视图． (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加________个小立方块． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了三视图． （1）分别画出该几何体的主视图、左视图、俯视图即可； （2）分别找出主视图、左视图不变时可以添加的位置，取公共位置即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：保持主视图和左视图不变，可在如下位置添加， 即最多可以再添加2个小立方块． 故答案为：2． 【题型十六】用平面切割几何体 【例1】下列几何体中，截面不可能是圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查截面的定义．根据一个几何体有几个面，则截面最多是几边形，由于棱柱没有曲面，所以用一个平面去截棱柱，截面不可能是圆． 【详解】解：A、截面不可能是圆，该选项符合题意； B、截面可能是圆，该选项不符合题意； C、截面可能是圆，该选项不符合题意； D、截面一定是圆，该选项不符合题意． 故选：A． 【变式1-1】如图②是圆柱被一个平面斜切后得到的几何体，请类比梯形面积公式的推导方法（如图①），推导图②几何体的体积为（   ） A．52 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是组合图形的体积． 由图形可知：可以构成底面直径是6，高为的圆柱，再根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 【变式1-2】用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是 （填“三角形”或“圆”）． 【答案】圆 【分析】本题考查的知识点是用平面截一个几何体，解决本题的关键是掌握用平面截常见的几何体所得的截面． 正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，则截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，但是不可能为圆形． 【详解】解：用平面去截正方体，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，不可能为圆形． 故答案为：圆． 【题型十七】直线、射线、线段的作图问题 【例1】读句子画图：如图A、B、C、D在同一平面内 (1)过点A、B画直线，与射线相交于点P (2)连接和相交于点E (3)连接并延长，在延长线上取一点F，使 (4)在所画图中，以点为端点的射线有几条； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)2 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是熟练掌握直线，射线，线段的定义． （1）根据直线、射线的定义画出图形即可； （2）根据线段的定义画出图形即可； （3）根据题意画出图形即可； （4）根据射线的定义可直接求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：如图，点即为所求， （3）解：如下图即为所求， （4）解：在所画图中，以点为端点的射线有，共2条． 【变式1-1】如图，平面上有四个点A，B，C，D．按下列要求画出图形． (1)连接； (2)画直线交于点M； (3)画射线； (4)此时图中共有几条线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)7条 【分析】本题考查了基本的几何作图，包括连线、直线、射线的画法，线段的数量，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据连线的画法作图即可； （2）根据直线的画法作图即可； （3）根据射线的画法作图即可； （4）正确数出图中的线段即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，直线和点M即为所求； （3）解：如图所示，射线即为所求； （4）解：共有7条线段，分别为线段． 【变式1-2】如图，在同一平面内有四个点，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法和结论） (1)作射线； (2)作直线与射线相交于点； (3)分别连接； (4)我们容易判断出线段与的数量关系是_________，理由是_________________． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 (4)，两点之间线段最短 【分析】本题考查了基本作图，两点之间线段最短，掌握射线、直线、线段的定义是解题的关键． （1）根据射线的定义作图即可； （2）根据直线的定义作图即可； （3）根据线段的定义作图即可； （4）根据两点之间线段最短即可求解； 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：如图，线段即为所求； （4）解：线段与的数量关系是，理由是两点之间线段最短， 故答案为：，两点之间线段最短． 【题型十八】用尺规作图作线段或角 【例1】如图，平面上有四个点、、、，根据下列语句利用无刻度直尺和圆规画图： (1)画直线，射线，线段； (2)在射线上取一点不与点重合，使； (3)在直线上找一点，使线段与线段之和最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握两点之间线段最短及直线、射线、线段的概念是解题的关键． （1）根据直线、射线、线段的概念可直接进行作图； （2）根据作线段等于已知线段的方法，在射线上取一点，使； （3）根据两点之间线段最短，连接交于点，可直接进行作图． 【详解】（1）解：直线，射线，线段如图所示， （2）解：如图所示，点即为所求， （3）解：如图所示，点即为所求 【变式1-1】如图，下列四种说法：①与是同一个角；②也可用来表示；③图中共有三个角：，，；④与是同一个角．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了角的概念，准确计算是解题的关键． 直接利用角的概念以及角的表示方法，进而分别分析得出即可． 【详解】解：由图可得，与是同一个角；图中共有三个角：，，；与是同一个角；不可用来表示， ∴①③④正确， 故答案为：①③④． 【变式1-2】如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求作图． (1)连接，作射线； (2)用圆规在的延长线上截取； (3)在直线l上找一点E，使得最小，你的作图依据：___________． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3)作图见详解，两点之间，线段最短 【分析】本题考查了射线、线段的作图及线段公理的应用，通过尺规作图完成相应的作图要求，并依据线段公理确定使线段和最小的点． （1）连接B，C两点，得到线段，再以点A为端点，向B的方向画出射线即可； （2）以点C为圆心，长为半径画弧，与的延长线交于点D，则； （3）连接，与直线l的交点即为点E，依据是两点之间，线段最短，此时，为最短路径． 【详解】（1）解：如图，线段，射线为所求． （2）解：如图，线段为所求． （3）解：如图，点E为所求．作图依据为：两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 【题型十九】与线段有关的计算 【例1】如图，已知线段，点C是线段上一点，且，点M是线段的中点，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的意义，线段的和差计算，解题的关键是正确理解线段之间的数量关系． 先由线段和差求解，再由线段中点的意义以及线段和差求解即可． 【详解】解：如图， ∵，点C是线段上一点，且， ∴， ∵点M是线段的中点， ∴， ∴． 【变式1-1】已知点C，D在直线AB上，且，若，则CD的长为 ． 【答案】3或7或11 【分析】本题考查的是线段的和差运算，清晰的分类讨论是解本题的关键. 分三种情况讨论，当在线段上，当在的左侧，在线段上，当在的左侧，在的右侧，再利用线段的和差关系可得答案． 【详解】解：当C，D在线段上时，如图： ； 当C在点A左侧，D在线段上时，如图： ； 当C在点A左侧，D在点B右侧时，如图： ， 故答案为：3或7或11． 【变式1-2】如图，A、B、C三点在同一条直线上，点D是线段的中点，点E是线段的中点． (1)如图1，点C在线段上，若，，求线段的长； (2)如图2，点C在线段的延长线上，若，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的性质． （1）根据线段中点的定义可得和的长度，再根据线段的和差可得； （2）根据题意，，即可求出． 【详解】（1）解：是线段的中点，是线段的中点， ，， ； （2）解：是线段的中点，是线段的中点， ，， ， ． 【题型二十】线段上的动点问题 【例1】已知数轴上三点，，表示的数分别为，0，4，动点从点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点始终为线段靠近点的三等分点，点始终为靠近点的三等分点，点在从点出发往右运动的过程中，则线段的长度为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，数轴上两点的三等分点的计算公式，设运动时间为，点的运动速度为，则点表示的数为，再根据数轴上两点的三等分点的计算公式得到点表示的数和点表示的数，再求两个数差的绝对值即可． 【详解】解：设运动时间为，点的运动速度为，则点表示的数为， ∵点始终为线段靠近点的三等分点， ∴点表示的数为 点始终为靠近点的三等分点， 点表示的数 所以 故答案为8． 【变式1-1】点C在线段上，． (1)如图1，P、Q两点同时从C、B出发，分别以、的速度沿直线向左运动． ①在P还未到达A点时，的值为 ； ②当Q在P右侧时（点Q与C不重合），取中点M，的中点N，求的值； (2)若D是直线上一点，且，则的值为 ． 【答案】(1)①；②； (2)或或或； 【分析】本题考查线段的和差问题，距离与绝对值的关系，动点问题．画好线段图，分类讨论是解决本题的关键． （1）由线段的和差关系，以及， ，即可求解； （2）设，则，，点分五种位置进行讨论，①当D在A点左侧时，②当D在之间时，③当D在之间，且在中点的右侧时，④当D在之间，且在中点的左侧时，⑤当在的右侧时，结合图形求解． 【详解】（1）解：（1）①，， ∵，P、Q速度分别为、， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ②， ∵， ∴， ∴； （2）∵． 设，则， ∴， ①当D在A点左侧时， ， ∴， ∴； ②当D在之间时， ， ∴， ∴（不成立）， ③当D在之间，且在中点的右侧时， ， ∴， ∴， ∴， ④当D在之间，且在中点的左侧时， ， ∴， ∴， ∴； ⑤当在的右侧时， ， ∴， ∴． 综上所述，的值为或或或； 故答案为：或或或； 【变式1-2】如图，点C在线段上，，点D，E在直线上，点D在点E的左侧． (1)若，且D为的中点，求的长． (2)若D为的中点，E为的中点，求的值． (3)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段中点特点，熟悉各线段间的和、差及倍数关系，以及根据题意分情况讨论是解题的关键． （1）根据题意分别求出，再结合线段中点特点得到，进而求出，最后根据求解，即可解题； （2）根据线段中点特点得到，进而推出，再由得到，即可求出的值； （3）设，则，根据线段在直线上移动，分情况讨论，结合建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：，， ， D为的中点， ， ， ； （2）解： D为的中点，E为的中点， ， ， ， ， ， ； （3）解：，， 设，则， ， 当E在A的左侧时， 有， 解得， ， ； 当A在之间时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 当在之间时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 当在之间， 在之间时， 有， 解得， ， ， ； 当在之间， 在右侧时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 当在之间， 在右侧时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 当在右侧时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 综上所述，的值为或． 【题型二一】钟面角与方向角 【例1】如图，点B在点O的北偏东方向上，，则点C在点O的（　　）． A．西偏北方向上 B．北偏西方向上 C．西偏北方向上 D．北偏西方向上 【答案】B 【分析】本题主要考查了方向角的表示、方向角的计算等知识点，掌握方向角的表示方法是解题的关键． 用的度数减去，再结合图形即可解答． 【详解】解：∵点B在点O的北偏东方向上，， ∴． ∴点C在点O的北偏西方向上． 故选：B． 【变式1-1】当时间是10时40分时，钟表上的时针和分针的夹角的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了钟表角，通过计算时针和分针在10时40分时的角度位置，并求其差值得出夹角. 【详解】解：∵分针每分钟转动，在40分时，分针角度为； 时针每小时转动，每分钟转动， 在10时40分时，时针角度为． 两针夹角为． 故答案为：． 【变式1-2】如图，射线分别表示东南方向和北偏东的方向，则的大小为 度． 【答案】75 【分析】本题考查了方向角的定义，根据方向角的定义可得答案． 【详解】解：由图可知，， 故答案为：75． 【题型二二】角的计算与比较 【例1】已知：，，那么下列各式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查度、分、秒的互化，角的大小比较，掌握相关知识是解决问题的关键．将三个角统一转换为以度为单位的角，再比较大小即可． 【详解】解：∵ ； ； ∵， ∵， ∴． 故选：B． 【变式1-1】比较大小： ．（选填“”“”或“”） 【答案】 > 【分析】本题考查了角的度数大小比较，熟练掌握角度的单位换算是解题关键． 根据，将转化为，然后比较即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】【答案】 【分析】本题考查了度、分、秒之间的换算，能熟记和是解此题的关键．根据、度分、秒的换算关系将分和秒转换为度，再相加即可． 【详解】解：， ， ， ，即， 故答案为：． 【题型二三】与角有关的计算问题 【例1】一个三角板两个锐角分别为和．这种三角板如图所示放置，且最小角的顶点O 在直线上，是 的平分线，若，则 的度数为 度． 【答案】76 【分析】本题考查了角的和差运算，角平分线的定义，掌握角的和差运算是解题关键 先通过已知角，计算出的度数，再通过角平分线的定义计算出的度数，最后用平角180°减去其余角计算出即可 【详解】解：由题意，得， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故答案为： 76． 【变式1-1】如图，O是直线上一点，以O为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算、平角，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得； （2）先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式1-2】如图，，射线在内部，且，射线，分别在，内部． (1)如图1，若平分，，求证：平分； (2)如图2，若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，熟知角平分线的定义是解题的关键． （1）先求出的度数，由角平分线的定义求出的度数，进而求出的度数，再由角平分线的定义即可证明结论； （2）设，则，根据角之间的关系可证明，则可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，射线在内部，且， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵，射线在内部，且， ∴； 设，则， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 【题型二四】与余角、补角有关的计算问题 【例1】已知，互补，且，那么与之间的关系是（   ） A．互余 B．差为 C．和为 D．差为 【答案】A 【分析】本题考查与补角和余角有关的计算，根据和为90度的两个角互余，和为180度的两个角互补，进行判断即可． 【详解】解：∵，互补， ∴， ∴， ∴与互余； 故选A． 【变式1-1】已知，则的余角为 ，则的补角为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数和补角的度数，度数之和为90度的两个角互余，度数之和为180度的两个角互补，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的余角为，的补角为 故答案为：；． 【变式1-2】在同一平面内，，若与互余，则的度数是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了余角的定义，角的和差；由互余关系求出，再根据射线的位置分类讨论的度数，即可求解． 【详解】解：∵与互余，且， ∴． 当射线与在射线的同侧时， ； 当射线与在射线的异侧时， ． 故的度数是或． 【题型二五】与角有关的综合问题 【例1】如图，点在直线上，． (1)如图，若在直线上方，，求的度数； (2)如图，若在直线上方，在直线下方，过点分别作的平分线，的平分线．求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角、余角的性质，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）利用平角是得，即可求得的度数； （2）利用角的和差关系结合角平分线的定义分别表示，，然后求和即可． 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：， ， ， ， 平分， ， 平分， ， ， ， ． 【变式1-1】小明利用直角三角板进行数学探究活动：点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，是直角，平分钝角． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，OF平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒（），请探究和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键． （1）由补角及直角的定义可求得的度数，结合角平分线的定义可求解的度数； （2）由角平分线的定义可得，进而可求解； （3）可分两种情况：①时，时，分别计算可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是直角， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①时，由题意得， ∴ =， ∴； ②时， 由题意得， ∴ = ∴． 【变式1-2】【概念学习】若的度数为的度数的倍，则规定是的倍角． 【初步探究】 （1）若，则的5倍角的度数为________； （2）如图①，是的平分线，是的平分线，若，请直接写出图中的所有3倍角； 【深入思考】 （3）如图②，若是的5倍角，是的3倍角，且和互为补角，求的度数． 【答案】（1）；（2）和；（3） 【分析】本题考查了角度的运算、与角平分线有关的计算、补角，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据5倍角的定义可得的5倍角的度数为，计算角度的运算即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，，则可得，再根据角的和差求解即可得； （3）先求出，，再设，则，，，然后根据角的和差建立方程，解方程可得的值，最后根据求解即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴的5倍角的度数为 ． 故答案为：． （2）∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴图中的所有3倍角是和． （3）∵是的5倍角，是的3倍角， ∴，， 设，则，， ∵和互为补角， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【题型一】直线、射线、线段的辨析 【例1】下列说法正确的是（   ） A．一条直线就是一个平角 B．射线和射线是同一条射线 C．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线” D．在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为两点确定一条直线 【答案】C 【分析】本题主要考查了角、射线的定义，直线公理和线段的性质，熟练掌握这些几何基本概念是解题的关键．逐一对每个选项结合角、射线、直线公理、线段性质的概念进行判断，确定正确选项． 【详解】解：平角是由公共端点的两条射线组成的角，直线无端点，故A项错误． 射线的端点是，射线的端点是，端点不同，故B项错误． 用两个钉子固定木条，应用的是“两点确定一条直线”的公理，故C项正确． 高速公路取直缩短路程，应用的是“两点之间，线段最短”的性质，故D项错误． 故选：C． 【变式1-1】如图，点A，B，C在直线l上．下列说法正确的是（   ） A．点A在线段上 B．射线与射线是同一条射线 C．点C在线段的延长线上 D．图中共6条射线 【答案】D 【分析】本题考查了线段、射线的相关概念，需要根据这些概念对每个选项逐一进行分析判断即可． 【详解】解：A．点A在线段外，故A错误； B．射线与射线的端点不同，方向不同，不是同一条射线，故B错误； C．点C在线段的延长线上，故C错误； D．从点A、点B、点C出发，各自有两条不同方向的射线，共有（条），故D正确， 故选：D． 【变式1-2】下列几何语句描述正确的是（    ） A．直线和直线是同一条直线 B．射线和射线是同一条射线 C．延长线段到点C，使 D．画直线厘米 【答案】C 【分析】本题考查几何基本概念，掌握直线、射线和线段的性质是解题的关键． 直线无限长，无长度；射线有端点，有方向；线段有长度，可延长，延长需注意方向． 【详解】A、点、、不一定在同一条直线上直线和直线不一定共线，故A错误，不符合题意； B、射线和射线端点不同，故B错误，不符合题意； C、延长线段到点使是可行操作，故C正确，符合题意； D、直线无限长，不能有长度，故D错误，不符合题意； 故选C． 【题型二】角的相关概念辨析 【例1】如图，为锐角，的顶点处被老师的手遮盖，则的大小可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角的度数，根据角的定义，确定点的位置，借助量角器量出角的度数即可． 【详解】解：如图，借助量角器可知：； 故选B． 【变式1-1】下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 【答案】B 【分析】本题考查钝角的概念，关键是掌握钝角是大于度小于度的角． 由钝角的概念，即可选择． 【详解】解：A、周角，不是钝角，不符合题意； B、平角，是钝角，符合题意； C、周角，不是钝角，不符合题意； D、平角，不是钝角，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】下列关于角的说法，正确的有（　　） ①角是由两条射线组成的图形； ②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关； ③在角的一边的延长线上取一点D； ④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形； ⑤把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角的度数也扩大10倍． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查角的定义，角的大小，根据角的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：角是由有公共端点的两条射线组成的图形，故①错误； 角的大小只与两边张开的角度有关，与边的长短无关，故②正确； 角的一边是射线，射线无限长，不需要延长，“延长线上”取点说法错误，故③错误； 角可以看作由一条射线绕其端点旋转形成的图形，故④正确； 放大镜放大角时，角的度数不变，故⑤错误； 故正确的有②、④，共2个． 故选：B． 【题型三】平行投影、中心投影、正投影的辨析 1下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行投影的意义，掌握平行投影的特征和性质是正确判断的前提． 根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案． 【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，树高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上可知，选项C中的图形比较符合题意． 故选：C． 2．日晷是中国古代利用日影测定时刻的计时器．“晷”字，古义是太阳的影子．如图所示的晷针在晷面上形成的投影（   ） A．是平行投影 B．是中心投影 C．既是中心投影，也是平行投影 D．既不是中心投影，也不是平行投影 【答案】A 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的定义，熟记相关定义是解本题的关键．根据中心投影的定义：把光由一点向外发散形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光源是以平行的方式照射到物体上的投影，据此解答即可． 【详解】解：晷针在晷面上形成的投影是平行投影． 故选：A． 3．孟母教子是中国传统文化的重要组成部分，孟母像位于太谷区孟母园内．在晴天的日子里，从早到晚在太阳光下孟母像的影子长度的变化情况是（    ） A．逐渐变长 B．逐渐变短 C．先逐渐变长，后逐渐变短 D．先逐渐变短，后逐渐变长 【答案】D 【分析】本题考查平行投影；根据太阳光照射角度随时间的变化而变化，得出影子的长短随时间的变化而变化，早晨和傍晚影子长，中午影子短；据此即可求解． 【详解】解：依题意，从早到晚在太阳光下孟母像的影子变化是先逐渐变短，后逐渐变长． 故选：D． 4．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子（   ） A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变短后变长 D．先变长后变短 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．熟练掌握中心投影的特征是解题关键．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长． 【详解】解：因为小亮由A处走到B处这一过程中离光源是由远到近再到远的过程， 所以他在地上的影子先变短后变长． 故选：C． 5．下列现象中，属于中心投影的个数是（    ） ①皮影；②台灯下笔的影子；③太阳光下圭表的影子；④探照灯下人的影子． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了中心投影．中心投影的光线从一个点光源发出，平行投影的光线平行，根据每个现象的光源特性判断是否属于中心投影，即可作答． 【详解】解：①皮影使用点光源（如灯泡或蜡烛），光线从点发出，属于中心投影； ②台灯下笔的影子，台灯是点光源，光线从点光源发出，属于中心投影； ③太阳光下圭表的影子，太阳光近似平行，属于平行投影； ④探照灯下人的影子，探照灯是点光源，光线从点光源发出，属于中心投影； ∴属于中心投影共3个， 故选：D 6．当你走向路灯时，你的影子在你的 （填“前面”或“后面”），并且影子越来越 （填“长”或“短”）． 【答案】 后面 短 【分析】本题考查了中心投影的知识，结合实际得出是解题关键． 影子在与光的来源相反的方向，人与灯的水平之间的夹角越大，影子越短．据此解答． 【详解】解：晚上在路灯下散步，走向路灯时，影子在人与灯的相反方向，故你的影子在你的后面，离路灯越近影子越短． 故答案为：后面，短． 7．下列投影中，正投影有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查正投影的判断，掌握正投影是平行光线且与投影面垂直的投影，据此逐一判断投影类型是解题的关键． 根据正投影的定义，判断每个投影是否为平行光线且与投影面垂直的投影． 【详解】解：正投影是平行光线且与投影面垂直的投影． 第一个投影是中心投影，不是正投影； 第二个投影是平行投影但光线不垂直于投影面，不是正投影； 第三个投影是平行光线且垂直于投影面，是正投影； 所以正投影有1个． 故选：B． 8．如图所示的几何体是由3个大小相同的正方体拼成的，它的正投影不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体正投影，根据从左边看得到的图形，从正面看得到的图形，从上面看得到的图形，可得答案． 【详解】解：A、从左边看上边一个小正方形，下边一个小正方形，故A正确，不符合题意； B、从哪个方向看都不是并排的三个小正方形，故B错误，符合题意； C、从上面看是两个并排的小正方形，故C正确，不符合题意； D、从正面看第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故D正确，不符合题意； 故选：B． 9．如图①、图②所示，这两个图形的正投影分别是 ． 【答案】圆、矩形 【分析】本题考查了正投影的定义，解题的关键是掌握正投影的定义． 根据正投影的定义，确定圆锥和圆柱在平行光线下垂直投影的形状即可． 【详解】解： 因为圆锥的底面是圆，从顶点向底面作正投影， 得到的是圆，所以圆锥在平行光线的正投影下，其投影形状为圆； 因为圆柱的侧面展开图是矩形，从侧面作正投影，得到的是矩形，所以圆柱在平行光线的正投影下，其投影形状为矩形； 故答案为：圆、矩形． 试卷第2页，共61页 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03图形的初步认识（15知识&25题型&3易错） 【清单01】立体图形与平面图形 从实物中抽象出来的各种图形，包括 和 。 立体图形：有些几何图形的各个部分不都在 ，它们是立体图形。 平面图形：有些几何图形的各个部分都在同 ，它们是平面图形。 【清单02】点、线、面、体 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是 ，它是几何图形中最基本的图形。 线：面和面相交的地方是 ，分为 和 。 面：包围着体的是 ，分为 和 。 体：几何体也简称体。 （2） 点动成 ，线动成 ，面动成 。 【清单03】生活中的立体图形 柱体： ， ，球体，椎体： ， 棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做 。 侧棱：相邻两个 的交线叫做侧棱。 n棱柱有两个底面，n个侧面，共 个面； 条棱， 条侧棱； 个顶点。 棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上下两个底面是相同的多边形，直棱柱的侧面是长方形。棱柱的侧面有可能是长方形，也有可能是平行四边形。 【清单04】正方体的11种平面展开图： 【清单05】截一个正方体 用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是 ， ， ， 。 【清单06】三视图 物体的三视图指 、 、 。 主视图：从正面看到的图，叫做主视图。 左视图：从左面看到的图，叫做左视图。 俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。 【清单07】直线、射线、线段 1、直线、射线、线段的比较 名称 不同点 联系 共同点 延伸性 端点数 线段 2 线段向一方延长就成射线，向两方延长就成直线 都是直的线 射线 1 直线 无 2、点、直线、射线和线段的表示 在几何里，我们常用字母表示图形。 一个点可以用 母表示，如点A 一条直线可以用 表示或用直线上两个点的大写字母表示，如直线l,或者直线AB 一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面），如射线l,射线AB 一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示，如线段l,线段AB 【清单08】点和直线的位置关系有两种： ①点在直线上，或者说直线 这个点。 ②点在直线外，或者说直线 这个点。 【清单09】线段的性质 （1）线段公理：两点之间的所有连线中， 。 （2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的 。 （3）线段的中点到两端点的 。 （4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。 【清单10】线段的中点： 点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点。 【清单11】直线的性质 （1）直线公理： 。 （2）过一点的直线有无数条。 （3）直线是是向两方面无限延伸的，无 ，不可 ，不能 。 （4）直线上有无穷多个点。 （5）两条不同的直线至多有一个公共点。 【清单12】角 有公共端点的两条射线组成的图形叫做 ，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的 。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点 成的。 平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。 角的表示： ①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。 ②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。 ③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。 ④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。 注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。 用一副三角板，可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165° 角的度量 角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。1°=60’，1’=60” 把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。 把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。 【清单13】角的性质 （1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。 （2）角的大小可以度量，可以比较 （3）角可以参与运算。 【清单14】角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 【清单15】余角和补角 ①如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。用数学语言表示为如果 ，那么∠α与∠β互余；反过来，如果 ，那么∠α+∠β=90° ②如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。用数学语言表示为如果 ，那么∠α与∠β互补；反过来如果 ，那么∠α+∠β=180° ③同角（或等角）的 相等；同角（或等角）的 相等。 【题型一】组合体的构成 【例1】组成如图所示的陀螺的是（ ） A．长方体和圆锥 B．长方形和三角形 C．圆和三角形 D．圆柱和圆锥 【变式1-1】若一个长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，现在两部分已拼接完毕，如图所示，下列选项中能与它们拼成长方体的几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】指出图中各物体是由哪些立体图形组成的． 【题型二】几何体的顶点、棱和面 4．一个多面体的顶点数有10个，面数有12个，那么它的棱有 条． 【变式1-1】一个棱柱有5个面，则该棱柱是 棱柱，有 个顶点． 【变式1-2】欧拉是世纪瑞士著名的数学家，他发现不论什么形状的凸多面体，其顶点数、面数和棱数之间存在一个固定的关系式，被称为多面体欧拉公式，请你观察下列图表，解答下列问题． 正多面体 顶点数 面数 棱数 正四面体 正方体 正八面体 正十二面体 【实践操作】（1）直接写出 _______，_______， _______； 【归纳总结】（2），，之间的数量关系是_______； 【尝试应用】（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有个顶点，每个顶点处都有条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值． 【题型三】常见的几何体 【例1】下列图形为三棱柱的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】对于如图所示的几何体，下列说法正确的是(    ) A．几何体是三棱锥 B．几何体有3个侧面 C．几何体的侧面是三角形 D．几何体有6条侧棱 【变式1-2】把下面的几何体填在相应的横线上（友情提示：将各序号用逗号分开）． （1）柱体的是 ； （2）锥体的是 ； （3）球体的是 ； （4）有曲面的是 ． 【题型四】旋转而成的几何体 【例1】如图，将下列的平面图形绕轴旋转一周，能围成的几何体是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图所示的花瓶中，其表面可以看作由如图的平面图形绕虚线旋转一周形成的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下图所示的是由直角三角形和长方形拼成的四边形． (1)将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是_______（填序号）． ①点动成线：②线动成面；③面动成体． (2)求得到的立体图形的体积．（，结果保留） 【题型五】几何体展开图的识别 【例1】如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（   ） A．圆锥 B．三棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 【变式1-1】某个几何体的表面展开图如图所示，则该几何体为（   ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．长方体 D．圆锥 【变式1-2】下列图形中，能折成棱柱的是（   ） A．B． C． D． 【题型六】含有图案或文字的正方体展开图 【例1】如图是一个正方体的表面展开图，把展开图折叠成正方体后，“数”字一面的相对面是（　　） A．长 B．成 C．伴 D．学 【变式1-1】下图哪一个是左边正方体的展开图（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图是一个正方体的展开图，下面的四个正方体中，只有一个是和这个展开图对应的，这个正方体是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之和为2， ． 【题型七】正方体的展开图 【例1】如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1-1】如图，在图中增加一个大小相同的小正方形，使所得图形经过折叠能够围成一个正方体，下图中的黑色小正方形分别由四位同学补画，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】【问题背景】 七（2）班综合实践小组开展废纸再利用的环保小卫士活动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 【空间想象】 （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图①中的______（填字母）经过折叠能围成一个无盖正方体纸盒． 【深入思考】 （2）图②是小明的设计图，把它折成一个无盖正方体纸盒后，与“保”字相对面的文字是“______”． 【实践操作】 （3）如图③，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成一个无盖长方体纸盒． ①请你在图③中画出示意图，并用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求折成的无盖纸盒的容积． 【题型八】判断简单几何体的三视图 【例1】如图，该几何体的俯视图为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】中国古建筑精妙绝伦，擎檐柱是木结构建筑用以支撑屋面出檐的柱子，多用于重檐或重檐带平座的建筑物上，用来支撑挑出较长的屋檐及角梁翼角等．如图是一根擎檐柱的结构图，它是由一根圆柱形柱子中间挖去一个柱体后形成的，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图是一个长方体从中间去掉一个圆柱得到的几何体，则该几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【题型九】判断简单组合体的三视图 【例1】用5个完全相同的小正方体组成如图所示的几何体，则它的俯视图为（   ） A．B．C． D． 【变式1-1】如图所示的是一种常用的圆顶螺杆，它的俯视图是（   ） A． B．C． D． 解：圆顶螺杆的俯视图是． 【变式1-2】如图所示的几何体的主视图是（   ） A． B．C． D． 【题型十】画简单几何体的三视图 【例1】画出如图所示几何体的三视图．（请规范画图，注意位置和大小．） 【变式1-1】如图，一个几何体是由大小相同的小立方块搭成的，请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． 【变式1-2】画出下面几何体的三视图． 【题型十一】画简单组合体的三视图 【例1】如图，桌面上放置了两个几何体，请按每个几何体下面的要求画出相应视图． 【变式1-1】如图所示的几何体由5个大小相同的小正方体搭成． (1)画出该几何体的三视图； (2)当去掉小正方体______时，几何体的主视图没有改变．（填序号） 【变式1-2】一个几何体由大小相同的小立方块搭成，这个几何体的俯视图如下图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出这个几何体的主视图和左视图． 【题型十二】已知部分视图判断其它视图 【例1】由若干个大小形状完全相同的小立方块所搭几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图是一个由大小相同的小立方体搭成的物体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方体的个数，请你画出该物体的主视图与左视图． 【变式1-2】如图是由小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【题型十三】由三视图还原几何体 【例1】如图是某个几何体的三视图，该几何体是（   ） A．圆锥 B．圆柱 C．长方体 D．正三棱柱 【变式1-1】图是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，则该几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】图中三种视图对应的几何体是（   ） A． B． C． D． 【题型十四】有三视图计算几何体的有关数据 【例1】如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图是某几何体的三视图． (1)这个几何体的名称是___________； (2)若主视图是宽为，长为的矩形，左视图是宽为的矩形，俯视图是斜边为的直角三角形，则这个几何体的表面积是多少？ 【变式1-2】如图是由6个棱长为的小正方体组成的几何体． (1)在网格中画出这个几何体从正面、左面、上面看到的形状； (2)求这个几何体的表面积． 【题型十五】有三视图判定构成几何体的小正方体数量 【例1】如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三种视图，则构成这个几何体的小正方体的个数是（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式1-1】如图，由若干个完全相同的小正方体堆成的一个几何体放置在平整的地面上． (1)请画出这个几何体的三视图． (2)在这个几何体的表面喷上红色的漆（底部不喷漆），则在所有的小正方体中，有 个小正方体只有三个面是红色． 【变式1-2】如图是由6个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)请在方格中分别画出该几何体的主视图、左视图、俯视图． (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加________个小立方块． 【题型十六】用平面切割几何体 【例1】下列几何体中，截面不可能是圆的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图②是圆柱被一个平面斜切后得到的几何体，请类比梯形面积公式的推导方法（如图①），推导图②几何体的体积为（   ） A．52 B． C． D． 【变式1-2】用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是 （填“三角形”或“圆”）． 【题型十七】直线、射线、线段的作图问题 【例1】读句子画图：如图A、B、C、D在同一平面内 (1)过点A、B画直线，与射线相交于点P (2)连接和相交于点E (3)连接并延长，在延长线上取一点F，使 (4)在所画图中，以点为端点的射线有几条； 【变式1-1】如图，平面上有四个点A，B，C，D．按下列要求画出图形． (1)连接； (2)画直线交于点M； (3)画射线； (4)此时图中共有几条线段． 【变式1-2】如图，在同一平面内有四个点，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法和结论） (1)作射线； (2)作直线与射线相交于点； (3)分别连接； (4)我们容易判断出线段与的数量关系是_________，理由是_________________． 【题型十八】用尺规作图作线段或角 【例1】如图，平面上有四个点、、、，根据下列语句利用无刻度直尺和圆规画图： (1)画直线，射线，线段； (2)在射线上取一点不与点重合，使； (3)在直线上找一点，使线段与线段之和最小． 【变式1-1】如图，下列四种说法：①与是同一个角；②也可用来表示；③图中共有三个角：，，；④与是同一个角．其中正确的是 （填序号）． 【变式1-2】如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求作图． (1)连接，作射线； (2)用圆规在的延长线上截取； (3)在直线l上找一点E，使得最小，你的作图依据：___________． 【题型十九】与线段有关的计算 【例1】如图，已知线段，点C是线段上一点，且，点M是线段的中点，求线段的长． 【变式1-1】已知点C，D在直线AB上，且，若，则CD的长为 ． 【变式1-2】如图，A、B、C三点在同一条直线上，点D是线段的中点，点E是线段的中点． (1)如图1，点C在线段上，若，，求线段的长； (2)如图2，点C在线段的延长线上，若，求线段的长． 【题型二十】线段上的动点问题 【例1】已知数轴上三点，，表示的数分别为，0，4，动点从点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点始终为线段靠近点的三等分点，点始终为靠近点的三等分点，点在从点出发往右运动的过程中，则线段的长度为 ． 【变式1-1】点C在线段上，． (1)如图1，P、Q两点同时从C、B出发，分别以、的速度沿直线向左运动． ①在P还未到达A点时，的值为 ； ②当Q在P右侧时（点Q与C不重合），取中点M，的中点N，求的值； (2)若D是直线上一点，且，则的值为 ． 【变式1-2】如图，点C在线段上，，点D，E在直线上，点D在点E的左侧． (1)若，且D为的中点，求的长． (2)若D为的中点，E为的中点，求的值． (3)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 【题型二一】钟面角与方向角 【例1】如图，点B在点O的北偏东方向上，，则点C在点O的（　　）． A．西偏北方向上 B．北偏西方向上 C．西偏北方向上 D．北偏西方向上 【变式1-1】当时间是10时40分时，钟表上的时针和分针的夹角的度数是 ． 【变式1-2】如图，射线分别表示东南方向和北偏东的方向，则的大小为 度． 【题型二二】角的计算与比较 【例1】已知：，，那么下列各式正确的是（） A． B． C． D． 【变式1-1】比较大小： ．（选填“”“”或“”） 【变式1-2】 【题型二三】与角有关的计算问题 【例1】一个三角板两个锐角分别为和．这种三角板如图所示放置，且最小角的顶点O 在直线上，是 的平分线，若，则 的度数为 度． 【变式1-1】如图，O是直线上一点，以O为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【变式1-2】如图，，射线在内部，且，射线，分别在，内部． (1)如图1，若平分，，求证：平分； (2)如图2，若，平分，求的度数． 【题型二四】与余角、补角有关的计算问题 【例1】已知，互补，且，那么与之间的关系是（   ） A．互余 B．差为 C．和为 D．差为 【变式1-1】已知，则的余角为 ，则的补角为 ． 【变式1-2】在同一平面内，，若与互余，则的度数是 ． 【题型二五】与角有关的综合问题 【例1】如图，点在直线上，． (1)如图，若在直线上方，，求的度数； (2)如图，若在直线上方，在直线下方，过点分别作的平分线，的平分线．求的度数． 【变式1-1】小明利用直角三角板进行数学探究活动：点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，是直角，平分钝角． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，OF平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒（），请探究和之间的数量关系． 【变式1-2】【概念学习】若的度数为的度数的倍，则规定是的倍角． 【初步探究】 （1）若，则的5倍角的度数为________； （2）如图①，是的平分线，是的平分线，若，请直接写出图中的所有3倍角； 【深入思考】 （3）如图②，若是的5倍角，是的3倍角，且和互为补角，求的度数． 【题型一】直线、射线、线段的辨析 【例1】下列说法正确的是（   ） A．一条直线就是一个平角 B．射线和射线是同一条射线 C．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线” D．在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为两点确定一条直线 【变式1-1】如图，点A，B，C在直线l上．下列说法正确的是（   ） A．点A在线段上 B．射线与射线是同一条射线 C．点C在线段的延长线上 D．图中共6条射线 【变式1-2】下列几何语句描述正确的是（    ） A．直线和直线是同一条直线 B．射线和射线是同一条射线 C．延长线段到点C，使 D．画直线厘米 【题型二】角的相关概念辨析 【例1】如图，为锐角，的顶点处被老师的手遮盖，则的大小可以为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 【变式1-2】下列关于角的说法，正确的有（　　） ①角是由两条射线组成的图形； ②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关； ③在角的一边的延长线上取一点D； ④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形； ⑤把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角的度数也扩大10倍． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型三】平行投影、中心投影、正投影的辨析 1下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（   ） A．B．C． D． 2．日晷是中国古代利用日影测定时刻的计时器．“晷”字，古义是太阳的影子．如图所示的晷针在晷面上形成的投影（   ） A．是平行投影 B．是中心投影 C．既是中心投影，也是平行投影 D．既不是中心投影，也不是平行投影 3．孟母教子是中国传统文化的重要组成部分，孟母像位于太谷区孟母园内．在晴天的日子里，从早到晚在太阳光下孟母像的影子长度的变化情况是（    ） A．逐渐变长 B．逐渐变短 C．先逐渐变长，后逐渐变短 D．先逐渐变短，后逐渐变长 4．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子（   ） A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变短后变长 D．先变长后变短 5．下列现象中，属于中心投影的个数是（    ） ①皮影；②台灯下笔的影子；③太阳光下圭表的影子；④探照灯下人的影子． A．0 B．1 C．2 D．3 6．当你走向路灯时，你的影子在你的 （填“前面”或“后面”），并且影子越来越 （填“长”或“短”）． 7．下列投影中，正投影有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．如图所示的几何体是由3个大小相同的正方体拼成的，它的正投影不可能是（   ） A． B． C． D． 9．如图①、图②所示，这两个图形的正投影分别是 ． 试卷第2页，共61页 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $