精品解析：吉林省吉林市蛟河市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

八年级数学试题 数学试卷共6页，包括3道大题，共22道小题．试卷满分120分（试题18分，卷面书写2分）．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条 1．形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 地铁图标是城市地铁的独特标识，能让乘客快速识别出地铁系统，不同城市的地铁图标各具特色．下面图案是我国不同城市的地铁图标，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 分式可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 在多项式①，②，③，④，⑤中，能用平方差公式分解因式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD，CD．由作法可得：的根据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 5. 如图，图①是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图②是其示意图．已知调整前、后的灯杆，调整前臂杆之间的夹角，调整后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化的角度（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，中，，于点D，平分，于点E，交于F，H是的中点，连接交于G．则结论：①；②是等腰三角形；③；④；⑤中，正确的个数为（ ） A 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图，北盘江大桥获得过中国建筑工程鲁班奖，是世界上最高的大桥，从桥面到谷底的垂直高度达到565米．北盘江大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是________． 8. 因式分解：_____． 9. 石墨烯是一种以杂化连接的碳原子紧密堆积成单层二维蜂窝状的晶格结构的材料，现已初步应用于生物医学、移动设备、航空航天、新能源电池等诸多领域，而中国自主研发的新型石墨烯加热材料，是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034用科学记数法表示为，则n的值为________． 10. 如图，在中，点是内部的平分线上一点，连接，点是，平分线的交点，若，则的度数为_____________． 11. 如图，等边与关于直线l对称，且的边长为3，D为线段上一动点（可与端点重合），连接，则的最小值是________． 三、解答题（12－14每小题6分，15－17每小题7分，18－20每小题8分，21题10分，22题12分，共85分） 12. 计算： （1）； （2）． 13. 如图，，相交于点O，，于点M，，与交于点N，．求证：． 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，在四边形中，，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，作出四边形的对称轴l； （2）如图2，，过点D作的垂线． 17. 如图，某笔直的小路一侧的公园内有一个景观亭M，沿小路种植了A，B，C，D四棵小树．经测量发现：景观亭M到小树A和小树D的距离相等；景观亭M到小树B和小树C的距离也相等，图中所有点都在同一平面内，点A，B，C，D在同一条直线上，请问A，B两棵树之间的距离与C，D两棵树之间的距离相等吗？为什么？ 18. 如图，中，平分．点E，F分别在边，上；，交于点G， ． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 19. 乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式 第一步 第二步 ． 第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． （1）乐乐从第一步到第二步因式分解运用方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； （2）请你按照上述方法分解因式：． 20. 如图是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和甲、乙两位同学不完整的解答过程． 张庄和李庄两地之间路程是，嘉琪和爸爸二人都从张庄到李庄，嘉琪骑自行车，爸爸骑摩托车．爸爸比嘉琪晚出发，却和嘉琪同时到达．已知爸爸的速度是嘉琪的速度的2.5倍，嘉琪和爸爸二人的速度各是多少？ 甲： 乙：设嘉琪的速度为 根据以上信息，解答下列问题． （1）甲同学所列方程中的x表示_______________； （2）根据乙同学设的未知数，列方程并解答． 21. 如图，线段长度为，在线段上截取线段，再延长至，使，，分别做正方形、正方形和正方形． （1）分别计算图中长方形和阴影部分图形面积，可以发现一个乘法公式_________； （2）如果已知图中正方形、正方形的面积分别是7和3，计算长方形的面积； （3）分别连接、、、，如果已知正方形的面积是，正方形的面积是，用含、的代数式表示四边形的面积． 22. 如图1，在中，，，，，动点P从点A出发，以速度沿着三角形的边运动，回到点A时停止，设运动时间为． （1）当时，______； （2）当点P在上运动时： ①______（用含t的式子表示） ②当的周长被线段分为相等的两部分时，求t的值； （3）若的面积等于面积的一半，求t的值； （4）如图3，在中，，，，．如图2，在的边上有另一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿边运动，回到点A时停止；若在运动过程中的某一时刻，和全等，请直接写出此时点Q的运动速度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试题 数学试卷共6页，包括3道大题，共22道小题．试卷满分120分（试题18分，卷面书写2分）．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条 1．形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 地铁图标是城市地铁的独特标识，能让乘客快速识别出地铁系统，不同城市的地铁图标各具特色．下面图案是我国不同城市的地铁图标，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，符合题意； B．是轴对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 分式可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，分式的变形，掌握分式的性质是解题的关键． 根据分式的性质变形即可求解． 【详解】解：， 故符合的只有B选项， 故选：B． 3. 在多项式①，②，③，④，⑤中，能用平方差公式分解因式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟知平方差公式是解题的关键．根据平方差公式的特征，即可求解． 【详解】解：①，不能应用平方差公式分解； ②，是平方和，不能应用平方差分解； ③，符合平方差的特征，可以应用平方差分解； ④，符合平方差的特征，可以应用平方差分解； ⑤，符合平方差的特征，可以应用平方差分解； 综上所述：题中能用平方差公式分解的有③④⑤，共3个． 故选：C． 4. 如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD，CD．由作法可得：的根据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和全等三角形判定的方法可以得到ABC≌△CDA的根据，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， AD=BC，AB=CD， 在△ADC和△CBA中， ， ∴△ADC≌△CBA（SSS）， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定方法解答． 5. 如图，图①是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图②是其示意图．已知调整前、后的灯杆，调整前臂杆之间的夹角，调整后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化的角度（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角和性质，掌握平行线性质是解题的关键． 根据的性质得出的度数，根据是的外角求解即可． 【详解】解： 是的外角 故选：C． 6. 如图，中，，于点D，平分，于点E，交于F，H是的中点，连接交于G．则结论：①；②是等腰三角形；③；④；⑤中，正确的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】由可证可得可判断①正确．再证明以及等腰三角形的性质可进一步得出，可判断④正确，由角的关系得出是等腰三角形，可判断②正确，由全等三角形的性质可得则可得可判断③正确；由角平分线的性质可得点到的距离等于点到的距离，由三角形的面积公式可求，可判断⑤正确，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确． 平分，， ． 又，即， 在和中， ， ， ． 由①知， ∴，故④正确． 是等腰直角三角形，是中点， ，． ，， ， （等量代换）， （等角对等边）， 是等腰三角形，故②正确． 由①，得（全等三角形对应边相等）． ． 又由④，得（全等三角形对应边相等）． ，故③正确． 平分，， ∴等于中边上的高h， （高相同，约去），故⑤正确． 综上，①②③④⑤均正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质、等腰三角形判定与性质、角平分线性质定理及三角形面积公式的综合应用，熟练掌握全等三角形判定与性质、等腰三角形及角平分线相关定理是解题关键 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图，北盘江大桥获得过中国建筑工程鲁班奖，是世界上最高的大桥，从桥面到谷底的垂直高度达到565米．北盘江大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是________． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键；根据三角形的稳定性进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：其蕴含的数学道理是三角形的稳定性； 故答案为：三角形的稳定性． 8. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法，正确掌握相关运算法则解题关键，提取公因式即可． 详解】解：原式 故答案为： 9. 石墨烯是一种以杂化连接的碳原子紧密堆积成单层二维蜂窝状的晶格结构的材料，现已初步应用于生物医学、移动设备、航空航天、新能源电池等诸多领域，而中国自主研发的新型石墨烯加热材料，是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034用科学记数法表示为，则n的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握科学记数法的形式为负整数时，的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前所有零的个数）． 根据科学记数法表示小于1的正数的形式，确定后，数出原数0.00000000034中左起第一个非零数字（3）前的0的个数，即可得到的值． 【详解】解：，所以的值为． 故答案为：． 10. 如图，在中，点是内部的平分线上一点，连接，点是，平分线的交点，若，则的度数为_____________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据三角形内角和定理可得，由角平分线的性质可证得，进而得到，据此求解的值即可． 【详解】解：点是，平分线的交点， ， 是的平分线 ． 故答案为：． 11. 如图，等边与关于直线l对称，且的边长为3，D为线段上一动点（可与端点重合），连接，则的最小值是________． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到，，证明，得到，推出当A、D、三点共线时，最小，此时． 【详解】解∶如图，连接， 由对称性质可知，． ． ． ． ．， ∴当A、D、三点共线时，最小，此时． 故答案为∶6． 三、解答题（12－14每小题6分，15－17每小题7分，18－20每小题8分，21题10分，22题12分，共85分） 12. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由积的乘方运算、幂的乘方运算及同底数幂的乘法、同底数幂的除法运算计算，再合并同类项即可得到答案； （2）先计算乘方运算，再计算分式乘法运算，然后将除法转化为乘法，最后由分式乘法运算计算即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查整式混合运算、分式乘除混合运算等知识，涉及积的乘法运算、幂的乘方运算、同底数幂的乘法、同底数幂的除法运算、合并同类项、分式乘方运算、分式乘法运算、分式除法运算、约分等知识，熟记整式相关运算法则、分式相关运算法则是解决问题的关键． 13. 如图，，相交于点O，，于点M，，与交于点N，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据于点M，得，根据得，进而可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：于点M，， ∴， ∵， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴. 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】3x2﹣10，﹣1． 【解析】 分析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项，把已知数据代入得出答案． 【详解】解：原式＝4x2﹣1﹣（x2﹣6x+9）﹣6x ＝4x2﹣1﹣x2+6x﹣9﹣6x ＝3x2﹣10， 当x＝﹣时， 原式＝3×（﹣）2﹣10 ＝3×3﹣10 ＝9﹣10 ＝﹣1． 点睛】此题主要考查了整式的混合运算——化简求值，正确运用乘法公式化简是解题关键． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解决问题的关键． 先将分式分子分母因式分解，然后约分、再将除法转化为乘法，约分后由分式减法运算计算得到化简结果，再将代入计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 如图，在四边形中，，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，作出四边形的对称轴l； （2）如图2，，过点D作的垂线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称图形的性质是解答本题的关键； （1）作直线，即为所求的直线． （2）连接交于点，作直线，交于点，则直线即为所求． 【小问1详解】 解：如图1，作直线， 则直线即为所求的直线． 【小问2详解】 解：如图2，连接交于点，作直线，交于点， 则直线即为所求． 17. 如图，某笔直的小路一侧的公园内有一个景观亭M，沿小路种植了A，B，C，D四棵小树．经测量发现：景观亭M到小树A和小树D的距离相等；景观亭M到小树B和小树C的距离也相等，图中所有点都在同一平面内，点A，B，C，D在同一条直线上，请问A，B两棵树之间的距离与C，D两棵树之间的距离相等吗？为什么？ 【答案】相等，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质证明即可得出结论． 【详解】解：A、B两棵树之间的距离与C、D两棵树之间的距离相等． 理由如下：由题意得，， ∴，． ∴． 在和中， ∴． ∴． ∴A、B两棵树之间的距离与C、D两棵树之间的距离相等． 18. 如图，中，平分．点E，F分别在边，上；，交于点G， ． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，掌握平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义是解本题的关键． （1）首先根据，，等量代换可得，进而得到，最后利用平行线的性质即可得证，再由角平分线的定义得出，等量代换即可得出． （2）根据三角形的内角和定理得出，再利用角平分线的定义得出，又因为，所以，进而可求出的度数． 【小问1详解】 证明：，， ， ， ． ∵平分， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：，， ， 是角平分线， ， ， ， ． 19. 乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式 第一步 第二步 ． 第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． （1）乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； （2）请你按照上述方法分解因式：． 【答案】（1）②，① （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式和提取公因式的概念填空即可． （2）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； 【小问1详解】 解：乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是平方差公式， 第二步到第三步因式分解运用的方法是提公因式法． 故答案为：②，①． 【小问2详解】 解： ． 20. 如图是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和甲、乙两位同学不完整的解答过程． 张庄和李庄两地之间的路程是，嘉琪和爸爸二人都从张庄到李庄，嘉琪骑自行车，爸爸骑摩托车．爸爸比嘉琪晚出发，却和嘉琪同时到达．已知爸爸的速度是嘉琪的速度的2.5倍，嘉琪和爸爸二人的速度各是多少？ 甲： 乙：设嘉琪的速度为 根据以上信息，解答下列问题． （1）甲同学所列方程中的x表示_______________； （2）根据乙同学设的未知数，列方程并解答． 【答案】（1）嘉琪从张庄到李庄所用的时间 （2）方程见解析，嘉琪和爸爸二人的速度各是和 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确地理解题意列出方程是解题的关键． （1）根据甲同学所列方程即可得到结论； （2）根据题意列分式方程，解方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：甲同学所列方程中的表示嘉琪所用时间； 故答案为：嘉琪所用时间； 【小问2详解】 解：设嘉琪的速度为，则爸爸的速度为， 根据题意得，， 解得：， 经检验：是原方程解， ， 答：嘉琪和爸爸二人的速度各是和． 21. 如图，线段长度为，在线段上截取线段，再延长至，使，，分别做正方形、正方形和正方形． （1）分别计算图中长方形和阴影部分图形的面积，可以发现一个乘法公式_________； （2）如果已知图中正方形、正方形的面积分别是7和3，计算长方形的面积； （3）分别连接、、、，如果已知正方形的面积是，正方形的面积是，用含、的代数式表示四边形的面积． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】本题考查了整式运算的应用． （1）根据题意可以得到； （2）由题意得，，计算得到，据此求解即可； （3）根据四边形的面积等于中间小正方形的面积和四个直角三角形面积和，据此求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，长方形的面积， 阴影部分图形的面积， ∴可以发现一个乘法公式为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵正方形、正方形的面积分别是7和3， ∴，， ∴， 整理得，，即， 长方形的面积； 【小问3详解】 解：∵正方形的面积是，正方形的面积是， ∴，， ∴四边形的面积 ． ． 22. 如图1，在中，，，，，动点P从点A出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点A时停止，设运动时间为． （1）当时，______； （2）当点P在上运动时： ①______（用含t的式子表示） ②当的周长被线段分为相等的两部分时，求t的值； （3）若的面积等于面积的一半，求t的值； （4）如图3，在中，，，，．如图2，在的边上有另一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿边运动，回到点A时停止；若在运动过程中的某一时刻，和全等，请直接写出此时点Q的运动速度． 【答案】（1）6 （2）①；② （3）或 （4）或或或 【解析】 【分析】本题考查三角形中的动点问题，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想求解，是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）①根据求解即可． ②根据题意，易得，即点的路程等于三角形周长的一半，列出方程进行计算即可； （3）分点为的中点和点为的中点两种情况，进行求解即可； （4）分，两种情况，再分点在上和点在上，进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：当时，； 故答案为：6； 【小问2详解】 解：①当点在边上，； ②由题意，得：， ∴， 解得：； 故答案为：6； 【小问3详解】 解：①当点为的中点时，为的中线，则：， ； ②当点为的中点时，为的中线，则：， ； 综上：或； 【小问4详解】 解：①当，则：， 当点在上时，，解得：， ∴点的速度为：； 当点在上时，则：， ∴点的速度为：； ②当时，则：， 当点在上时，，解得：， ∴点的速度为：； 当点在上时，则：， ∴点的速度为：； 综上：点的速度为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $