菱形的判定与性质综合、矩形的判定与性质综合专项训练-2025-2026学年北师大版九年级数学上册

菱形的判定与性质综合、矩形的判定与性质综合专项训练 菱形的判定与性质综合、矩形的判定与性质综合专项训练 考点目录 菱形的判定与性质综合 矩形的判定与性质综合 考点一 菱形的判定与性质综合 例1.(24-25八年级下·陕西汉中期末)如图，在口ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点，连结AF、CE, 且AF、CE与对角线BD分别相交于点G、H,连接EG、FH, D B (1)求证：EH=FG; (②)当AD⊥BD时，求证：四边形EHFG是菱形， 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， AB=CD,AB∥CD, :点E、F分别是边AB、CD的中点， AE-BE-AB CF-DF-CD :AE =BE CF DF, ∴四边形AECF是平行四边形， AF=CE,AF∥CE, :∠AFD=∠FCH, AB‖CD, :ZBEC ZFCE,ZEBH ZFDG, ∠DFG=LBEH, 又：BE=DF, △BEH≌△DFG(ASA), :.EH=FG. (2)连接EF, 菱形的判定与性质综合、矩形的判定与性质综合专项训练 由(1)知，EH=FG,EH∥FG, D 四边形EHFG是平行四边形， :点E、F分别是边AB、CD的中点， .AE =DF, AE‖DF :四边形AEFD是平行四边形， ADI‖EF, :AD⊥BD, EF⊥BD, :四边形EHFG是菱形. 例2.(25-26九年级上陕西西安期中)如图，在ABC中，AB=AC,D、E分别是AB,BC的中点，BF∥DE ,EF∥DB D (I)求证：四边形BDEF是菱形 (2)连接DF交BC于点O,若BE=4,AC=25,求四边形BDEF的面积. 【答案】（①）证明见解析 (2)4 【详解】(I)证明：BF∥DE,EF∥DB, :四边形BDEF是平行四边形， :点D,E分别是AB,BC的中点， .DE为ABC的中位线， .DE∥AC, .∠DEB=∠C, AB=AC, ∠C=LDBE, 菱形的判定与性质综合、矩形的判定与性质综合专项训练 .∠DEB=∠DBE, :BD DE :四边形BDEF为菱形 (2)解：如图所示，连接AE, :AB=AC=2V5,点E为BC的中点， D .AE⊥BC, 在Rt△ABE中，BE=4,AC=AB=2√5， 由勾股定理得：AE=√AB2-BE2=V(2V5)2-42=2, 由(1)可知，四边形BDEF为菱形， BO=E0,DO=OF,DF⊥BE, 又点D为AB的中点， :DO为△ABE的中位线， :DO=AE=1, DF=2, 四边形BDEF的面积为2X2×4=4, 例3.(25-26九年级上江西吉安·月考)如图，ABC中，点D,E分别是AB,AC的中点，BE=2DE,延长 DE到点F,使得EF=BE,连接CF. D (I)求证：四边形BCFE是菱形； (2)若CE=4,四边形BCFE的面积为16，求四边形BCFE的周长. 【答案】(1)见解析 (2)85 菱形的判定与性质综合、矩形的判定与性质综合专项训练 【详解】(1)证明：“D,E分别是AB,AC的中点， .DE∥BC,BC=2DE, BE =2DE,EF=BE, :EF BE BC, 又，EF‖BC, :四边形BCFE是平行四边形， .EF BE, :四边形BCFE是菱形； (2)解：连接BF交CE于点O,如图所示： :四边形BCFE是菱形，CE=4, :.OC=1CE=2,OB=1BF,CE L BF, SgmRCrE=CE.BF=16 A E D FBF=16x2=8, 4 B .0B=4, BC=VOC2+0B2=V22+42=2V5, C菱形aCFE=4BC=8V5, 即菱形BCFE的周长为8√5 例4.(25-26八年级上·云南昆明月考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF与AD相交于 点E,与BC相交于点F,连接AF,CE. E D B (I)求证：四边形AFCE是菱形； (2)若四边形AFCE的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形AFCE的面积. 【答案】()见解析 菱形的判定与性质综合、矩形的判定与性质综合专项训练 (2)96 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .ADI BC, LEA0=∠FC0, :EF是AC的垂直平分线， A0=C0,LA0E=∠C0F=90°， ∠AOE=∠COF=90° 在△AOE和aCOF中， 0A=0C ∠EAO=∠FCO :aA0E≌aCOF, E0=F0, :四边形AFCE是菱形； (2)解：：四边形AFCE是菱形， :AF FC=CE=AE :四边形AFCE的周长是40， :AF=FC=CE=AE=10, 设AC=2a、EF=2b, 则有2a+2b=28,0A=0C=a,0E=0F=b, a+b=14, 在RtaA0E中，OA2+OE2=AE2, a2+b2=102, (a+b)=a2+b2+2ab, .102+2ab=14, 整理可得：ab=48, .SsmCE=ACEF=-x4ab=2ab-96 2 变式1.(24-25八年级下·云南临沧·期末)如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC,AD∥BC,AD=CD,DE平分 ∠ADC交BC于点E,连接AC交DE于点F,连接AE. E 菱形的判定与性质综合、矩形的判定与性质综合专项训练 (I)求证：四边形AECD是菱形： (2)已知AB=8,BC=16,求DE的长. 【答案】（①）证明见详解 (2)45 【详解】(1)证明：~AD∥BC, ∠ADE=∠DEC, 又~DE平分∠ADC, ∠ADE=∠CDE, ∠DEC=LCDE, .CD =CE, 又AD=DC, .AD=CE, 四边形AECD是菱形. (2)解：AB⊥BC,AB=8,BC=16, ∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=√AB2+BC2=V⑧2+162=8V5, 又~四边形AECD是菱形， ·O0=0y=0a=☒‘90TOp‘3d=10‘Sb=OF=0d=四 设CE=AE=a,则BE=16-a, 在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2, ∴a2=82+16-a2,解得a=10, AE=10,BE=16-a=6, 在RtaAEF中，EF=VAE2-AF2=102-(4V5=25, DE=2EF=45. 变式2.(24-25八年级下·云南红河·期末)如图，在平行四边形ABCD中，BE,DF分别是∠ABC,∠ADC的平 分线，且E,F分别在边AD,BC上，BE=BF. E D B (1)求证：四边形BFDE是菱形； 6 菱形的判定与性质综合、矩形的判定与性质综合专项训练 (2)若∠A=60°，AB=2,求平行线AD与BC间的距离. 【答案】（①）证明见解析； (2)平行线AD与BC间的距离为5. 【详解】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ∠ABC=∠ADC,AD∥BC, ∴∠BEA=∠EBF,∠ADF=LCDF, ~BE,DF分别是∠ABC,∠ADC的平分线， ZEBE=LABE∠ABC,ZADF=∠CDF∠ADC .∠EBF=∠CDF, BE∥DF, ∴四边形BFDE是平行四边形， BE BF ∴四边形BFDE是菱形： (2)解：如图，过B作BH⊥AD于点H,则∠AHB=90°， .∠ABH=90°-∠A=30°， 4H=8= ∴BH=√AB2-AH2=V22-1P=√5， ∴平行线AD与BC间的距离为√5. 变式3.(25-26九年级上：四川成都期中)如图，在等腰ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，点E,F在 射线AD上，且DE=DF. 菱形的判定与性质综合、矩形的判定与性质综合专项训练 N-X B (I)求证：四边形BECF是菱形； (2)若AD=BC=10,AE=BE,求菱形BECF的面积. 【答案】（①）见解析 明 【详解】(1)证明：~AB=AC,AD是BC边上的中线， ∴BD=CD,AD⊥BC, DE=DF, ∴四边形BECF是平行四边形， 又AD⊥BC,即EF⊥BC, ∴平行四边形BECF是菱形. (2)解：设DE=x,则EF=2x, AD BC=10,AE=BE,BD=CD, AE=BE=AD-DE=10-x,BD=-BC=5, AD⊥BC, ∴∠BDE=90°， 在Rt△BDE中，BD2+DE2=BE2, 即52+x2=(10-x)2, 解得x15 EF=2x15-15 42 遂形EcF的面积-0C-F-×10x与-5 22 变式4.(25-26九年级上陕西榆林期中)如图，在口ABCD中，连接AC,AB=AC,过点D作DE∥AC,交BA的 8 菱形的判定与性质综合、矩形的判定与性质综合专项训练 延长线于点E,连接CE交AD于点H. F B (I)求证：四边形ACDE是菱形； (2)若AC=√5，BC=2,求CE的长. 【答案】（①）见解析 (2)4 【详解】(I)证明：~四边形ABCD是平行四边形， AB=CD,AE∥CD, 又DE∥AC, 四边形ACDE是平行四边形， .AB=DC,AB=AC, ∴DC=AC, ∴四边形ACDE是菱形. (2)解：四边形ACDE是菱形， .AD L CE.AH DH,CH-CE. ~四边形ABCD是平行四边形， AD=BC=2, 1 AH=。AD=1, 2 ~AC=5, CH=AC2-AH2=5-1=2, ∴.CE=2CH=4. 菱形的判定与性质综合、矩形的判定与性质综合专项训练 考点二 矩形的判定与性质综合 例1.(25-26九年级上辽宁丹东月考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,过点A作BC的垂线， 垂足为点E,延长BC到点F,使CF=BE,连接DF, B (I)求证：四边形AEFD是矩形； (2)连接OE,若BD=8,AC=4, ①求OE的长： ②求CE的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)①2 ②4v5 5 【详解】(1)证明：~四边形ABCD是菱形， AD=BC,AD‖BC. CF=BE, .CF +CE=BE+CE, ∴.EF=BC=AD, 四边形AEFD是平行四边形. AE⊥BC, ∠AEF=90°， ·平行四边形AEFD是矩形： (2)解：①~四边形ABCD是菱形， 40=-c0-号4c. 在RtAACE中，AC=4, :0E=1AC=2: 2 ②~四边形ABCD是菱形，且AC=4,BD=8, +.AC L BD,CO=1AC=2.BO=1BD=4. 10菱形的判定与性质综合、矩形的判定与性质综合专项训练 菱形的判定与性质综合、矩形的判定与性质综合专项训练 考点目录 菱形的判定与性质综合 矩形的判定与性质综合 考点一 菱形的判定与性质综合 例1.(24-25八年级下·陕西汉中期末)如图，在口ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点，连结AF、CE, 且AF、CE与对角线BD分别相交于点G、H,连接EG、FH. D G B (I)求证：EH=FG: (②)当AD⊥BD时，求证：四边形EHFG是菱形， 例2.(25-26九年级上陕西西安期中)如图，在ABC中，AB=AC,D、E分别是AB,BC的中点，BF∥DE, EFI∥DB (I)求证：四边形BDEF是菱形 (2)连接DF交BC于点O,若BE=4,AC=25,求四边形BDEF的面积. 菱形的判定与性质综合、矩形的判定与性质综合专项训练 例3.(25-26九年级上江西吉安月考)如图，ABC中，点D,E分别是AB,AC的中点，BE=2DE,延长 DE到点F,使得EF=BE,连接CF. E D B (I)求证：四边形BCFE是菱形； (2)若CE=4,四边形BCFE的面积为16，求四边形BCFE的周长. 例4.(25-26八年级上·云南昆明月考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF与AD相交于 点E,与BC相交于点F,连接AF,CE, D (I)求证：四边形AFCE是菱形； (2)若四边形AFCE的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形AFCE的面积. 2 菱形的判定与性质综合、矩形的判定与性质综合专项训练 变式1.(24-25八年级下·云南临沧·期末)如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC,AD∥BC,AD=CD,DE平分 ∠ADC交BC于点E,连接AC交DE于点F,连接AE. D B E (1)求证：四边形AECD是菱形： (2)已知AB=8,BC=16,求DE的长. 变式2.(24-25八年级下·云南红河期末)如图，在平行四边形ABCD中，BE,DF分别是∠ABC,∠ADC的平 分线，且E,F分别在边AD,BC上，BE=BF. D B F (I)求证：四边形BFDE是菱形； (2)若∠A=60°，AB=2,求平行线AD与BC间的距离. 菱形的判定与性质综合、矩形的判定与性质综合专项训练 变式3.(25-26九年级上·四川成都期中)如图，在等腰ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，点E,F在 射线AD上，且DE=DF. B D (I)求证：四边形BECF是菱形； (2)若AD=BC=I0,AE=BE,求菱形BECF的面积. 变式4.(25-26九年级上·陕西榆林期中)如图，在▣ABCD中，连接AC,AB=AC,过点D作DE∥AC,交BA的 延长线于点E,连接CE交AD于点H. E A H D (I)求证：四边形ACDE是菱形： (2)若AC=√5，BC=2,求CE的长. 菱形的判定与性质综合、矩形的判定与性质综合专项训练 考点二 矩形的判定与性质综合 例1.(25-26九年级上辽宁丹东月考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,过点A作BC的垂线， 垂足为点E,延长BC到点F,使CF=BE,连接DF. ■ E (I)求证：四边形AEFD是矩形； (2)连接OE,若BD=8,AC=4, ①求OE的长； ②求CE的长. 例2.(25-26九年级上河南郑州月考)如图，在ABC中，AB=AC,D是BC的中点，CE∥AD, AE⊥AD,EF⊥AC. A E B (I)求证：四边形ADCE是矩形； (2)若BC=4,CE=3,求EF的长. 5 菱形的判定与性质综合、矩形的判定与性质综合专项训练 例3.(25-26九年级上福建宁德·期中)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC边于点E,点F在 边AD上，且DF=BE. D (I)求证：四边形AECF是矩形； (2)若BF平分∠ABC,且BE=3,AB=7,求线段BF的长. 例4.(25-26九年级上陕西西安·期中)如图，己知ABC,D、G分别是AB、AC边上的中点，DE⊥BC于点 E,点F在DG的延长线上，DF=EC,连接FC. G (I)求证：四边形DECF是矩形. (2)若∠B=45°，DE=4,DF=6,求AC的长. 6 菱形的判定与性质综合、矩形的判定与性质综合专项训练 变式1.(25-26九年级上广东深圳月考)如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，E是AB的中点，AC、DE交 于点F,AF=FC,BF∥CD. (I)求证：四边形BCDF为矩形； (2)若CD=DE=3,求AB的长. 变式2.(25-26九年级上陕西西安·月考)如图，在ABC中，D是边AB上一点，M是边AC的中点，连接DM并 延长至点N,使得MN=DM,连接AW,CN,CD,且∠AMD=2LMCD. D B (I)求证：四边形ADCN是矩形： (2)若LBAC=60°，BD=2AD=4,求点D到边BC的距离. 菱形的判定与性质综合、矩形的判定与性质综合专项训练 变式3.(25-26九年级上：四川成都期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E是AB的中 点，连接OE,过点B作BF∥AC交OE的延长线于点F,连接AF, D (1)求证：四边形A0BF为矩形： (2)若OE=2√5，BD=2AC,求AB的长及点A到BC的距离. 变式4.(25-26九年级上广东佛山月考)如图所示，在ABC中，AB=AC,AD是中线，AN是ABC的外角 ∠CAM的平分线，CE⊥AW,垂足为E. M (I)求证：四边形ADCE是矩形； (2)连接BE,若AC=10,BC=12,求BE的长.