专题1.8 空间角的向量求法辅导讲义 -2025-2026学年高二数学必备知识与考点专练（人教A版选择性必修第一册）

该高中数学讲义以“空间角的向量求法”为核心，通过公式梳理与考点分层构建知识体系，用框架图呈现线线角、线面角、二面角的向量求法脉络，突出公式本质、建系技巧与基底法等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础例题到变式拓展再到综合巩固，如探索性问题培养数学思维，方法指导中坐标法与基底法结合提升数学语言表达能力，助力不同层次学生掌握，为教师精准教学提供系统支持。

专题1.8 空间角的向量求法 高中数学辅导资料 专题1.8 空间角的向量求法 一、必备知识： 1.若，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点，，为所成的角为，则. 2.若直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，则有 .（注意此公式中最后的形式是：） 3.若于，于，平面交于，则为二面角的平面角，.若分别为面，的法向量，则. 设二面角为，则根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角；若二面角为锐二面角（取正），则；若二面角为钝二面角（取负），则. 二、考点专练： 地 城 考点01 利用空间向量求线线角 【例题1-1】若两异面直线与的方向向量分别是，，则直线与的夹角为（  ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【详解】由题意，两异面直线与的方向向量分别是，，可得，，，设异面直线与所成的角为，则，又因为，所以，即直线与的夹角为.故选：B. 【例题1-2】如图，正四棱锥，，，为侧棱上的点，且．求异面直线与所成角的余弦值． 【详解】因为，，，所以以为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，所以， ，所以， 因此异面直线与所成角的余弦值为. 【例题1-3】如图，平行六面体的所有棱长均两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【详解】连接，，，故， 又，故 ，故， 则 ， 所以直线与所成角的余弦值为，故答案为：. 1. 核心公式与转化：求异面直线或相交直线所成角θ，本质是求两方向向量的夹角。 务必牢记公式： 关键技巧在于取绝对值，因为线线角θ的范围是(0°,90°]，而向量夹角可能为钝角，需通过绝对值将其转化为锐角或直角。 2. 建系与坐标运算：若图形具备三条两两垂直的棱（如长方体、直棱柱、有垂直面的锥体），优先建立空间直角坐标系。准确写出相关点的坐标，进而求出直线的方向向量（终点坐标减起点坐标）。坐标法能有效规避复杂的几何作图与逻辑推理，将几何问题代数化，是高考中最稳妥、高效的“暴力求解”手段。 3. 基底法的应用：若图形不适合建系（如斜棱柱、特定角度的锥体），但已知向量的模与夹角关系清晰，可选用基底法。选取不共面的三个向量作为基底，将所求方向向量用基底表示，利用向量数量积的运算律展开求解。此法对空间想象能力和向量运算能力要求较高，需注意基底的选取要便于计算。 4. 易错点警示：计算过程中，点积与模长的计算要细心；切记线线角的余弦值非负，若算出向量夹角余弦为负，需取其相反数作为最终答案。 【变式1-1】1．已知点，，向量，求向量与夹角的余弦值得（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知点，所以.故选：B. 【变式1-2】已知四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面是PB的中点. (1)求直线BD与直线PC所成角的大小； (2)求点B到平面ADE的距离． 【详解】（1）以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图空间直角坐标系. 由题意，，，，，， 设直线BD与直线PC所成的角为，因为，，，所以直线BD与直线PC所成角为； （2）因为，，， 所以，， 则为平面的一个法向量， 设点到平面的距离为，则为向量在向量上的投影的绝对值， 由，得，所以点到平面的距离为. 【变式1-3】如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【详解】（1），则 ，所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以， ， 则. 地 城 考点02 利用空间向量求线面角 【例题2-1】已知四棱锥平面，底面为矩形，为的中点，为上一点，若与平面所成角的正弦值为，则 ． 【答案】1 【详解】因为平面，底面为矩形，建立如图所示的空间直角坐标系，易得，设，则，设平面BEF的法向量为，则即令，则，所以，解得，即．故答案为：1. 【例题2-2】如图，已知四边形为等腰梯形，且，，，．为中点，将沿进行翻折，使点与点重合．取中点，连接、．    (1)证明：平面； (2)当时，求与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）证明：连接，因为四边形为等腰梯形，所以，, 又为中点，，， 所以四边形为平行四边形，则，，即， 因为，所以为等边三角形，即为等边三角形， 又为的中点，所以，则， 又，所以，即， 因为，且平面，所以平面. （2）由（1）知，为等边三角形，，所以， 则，在中，，则， 又，所以，则，因为平面，，所以平面， 以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，所以，， 设平面的一个法向量为，则，取，则， 设与平面所成角为，则， 即与平面所成角的正弦值为． 1. 核心公式与本质：线面角θ是直线与它在平面内射影的夹角，其正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值，即. 这是最常用、最稳妥的公式，切记求的是正弦值，而非余弦值。 2. 建系与法向量是关键：首先建立合适的空间直角坐标系，写出直线的方向向量。其次，利用“法向量垂直于平面内任意向量”的性质，通过解方程组求出平面的法向量。建系的合理性与法向量计算的准确性是得分的重中之重。 3. 避坑技巧：若题目要求求线面角的余弦值，切勿直接使用公式，需先求出正弦值，再利用同角三角函数关系式求出余弦值。计算时务必加绝对值，因为线面角θ的范围是[0°,90°]，其正弦值恒为正。 【变式2-1】如图，在棱锥中，，，两两垂直，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）   A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示），则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，所以平面的一个法向量为；设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.故选：C. 【变式2-2】如图，平面，平面，四边形为正方形，E，F位于平面的两侧． (1)若，试用，，表示； (2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）连接，由题意得， 又，所以； （2）以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则令，得， 设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成交的正弦值为. 【变式2-3】如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD是矩形，△BCF是边长为2的等边三角形，平面平面ABCD，，二面角的大小是. (1)求证：直线平面ABCD； (2)求直线AE与平面CDEF所成角的正弦值. 【详解】（1）如图，取AD的中点G，连接EG，则， 因为△BCF是边长为2的等边三角形，底面ABCD是矩形，所以， 因为，所以. 设E在平面ABCD内的射影为O，连接EO，则平面ABCD， 连接OA，OD，OG，则，所以，所以， 所以为二面角的平面角，所以，所以. 过F作，垂足为H， 因为平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD， 又平面ABCD，所以.易知，连接OH，则四边形EFHO为矩形， 所以，又平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD. （2）以C为坐标原点，分别以向量，的方向为x轴、y轴的正方向建立空间直角坐标系，如图， 设，则，，，，， 所以，，. 设平面的法向量为，则， 所以即得取，得. 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 【例题3-1】已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为 .地 城 考点03 利用空间向量求二面角 【答案】45°或135° 【详解】因为两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角与相等或互补，因为，且，故.故两平面所成的二面角为45°或135°.故答案为：45°或135° 【例题3-2】如图，和所在平面垂直，且， 求：(1)；(2)求二面角的夹角的正弦值. 【详解】（1），∴≌，， 取中点，连接，为等腰三角形，， 又，平面，平面，又平面，； （2）法一：射影面积法，过点作⊥，交的延长线于点，连接， 因为和所在平面垂直，且交线为，平面，所以⊥平面， 由（1）知，≌，， 故≌，故， 故⊥，同理可得平面，两两垂直， 不妨设，∵， ，， 设平面与平面所成角为，由勾股定理得， ，在中， ，， 故二面角的夹角正弦值为； 法二：过点作⊥，交的延长线于点，连接， 因为和所在平面垂直，且交线为，平面，所以⊥平面， 由（1）知，≌，， 故≌，故， 故⊥，同理可得平面，两两垂直， 以为原点，方向分别为轴，如图建系， 不妨设，∵， ，， 平面的法向量，又，， 设平面的法向量为，， 令，则，故， 设平面与平面所成角为，， 故，故二面角的夹角正弦值为. 1. 核心方法——法向量法：求二面角θ的大小，本质是求两个半平面法向量的夹角。核心公式为，但此法求得的是平面角的余弦，二面角取锐角或直角；有时需根据实际情况取负值或补角。 2. 解题步骤与技巧：首先建立合适的空间直角坐标系，写出两个平面内不共线的向量，通过解方程组求出各自的法向量。计算法向量时，可利用叉积或待定系数法，确保计算准确。 3. 关键难点——定角：向量夹角与二面角可能相等或互补。必须结合图形观察定角。 4. 易错点警示：计算法向量时要细心，避免坐标写错；定角时切勿主观臆断，必须依据图形或通过向量点积的正负来严谨判断二面角是锐角还是钝角。 【变式3-1】在正方体中，点为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则，，，， ， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，则，, 因为平面， 所以平面的一个法向量为，， 故平面与平面夹角的余弦值为．故选：B 【变式3-2】如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点．当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】三棱锥的体积与到平面的距离成正比，故当三棱锥的体积最大时,此时点处于半圆弧的正中间位置.点处于半圆弧的正中间位置时，记的中点为，以其为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系.平面显然有法向量，，设为平面的法向量，则该向量与和均垂直，所以，从而.令，解得， 故符合条件，显然二面角为锐角，因此所求余弦值为.故选：D. 【变式3-3】如图，已知在四棱锥中，平面平面，在四边形ABCD中，， ，在中，，点是棱上靠近S端的三等分点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）取中点O，连接，过O点作，交于点M， 由题可知，，，则，，且， 因为，即， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 在四边形中， ，则， 且，则， 以点为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得，且点E是棱上靠近S端的三等分点， 则，可知.且， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得. 又因为，则， 可得，且平面，所以平面. （2）由（1）易知， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得. 设平面与平面夹角的为，则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 【例题4-1】如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，若异面直线与所成角等于．地 城 考点04 空间角计算中的探索问题 (1)求棱的长； (2)在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为？若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为底面，平面， 所以，， 又，所以两两垂直， 如图，以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 则， 异面直线、所成角为，， 解得，棱长的大小为2； （2）假设棱上存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为， 设，，且，则，， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，得， 平面的法向量， 平面与平面所成锐二面角的正切值为， 由得，又，解得， 平面与平面所成锐二面角的余弦值为， ，解得或（舍， 在棱上存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为， 且点为棱上靠近的三等分点． 【例题4-2】图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：平面平面； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1） 如图，在图1中，连接,交于点, 因为边长是的正方形，则, 在图2中，则有,, 又，则,即, 因,故平面, 又平面,故平面平面； （2）如图，由（1）已得平面，且， 则可以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 由题意，, 假设在棱上存在点，满足,使得二面角的余弦值为， 则,又, 设平面的法向量为，则故可取， 又平面的法向量可取为， ，化简得：，解得或（舍去）， 故存在点，只需满足， 即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为. 1. 参数引入，坐标化表达：在空间直角坐标系中，根据点所在直线或平面，设出点的坐标（通常含参数λ或t），进而表示出相关向量（如方向向量、法向量）的坐标。 2. 建立方程，转化角条件：将已知的空间角（线线角、线面角、二面角）转化为向量关系： 线线角 → 方向向量夹角（余弦值相等）；线面角 → 方向向量与法向量夹角（正弦值相等）； 二面角 → 两法向量夹角（余弦值绝对值相等，注意锐钝判断） 据此列出关于参数的方程。 3. 求解与检验 解方程求出参数值，再检验该点是否在线段（或其延长线）上，是否符合实际几何意义。若方程有解且符合范围，则点存在；否则不存在。 【变式4-1】如图，在三棱柱中，，，侧面是正方形，为的中点，二面角的大小是．   (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在一个点，使直线与平面所成角的正弦值为．若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因是正方形，则,因,故. 由,则.因,则平面， 又平面,故平面平面. （2）  如图，取的中点，连接,易得,因， 故即二面角的平面角，即， 易得,取中点，连接,过点作,交于， 因,故得正三角形，则, 由（1）得平面平面，且平面平面，平面， 故得平面. 因此可分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系. 则, 依题意，设,， 则， 因，设平面的法向量为， 则，故可取. 设直线与平面所成的角为， 则，解得或， 因，故，即, 故当点是的一个四等分点（靠近点）时，直线与平面所成角的正弦值为, 此时 【变式4-2】在四棱锥中，底面为矩形，点为的中点，且． (1)求证：． (2)若，点为棱上一点，平面与平面所成锐二面角余弦值为，求的值． 【详解】（1）取的中点，连接，如图（1）． 因为点分别为的中点，所以． 因为，，所以，得， 所以，所以． 又，，平面，所以平面． 因为平面，所以． 又，所以． （2）因为，平面， 所以平面．因为平面，所以． 如图（2），以点为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系． 令，则， 所以． 设，则，所以． 设平面的一个法向量为，则有 令，得，则． 设平面的一个法向量为，则有 令，得，，则． 因为平面与平面所成锐二面角的余弦值为， 所以， 解得．故． 【变式4-3】如图，已知四边形和都是直角梯形，，，，，，，且二面角的大小为．     (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为四边形和都是直角梯形， 所以，，且平面， 所以，平面， 因为平面，所以平面平面． （2）过点、分别作直线、的垂线、垂足为、． 由已知和平面几何知识易知，，， 则四边形和四边形是矩形，所以在和中，， 假设在上存在点，使得二面角的大小为． 由（1）知平面，则是二面角的平面角， 所以，所以是正三角形． 取的中点，则，又平面， 所以平面，过点作平行线， 则以点为原点，，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，， 则，则，， 设平面的法向量为， 由，得，取， 又平面的法向量，所以， 整理化简的，解得或（舍去）． 所以存在点，使得二面角的大小为，且． 三、巩固练习： 1．已知点，，，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为 ． 【答案】 【详解】因为，，，所以，设平面的法向量为，则，令，则，平面xOy的一个法向量为， 所以，所以平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为. 故答案为： 2．正方体的棱长为1，点在棱上，，则平面与平面夹角的余弦值为 ． 【答案】 【详解】正方体的棱长为1，则有，正方体中，平面，平面，得，所以，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量，则，即，取，则，得，取平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，则．故答案为：. 3．如图所示，在圆锥中，是底面圆直径，且，则二面角的余弦值为 ． 【答案】 【详解】以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，可得，则， 设平面的法向量为，则，令，可得，所以，平面的一个法向量为，设二面角的大小为，由图可得，则，所以面角的余弦值为.故答案为：. 4．如图，在多面体中，平面，平面，，且，M是AB的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 . 【答案】 【详解】因为平面，平面，平面，所以，， 又，故以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 因为，所以，则，设平面的法向量，则，取，可得，易知平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，则.故答案为：. 5．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面分别是的中点.   (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）是等边三角形，是的中点，， 又平面平面， 又平面平面平面. （2）由（1）得平面，连接，建立以为原点， 以所在直线分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系， 如图所示，底面是边长为4的正方形， 则， ，则， 设平面的法向量为，则 取，则平面的法向量为， 又平面的法向量为，平面与平面的夹角的余弦值为 . 6．如图，在直棱柱中，底面是菱形，，分别是棱的中点． (1)求证：平面； (2)若二面角的大小是，求值，并求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）取的中点，连接， 因为分别是棱的中点，所以且，， 因为直棱柱中，且，所以，且， 故四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2）连接，与相交于点，连接相交于点， 因为底面是菱形，所以相互垂直，则两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以，， 故， 设平面的法向量为，则， 解得，令，则，故 平面的法向量为， 则，解得，则 设直线与平面所成角大小为， 则. 7．如图2，在中，，，．将沿翻折，使点D到达点P位置（如图3），且平面平面． (1)求证：平面平面； (2)设Q是线段上一点，满足，试问：是否存在一个实数，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）在中，由余弦定理得， ，， 过点作交于点，如图所示， 又平面平面，且平面平面 由平面，所以平面，又平面， 所以，又， 所以平面，又平面，所以平面平面． （2）由题知，即，由（1）知，且 平面，所以以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设为平面的法向量，由， 令得，且， 又易得平面的法向量为，由， 故存在实数使得平面与平面的夹角的余弦值为． 8．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为中点，点在上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面，说明理由？ 【详解】（1）在中，．所以，即； 又因为，在平面中，面，面，， 所以平面； （2）因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面，所以， 由（1）已证，且已知，故以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则，，， 所以，，， 因为为中点，所以， 由知，， 设平面的法向量为，则即，令，则， 于是，又因为由（1）已证平面， 所以平面的法向量为，所以， 平面与平面夹角的余弦值； （3）设是线段上一点，则存在使得， 因为，.所以， 因为平面，所以平面当且仅当，即， 即，解得， 因为，所以线段上不存在使得平面． 试卷第1页，共3页 6 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $专题1.8 空间角的向量求法 高中数学辅导资料 专题1.8 空间角的向量求法 一、必备知识： 1.若，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点，，为所成的角为，则. 2.若直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，则有 .（注意此公式中最后的形式是：） 3.若于，于，平面交于，则为二面角的平面角，.若分别为面，的法向量，则. 设二面角为，则根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角；若二面角为锐二面角（取正），则；若二面角为钝二面角（取负），则. 二、考点专练： 地 城 考点01 利用空间向量求线线角 【例题1-1】若两异面直线与的方向向量分别是，，则直线与的夹角为（  ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【例题1-2】如图，正四棱锥，，，为侧棱上的点，且．求异面直线与所成角的余弦值． 【例题1-3】如图，平行六面体的所有棱长均两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，直线与所成角的余弦值为 ． 1. 核心公式与转化：求异面直线或相交直线所成角θ，本质是求两方向向量的夹角。 务必牢记公式： 关键技巧在于取绝对值，因为线线角θ的范围是(0°,90°]，而向量夹角可能为钝角，需通过绝对值将其转化为锐角或直角。 2. 建系与坐标运算：若图形具备三条两两垂直的棱（如长方体、直棱柱、有垂直面的锥体），优先建立空间直角坐标系。准确写出相关点的坐标，进而求出直线的方向向量（终点坐标减起点坐标）。坐标法能有效规避复杂的几何作图与逻辑推理，将几何问题代数化，是高考中最稳妥、高效的“暴力求解”手段。 3. 基底法的应用：若图形不适合建系（如斜棱柱、特定角度的锥体），但已知向量的模与夹角关系清晰，可选用基底法。选取不共面的三个向量作为基底，将所求方向向量用基底表示，利用向量数量积的运算律展开求解。此法对空间想象能力和向量运算能力要求较高，需注意基底的选取要便于计算。 4. 易错点警示：计算过程中，点积与模长的计算要细心；切记线线角的余弦值非负，若算出向量夹角余弦为负，需取其相反数作为最终答案。 【变式1-1】1．已知点，，向量，求向量与夹角的余弦值得（  ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面是PB的中点. (1)求直线BD与直线PC所成角的大小； (2)求点B到平面ADE的距离． 【变式1-3】如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 地 城 考点02 利用空间向量求线面角 【例题2-1】已知四棱锥平面，底面为矩形，为的中点，为上一点，若与平面所成角的正弦值为，则 ． 【例题2-2】如图，已知四边形为等腰梯形，且，，，．为中点，将沿进行翻折，使点与点重合．取中点，连接、．    (1)证明：平面； (2)当时，求与平面所成角的正弦值． 1. 核心公式与本质：线面角θ是直线与它在平面内射影的夹角，其正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值，即. 这是最常用、最稳妥的公式，切记求的是正弦值，而非余弦值。 2. 建系与法向量是关键：首先建立合适的空间直角坐标系，写出直线的方向向量。其次，利用“法向量垂直于平面内任意向量”的性质，通过解方程组求出平面的法向量。建系的合理性与法向量计算的准确性是得分的重中之重。 3. 避坑技巧：若题目要求求线面角的余弦值，切勿直接使用公式，需先求出正弦值，再利用同角三角函数关系式求出余弦值。计算时务必加绝对值，因为线面角θ的范围是[0°,90°]，其正弦值恒为正。 【变式2-1】如图，在棱锥中，，，两两垂直，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）   A． B． C． D． 【变式2-2】如图，平面，平面，四边形为正方形，E，F位于平面的两侧． (1)若，试用，，表示； (2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【变式2-3】如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD是矩形，△BCF是边长为2的等边三角形，平面平面ABCD，，二面角的大小是. (1)求证：直线平面ABCD； (2)求直线AE与平面CDEF所成角的正弦值. 【例题3-1】已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为 .地 城 考点03 利用空间向量求二面角 【例题3-2】如图，和所在平面垂直，且， 求：(1)；(2)求二面角的夹角的正弦值. 1. 核心方法——法向量法：求二面角θ的大小，本质是求两个半平面法向量的夹角。核心公式为，但此法求得的是平面角的余弦，二面角取锐角或直角；有时需根据实际情况取负值或补角。 2. 解题步骤与技巧：首先建立合适的空间直角坐标系，写出两个平面内不共线的向量，通过解方程组求出各自的法向量。计算法向量时，可利用叉积或待定系数法，确保计算准确。 3. 关键难点——定角：向量夹角与二面角可能相等或互补。必须结合图形观察定角。 4. 易错点警示：计算法向量时要细心，避免坐标写错；定角时切勿主观臆断，必须依据图形或通过向量点积的正负来严谨判断二面角是锐角还是钝角。 【变式3-1】在正方体中，点为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点．当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，已知在四棱锥中，平面平面，在四边形ABCD中，， ，在中，，点是棱上靠近S端的三等分点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【例题4-1】如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，若异面直线与所成角等于．地 城 考点04 空间角计算中的探索问题 (1)求棱的长； (2)在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为？若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由． 【例题4-2】图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：平面平面； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 1. 参数引入，坐标化表达：在空间直角坐标系中，根据点所在直线或平面，设出点的坐标（通常含参数λ或t），进而表示出相关向量（如方向向量、法向量）的坐标。 2. 建立方程，转化角条件：将已知的空间角（线线角、线面角、二面角）转化为向量关系： 线线角 → 方向向量夹角（余弦值相等）；线面角 → 方向向量与法向量夹角（正弦值相等）； 二面角 → 两法向量夹角（余弦值绝对值相等，注意锐钝判断） 据此列出关于参数的方程。 3. 求解与检验 解方程求出参数值，再检验该点是否在线段（或其延长线）上，是否符合实际几何意义。若方程有解且符合范围，则点存在；否则不存在。 【变式4-1】如图，在三棱柱中，，，侧面是正方形，为的中点，二面角的大小是．   (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在一个点，使直线与平面所成角的正弦值为．若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】在四棱锥中，底面为矩形，点为的中点，且． (1)求证：． (2)若，点为棱上一点，平面与平面所成锐二面角余弦值为，求的值． 【变式4-3】如图，已知四边形和都是直角梯形，，，，，，，且二面角的大小为．     (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由． 三、巩固练习： 1．已知点，，，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为 ． 2．正方体的棱长为1，点在棱上，，则平面与平面夹角的余弦值为 ． 3．如图所示，在圆锥中，是底面圆直径，且，则二面角的余弦值为 ． 4．如图，在多面体中，平面，平面，，且，M是AB的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 . 5．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面分别是的中点.   (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 6．如图，在直棱柱中，底面是菱形，，分别是棱的中点． (1)求证：平面； (2)若二面角的大小是，求值，并求直线与平面所成角的正弦值． 7．如图2，在中，，，．将沿翻折，使点D到达点P位置（如图3），且平面平面． (1)求证：平面平面； (2)设Q是线段上一点，满足，试问：是否存在一个实数，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 8．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为中点，点在上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面，说明理由？ 试卷第1页，共3页 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $