专题19.1二次根式及其性质（寒假衔接讲义）（ 4大知识点预习+ 8大分层题型精练+巩固练习）2025-2026学年人教版八年级数学下学期

19.1二次根式及其性质 知识点1：二次根式的定义 1.一般地，形如（）的式子叫做二次根式，其中“”称为二次根号，根号下的叫做被开方数。 2.二次根式的定义是“形式定义”，需同时满足两个条件：①含有二次根号“”；②被开方数为非负数（）。 3.单独的一个非负数的算术平方根（如）、含字母且被开方数恒为非负数的式子（如）均为二次根式。 知识点2：二次根式有意义的条件 1.二次根式有意义的条件：被开方数；无意义的条件：被开方数。 2.若式子中含有多个二次根式，需保证每个二次根式的被开方数均为非负数。 3.若二次根式在分母中（如），则除满足被开方数外，还需满足分母不为0，即。 4.若式子中含有零指数幂（如）与二次根式结合，需同时满足二次根式有意义和零指数幂的底数不为0。 知识点3：二次根式的非负性 1.二次根式的双重非负性：①被开方数非负（）；②二次根式的值非负（）。 2.常见的非负数形式：（）、、（为任意实数）。 3.若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，即若，则、、。 知识点4：二次根式的性质 性质1：（），即一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身。 性质2：，即一个实数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 性质拓展：①逆用（），可将非负数转化为平方形式（如）；②（，为任意实数）。 【基础必考题型】 【题型1】二次根式的识别（结合实际情境） 1.核心知识点： 二次根式的定义及两个必备条件。 区分二次根式与三次根式、整式、分式等其他式子。 2.解题方法技巧： 先判断式子是否含有二次根号“”，排除三次根式（如）和无根号的式子。 再验证被开方数是否为非负数，注意含字母的式子需判断其是否恒为非负（如恒为二次根式，需才是二次根式）。 【例题1】.（25-26九年级上·河南开封·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式．根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．的被开方数为，不是二次根式，故本选项不符合题意； B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意； C．若，无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意； D．是二次根式，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·山西临汾·期中）下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式要求被开方数必须是非负数，即可判断． 【详解】解：A、，被开方数，符合定义； B、，被开方数，符合定义； C、，由于字母a的取值范围不确定，不能保证被开方数，故该式子不一定是二次根式，不符合定义； D、，被开方数，符合定义； 故选：C． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·云南昆明·期末）下面是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式是指根指数为的根式，且被开方数非负数． 【详解】解：二次根式需满足根指数为且被开方数是非负数， A选项：为分数，不是二次根式，故A选项不符合题意； B选项：的根指数为，不是二次根式，故B选项不符合题意； C选项：根指数为且被开方数是非负数，是二次根式，故C选项符合题意； D选项：被开方数为，在实数范围内无意义，不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式题1-3】.（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）下列各式中一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的定义，根据二次根式的概念，形如的式子是二次根式，依据定义即可判断． 【详解】解：A、∵，∴不是二次根式，故此选项错误； B、根指数是3，不是二次根式，故此选项错误； C、∵，∴是二次根式，故此选项正确； D、当时，不是二次根式，故此选项错误； 故选：C． 【题型2】求单个二次根式有意义的字母取值范围 1.核心知识点： 二次根式有意义的条件（被开方数非负）。 2.解题方法技巧： 根据题意列出关于字母的不等式（如有意义，则）。 【例题2】.（25-26八年级上·上海闵行·月考）设是实数，当满足 时，有意义． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 故答案为：． 【变式题2-1】.（24-25九年级下·北京海淀·月考）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据二次根式的被开方数不小于0的条件以及分式的分母不为0的条件进行解题即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴； ∵代数式有意义， ∴， ∴． 故答案为：；． 【变式题2-2】.（2025九年级·江西·专题练习）使有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，分别根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件列式求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴ 且， 解得：， 故答案为：． 【变式题2-3】.（24-25八年级下·河南商丘·月考）完成如下学习表： 阅读 若和在实数范围内都有意义，求的值． 解：和在实数范围内都有意义， ①且②． 由①得：，由②得：， ∴取公共解集得：． 应用 若实数，满足，求： （）的值； （）的值． 【答案】（）；（） 【分析】（）仿照阅读解答即可； （）由（）所求的值求出的值，进而代入二次根式计算即可求解； 本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的求值，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：（）由题意得，①且②， 由①得，， 由②得， ∴取公共解集得，； （）∵， ∴， ∴． 【题型3】利用二次根式的性质计算基础题（直接应用） 1.核心知识点： （）和的直接应用。 2.解题方法技巧： 计算时，直接根据性质得结果（如，）。 计算时，先转化为绝对值形式，再根据的符号化简（如，）。 【例题3】.（25-26九年级上·吉林长春·期末）计算所得的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘方运算．应用指数运算规则，将平方分配到每个因子进行计算． 【详解】解：． 故选：D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·吉林·期末）的值是（　　） A．5 B． C．25 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：． 故选：A． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·河北保定·月考）计算：（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．利用平方差公式计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·四川成都·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）解方程：． 【答案】（1） （2） （3） （4）， 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，利用平方根定义解方程，熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键． （1）利用负整数指数幂，零指数幂，绝对值的性质，立方根的定义计算后再算加减即可； （2）将各式化为最简二次根式后再算加减即可； （3）利用二次根式的除法法则计算后再算加减即可； （4）利用平方根的定义解方程即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4） 原方程整理得：， 则， 解得，． 【培优高频题型】 【题型4】多个二次根式与分母结合的取值范围（探究式） 1.核心知识点： 多个二次根式有意义的条件（所有被开方数均非负）。 分母不为0的限制条件。 2.解题方法技巧： 列出所有约束条件组成的不等式组（如有意义，需）。 解不等式组，注意端点值的取舍（被开方数可取0，分母不可取0）。 【例题4】.（25-26八年级上·上海·月考）成立的条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式组，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式题4-1】.（22-23八年级上·四川广安·期末）要使得代数式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，不等式组的解法，熟记分式及二次根式有意义的条件是解本题的关键．由分式及二次根式有意义的条件可得，再解不等式组即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得且． 故选：D． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·安徽淮北·月考）函数 的自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件；根据分式分母不为零和二次根式被开方数非负的条件求解. 【详解】解：∵， 解得：， ∵， 解得：， 故自变量的取值范围是且. 【变式题4-3】.（25-26九年级上·四川内江·期中）若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件；根据分式和二次根式有意义的条件列出不等式，即可得到答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， 解得：且， ∴ 的取值范围是 ； 故答案为：． 【题型5】二次根式非负性的综合应用（求字母值或代数式值） 1.核心知识点： 二次根式的非负性； 多个非负数和为0的性质。 2.解题方法技巧： 识别题目中的非负数形式（如、、）。 根据“几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”列出方程组，求解字母的值，再代入情境中验证合理性。 【例题5】.若，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查二次根式的性质，绝对值的意义，解题关键在于掌握其性质，利用平方根与绝对值的性质，将方程转化为绝对值方程，再根据绝对值的非负性确定取值范围． 【详解】解：∵ ， ∴原方程化为 ， 又∵， ∴，即， 当时，， ∴ ，等式成立， 故的取值范围是． 故选：C． 【变式题5-1】.若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，零指数幂，有理数乘方，代数式求值，由题意，得且，解得，再代入求出的值，最后计算代数式的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意，得且， 解得， 当时，， 所以， 故答案为：． 【变式题5-2】. ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，整式的化简，根据二次根式有意义的条件求出，然后在此条件下简化绝对值表达式和化简二次根式，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式题5-3】.已知实数a、b使等式成立，请先化简，再求值：． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式被开方数非负性，绝对值的非负性、分式的混合运算、二次根式的混合运算，解题的关键是掌握相应的运算法则，利用非负性求出a、b的值，利用分式和根式的运算进行化简，再将a、b的值代入求解即可． 【详解】解： ， ， 解得： 代入原式 ． 【题型6】结合隐含条件（数轴/三角形三边）化简二次根式（数形结合） 1.核心知识点： 的化简性质； 数轴上点的位置或三角形三边关系判断式子正负性。 2.解题方法技巧： 数轴情境：根据点的位置确定字母正负及与其他数的大小关系（如）；三角形情境：利用“两边之和大于第三边”判断式子符号（如）； 将二次根式转化为绝对值形式，按符号去掉绝对值符号化简。 【例题6】.（24-25八年级下·四川广元·期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：， 解：隐含条件，解得：． ∴， ∴原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：____________． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知为的三边长．化简：． 【答案】（1）；（2）1；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质，三角形三边关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题干解题过程，即可作答． （2）结合（1）的，进行化简得，再去括号合并同类项，即可作答． （3）结合两边之和大于第三边，整理得，再根据二次根式的性质进行化简，即可作答． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， （3）由三角形三边之间的关系可得隐含条件：， ∴， ∴ ． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·浙江宁波·期中）化简或求值． (1)先化简，再求值；，其中， (2)已知， ．当时，求的值 (3)实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简 【答案】(1)化简为，值为 (2)26 (3) 【分析】此题考查了整式的加减，利用数轴和二次根式和绝对值的非负性化简求值的知识点，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）将去括号，合并同类项得到，再把，代入求值即可； （2），代入去括号，合并同类项得到，再把代入求值即可； （3）观察数轴可知，且则，根据二次根式和绝对值的非负性化简求值即可． 【详解】（1）解： 将，代入得 （2）因为，， 则 将代入得 （3）观察数轴可知，且 则， 【变式题6-2】.（23-24八年级下·福建莆田·月考）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简： 解：由，解得： ∴， ∴原式= (1)按照上面的解法，试化简． (2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． (3)已知a，b，c为的三边长，化简：． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简、绝对值的性质、数轴、三角形的三边关系， （1）根据二次根式有意义的条件判断出x的范围，再根据二次根式的性质化简可得； （2）由a、b在数轴上的位置判断出、，再利用二次根式的性质化简即可得； （3）由三角形三边间的关系得出、，再利用二次根式的性质化简可得． 【详解】（1）解：隐含条件， 解得：， ，即， ∴原式 ； （2）解：观察数轴得隐含条件：，，， ∴，， ∴原式 ； （3）解：由三角形三边之间的关系可得隐含条件：，，，， ∴，， ∴原式 ． 【变式题6-3】.（23-24八年级上·吉林长春·期中）【阅读材料】在解决数学问题时，我们要仔细阅读题干，找出有用信息，然后利用这些信息解决问题．有些题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有些信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，做题时，我们要注意发现题目中的隐含条件． 【感知探索】补全下面两个问题的解答过程： （）已知，化简． 解：原式， ∵（显性条件）， 请进一步完成的化简． （）三角形的三边长分别为，化简． 解：∵三角形的三边长分别为， ∴的取值范围是______．（隐含条件） 化简． 【拓展应用】解方程：． 【答案】（）；（），；【拓展应用】． 【分析】本题考查了二次根式，三角形的三边关系，解方程等， （）根据二次根式的性质即可求出答案； （）根据三角形的三边关系可得，然后根据二次根式的性质即可求出答案；根据二次根式的性质可得x的取值范围，然后根据二次根式的性质化简，再解方程即可求出答案； 解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及三角形的三边关系． 【详解】解：（）原式， ∵（显性条件）， 由题意得（隐含条件）， ∴， ∴， ∴原式， ； （）∵三角形的三边长分别为， ∴， ∴的取值范围是，（隐含条件） ∴原式 ， ， 故答案为：； 【拓展应用】由题意得， ∴（隐含条件）， ∴原方程可化为：， 解得，符合题意． 【压轴素养题型】 【题型7】复合型二次根式的化简（素养导向） 1.核心知识点： 二次根式的性质、完全平方公式的逆用。 复合型二次根式的结构特征（如）。 2.解题方法技巧： 寻找两个数、，使得且，则。 化简结果需保证二次根式有意义（如）。 【例题7】.（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，那么．那么如何将双重二次根式化简呢？如能找到两个数，使得，即，且使，即，那么，双重二次根式得以化简； 例如化简：； ∵且， ∴， ∴． 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：__________；__________； (2)化简：①；②． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查二次根式的计算，考查二次根式的化简，考查计算能力，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）将被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式，利用二次根式化简，即可求得答案； （2）①将原式转成，转化成完全平方式，化简即可求得答案． ②将原式转化成，转成完全平方式，化简即可求得答案． 【详解】（1）解： ； 故答案为：，； （2）解：① ， ② ． 【变式题7-1】.（24-25八年级上·山东青岛·月考）先阅读下面的解题过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，即，，那么便有： ． 例如：化简：． 解：首先把化为，这里，， 因为，， 即，， 所以． (1)化简为_____． (2)根据上述方法化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用，对于（1），根据理解可知，可得完全平方公式，再开方即可； 对于（2），先把化为，由，可得完全平方公式，开方即可． 【详解】（1）解：因为， 即， 所以. 故答案为：； （2）解：先把化为，这里， 因为， 即， 所以． 【变式题7-2】.（22-23八年级下·江苏·期末）先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简． 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第　　步出现了错误，化简的正确结果为　　； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简∶ ①； ②． 【答案】(1)④； (2)①；②． 【分析】（1）根据二次根式的性质求解即可； （2）类比例题，将9和8分别拆分成两个二次根式的平方和，再用完全平方公式变形，计算求值即可． 【详解】（1）① ② ③ ． 故答案为：④；； （2）①原式 ； ② ． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及完全平方公式的应用，利用完全平方公式对二次根式进行化简是解题关键． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·山西临汾·月考）阅读与思考 请阅读下面的材料，并完成相应的任务． 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为 从而达到化去一层根号的目的． 例如化简且， (1)填上适当的数： ▲ （在▲处填空） (2)化简： 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． （1）将8写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将写成，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 故答案为：，，； （2）解： ． 【题型8】二次根式综合实践——新定义与结论探究 1.核心知识点： 二次根式的性质与化简； 归纳推理与规律提炼； 代数变形与逻辑验证。 2.解题方法技巧： 先通过特例计算（如代入具体数值），观察结果特征，提炼共性规律（如等式、化简模式）； 用含字母的式子表示猜想结论，结合二次根式性质、完全平方公式等进行代数验证； 运用验证后的结论解决同类新问题，强化规律应用。 【例题8】.（23-24八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 （1）计算：用“，，”填空． ________；________；________． 猜想：（，）． （2）利用上述结论解决下面问题： 如图，某同学准备做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝，请你计算用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 【答案】（1），，，（2）厘米 【分析】本题主要考查了平方数的非负性，二次根式的大小比较，完全平方公式，二次根式的实际应用，识别出完全平方式的结构是解题关键， （1）依据题意，将需要比较大小的两式作差，其结构符合完全平方式，利用完全平方式的非负性证明即可； （2）依据题意，做对角线的竹条的和符合（2）中的形式，根据风筝面积求出两条对角线长度的积，应用（2）中的结论即可． 【详解】解：（1）由题意，， ． ； ， ． ； ， ． ； ， ． ． 故答案为：，，，． （2）对角线相互垂直， ． ． ． ． 用来做对角线的竹条至少要厘米． 【变式题8-1】.（24-25七年级下·山东济宁·期中）综合与实践 某校七年级数学综合与实践学习小组进行了一次项目式主题学习，具体如下： 活动 主题 探索化简结果 特例 验证 ，，． ． ，，． 一般 结论 （1）填空：①对于任意正有理数a，________；②当时， ________； ③对于任意负有理数a，=________；④对于任意有理数a，=________． 理解 应用 （2）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示． 化简： 【答案】（1）a，0，，；（2） 【分析】此题考查了利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握是关键． （1）根据a的取值范围进行解答即可； （2）根据字母的取值范围化简，再进行运算即可． 【详解】解：（1）①对于任意正有理数a，；②当时，； ③对于任意负有理数a，=________；④对于任意有理数a，． 故答案为：a，0，，； （2） 【变式题8-2】.（25-26八年级上·上海黄浦·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是_____， (2)若，求的“行知区间”． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出a的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“行知区间”是； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a的“行知区间”为． 【变式题8-3】.（24-25八年级上·辽宁大连·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则，即， ∴，当且仅当时取等号，此时有最小值为； 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：，当且仅当，∵，即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如 ， ． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当 时，式子取得最小值，最小值为 ； (2)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有 个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取得最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)4，8 (2)真分式，，4 (3)当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】（1）根据材料1可得，即可求解； （2）根据新定义分式是真分式，根据题意得出为整数，进而求得满足条件的整数x的值有4个； （3）设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米，结合材料1，即可求解； （4）根据材料2的方法，进行化简即可求解． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8； 故答案为：4，8； （2）解：根据新定义分式是真分式， ∵x为整数，的值为整数， ∴为整数， ∴或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴ 此时，， ∴， 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； （4）解： ∵， ∴， ∴ 当且仅当时，即时，式子有最小值为4， ∴当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 易错点 1、识别二次根式时，忽略被开方数为非负数的条件（如误将（）当作二次根式）。 2、求含分母的二次根式取值范围时，遗漏分母不为0的限制（如中，误将当作全部条件，忽略）。 3、化简时，未先判断的符号直接得（如误将化简为，正确结果为3）。 4、应用时，忽略的前提（如误将计算为-5，实际该式子无意义）。 5、利用非负性解题时，遗漏部分非负数形式（如，误只令，忽略）。 重点 1.二次根式的定义及有意义的条件，能准确判断式子是否为二次根式，熟练求字母的取值范围。 2.二次根式的双重非负性，能利用“几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”求字母的值。 3.二次根式的两个核心性质（）和，能熟练进行计算和化简。 4.结合数轴、三角形三边关系等情境化简二次根式，掌握数形结合的解题思路。 难点 1.含多个约束条件（如多个二次根式、分母、零指数幂）的字母取值范围的求解，需准确列出所有不等式并求公共解集。 2.复合型二次根式的化简，需灵活逆用完全平方公式寻找合适的、。 3.二次根式的实际应用，能将实际问题转化为含二次根式的数学模型，并结合实际意义进行求解和验证。 4.二次根式性质的逆用（如在实数范围内分解因式），需熟练掌握非负数与二次根式平方的转化。 【对应练习题】 一、单选题 1．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）若二次根式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握非负数才能开平方是解题的关键． 二次根式有意义的条件是被开方数非负，故，求解该不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， 故选B． 2．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质．由可知，因此，代入原式，进行化简，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2025·云南·模拟预测）若有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义，分式有意义．根据有意义得分母不为0，且二次根式的被开方数为非负数，可求得，即可作答． 【详解】解：∵有意义， ∴，且， ∴， ∴， 故选：D 4．（25-26八年级上·上海·期中）若，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据二次根式的性质直接化简，根据条件，，简化根式，需利用平方根的性质和绝对值的意义进行化简． 【详解】解：∵，， ∴（负数的立方为负）， 故，从而，根式有意义． ∵， ∴， 又∵，且，∴， ∴原式， 即，与选项A一致． 故选：A． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果a满足，那么的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值的化简，掌握二次根式的被开方数是非负数，根据取值范围化简绝对值是解题的关键． 本题由方程中的可知，从而，代入原方程化简后平方求解，再计算的值． 【详解】解：∵有意义 ∴，即 ∵ ∴ 代入原方程： 化简得： 两边平方： ∴． ∴． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26九年级上·吉林长春·期末）请任意写出一个能使有意义的m值： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负． 【详解】解：要使有意义，需满足， 解得． 因此，任意取的一个值即可，例如． 故答案为：（答案不唯一）． 7．（25-26八年级上·河南南阳·月考）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·重庆·月考）若实数x，y同时满足，，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，先根据已知条件把用表示出来，再根据，再分两种情况进行讨论即可． 【详解】解：∵， ， ①当时，， ∵， ∴， ， ， ， ， ，即， ， ， ； ②当时，， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ∴此种情况无解， 综上可知：的值为 2 ， 故答案为：2． 9．（25-26八年级上·北京顺义·月考）已知，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的性质，绝对值性质，根据二次根式的性质，再结合x的取值范围去掉绝对值符号，最后合并同类项，即可解题． 【详解】解： ， ，， 因此，， 原式， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江苏南通·月考）实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简代数式的值为 ． 【答案】 【分析】分析,的取值范围，进而根据二次根式的性质以及绝对值的性质判断即可． 本题考查的是实数与数轴的关系，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 【详解】解：由数轴可知，, 则,,, 故答案为：． 三、解答题 11．（2025八年级上·北京·专题练习）当x取何值时，下列二次根式有意义？ (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)x为任意实数 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、解不等式，熟知二次根式的被开方数为非负数是解答的关键． （1）根据二次根式的被开方数为非负数得到，进而解不等式即可； （2）根据二次根式的被开方数为非负数和分式的分母不为零得到，然后解不等式即可； （3）根据x为任意实数时，，即可解答． 【详解】（1）解：要使有意义，则，解得， 即当时，有意义； （2）解：要使有意义，分母，且被开方数， ∴，解得． 即当时，有意义； （3）解：因为，所以， 即无论x取何实数，都大于0，所以对任意实数x都有意义． 即当x为任意实数时，有意义． 12．（25-26八年级上·北京顺义·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、二次根式的性质、负整数次幂、绝对值等知识点，灵活运用 运算法则是解题的关键． 先运用乘方、二次根式的性质、负整数次幂、绝对值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 13．（2025八年级下·浙江·专题练习）对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算※如下： ，例如，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：． 14．（25-26八年级上·上海·期中）已知，求的平方根. 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、双重非负性以及求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，， ∴， 则， ∴， 则的平方根为． 15．（24-25八年级上·北京房山·期中）（1）如图1，把两个边长都为1的正方形，通过剪切，拼接得到了一个面积为2的正方形，则正方形的边长为 （2）类比以上探究思路，解决如下问题： 如图2，正方形的对角线EG长为3，通过画图写出正方形的边长．    【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了化简二次根式： （1）根据正方形是由四个腰长为1的等腰直角三角形拼接而成的求出正方形的面积，进而根据正方形面积计算公式可求出正方形的边长； （2）仿照（1）可得正方形是 由四个腰长为的等腰直角三角形拼接而成的，则可求出正方形的面积，进而求出其边长即可． 【详解】解：（1）∵正方形是由四个腰长为1的等腰直角三角形拼接而成的， ∴正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 故答案为：； （2）解：如图所示，正方形是 由四个腰长为的等腰直角三角形拼接而成的， ∴正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 故答案为：； 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.1二次根式及其性质 知识点1：二次根式的定义 1.一般地，形如（）的式子叫做二次根式，其中“”称为二次根号，根号下的叫做被开方数。 2.二次根式的定义是“形式定义”，需同时满足两个条件：①含有二次根号“”；②被开方数为非负数（）。 3.单独的一个非负数的算术平方根（如）、含字母且被开方数恒为非负数的式子（如）均为二次根式。 知识点2：二次根式有意义的条件 1.二次根式有意义的条件：被开方数；无意义的条件：被开方数。 2.若式子中含有多个二次根式，需保证每个二次根式的被开方数均为非负数。 3.若二次根式在分母中（如），则除满足被开方数外，还需满足分母不为0，即。 4.若式子中含有零指数幂（如）与二次根式结合，需同时满足二次根式有意义和零指数幂的底数不为0。 知识点3：二次根式的非负性 1.二次根式的双重非负性：①被开方数非负（）；②二次根式的值非负（）。 2.常见的非负数形式：（）、、（为任意实数）。 3.若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，即若，则、、。 知识点4：二次根式的性质 性质1：（），即一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身。 性质2：，即一个实数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 性质拓展：①逆用（），可将非负数转化为平方形式（如）；②（，为任意实数）。 【基础必考题型】 【题型1】二次根式的识别（结合实际情境） 1.核心知识点： 二次根式的定义及两个必备条件。 区分二次根式与三次根式、整式、分式等其他式子。 2.解题方法技巧： 先判断式子是否含有二次根号“”，排除三次根式（如）和无根号的式子。 再验证被开方数是否为非负数，注意含字母的式子需判断其是否恒为非负（如恒为二次根式，需才是二次根式）。 【例题1】.（25-26九年级上·河南开封·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·山西临汾·期中）下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·云南昆明·期末）下面是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）下列各式中一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】求单个二次根式有意义的字母取值范围 1.核心知识点： 二次根式有意义的条件（被开方数非负）。 2.解题方法技巧： 根据题意列出关于字母的不等式（如有意义，则）。 【例题2】.（25-26八年级上·上海闵行·月考）设是实数，当满足 时，有意义． 【变式题2-1】.（24-25九年级下·北京海淀·月考）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【变式题2-2】.（2025九年级·江西·专题练习）使有意义的x的取值范围是 ． 【变式题2-3】.（24-25八年级下·河南商丘·月考）完成如下学习表： 阅读 若和在实数范围内都有意义，求的值． 解：和在实数范围内都有意义， ①且②． 由①得：，由②得：， ∴取公共解集得：． 应用 若实数，满足，求： （）的值； （）的值． 【题型3】利用二次根式的性质计算基础题（直接应用） 1.核心知识点： （）和的直接应用。 2.解题方法技巧： 计算时，直接根据性质得结果（如，）。 计算时，先转化为绝对值形式，再根据的符号化简（如，）。 【例题3】.（25-26九年级上·吉林长春·期末）计算所得的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式题3-1】.（25-26八年级上·吉林·期末）的值是（　　） A．5 B． C．25 D． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·河北保定·月考）计算：（    ） A．1 B．2 C． D．3 【变式题3-3】.（25-26八年级上·四川成都·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）解方程：． 【培优高频题型】 【题型4】多个二次根式与分母结合的取值范围（探究式） 1.核心知识点： 多个二次根式有意义的条件（所有被开方数均非负）。 分母不为0的限制条件。 2.解题方法技巧： 列出所有约束条件组成的不等式组（如有意义，需）。 解不等式组，注意端点值的取舍（被开方数可取0，分母不可取0）。 【例题4】.（25-26八年级上·上海·月考）成立的条件是 ． 【变式题4-1】.（22-23八年级上·四川广安·期末）要使得代数式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式题4-2】.（25-26八年级上·安徽淮北·月考）函数 的自变量x的取值范围是 ． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·四川内江·期中）若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【题型5】二次根式非负性的综合应用（求字母值或代数式值） 1.核心知识点： 二次根式的非负性； 多个非负数和为0的性质。 2.解题方法技巧： 识别题目中的非负数形式（如、、）。 根据“几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”列出方程组，求解字母的值，再代入情境中验证合理性。 【例题5】.若，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.若，则 ． 【变式题5-2】. ． 【变式题5-3】.已知实数a、b使等式成立，请先化简，再求值：． 【题型6】结合隐含条件（数轴/三角形三边）化简二次根式（数形结合） 1.核心知识点： 的化简性质； 数轴上点的位置或三角形三边关系判断式子正负性。 2.解题方法技巧： 数轴情境：根据点的位置确定字母正负及与其他数的大小关系（如）；三角形情境：利用“两边之和大于第三边”判断式子符号（如）； 将二次根式转化为绝对值形式，按符号去掉绝对值符号化简。 【例题6】.（24-25八年级下·四川广元·期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：， 解：隐含条件，解得：． ∴， ∴原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：____________． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知为的三边长．化简：． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·浙江宁波·期中）化简或求值． (1)先化简，再求值；，其中， (2)已知， ．当时，求的值 (3)实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简 【变式题6-2】.（23-24八年级下·福建莆田·月考）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简： 解：由，解得： ∴， ∴原式= (1)按照上面的解法，试化简． (2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． (3)已知a，b，c为的三边长，化简：． 【变式题6-3】.（23-24八年级上·吉林长春·期中）【阅读材料】在解决数学问题时，我们要仔细阅读题干，找出有用信息，然后利用这些信息解决问题．有些题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有些信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，做题时，我们要注意发现题目中的隐含条件． 【感知探索】补全下面两个问题的解答过程： （）已知，化简． 解：原式， ∵（显性条件）， 请进一步完成的化简． （）三角形的三边长分别为，化简． 解：∵三角形的三边长分别为， ∴的取值范围是______．（隐含条件） 化简． 【拓展应用】解方程：． 【压轴素养题型】 【题型7】复合型二次根式的化简（素养导向） 1.核心知识点： 二次根式的性质、完全平方公式的逆用。 复合型二次根式的结构特征（如）。 2.解题方法技巧： 寻找两个数、，使得且，则。 化简结果需保证二次根式有意义（如）。 【例题7】.（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，那么．那么如何将双重二次根式化简呢？如能找到两个数，使得，即，且使，即，那么，双重二次根式得以化简； 例如化简：； ∵且， ∴， ∴． 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：__________；__________； (2)化简：①；②． 【变式题7-1】.（24-25八年级上·山东青岛·月考）先阅读下面的解题过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，即，，那么便有： ． 例如：化简：． 解：首先把化为，这里，， 因为，， 即，， 所以． (1)化简为_____． (2)根据上述方法化简：． 【变式题7-2】.（22-23八年级下·江苏·期末）先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简． 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第　　步出现了错误，化简的正确结果为　　； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简∶ ①； ②． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·山西临汾·月考）阅读与思考 请阅读下面的材料，并完成相应的任务． 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为 从而达到化去一层根号的目的． 例如化简且， (1)填上适当的数： ▲ （在▲处填空） (2)化简： 【题型8】二次根式综合实践——新定义与结论探究 1.核心知识点： 二次根式的性质与化简； 归纳推理与规律提炼； 代数变形与逻辑验证。 2.解题方法技巧： 先通过特例计算（如代入具体数值），观察结果特征，提炼共性规律（如等式、化简模式）； 用含字母的式子表示猜想结论，结合二次根式性质、完全平方公式等进行代数验证； 运用验证后的结论解决同类新问题，强化规律应用。 【例题8】.（23-24八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 （1）计算：用“，，”填空． ________；________；________． 猜想：（，）． （2）利用上述结论解决下面问题： 如图，某同学准备做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝，请你计算用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 【变式题8-1】.（24-25七年级下·山东济宁·期中）综合与实践 某校七年级数学综合与实践学习小组进行了一次项目式主题学习，具体如下： 活动 主题 探索化简结果 特例 验证 ，，． ． ，，． 一般 结论 （1）填空：①对于任意正有理数a，________；②当时， ________； ③对于任意负有理数a，=________；④对于任意有理数a，=________． 理解 应用 （2）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示． 化简： 【变式题8-2】.（25-26八年级上·上海黄浦·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是_____， (2)若，求的“行知区间”． 【变式题8-3】.（24-25八年级上·辽宁大连·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则，即， ∴，当且仅当时取等号，此时有最小值为； 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：，当且仅当，∵，即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如 ， ． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当 时，式子取得最小值，最小值为 ； (2)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有 个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取得最大值，最大值是多少？ 易错点 1、识别二次根式时，忽略被开方数为非负数的条件（如误将（）当作二次根式）。 2、求含分母的二次根式取值范围时，遗漏分母不为0的限制（如中，误将当作全部条件，忽略）。 3、化简时，未先判断的符号直接得（如误将化简为，正确结果为3）。 4、应用时，忽略的前提（如误将计算为-5，实际该式子无意义）。 5、利用非负性解题时，遗漏部分非负数形式（如，误只令，忽略）。 重点 1.二次根式的定义及有意义的条件，能准确判断式子是否为二次根式，熟练求字母的取值范围。 2.二次根式的双重非负性，能利用“几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”求字母的值。 3.二次根式的两个核心性质（）和，能熟练进行计算和化简。 4.结合数轴、三角形三边关系等情境化简二次根式，掌握数形结合的解题思路。 难点 1.含多个约束条件（如多个二次根式、分母、零指数幂）的字母取值范围的求解，需准确列出所有不等式并求公共解集。 2.复合型二次根式的化简，需灵活逆用完全平方公式寻找合适的、。 3.二次根式的实际应用，能将实际问题转化为含二次根式的数学模型，并结合实际意义进行求解和验证。 4.二次根式性质的逆用（如在实数范围内分解因式），需熟练掌握非负数与二次根式平方的转化。 【对应练习题】 一、单选题 1．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）若二次根式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·云南·模拟预测）若有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·上海·期中）若，则（） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果a满足，那么的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 二、填空题 6．（25-26九年级上·吉林长春·期末）请任意写出一个能使有意义的m值： ． 7．（25-26八年级上·河南南阳·月考）化简的结果是 ． 8．（25-26九年级上·重庆·月考）若实数x，y同时满足，，则的值为 ． 9．（25-26八年级上·北京顺义·月考）已知，化简 ． 10．（25-26八年级上·江苏南通·月考）实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简代数式的值为 ． 三、解答题 11．（2025八年级上·北京·专题练习）当x取何值时，下列二次根式有意义？ (1) (2) (3) 12．（25-26八年级上·北京顺义·月考）计算：． 13．（2025八年级下·浙江·专题练习）对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算※如下： ，例如，求的值． 14．（25-26八年级上·上海·期中）已知，求的平方根. 15．（24-25八年级上·北京房山·期中）（1）如图1，把两个边长都为1的正方形，通过剪切，拼接得到了一个面积为2的正方形，则正方形的边长为 （2）类比以上探究思路，解决如下问题： 如图2，正方形的对角线EG长为3，通过画图写出正方形的边长．    学科网（北京）股份有限公司 $