精品解析：山东省泰安第一中学青年路校区2025-2026学年高一上学期1月诊断性测试数学试题

泰安一中青年路校区高一上学期1月份诊断性测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由“改量词，否结论”，可得答案. 【详解】由“改量词，否结论”,命题“”的否定是“”. 故选：C 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】由，， 则. 故选：A 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数性质与对数函数性质选取特殊值进行比较. 【详解】，，， 因为函数在上单调递增，所以， 综上. 故选：C 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式求解. 【详解】解：因为， 所以， 故选：A 5. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】算出的最小正周期，再根据加绝对值后，函数之间的最小正周期关系得到的最小正周期． 【详解】对于，，因此它的最小正周期为， 加上绝对值后，图象会将x轴下方的部分翻折到x轴上方，如图所示， 由图可知，加上绝对值后，周期不变，所以的最小正周期与一致，均为． 故选：D． 6. “”是“函数在区间上单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，结合复合函数单调性的性质、充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】二次函数的对称轴为， 要使函数在区间上单调递增， 则，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B 7. 牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为，则经过一定时间t（单位：分钟）后的温度满足，其中是环境温度，h为常数，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃.经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（参考数据：，，，.）（ ） A. 4分钟 B. 5分钟 C. 6分钟 D. 7分钟 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件求出参数的值，进而转化为解指数方程，利用对数的运算以及换底公式即可求出结果. 【详解】根据题意可知，，， 因为茶水降至75℃大约用时一分钟，即，， 所以，解得，则， 所以要使得该茶降至，即，则有，得， 故， 所以大约需要等待6分钟. 故选：C. 8. 已知定义在R上的奇函数满足，当时，．若函数在区间上有9个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析的周期性，再将问题转化为“的图象在区间上有个交点，求的取值范围”，然后作出的图象，通过数形结合的方法求解出的取值范围. 【详解】因为，所以， 又因为为R上的奇函数，所以， 所以，所以， 所以是周期为的周期函数， 在上的零点个数函数图象在上的交点个数， 且是最小正周期为的周期函数， 而, 在同一平面直角坐标系中作出的图象，如下图所示： 因为，且， 由图象可知：当时，的图象共有个交点，且第个交点的横坐标为， 又因为，， 所以，所以第个交点的横坐标为， 所以的取值范围是， 故选：A. 【点睛】思路点睛：求解函数零点的个数问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有： （1）确定方程根的个数； （2）求参数范围； （3）求不等式解集； （4）研究函数性质. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）若实数满足则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先利用函数为上的增函数，得，选项A，选项D利用不等式性质可得到，选项B则利用作差法即可得到结果；选项C利用对数函数的单调性即可得到. 【详解】因为函数为上的增函数，由，可得， 对于A，当时，不成立，故A不正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，则，可得，所以， 因为函数为上的减函数，所以C正确： 对于D，由于，所以，故D不正确. 故选：BC. 10. （多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 若、，且，则 D. 把的图象向右平移个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数为偶函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用图象求出函数的解析式，可判断A选项；利用余弦型函数的单调性可判断B选项；利用余弦型函数的对称性求出的值，代值计算可判断C选项；利用三角函数图象变换结合余弦型函数的奇偶性可判断D选项. 【详解】对于A选项，由图可知，， 函数的最小正周期满足，可得，则， 则， 又因为，可得， 因为，则，所以，，可得， 所以，，A对； 对于B选项，当时，， 所以，在上不单调，B错； 对于C选项，当时，，由可得， 所以函数在区间内的图象关于直线对称， 若、，且，则， 所以，C对； 对于D选项，把的图象向右平移个单位长度， 可得到函数的图象， 再将所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 则为偶函数，D对. 故选：ACD. 11. 已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 函数有8个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出函数的图象，对于A：直接观察即可；对于B：通过求解；对于C：根据图象得到，，进一步计算求解；对于D：令，求出的根，代入，继续根据图象可求根的个数. 【详解】因为， 当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且，； 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 作出函数的图象如下： 对于A：关于x的方程有四个不同的根， 即函数与的图象有4个交点，由图象可得，故A错误； 对于B：由图可知，即，解得，故B正确； 对于C：由图象知，所以，且， 所以， 又由， 所以，故C正确； 对于D：对于函数，令，则， 即，因为，，， 可得， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 综合得函数有个零点，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的半径为圆心角，则扇形的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由扇形的面积公式计算即可求解. 【详解】已知，， 所以扇形的面积为. 故答案为：. 13. 已知，，则________，的最小值是________． 【答案】 ①. 1 ②. 2 【解析】 【分析】先拆角，，再利用和差角公式化简可得，利用基本不等式可求的最小值. 【详解】因为， 所以 ， 所以，于是有． 又 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是2． 故答案为：1 2 14. 设为实数，若实数是关于的方程的解，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】将已知等式变为，构造函数，结合其单调性推出，即得，由此可化简求值，即得答案. 【详解】由题意知，得， 即， 设，则在上单调递增， 则由可得， 而实数是关于的方程的解，即， 故， 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是能够变形得到，从而结合的单调性推出，即，即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边在第二象限与单位圆交于点，点的横坐标为． （1）求的值； （2）若将射线绕点逆时针旋转，得到角，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义，求出的值，再根据倍角公式求出即可； （2）求出的值，将结合化为齐次式，上下同除以得到关于的表达式，再代入的值即可． 【小问1详解】 在单位圆上，且在第二象限，横坐标为，可求得纵坐标为， 所以， 则． 【小问2详解】 由题知，则， ，则， 故 ． 16. 函数的值域为，的定义域为 （1）求； （2）若求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用对数函数的单调性求出函数在上的最大值和最小值，即可得出集合； （2）求出集合，利用集合的包含关系可得出不等式组，解之即可. 【小问1详解】 因为在上单调递减，所以当时有最大值，且最大值为， 当，有最小值，且最小值为. 所以. 【小问2详解】 由，得，解得，所以，， 因为，所以，解得. 故实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）用定义证明函数在上为减函数； （2）若，求实数的取值范围； （3）若在上存在唯一零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） 任取，且， 则 ， 因为，所以，所以，则， 所以函数在上为减函数； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义求证； （2）利用函数的单调性求解； （3）利用函数的单调性结合零点存在性定理可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得在上为减函数，又，则， 当时，有，解得； 当时，，解得，不成立， 综上所述，实数的取值范围为； 【小问3详解】 由（1）得在上为减函数，则在上也为减函数， 又在上存在唯一零点， 则由零点存在性定理可得，，， 解得， 故实数的取值范围为 18. 已知函数，、是的图象与直线的两个相邻交点，且． （1）求的值及函数在上的最小值； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，根据题中信息求出函数的最小正周期，可得出的值，即可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的基本性质可求出函数在上的最小值； （2）设，可得出，设，可知在上恒成立，可得出关于的不等式组，解之即可. 【小问1详解】 解：函数 ， 则， 因为、是函数的图象与直线的两个相邻交点，且， 所以，函数的最小正周期为，则， 可得． 由，得，所以，， 所以，，故函数在上的最小值为． 【小问2详解】 解：设，因为，所以． 因为不等式恒成立， 设， 所以在上恒成立． 则，即， 解得，故的取值范围为． 19. 对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”． （1）试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由； （2）若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数m的取值范围； （3）试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由． 【答案】（1） ∵，∴，则是“伪奇函数”． （2） （3） 当为定义域上的“伪奇函数”时， 则在上有解，可化为在上有解， 令，则，当且仅当时等号成立， 而， 则在有解，即可保证为“伪奇函数”， 令，， ①当，即时， 在一定有解，满足题意； ②当，即或时， 在有解等价于， 解得. 综上所述，当时，为定义域上的“伪奇函数”，否则不是． 【解析】 【分析】（1）由“伪奇函数”的定义判断即可； （2）由题意可得在有解，进而结合正弦函数的性质即可求解； （3）由题意可知在上有解，令，，可得在有解，进而分情况讨论求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令， 则， 即在有解， 而，则，∴， 则， 又∵在时恒成立， ∴，则，即， ∴实数m的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰安一中青年路校区高一上学期1月份诊断性测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 6. “”是“函数在区间上单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为，则经过一定时间t（单位：分钟）后的温度满足，其中是环境温度，h为常数，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃.经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（参考数据：，，，.）（ ） A. 4分钟 B. 5分钟 C. 6分钟 D. 7分钟 8. 已知定义在R上的奇函数满足，当时，．若函数在区间上有9个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）若实数满足则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. （多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 若、，且，则 D. 把的图象向右平移个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数为偶函数 11. 已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 函数有8个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的半径为圆心角，则扇形的面积为______. 13. 已知，，则________，的最小值是________． 14. 设为实数，若实数是关于的方程的解，则_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边在第二象限与单位圆交于点，点的横坐标为． （1）求的值； （2）若将射线绕点逆时针旋转，得到角，求的值． 16. 函数的值域为，的定义域为 （1）求； （2）若求实数a的取值范围. 17. 已知函数. （1）用定义证明函数在上为减函数； （2）若，求实数的取值范围； （3）若在上存在唯一零点，求实数的取值范围. 18. 已知函数，、是的图象与直线的两个相邻交点，且． （1）求的值及函数在上的最小值； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”． （1）试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由； （2）若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数m的取值范围； （3）试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $