2025-2026学年高一数学上学期期末复习满分冲刺讲义（基础篇）（沪教版）

该高中数学期末复习讲义通过考点分类系统构建知识体系，涵盖集合与逻辑、函数性质等八大模块，以框架图呈现知识脉络，突出集合运算与函数单调性等重难点的内在联系。 讲义亮点在于精选上海各区期末真题，分层设计从基础填空到综合压轴题，如应用题例51培养模型意识，新定义题例55发展创新思维，助力学生分层提升，为教师提供精准教学资源。

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 期末复习满分冲刺讲义（基础篇） 考点1：集合与逻辑 【例1】（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知集合，用列举法表示为 . 【例2】（24-25上海杨浦·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【例3】已知集合有且仅有两个子集，则实数 . 【例4】（24-25高二上·上海金山·期末）已知集合，，若，则实数a的值为 ． 【例5】（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知是的充分非必要条件，则实数a的取值范围是 ． 【例6】（23-24高一上·上海·期末）若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为 【例7】（24-25高一上·上海杨浦·期末）命题“若，则”是 命题（填“真”或“假”其中一个）. 【例8】（24-25敬业中学高一期末） 设函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B． （1）若全集为R，求； （2）若，求实数a的取值范围． 考点2：等式与不等式 【例9】（24-25高一上·上海浦东新·期末）设a、b、c、d是实数，则下列命题为真命题的是 . ①如果，且，那么； ②如果，且，那么； ③如果，那么； ④如果，那么. 【例10】（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知都是实数，一元二次方程有两个非零实根，且，则= . 【例11】（23-24高一上·上海·期末）不等式的解集为 . 【例12】（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围 ． 【例13】（2025·上海闵行·二模）若不等式的解集为，则实数等于 . 【例14】（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知正实数满足，则的最小值是 . 【例15】（23-24高一上·上海·期末）已知，，且，若的最小值为4，则实数a的值为 . 【例16】（23-24高一上·上海闵行·期末）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围为 . 考点3：幂、指数与对数 【例17】（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则的值(    ) A． B． C． D． 【例18】（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知，，则用a、b表示 . 【例19】（23-24高一上·上海徐汇·期末）若，则 . 【例20】（20-21高一上·上海普陀·期末）已知，，则= . 【例21】（23-24高二下·上海·期末）已知且，则的最大值为 . 【例22】（24-25高一上·上海奉贤·期末）在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值y[单位：dB（分贝）]定义为，其中I为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．则声强级为60dB时的声强度是声强级为50dB时的声强度的（    ）倍． A．10 B．100 C．1.2 D．12 考点4：幂函数、指数函数与对数函数 【例23】（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，则 . 【例24】（23-24高三上·上海静安·期末）下列幂函数在区间上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是 （请填入全部正确的序号）． ①；  ②；   ③ ；  ④ ． 【例25】（24-25高一上·上海奉贤·期末）函数的定义域为 ．（用区间表示） 【例26】（24-25高一上·上海浦东新·期末）函数的值域是 . 【例27】（23-24高一上·上海闵行·期末）已知，若对任意的，存在唯一的，使得，则的值为 . 【例28】（23-24高三上·上海普陀·期末）已知（且，函数的图象恒过定点，则点的坐标为 ． 【例29】（23-24高一上·上海松江·期末）设为常数且，在上是严格增函数，则实数的取值范围是 【例30】（23-24高一上·上海宝山·期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【例31】（23-24高一上·上海·期末）已知函数（，且为实数），下列说法正确的是（ ） A．函数的单调性只与有关，与无关 B．函数的单调性只与有关，与无关 C．函数的单调性与都有关 D．函数的单调性与都无关 【例32】（24-25虹口高一上期末）设. （1）若，不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； （2）若，函数在上的最小值为，求的值. 【例33】（24-25格致中学高一上期末）已知常数，函数的表达式为 （1）证明：函数是奇函数； （2）若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值． 【例34】（24-25虹口高一上期末）设，已知是上的奇函数. （1）求的值，并判断函数的单调性； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 考点5：函数的概念性质及应用 【例35】（23-24高一上·上海虹口·期末）下列函数中与函数相同的是（    ） A． B． C． D． 【例36】（23-24高一上·上海虹口·期末）函数的定义域为 ． 【例37】（23-24高一上·上海·期末）函数的值域是 ． 【例38】（23-24高一上·上海·期末）函数的严格递减区间为 ． 【例39】（23-24高一上·上海杨浦·期末）函数为奇函数，则实数a的值为 ． 【例40】（23-24高一上·上海·期末）函数图象的对称中心坐标为 . 【例41】（23-24高一上·上海·期末）不等式的解集是 ． 【例42】（23-24高一上·上海虹口·期末）已知定义在上的奇函数在区间上是严格减函数．若对于任意的，总有成立，则实数的取值范围是 ． 【例43】（24-25高一上·上海嘉定·期末）下列关于幂函数的说法正确的是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．以上皆不是 【例44】（23-24高一上·上海·期末）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 考点6：常规解答题 【例45】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，集合. (1)若，求实数的值. (2)若，求实数的取值范围. (3)若，，求实数的取值范围. 【例46】（24-25高一上·上海徐汇·期末）解答下列问题： (1)用表示； (2)已知，且，求M的值． 【例47】（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数. (1)求方程的解； (2)若关于x的方程在上有实数解,求实数的取值范围. 【例48】（23-24高一上·上海·期末）已知函数，其中. (1)是否存在实数，使函数是奇函数?若存在，请写出证明. (2)当时，判断在上的单调性并证明. 【例49】已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，设，且，求（用表示）； （3）在（2）的条件下，是否存在正整数，使得不等式在区间上有解，若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由. 【例50】（23-24高一上·上海·期末）已知函数. (1)求该函数的定义域，并证明其为奇函数； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【例51】（24-25上海大学附中高一期末）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产 万箱，需另投入成本万元，当产量不足60万箱时，;当产量不小于60万箱时,，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完. （1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式； （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？ 考点7：综合压轴 【例53】（2025上海·曹杨二中高一期末）已知函数，. （1）若为偶函数，求的值； （2）若有且仅有一个零点，求的取值范围； （3）求在区间上的最大值. 【例54】（2025上海·格致中学高一月考）已知集合{对于存在，使得成立}. （1）判断和是否属于集合，并说明理由； （2）设，求实数的取值范围； （3）已知时，，且对任意，恒有，令，，试讨论函数，的零点的个数. 考点8：新定义问题 【例55】（2025上海·位育中学高一期末）对于函数，若定义域中存在实数、满足且，则称函数为“函数”． （1）判断，是否为“函数”，并说明理由； （2）设且，若函数，为“函数”，且的最小值为5，求实数的取值范围． 【例56】（23-24高一上·上海浦东新·期末）定义：如果存在实常数a和b，使得函数总满足，则称函数是“型函数”． (1)已知奇函数是“型函数”，求函数的解析式； (2)已知函数是“型函数”，求p和b的值； (3)已知函数是“型函数”，求一组满足条件的k、a和b的值，并说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 期末复习满分冲刺讲义（基础篇） 考点1：集合与逻辑 【例1】（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知集合，用列举法表示为 . 【答案】 【分析】根据集合的意义直接表示集合. 【解析】， 故答案为：. 【例2】（24-25上海杨浦·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据集合间的包含关系即可求解. 【解析】由于，所以， 故答案为： 【例3】已知集合有且仅有两个子集，则实数 . 【答案】1或 【分析】结合已知条件，求出的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可. 【解析】若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解， ①当时，，满足题意； ②当时，，所以， 综上所述，或. 故答案为：1或. 【例4】（24-25高二上·上海金山·期末）已知集合，，若，则实数a的值为 ． 【答案】 【分析】根据交集和空集的定义以及方程的联立即可求解. 【解析】联立， 解得， 若， 则， 所以. ①当 时，两个集合的条件都变为，因此交集不为空集. ②当 时，两个集合的条件都变为和，所以交集为空集. 故答案为：. 【例5】（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知是的充分非必要条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别解得和的解集A，B，再根据“”是“”的充分非必要条件，由真包含于求解. 【解析】由，解得，记， 由，解得，记， ∵“”是“”的充分非必要条件， ∴真包含于，即，解得. 故答案为： 【例6】（23-24高一上·上海·期末）若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为 【答案】 【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可. 【解析】由， 因为不等式 成立的一个充分不必要条件是 ， 所以有，等号不同时成立，解得. 故答案为： 【例7】（24-25高一上·上海杨浦·期末）命题“若，则”是 命题（填“真”或“假”其中一个）. 【答案】真 【分析】直接利用两数集的关系判断即可 【解析】因为当时，一定成立， 所以此命题为真命题， 故答案为：真 【例8】（24-25敬业中学高一期末） 设函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B． （1）若全集为R，求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数定义域和补集相关知识求解即可； （2）根据题意得到，结合列出不等式组求解即可. 【小问1详解】 因为函数的定义域为集合A， 所以令， 即，解得或， 即或， 所以 【小问2详解】 因为函数的定义域为集合B， 所以令，解得，所以， 因为，所以，解得， 所以实数a的取值范围为 考点2：等式与不等式 【例9】（24-25高一上·上海浦东新·期末）设a、b、c、d是实数，则下列命题为真命题的是 . ①如果，且，那么； ②如果，且，那么； ③如果，那么； ④如果，那么. 【答案】①③④ 【分析】根据不等式的性质一一判断求解. 【解析】对于①,因为，且，根据不等式的可加性， 所以，故①正确； 对于②，例如有，故②错误； 对于③, ，因为，所以， 即，故③正确； 对于④，因为，所以且， 所以，故④正确， 故答案为：①③④. 【例10】（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知都是实数，一元二次方程有两个非零实根，且，则= . 【答案】 【分析】由根与系数关系得，再由及已知即可求值. 【解析】由题设，且， 而，，则. 故答案为： 【例11】（23-24高一上·上海·期末）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据不等式的性质，结合分式不等式的解法进行求解即可. 【解析】 ， 因为， 所以由且， 所以原不等式的解集为， 故答案为： 【例12】（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据题意对a进行分类讨论，结合的开口与判别式即可. 【解析】当时，,满足题意； 当时，易得且，即，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 【例13】（2025·上海闵行·二模）若不等式的解集为，则实数等于 . 【答案】3 【分析】求出绝对值符号的不等式解集，再比对作答. 【解析】不等式，化为，因此不等式的解集为， 依题意，，于是，解得， 所以实数等于3. 故答案为：3 【例14】（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知正实数满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由题意可得，根据基本不等式中“1”的用法计算即可求解. 【解析】由题意知，，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 【例15】（23-24高一上·上海·期末）已知，，且，若的最小值为4，则实数a的值为 . 【答案】2 【分析】利用配凑法，结合基本不等式“1”的妙用求解即可. 【解析】由，且，知， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 依题意，，解得，由，解得， 所以当时，有最小值为4，实数a的值为2. 故答案为：2 【例16】（23-24高一上·上海闵行·期末）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用绝对值不等式求得的最小值，从而利用能成立问题得到，解之即可得解. 【解析】因为， 当且仅当时，等号成立， 因为有解，所以，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 考点3：幂、指数与对数 【例17】（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则的值(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数的运算性质即可求得. 【解析】因为，所以. 故选：D. 【例18】（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知，，则用a、b表示 . 【答案】/ 【分析】根据对数的运算法则，即可求得答案. 【解析】由题意得， 故答案为： 【例19】（23-24高一上·上海徐汇·期末）若，则 . 【答案】 【分析】根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确运算，即可求解. 【解析】由对数的运算性质，可得， 可得，所以. 故答案为：. 【例20】（20-21高一上·上海普陀·期末）已知，，则= . 【答案】2 【分析】根据已知求出的值即得解. 【解析】解：因为， 因为，所以. 所以. 故答案为：2 【例21】（23-24高二下·上海·期末）已知且，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式得到，结合对数运算法则求出最值. 【解析】且，故， 即，解得，当且仅当时，等号成立， 故. 故答案为： 【例22】（24-25高一上·上海奉贤·期末）在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值y[单位：dB（分贝）]定义为，其中I为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．则声强级为60dB时的声强度是声强级为50dB时的声强度的（    ）倍． A．10 B．100 C．1.2 D．12 【答案】A 【分析】根据题意，得到可得，两式相减得，即可求解. 【解析】由题意知，声强级是表示声强度相对大小的指标值的定义为， 可得， 两式相减得， 即，解得， 所以声强级为dB时的声强度是声强级为dB时的声强度的倍． 故选：A. 考点4：幂函数、指数函数与对数函数 【例23】（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，则 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可. 【解析】因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以，解得. 故答案为： 【例24】（23-24高三上·上海静安·期末）下列幂函数在区间上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是 （请填入全部正确的序号）． ①；  ②；   ③ ；  ④ ． 【答案】② 【分析】根据幂函数性质，在区间上单调递增，可得，再结合奇函数性质即可判断. 【解析】因为幂函数在区间上是严格增函数，所以，故④不满足题意, 因为该幂函数图象关于原点成中心对称，所以为奇函数， 根据奇函数的性质， 因为的定义域为，所以图象不关于原点成中心对称，故①不满足题意； 因为的定义域为，且，故②满足题意； 因为的定义域为，且，故③不满足题意. 故答案为：②. 【例25】（24-25高一上·上海奉贤·期末）函数的定义域为 ．（用区间表示） 【答案】 【分析】根据已知列出不等式，根据指数函数的单调性求解，即可得出答案. 【解析】要使函数有意义，则应有，所以. 故答案为：. 【例26】（24-25高一上·上海浦东新·期末）函数的值域是 . 【答案】 【分析】对函数解析式进行变形处理，即可得解. 【解析】， 因为，， 所以. 故答案为： 【例27】（23-24高一上·上海闵行·期末）已知，若对任意的，存在唯一的，使得，则的值为 . 【答案】0 【分析】考察函数的单调性，根据题中条件可得，继而可得区间关于原点对称，即可得到答案. 【解析】因为函数为上的递增函数， 且， 所以， 由题意， 对任意的，存在唯一的， 使得， 即， 即任意的，存在唯一的， 故区间关于原点对称， 则， 故答案为：0. 【例28】（23-24高三上·上海普陀·期末）已知（且，函数的图象恒过定点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】令即可求出定点. 【解析】令得， 此时， 所以函数的图象恒过定点，即点. 故答案为：. 【例29】（23-24高一上·上海松江·期末）设为常数且，在上是严格增函数，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据指数函数单调性和对数函数单调性相关知识计算求解即可. 【解析】因为在上是严格增函数， 所以， 因为，所以在单调递减， 所以， 又因为，所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 【例30】（23-24高一上·上海宝山·期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，将问题转化为恒成立求参数，再结合二次函数性质即求解. 【解析】因为函数的定义域为， 所以在上恒成立， 则当时，满足题意； 当时，，解得. 综上所述，，即. 故答案为：. 【例31】（23-24高一上·上海·期末）已知函数（，且为实数），下列说法正确的是（ ） A．函数的单调性只与有关，与无关 B．函数的单调性只与有关，与无关 C．函数的单调性与都有关 D．函数的单调性与都无关 【答案】D 【分析】通过对进行讨论，再用复合函数的求单调性的方法，可知该函数的单调性与是否有关. 【解析】函数， 当时，，单调递增. 当时，单调递增. 则且，，的单调性都为单调递增. 所以函数的单调性与无关. 故选：D 【例32】（24-25虹口高一上期末）设. （1）若，不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； （2）若，函数在上的最小值为，求的值. 【答案】（1）； （2）3. 【解析】 分析】（1）把代入，利用一元二次型不等式恒成立求出范围. （2）把代入，分类讨论求解二次函数在上的最小值问题. 【小问1详解】 当时，函数 不等式对一切实数恒成立， 当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 当时，，其图象的对称轴为， 当，即时，函数在上单调递增， ，解得，不符合要求； 当，即时，函数在上单调递减， ，解得，不符合要求； 当，即时，，解得或，则， 所以的值是3. 【例33】（24-25格致中学高一上期末）已知常数，函数的表达式为 （1）证明：函数是奇函数； （2）若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出定义域，利用奇函数的定义判断可得答案； （2）判断出函数在区间上的单调性，根据单调性求出最值可得答案. 【小问1详解】 由得， 所以函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数是奇函数； 【小问2详解】 ， 令， 则在上单调递增， 又为增函数， 所以在上单调递增， 其最大值为， 解得. 【例34】（24-25虹口高一上期末）设，已知是上的奇函数. （1）求的值，并判断函数的单调性； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），函数是上的增函数 （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义求出，再借助指数函数的单调性判断的单调性 （2）由（1）及已知，等价变形给定不等式，分离参数并利用基本不等式求出最小值即得. 【小问1详解】 由函数是上的奇函数，得， 则，而，解得， 函数，函数都是上的增函数，因此函数是上的增函数， 所以，函数是上的增函数. 【小问2详解】 由（1）知，函数是上单调递增的奇函数， 对任意，不等式 ，而，当且仅当，即时取等号， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 考点5：函数的概念性质及应用 【例35】（23-24高一上·上海虹口·期末）下列函数中与函数相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次判断各个选项中函数的定义域和解析式与是否相同，由此得到结果. 【解析】选项A，，当时，，解析式与不同，A不正确； 选项B，的定义域为，解析式为，定义域和解析式与相同，B正确； 选项C，，该函数的定义域为，与函数的定义域不同，C不正确； 选项D，，该函数的定义域为，与函数的定义域不同，D不正确； 故选：B. 【例36】（23-24高一上·上海虹口·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由二次根式有意义的条件以及复合对数函数的定义域即可得解. 【解析】由题意函数有意义，当且仅当，解得，即函数的定义域为. 故答案为：. 【例37】（23-24高一上·上海·期末）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】利用分离常数项整理化简函数解析式，根据指数函数的性质以及不等式性质，可得答案. 【解析】由题意可知，函数， 由，，或，则或， 即函数值域为. 故答案为： 【例38】（23-24高一上·上海·期末）函数的严格递减区间为 ． 【答案】 【分析】由题意结合指数函数、二次函数以及复合函数单调性即可得解. 【解析】由题意指数函数在定义域内严格单调递减， 若要函数关于严格单调递减，只需关于严格单调递增即可， 而二次函数对称轴为，且开口向上， 故它的严格单调递增区间为，即函数的严格递减区间为. 故答案为：. 【例39】（23-24高一上·上海杨浦·期末）函数为奇函数，则实数a的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据奇函数满足求解即可. 【解析】因为为奇函数，故， 即，即，解得. 故答案为： 【例40】（23-24高一上·上海·期末）函数图象的对称中心坐标为 . 【答案】 【分析】利用反比例函数的对称性，结合函数图象的平移变换即可求解. 【解析】函数的图象可由函数向左平移1个单位得到， 因为函数的对称中心为， 所以函数的对称中心为. 故答案为：. 【例41】（23-24高一上·上海·期末）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】设，根据的单调性和求解即可. 【解析】设，其定义域为， 和在均为增函数， 则在为增函数，且， ，即，， 不等式的解集是. 故答案为：. 【例42】（23-24高一上·上海虹口·期末）已知定义在上的奇函数在区间上是严格减函数．若对于任意的，总有成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意在上严格单调递减，所以原题转换为了恒成立，当时，有，满足题意，得知，即当且仅当满足题意，由此即可得解. 【解析】由题意定义在上的奇函数在区间上是严格减函数， 所以在上严格单调递减， 所以， 由题意若对于任意的，恒有成立， 则恒成立， 当时，有，满足题意， 当时，恒成立， 此时， 解得，满足题意， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【例43】（24-25高一上·上海嘉定·期末）下列关于幂函数的说法正确的是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．以上皆不是 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解. 【解析】由函数，可得函数的定义域为，关于原点对称， 又由，所以函数为偶函数. 故选：B. 【例44】（23-24高一上·上海·期末）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数和函数单调性相关知识逐一判断即可. 【解析】对于A，在和单调递增，在定义域不单调递增，故A错误； 对于B，是非奇非偶函数，故B错误； 对于C，是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，定义域，，故函数为奇函数，由幂函数单调性可知，在单调递增，故D正确. 故选：D 考点6：常规解答题 【例45】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，集合. (1)若，求实数的值. (2)若，求实数的取值范围. (3)若，，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】（1）根据题意可知，将代入方程求出a，再求出集合，根据集合的运算结果验证a的值即可； （2）根据题意可得，讨论或，利用判别式与韦达定理即可得解； （3）根据题意可得，从而可得，解不等式组即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 又，则， 整理得，解得或， 因为， 当时，，满足； 当时，，满足； 故a的值为或. （2）因为，所以，又， 当时，关于x的方程没有实数根， 所以，即，解得，满足题意； 当时，若集合B中只有一个元素，则， 整理得，解得， 此时，符合题意； 若集合B中有两个元素，则， 即是方程的两根， 所以，无解， 综上，可知实数a的取值范围为. （3）因为，所以，则， 所以，即，所以. 综上，实数a的取值范围为. 【例46】（24-25高一上·上海徐汇·期末）解答下列问题： (1)用表示； (2)已知，且，求M的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)根据对数的运算公式化简即可； (2)由题意可得，再根据换底公式可得由，可得，代入计算即可. 【解析】（1）解：因为； （2）解：因为，所以， 所以 又因为， 即， 所以， 所以. 【例47】（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数. (1)求方程的解； (2)若关于x的方程在上有实数解,求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程即可求解. （2）将问题转化为在上有实数解,求函数在上的值域即可. 【解析】（1）由题得即 故方程的解为. （2）由,得 易知在上是严格增函数, 且当时,当时, 故 【例48】（23-24高一上·上海·期末）已知函数，其中. (1)是否存在实数，使函数是奇函数?若存在，请写出证明. (2)当时，判断在上的单调性并证明. 【答案】(1)，证明见解析； (2)单调递增，证明见解析. 【分析】（1）是奇函数，利用解出并检验即可． （2）结合单调性的定义即可证明. 【解析】（1）函数定义域为R，若是奇函数， 则，解得， 此时， ，符合题意， 故. （2）是上的增函数，证明如下： 当时， 设任意且， ， ，，， ， 则 ， 是在上是单调增函数. 【例49】已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，设，且，求（用表示）； （3）在（2）的条件下，是否存在正整数，使得不等式在区间上有解，若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，3. 【分析】（1）时，不等式即，解不等式可得结果； （2）依题意得，进而由换底公式和对数的运算性质可得结果； （3）依题意得在区间上有解； 令，则，因此求得的最大值即可求得结果. 【解析】（1）当时， 故 ，所以不等式的解集为； （2）当时，， ， . （3）在（2）的条件下，不等式化为， 即在区间上有解. 令，则， ，， ，又是正整数，故的最大值为3. 【例50】（23-24高一上·上海·期末）已知函数. (1)求该函数的定义域，并证明其为奇函数； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)该函数的定义域为，奇函数 (2)单调递增，证明过程见解析 (3) 【分析】（1）根据对数的性质，结合函数奇偶性的定义进行求解即可； （2）根据对数的单调性，结合函数单调性的定义进行判断说明即可； （3）根据函数单调性的性质，结合任意性的定义进行求解即可. 【解析】（1）由，或， 因此该函数的定义域为，显然关于原点对称， 因为， 所以该函数是奇函数； （2）函数在上单调递增，理由如下： 设，则有， 因为，所以， 因为函数是正实数集上的减函数， 所以有， 因此函数在上单调递增； （3）， 由（2）可知函数当时单调递增， 而函数当时也单调递增， 所以函数当时也单调递增， 显然当时，函数有最小值， 最小值为， 因此要想对于任意，不等式恒成立， 只需，即实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：利用函数单调性的性质，结合任意性的定义是解题的关键. 【例51】（24-25上海大学附中高一期末）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产 万箱，需另投入成本万元，当产量不足60万箱时，;当产量不小于60万箱时,，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完. （1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式； （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？ 【答案】（1） （2）当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元. 【解析】 【分析】(1) 根据产量的不同取值范围讨论利润y关于产量x的不同对应关系即可求解.(2) 分别求出分段函数的最大值比较大小即可求出利润的最大值. 【小问1详解】 当时，； 当时，. 所以，； 【小问2详解】 当时，， 当时，y取得最大值，最大值为850万元； 当时，， 当且仅当时，即时，y取得最大值，最大值1300万元. 综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元. 考点7：综合压轴 【例53】（2025上海·曹杨二中高一期末）已知函数，. （1）若为偶函数，求的值； （2）若有且仅有一个零点，求的取值范围； （3）求在区间上的最大值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）利用偶函数的定义可得出对任意的恒成立，由此可求得实数的值； （2）由题意可知，直线与函数的图象无交点，作出两个函数的图象，数形结合可得出实数的取值范围； （3）化简函数在区间上的解析式，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间和上的单调性，由此可得出函数在区间上的最大值. 【详解】 （1）由于函数为偶函数，则， 即，所以，对任意的恒成立， 所以，； （2），由题意可知，当时，函数无零点. 当时，由，可得，令，其中， 所以，， 由题意可知，直线与函数的图象无交点，如下图所示： 由图象可知，当时，直线与函数的图象无交点. 综上所述，实数的取值范围是； （3）当时，； 当时，. 所以，，，. ①若，，则函数在区间上单调递增，； ②若，则函数在上单调递增， 即当时，； （i）若时，即当时， 函数在区间上单调递减，在上单调递增， 此时，当时，， 因为且，即当且时，； （ii）若时，即当时，函数在区间上单调递减， 此时，当时，， 因为，即当且时，； ③若，函数在上为增函数，则当时，. （i）若时，即当时，函数在区间上为增函数， 此时，当时，. 因为，即当时，； （ii）当时，即当时， 函数在区间上为减函数，在区间上为增函数， 此时，当时，； （iii）当时，即当时，函数在区间上单调递减， 即当时，. 此时，当时，. 综上所述，. 【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 【例54】（2025上海·格致中学高一月考）已知集合{对于存在，使得成立}. （1）判断和是否属于集合，并说明理由； （2）设，求实数的取值范围； （3）已知时，，且对任意，恒有，令，，试讨论函数，的零点的个数. 【答案】（1），，理由见解析 ；（2）；（3），1个；，2个；，3个；，4个. 【分析】（1）直接按照集合的定义进行验证； （2）设，整理得：，建立，解得实数的取值范围； （3）先求出得到， 先验证为的一个零点. 当时，用分离参数法得到 作出和的图像，借助于图像分析k的范围. 【详解】（1）对于，定义域为. 若属于集合，则存在，满足，即，所以，解得：，所以不属于集合； 对于，定义域为R. 若属于集合，则存在，满足，即，所以，解得：，所以属于集合； （2）设，则存在，满足，即,整理得：， 因为恒成立，所以，解得：， 所以实数的取值范围为； （3）当时，， 所以 令，， 当时，得到，所以为的一个零点. 当时，令 作出和的图像， 由图像易知， 当，有1个零点； 当，有2个零点； 当，有4个零点；. 当，有3个零点； 【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 考点8：新定义问题 【例55】（2025上海·位育中学高一期末）对于函数，若定义域中存在实数、满足且，则称函数为“函数”． （1）判断，是否为“函数”，并说明理由； （2）设且，若函数，为“函数”，且的最小值为5，求实数的取值范围． 【答案】（1）不是，答案见解析；（2）． 【分析】（1）反证法.假设其为“函数”，代入值得到两组等式，相减，分解因式得到，与题设矛盾.故不是“函数”. （2）分类讨论分析的单调性，只有时符合题意.通过运算得到三者关系式，，，由的最小值为5，得到取值范围满足，从而得到的取值范围. 【详解】 （1）若，是“函数”， 则满足 则，两式相减得 故 即，则这与矛盾 故，不是否为“函数” （2）， ①若，则，则在时单调递减，故不满足存在使得，不合题意 ②若，因为，单调递减，且 故时，单调递减，故时，单调递增， 故， ， ， 若 则，则，故 得，不合题意 若 则，则，故 得. 故，， 若中存在实数、满足且，的最小值为5. 故在中存在满足，且 故，故 综上所述，的取值范围为 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 【例56】（23-24高一上·上海浦东新·期末）定义：如果存在实常数a和b，使得函数总满足，则称函数是“型函数”． (1)已知奇函数是“型函数”，求函数的解析式； (2)已知函数是“型函数”，求p和b的值； (3)已知函数是“型函数”，求一组满足条件的k、a和b的值，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】对数的运算、由奇偶性求函数解析式、函数新定义、分数指数幂与根式的互化 【分析】（1）由奇函数定义以及函数新定义联立函数方程组即可得解. （2）由函数型定义结合对数指数运算法则建立函数方程，由函数方程恒成立的条件即可得解. （3）由函数型定义建立函数方程，由函数方程恒成立的条件结合根式和分数指数幂的运算即可得解. 【详解】（1）由题意奇函数是“型函数”，所以，且， 联立解得函数的解析式. （2）由题意函数是“型函数”， 所以， 而， 所以恒成立，当且仅当，解得， 即满足题意的p和b的值分别为. （3）由题意函数是“型函数”， 所以， 而 ， 所以恒成立， 当且仅当恒成立， 当且仅当恒成立或恒成立（舍去）， 所以，解得， 即满足条件的k、a和b的一组值分别为. 【点睛】关键点睛：第（3）问的关键是得到恒成立之后，由可得恒成立或恒成立（舍去），由此即可顺利得解. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $