2025-2026学年人教版数学七年级上册期末复习课件

这是一份初中数学七年级上册的期末复习资料，涵盖有理数、代数式、一元一次方程等六章内容，以知识结构图梳理体系，知识梳理细化概念，随堂练习巩固应用，为学生提供系统的复习支架。 资料特色在于融合数学核心素养，通过温度表示、行程问题等实际情境培养抽象能力与模型意识，借助几何图形展开图、角度计算发展空间观念，分层练习提升运算与推理能力，帮助学生夯实基础，也为教师提供结构化教学资源。 七年级学生处于小学到初中的过渡阶段，抽象思维正逐步发展，该资料通过基础概念梳理与情境化练习，帮助学生构建知识网络，培养数学眼光、思维与语言，适应初中数学学习节奏。

第一章 有理数 七上数学 RJ 章末小结 知识梳理 正数和负数 有理数 数轴 相反数 绝对值 有理数的 大小比较 数与点的对应 本章知识结构图 知识梳理 正数：在数学中，像3，50，7.8%这样大于0的数叫作正数. 负数：像-3，-10，-0.7% 这样在正数前加上符号“”的数叫作负数. 1. 正数和负数 知识梳理 要点： （1）正数前面的“+”（正）号可以省略不写，负数前面的“”（负）号不能省略不写； （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可以任意选择，但是习惯把“前进、上升”等规定为正，把“后退、下降”规定为负； （3）0 既不是正数，也不是负数. 随堂练习 1. 在-2，3.4，0.28，-25.8，-4，，12%，0.875， -36.765%中， 正数有_____________________________; 负数有_____________________________. 3.4 ，0.28 ， ，12%，0.875 -2 ，-25.8 ， -4 ，-36.765% 随堂练习 2. 填空题 （1）如果温度上升3 ℃记作+3 ℃，那么下降2 ℃记作_____℃. （2）如果收入用正数表示，支出用负数表示，那么-56元表示_______________. -2 支出56元 知识梳理 2. 有理数及其分类 （1）有理数：把可以写成分数形式的数称为有理数. （2）有理数的分类： ①按定义来分；②按性质符号分. 根据有理数的定义分类. 知识梳理 正整数 负整数 负分数 正分数 0 有理数 整数 分数 自然数 知识梳理 0 有理数 正有理数 正整数 正分数 负有理数 负整数 负分数 根据有理数的性质符号分类. 随堂练习 3.下列说法正确的是 （ ） A. 正数、 0、负数统称为有理数 B. 可以写成分数形式的数称为有理数 C. 正有理数、负有理数统称为有理数 D. 以上都不对 B 随堂练习 4. -a 一定是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 正数或负数 D. 正数或0或负数 D 随堂练习 5.下列说法中，错误的有（ ） ①-2 是负分数；② 1.5 不是整数；③非负有理数不包括 0； ④可以写成分数形式的数称为有理数；⑤ 0 是最小的有理数；⑥ -1是最小的负整数. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D .4 个 C 6. 把下列各数分别填入相应的括号内： -7，3.5， -3.1415，0，，0.03， - 3，10，- 非负整数集合｛ ｝； 整数集合｛ ｝； 正分数集合｛ ｝； 非正数集合｛ ｝. 0，10 -7，0，10，- 3.5，0.03 -7，-3.1415，0，- 3，- 正整数+0 负数+0 随堂练习 13 知识梳理 3. 数轴 （1） 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴. （2）数轴的画法： 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 数轴的三要素 ①画直线，标原点； ②标正方向； ③选取单位长度，标数. 知识梳理 （3）在数轴上表示有理数. 画出数轴并表示出下列有理数. 2，-3.5，，-，3.5 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 2 -3.5 - 3.5 知识梳理 （4）数轴上的点与有理数之间的关系： 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点并不都表示有理数（举例说明）. 0 d=1 7. 在数轴上表示下列各数、并将这些数按从小到大的顺序排列，再用“<”连接起来. 3，-4，0，2，-2，-1 随堂练习 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 -1 3 -4 0 2 -2 -1 3 -4 0 2 -2 < < < < < 知识梳理 （1）相反数：只有符号不同的两个数,互为相反数； （2）相反数的几何意义： 在数轴上位于原点两侧并且到原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数. （3）多重符号的化简：奇负偶正. 4. 相反数 0 -a a 随堂练习 8. -（+5）表示_________的相反数，即-（+5）=_________； -（-5）表示_________的相反数，即-（-5）=_________. 9. -2 的相反数是_________； 的相反数是_________； 0 的相反数是_________. 5 -5 2 -5 5 0 随堂练习 10.化简下列各数： -（-68）=________； -（+0.75）= ________； -（- ）=________； -（+3.8）= ________； +（-3）=________； +（+6）=________. 68 -3 -0.75 -3.8 6 11. 比较下列各组数的大小. （1） +(-3) 和 -(-4)； （2）-(-2)和-|+2|； （3） +|-3| 和 |-(+5)|； （4）-(+)和-|-|； 随堂练习 -3 +4 < +(-3) < -(-4) +2 -2 > -(-2) > -|+2| 3 5 < +|-3| < |-(+5)| - - < -(+) < -|-| 知识梳理 （1）一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫作数 a 的绝对值，记作| a |，读作“a的绝对值”. （2）绝对值的性质（非负性）. 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0. 即： ①如果a>0，那么￨a￨= a； ②如果a=0，那么￨a￨= 0； ③如果a<0，那么￨a￨= -a. 5. 绝对值 随堂练习 12. -8 的绝对值是_______，记做_______ . 13. 绝对值等于5的数有_________. 14. 若︱a︱= a , 则 a 的范围______ . 15. 如果 x<y<0, 那么| x |______| y |. 16. |x -1| =3 ，则 x ＝__________. 8 | 8 | ±5 a ≥ 0 ＞ 4 或-2 随堂练习 17. 有理数 a ，b 在数轴上的位置如图所示， 则 a_____b，| a |_____| b |. ＜ ＞ a b 0 随堂练习 18. 若|a|=3，|b|=7，则|a+b|的值是( ) A.10 B.4 C.10或4 D.以上都不对 C 解析：因为 |a|=3，|b|=7， 所以 a=3，b=7. ①当a=3，b=7时， a+b =10; ②当a=3，b=-7时， a+b =-4; ③当a=-3，b=7时， a+b =4; ④当a=-3，b=-7时， a+b =-10. 知识梳理 （1）数学中规定： 在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数. （2）有理数大小的比较法则： ①正数大于0，0大于负数，正数大于负数； ②两个负数，绝对值大的反而小. 6. 有理数大小的比较 B -1 0 1 2 A 随堂练习 19. 如图的数轴上，每小格的宽度相等． （1）填空：数轴上点A表示的数是____，点B表示的数是 ____. （2）点C表示的数是− ，点D表示的数是-1，请在数轴上分别画出点C和点D的位置． （3）在（1）（2）的条件下将A，B，C，D四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“＞”连接． C D > > - >-1. 随堂练习 20. 数轴上表示数a，b的点如图所示， 把a，-a，b，-b 按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）. -b<-a<a<b B. -a <-b<a<b C. -b<a<-a<b D. -b<b<-a<a C 0 -a -b a b 随堂练习 21.如图，有理数a,b在数轴上对应点的位置如图所示. （1）结合数轴可知：-a___b（用“＞、=或＜”填空）； （2）结合数轴化简：|a+1|+|-b+1|． ＞ 解：（2）结合数轴可知a＜-1，0＜b＜1， 所以a+1＜0，-b+1＞0， 所以|a+1|+|-b+1|= -a-1+-b+1= -a-b． b -1 1 0 a 22.工厂生产的乒乓球超过标准质量的克数记作正数，低于标准质量的克数记作负数，现对5个乒乓球称重情况如下表所示，分析下表，根据绝对值的定义判断哪个球的质量最接近标准？ 解：| +0.01|=0.01， |-0.02|=0.02，|-0.01|=0.01， | +0.04|=0.04， |-0.03|=0.03. 因为0.01＜0.02＜0.03＜0.04，所以A球和C球的质量最接近标准. 随堂练习 代号 A B C D E 超标情况/克 +0.01 -0.02 -0.01 +0.04 -0.03 第二章 有理数的运算 七上数学 RJ 章末小结 本章知识结构图 知识梳理 有理数的运算 加法 乘法 减法 乘方 除法 交换律、结合律 交换律、结合律、分配律 32 知识梳理 有理数加法法则： 同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和． 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差． 互为相反数的两个数相加得0． 一个数与0相加，仍得这个数. 有理数减法法则： 减去一个数，等于加这个数的相反数． 有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积. 任何数与0相乘，都得0. 知识梳理 有理数除法法则： 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数. 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商. 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 知识梳理 1.计算. (1)150+250 =_____; (2)－15+(－23) =_____; (3)－5－65=_____; (4)－26－(－15) =______; (5)(－6)×(－16) =______; (6)(－ )×27=_______;(7)8÷(－16) =_______; (8)(－25)÷(－) =_______; (9)(－)÷(－) =_______. 400 －38 －70 －11 96 －9 － 随堂练习 36 2.五袋白糖以每袋50干克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称量记录如下： +4.5，－4，+2.3，－3.5，+2.5 (1)这五袋白糖共超过标准多少干克？ (2)这五袋白糖的总质量是多少千克？ 解：(1)+4.5－4+2.3－3.5+2.5=1.8(千克). (2)50×5+1.8=251.8(千克). 随堂练习 数轴上表示两点间的距离 数轴上两点A，B的距离| AB | 与这两点所对应的数a，b的关系为：| AB | ＝ | a－b |. 知识梳理 随堂练习 3. 分别求出数轴上两点间的距离： （1）表示 2的点与表示－7的点； （2）表示－3的点与表示－1的点. 解：（1）2－(－7)=2+7=9； （2）－1－(－3)=－1+3=2. 39 有理数加减乘除混合运算顺序： 1.先算乘除，再算加减； 2.同级运算从左往右依次计算； 3.如有括号，先算括号内的； 4.能用运算律的，应利用运算律. 知识梳理 4.计算： (1)(－0.02)×(－20)×(－5)×4.5; 解：(1)(－0.02)×(－20)×(－5)×4.5 =－0.02×20×5×4.5 =－9; 随堂练习 4.计算： (2) (－6.5) ×(－2)÷(－) ÷(－5); 解：(2)(－6.5)×(－2)÷(－)÷(－5) =6.5×2×3× =7.8; 随堂练习 4.计算： (3) 0+(－ )－2－(－1.5); (4)(－66)×4－(－2.5)÷(－0.1). 解：(3) 0+(－ )－2－(－1.5) =0－ －2+1.5 =(0+1.5)+(－0.2－2) =1.5－2.2 =－0.7; (4)(－66)×4－(－2.5)÷(－0.1) =－264－25 =－289. 随堂练习 乘方 一般地，n个相同的乘数a相乘，记作 an，读作“a的n次方”.求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂. 根据有理数的乘法法则可以得出： 1.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 2.正数的任何次幂都是正数； 3.0的任何正整数次幂都是0. 知识梳理 5.计算： (1) (－3)3=_____; (2) (－2)4 =_____; (3) (－1.7)2=_____; (4) (－)3 =_____; (5) －(－2)2 =_____; (6) (－2)2(－3)2=_____. －27 16 2.89 － －4 36 随堂练习 知识梳理 有理数的混合运算顺序： 1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同级运算，从左到右进行； 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 6.计算： (1)(－2)2×5－(－2)3÷4; (2)－(3－5)+32×(1－3). 解：(1)原式=4×5－(－8)÷4 =20+2 =22; 解：(2)原式=－(－2)+9×(－2) =2－18 =－16. 随堂练习 7.计算： (1) －22×(－ )+8(－2)2; (2) (－3)2 2×(－) 2+4－22×(－); 随堂练习 解：(1)原式=2+8÷4 =4. 解：(2)原式=9×+4+ = +4+ = . 随堂练习 7.计算： (3) {1+[()3] ×(－2)4 } ( ); 解：(3)原式=[1+() ×16] ( ) = (1+1) () = = = . 知识梳理 科学记数法. 把一个大于10的数表示成 a×10n 的形式(其中a 大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记法是科学记数法. 用科学记数法表示一个n位整数(n ≥2)，其中10的指数是 n－1. 随堂练习 8.一只苍蝇的腹内细菌多达2 800万个，用科学记数法表示为____________个. 9. 新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系.其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%.将数据13.6亿用科学记数法表示为1.36×10n”的形式，则n的值是_____(备注：1亿=100 000 000). 9 2.8×107 随堂练习 10. 用科学记数法表示下列各数： (1) 100 000 000; (2) 4 500 000; (3) 692 400 000 000. 1×108 . 4.5×106. 6.924×1011 . 近似数：是指与准确数相近的一个数. 精确度：近似数与准确数的接近程度可以用精确度表示. 知识梳理 11.用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)0.004 57（精确到0.000 1)； (2)566.123 5(精确到个位)； (3)3.896 3(精确到0.01)： (4)0.057 1(精确到千分位) 随堂练习 (1)0.004 57≈0.004 6. (2)566.123 5≈566. (4)0.057 1≈0.057. (3)3.896 3≈3.90. 随堂练习 12. 近似数1.20是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是（ ） A.1.15<a<1.25 B.1.15≤a<1.25 C.1.195<a<1.205 D.1.195≤a<1.205 分析：近似数1.20精确到百分位，它是将数a的千分位上的数字四舍五入得到的. 对于数a ，若千分位上的数字大于或等于5，则百分位上的数字应是“9”，十分位上的数字应是“1”； 若千分位上的数字小于5，则百分位上的数字应是“0”，十分位上的数字应是“2”. 故1.195≤a<1.205. D 第三章 代数式 七上数学 RJ 章末复习 知识梳理 代数式 代数式的定义 列代数式 代数式的值 本章知识结构图 知识梳理 代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式. 单独的一个数或字母也是代数式，例如，2，t都是代数式. 知识梳理 类型 书写规定 示例 数与字母相乘或字母与字母相乘. 通常将乘号写作“·”或省略不写.相同字母写成幂的形式. 如2×m写成2·m或2m. 如m×n写成m·n或mn. m·m写成m2. 数字因数是1或-1. “1”常省略不写. 如1×a写成a，-1×a写成-a. 带分数与字母相乘. 将带分数化成假分数. 如1 t 应写成t. 除法运算. 用分数线. 如2÷x（x≠0）应写成. 代数式是和或差的形式且后面有单位. 把式子用括号括起来. 如（a - b）千克. 代数式的书写要求： 知识梳理 列代数式 在解决一些数学问题与实际问题时，需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是列代数式. 列代数式的步骤： (1)分析条件，找出数量关系. (2)用含有数、字母和运算符号的式子表示出来. 知识梳理 反比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系. 反比例关系的表示方法：如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积(k是一个确定的值，且k≠0)，反比例关系可以用xy=k或y=来表示，其中k叫作比例系数. 两个量的变化规律：一个量随着另一个量的增大而减小. 知识梳理 代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值.当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不同. 求代数式的值的步骤： 1.代 . 2.算. 3.验. 随堂练习 1.用代数式表示： (1)比a的3倍小4的数. (2)a的一半与b的和的平方. (3)我国自主研发的一种近防炮，每分钟可发射10 000发炮弹.近防炮 t min能发射多少发炮弹？ (4)购买n件单价为c元的商品要花多少元？若支付1000元还有剩余，应找回多少元？ cn元. 3a-4. (a+b)2. 10 000t 发. (1000-cn)元. 随堂练习 解：(1)最高气温是（t+15）℃. （2）第一次降价后的售价是0.8b元. 第二次降价后的售价是（0.8b-10）元. 2.用代数式表示： （1）某地冬季一天的温差是15℃，这天的最低气温是t℃，最高气温是多少？ （2）某种商品原价为每件b元，第一次降价打8折，第二次降价每件又降10元，第一次降价后的售价是多少元?第二次降价后的售价是多少元 随堂练习 3.说出下列各组代数式的意义有什么不同? (1)3x-4与3(x-4); (2)a2-b2与(a-b)2 . 解：(1)3x-4的意义是x的3倍与4的差，3(x-4)的意义是x与4的差的3倍. (2) a2-b2的意义是a的平方与b的平方的差，或者a与b的平方的差， (a-b)2的意义是a与b的差的平方. 随堂练习 4.(1)若一个长方形的长为p，宽为q，则2(p+q)表示什么？ (2)举两个例子说明代数式3a+2b表示的实际问题中的数量关系. 解：(1) 2(p+q)表示长方形的周长， (2)例：①笔的单价是a元，笔记本的单价是b元，买3支笔，2个笔记本的花费是(3a+2b)元. ②苹果的单价是3 元/kg,香蕉的单价是2 元/kg,买a kg苹果，b kg香蕉共花费(3a+2b)元. ③甲、乙两个工程队共修一条路，甲工程队每天修a km,乙工程队每天修b km,甲工程队工作3天，乙工程队工作 2天共修了(3a+2b) km. 随堂练习 5.用一根绳子围成一个长方形，相邻两边的长分别为x m和y m. (1)当绳子的长为12 m时，用式子表示y与x的关系； (2)当长方形的面积为12 m2时，用式子表示y与x的关系； 解：(1)2(x+y)=12. (2) xy=12. 随堂练习 5.用一根绳子围成一个长方形，相邻两边的长分别为x m和y m. (3)当长方形的周长一定时，相邻两边的长成反比例关系吗？当长方形的面积一定时呢？为什么？ 解：(3)当周长一定时，x与y的和一定，x与y不成反比例关系. 当面积一定时，x与y的积一定，x与y成反比例关系. 随堂练习 6.若2b-a=5，求代数式5(a﹣2b)2﹣3(a﹣2b)﹣60的值. 解：因为2b﹣a=5，所以a﹣2b=﹣5， 所以原式=5×(﹣5)2﹣3×(﹣5)﹣60 =125+15﹣60 =80. 随堂练习 7.根据下列a,b的值，分别求代数式a2-b2与(a-b)2的值： (1)a=-1,b=-3；(2)a=2,b=-. 解：(1)当a=-1,b=-3时， a2-b2=(-1) 2 -(-3) 2 =1-9=-8. (a-b)2 =[-1- (-3)] 2 =4. (2)当a=2,b=-时，a2-b2=22 -(-) 2 = ; (a-b)2 =[2- (-)] 2 = . 随堂练习 8.用含字母的式子填空： (1)长方形的宽为4，长比宽多a，则长方形的长为______，面积为_________； (2)一件衬衣的进价为a 元，售价为2a 元，则每件衬衣的利润为_______元； (3)一个数的倒数为a，则这个数是_____. 4＋a 4(4＋a) (2a-a) 随堂练习 9.如图，正方形ABCD的边长为a. (1)根据图中数据，用含a,b的代数式表示阴影部分的面积S; (2)当a=6,b=2时，求阴影部分的面积. 解：(1)S= a2- ×4b= a2-2b. (2)当a=6,b=2时， S= 62- 2×2 =18-4 =14. 4 b a A B C D 随堂练习 10.如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第n个图形需要多少枚棋子？ 第1个 第2个 第3个 解：第1个图形共有4枚棋子； 第2个图形共有8枚棋子； 第3个图形共有12枚棋子； ...... 第n个图形共有4n枚棋子. 第四章 整式的加减 七上数学 RJ 章末小结 知识梳理 列式表示数量关系 本章知识结构图 单项式 多项式 整式 整式加减运算 合并同类项 去括号 知识梳理 整式 多项式：几个单项式的和叫作多项式. 单项式：由数或字母的积组成的代数式叫作单项式. 单独的一个数或一个字母也是单项式. 单项式的系数：单项式中的数字因数. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和. 多项式的项：每个单项式叫作多项式的项. 多项式的次数：次数最高项的次数. 常数项：不含字母的项. 知识梳理 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项. 合并同类项法则： 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变. 知识梳理 去括号法则： 1.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 2.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 知识梳理 整式加减计算的一般步骤： 如果有括号的先去括号，再合并同类项. 求整式的值的一般步骤： 先将式子化简，再代入数值进行计算. 随堂练习 1. 对于式子－7πx2yz，下列说法正确的是（ ） A.它的系数为－7 B.它的次数为3 C.它的次数为5 D.它的系数为－7π D 随堂练习 2. 多项式－3x2－6xy+1的各项分别为（ ） A.－3x2，6xy，1 B.－3x2，－6xy，1 C.－3x2，－6xy，－1 D.3x2，6xy，1 B 随堂练习 解: a2b是单项式，系数为 ，次数为3； 是单项式，系数为， 次数为6; x2+y2－1是多项式，共有x2，y2，－1三项，次数为2; x是单项式，系数为1，次数为1; 3.下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项和次数： a2b，，x2+y2－1， x ，3x2－y+3xy3+x4－1，32t3，2x－y. 随堂练习 解：3x2－y+3xy3 +x4－1是多项式，有3x2,－y,3xy3,x4,－1五项，次数为4； 32t3是单项式，系数为32，次数为3; 2x－y是多项式，有2x,－y两项，次数为1. 3.下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项和次数： a2b，，x2+y2－1， x ，3x2－y+3xy3+x4－1，32t3，2x－y. 随堂练习 4. 先化简，再求值. 5x2+4－3x2－5x－2x2－5+6x，其中x =－3. 解：5x2+4－3x2－5x－2x2－5+6x = (5－3－2)x2+(－5+6)x－1 = x－1. 当x = －3时，原式 =－3－1 =－4. 随堂练习 5. 先化简，再求值. (－x2+5+4x)+(5x－4+2x2)，其中x=－2. 解：(－x2+5+4x)+(5x－4+2x2) =－x2+5+4x+5x－4+2x2 =x2+9x+1. 当x=－2时，原式=(－2)2+9×(－2)+1=－13. 随堂练习 6. 一种商品每件成本为a元，原来按成本增加22%定出价格，每件售价为多少元？现在由于库存积压减价，按原价的85%出售，现售价为多少元？每件还能盈利多少元？ 解：售价为a×（1+22%）= 1.22a(元). 现售价为1.22a×85% = 1.037a(元). 每件还能盈利：1.037a－a = 0.037a(元). 随堂练习 7. 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简 |b－a|+|a+b|－|c|－|b－c|+|a+c|. 解：由题意，得b<c<0<a，且|c|<|a|<|b|， 所以b－a<0，a+b<0，b－c<0，a+c>0， 所以|b－a|+|a+b|－|c|－|b－c|+|a+c| =－(b－a)－(a+b)+c+(b－c)+(a+c) =－b+a－a－b+c+b－c+a+c = a－b+c. b c 0 a 随堂练习 8. 甲地的海拔是h m，乙地比甲地高20 m，丙地比甲地低30 m，列式表示乙、丙两地的海拔，并计算这两地的高度差. 解：乙地的海拔是(h+20) m，丙地的海拔是(h－30) m； 乙、丙两地的高度差是 (h+20)－(h－30)= h+20－h+30=50(m). 随堂练习 9. 某轮船顺水航行3 h，逆水航行1.5 h，已知轮船在静水中的速度是a km/h，水流速度是y km/h，轮船共航行多少千米？ 解：3(a+y)+1.5(a－y) = 3a+3y+l.5a－1.5y = (4.5a+1.5y)(千米). 答：轮船共航行(4.5a+1.5y)千米. 随堂练习 10. 观察下图并填表（单位：cm)： 梯形个数 1 2 3 4 5 6 n 图形周长 5a 8a 11a 14a 17a 20a (3n+2)a a 2a a 随堂练习 11. 如下图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有 n(n>1)个点，每个图形总的点数S是多少？当n=5，7，11时，S是多少？ n=2 n=3 n=4 n=5 解：每个图形总的点数S=3n－3； 当n=5时，S=12；当n=7时，S=18；当n=11时，S=30. 第五章 一元一次方程 七上数学 RJ 章末小结 实际问题 实际问题 的解答 一元一次方程 一元一次方程的解（x=m） 设未知数， 根据相等关系列方程 抽象为数学模型 解方程 回归于实际问题 检 验 本章知识结构图. 一般步骤： 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 知识梳理 知识梳理 一元一次方程 方程：含有未知数的等式. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1的方程. 方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值. 概念 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 性质 等式的基本事实：等式两边可以交换. 相等关系可以传递. 知识梳理 解一元一次方程的一般步骤： 去分母. 去括号. 移项. 合并同类项. 系数化为1. 依据等式的性质2. 依据分配律. 依据等式的性质1. 依据分配律. 依据等式的性质2. 随堂练习 1.列方程表示下列语句中的相等关系： (1)某地2023年9月10日的温差是4℃. 这天最高气温是t℃，最低气温是t℃； (2)七年级学生人数为n，其中男生占45%，女生有110人； t- t=4. 45%n+110=n. 随堂练习 1.列方程表示下列语句中的相等关系： (3)一种商品每件进价为a元，售价为进价的1.1倍，现每件的售价又降低10元，现售价为每件210元； (4)在5天中，第一小组共植树60棵，第二小组共植树x(x<60)棵，平均每天第一小组比第二小组多植2棵树. 1.1a-10=210. 2. 随堂练习 2.已知x=－1是方程ax3＋bx－3=2的解，则当x=1时，求代数式ax3＋bx－3的值. 解：将x=-1代入方程a(-1)3+b(-1)-3=2， 即a+b=-5. 当x=1时，原式=a·13+b·1-3=a+b-3=-8. 随堂练习 3.解下列方程： （1）8x=3； （2）0.5x-0.7=6.5-1.3x; 解：（1）移项，得 -8x+ =3- . 合并同类项，得 - x= . 系数化为1，得 x=- . （2）移项，得 0.5x+1.3x=6.5+0.7 合并同类项，得 1.8x=7.2. 系数化为1，得 x=4. 随堂练习 3.解下列方程： （3）-3； （4）3; (4) 去分母，得 7(1-2x)=3(3x+1)-63. 去括号，得7-14x=9x+3-63. 移项、合并同类项，得 -23x=-67. 系数化为1，得x=. (3) 去括号，得 -3. 移项，得- =-3+1， 合并同类项，得=-2. 系数化为1，得x=-20. 知识梳理 用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 审：审清题意，找相等关系； 设：设未知数； 列：列方程； 解：解方程； 检：检验所得结果； 答：确定答案. 正确分析问题中的相等关系是列方程的基础. 列一元一次方程解决实际问题的类型 1. 配套问题 知识梳理 配套问题中的基本关系： 若 m 个 A 和 n 个 B 配成一套，则 ， m×B 的数量=n×A 的数量. 知识梳理 列一元一次方程解决实际问题的类型 2.工程问题 工程问题中的基本数量关系： 工作量=工作效率×工作时间（或人均效率×时间×人数）； 合作的效率=各部分单独做的效率和； 总工作量=各部分工作量之和. 知识梳理 列一元一次方程解决实际问题的类型 3.销售问题 商品销售中的等量关系： 利润率 ； 打 x 折后的售价=标价 ； 售价=进价×(1+利润率)； 利润=售价-进价； 利润=进价×利润率. 列一元一次方程解决实际问题的类型 4.比赛中的积分问题 知识梳理 在比赛积分问题中，常见的等量关系： 某个队的参赛场数=该队的胜场数+该队的负场数+该队的平场数； 某个队的总积分=该队的胜场积分+该队的负场积分+该队的平场积分. 列一元一次方程解决实际问题的类型 5.方案选择问题 知识梳理 审题 更优惠 费用相同 列方程 用未知数表示费用 设未知数 选择最优方案问题的一般步骤： 随堂练习 4.(我国古代问题)跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？ 解：设快马x天可以追上慢马. 由题意，得240x=150(12+x). 解得x=20. 答:快马20天可以追上慢马. 随堂练习 5.某车间每天能制作甲种零件500只，或者制作乙种零件250只，甲、乙两种零件各一只配成一套产品，现要在30天内制作最多的成套产品，则甲、乙两种零件各应制作多少天？ 解：设甲种零件应制作x天，则乙种零件应制作(30-x)天. 依题意，得500x=250(30-x). 解得x=10. 那么30-x=20. 答：甲种零件应制作10天，乙种零件应制作20天. 随堂练习 解:设剩余部分由八年级学生单独完成需x h. 依题意，得. 解得.所以. 答:共需 h完成. 6.某中学的学生自己动手整修操场，如果让七年级学生单独工作，需要7.5h完成；如果让八年级学生单独工作，需要5h完成.如果让七、八年级学生一起工作1h,再由八年级学生单独完成剩余部分，共需多少时间完成？ 随堂练习 7.现对某商品降价20%促销，为了使销售总金额不变，销售量要比按原价销售时增加百分之几？ 解：设销售量要比按原价销售时增加x%. 依题意,得(1-20%)(1+x%)=1. 解得x=25. 答:销售量要比按原价销售时增加25%. 随堂练习 8.学校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答.下表记录了5名参赛同学的得分情况. (1)同学F得76分，他答对了几道题？ (2)同学G说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 解：由参赛者A知,答对一题得5分,再由参赛者B知,答错一题扣1分. (1)设同学F答对了x道题. 依题意,得5x-(20-x)= 76. 解得x=16. 答:同学F答对了16 道题. 随堂练习 (2)不可能.设同学G答对了y道题. 依题意,得5y-(20-y)=80. 解得y= . 因为y不是整数, 故原方程的解不符合题意. 所以他不可能得80分. 8.学校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答.下表记录了5名参赛同学的得分情况. (1)同学F得76分，他答对了几道题？ (2)同学G说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 随堂练习 9.一家游泳馆每年6月一8月出售夏季会员证，每张会员证120元，只限本人使用，凭会员证购入场券每张15元，不凭会员证购入场券每张20元.试讨论并回答下列问题： (1)在什么情况下，使用会员证与不使用会员证付一样的钱？ (2)在什么情况下，使用会员证比不使用会员证更合算？ (3)在什么情况下，不使用会员证比使用会员证更合算？ 解:设游泳x次时，使用会员证与不使用会员证付一样的钱. 根据题意，得120+15x=20x , 解得x=24. 答:(1)去游泳馆24次时,使用会员证与不使用会员证付一样的钱. (2)去游泳馆的次数大于24次时,使用会员证比不使用会员证更合算. (3)去游泳馆的次数少于24次时,不使用会员证比使用会员证更合算. 第六章 几何图形初步 七上数学 RJ 章末小结 知识梳理 几何图形初步 直线 线段 线段的中点 角的定义 两点之间线段最短 射线 角 角平分线 两点确定一条直线 线段比较长短 角比较大小 尺规作图 余角和补角 几何图形 点、线、面、体 立体图形与平面图形 知识回顾 知识点一 立体图形与平面图形 1.立体图形的各部分不都在同一平面内，如： 2.平面图形的各部分都在同一平面内，如： 知识回顾 知识点二 从不同方向看立体图形 从上面看 从前面看 从左面看 从上面看 从左面看 从前面看 知识回顾 知识点三 立体图形的展开图 正方体 圆柱 三棱柱 圆锥 知识回顾 知识点四 点、线、面、体之间的联系 1.体是由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点； 2.点动成线、线动成面、面动成体. 知识回顾 知识点五 直线、射线、线段 1.有关直线的基本事实： 经过两点有且只有一条直线. 2.直线、射线、线段的区别 类型 线段 射线 直线 端点个数 2个 不能延伸 延伸性 能否度量 可度量 1个 向一个方向 无限延伸 不可度量 无端点 向两个方向 无限延伸 不可度量 知识回顾 4.有关线段的基本事实： 两点之间，线段最短. 3.线段的中点 因为C是线段AB的中点， 所以AC=BC= AB，AB=2AC=2BC. A C B 5.连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离. 几何语言： 知识点五 直线、射线、线段 知识回顾 知识点六 角 1.角的定义 (1)有公共端点的两条射线组成的图形，叫作角； (2)角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 2.角的度量 度、分、秒的互化： 1°=60′，1′=60″ 知识回顾 知识点六 角 3.角的平分线 O B A C 几何语言： 因为OC是∠AOB的平分线， 所以∠AOC=∠BOC= ∠AOB； ∠AOB=2∠BOC=2∠AOC. 知识回顾 知识点七 余角和补角 (1)定义 ①如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角(简称这两个角互余). ②如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角(简称这两个角互补 ). (2)性质 ①同角 (等角)的余角相等. ②同角 (等角)的补角相等. 重难剖析 1.根据下列多面体的平面展开图，填写多面体的名称. (1)_______，(2)_______，(3)________. 长方体 三棱柱 三棱锥 (1) (2) (3) 重难剖析 2 ．将下面的平面图形绕轴旋转一周，得到的立体图形是(　　) C 旋转轴 A B C D 重难剖析 3．如图，在平整的地面上，用若干个棱长完全相同的小正方体堆成一个几何体. 请画出这个几何体从前面、左面、上面看到的形状图. 从前面看 从左面看 从上面看 解：如图所示. 重难剖析 4．下列叙述正确的是（　A　） A．线段AB可表示为线段BA B．射线CD可表示为射线DC C．直线最长，线段最短 D．射线是直线长度的一半 A 重难剖析 5．如图，一共有 　1条直线，是 　 直线A C；能用字母表示的射线有 　7　 条，它们分别是射线　DA，DC，BA，B C，DB， AC ，其中在同一条直线上的射线是射线 　D ADDC ， ． 1 7　 DA，DC，BA，BC，DB，AC(或AD)，CA(或CD)　 DA，DC，AC(或AD)，CA(或CD)　 直线AC(或直线AD,或直线CD) 重难剖析 6．如图，线段AB＝32 cm，点C在AB上，且AC∶CB＝5∶3，点D是AC的中点，点O是AB的中点，求DB与OC的长． 分析：从图上可以看出DB＝AB－AD， 而D是AC的中点，所以AD＝ AC， 结合AC∶CB＝5∶3，AB＝32 cm， 故AC和BC可求，OC＝OB－BC＝AB－BC. 重难剖析 解：因为AC∶CB＝5∶3，AC＋CB＝AB， 所以AC＝AB=×32= 20 (cm)， BC＝AB=×32=12 (cm). 因为D是AC的中点，所以AD＝AC＝10 cm， 所以DB＝AB－AD＝32－10＝22(cm)． 重难剖析 因为O是AB的中点， 所以OB＝AB＝16 cm， 所以OC＝OB－BC＝16－12＝4(cm)， 所以DB＝22 cm，OC＝4 cm. 重难剖析 7.下午2时15分到5时30分，时钟的时针转过的度数为______. 分析：时钟被分成12个大格，相当于把圆分成12等份， 每一等份等于30°. 分针转360°时，时针转一格，即30°. 从2时15分到5时30分，时针走了(5.5－2.25)格， 即30°×(5.5－2.25)＝97.5°. 97.5° 重难剖析 8.如图，∠AOB＝∠COD＝90° ，∠BOC＝42° ，则∠AOD＝(　　) A．48° B．148° C．138° D．128° 分析：由图可知∠AOB，∠BOC，∠COD，∠AOD组成一个周角， 所以∠AOD=360°－∠AOB－∠COD－∠BOC=138°. 故选C. C 重难剖析 9.如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（ ） A． B． C． D． A ∠α与∠β互余 ∠α =∠β ∠α =∠β ∠α与∠β互补 重难剖析 10. 如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC． (1) 若∠EOC=70°，求∠BOD的度数； 所以∠AOC =∠EOC =×70°=35°. 解：(1)因为直线AB，CD相交于点O， 所以∠AOC=∠BOD. 因为OA平分∠EOC， 所以∠BOD =∠AOC =35°. O A C B D E 重难剖析 (2) 若∠EOC∶ ∠EOD=2∶3，求∠BOD的度数． 解：(2)设∠EOC=2x°，∠EOD=3x°， 由∠EOC+∠EOD=180°， 得2x+3x =180，解得x =36. 所以∠EOC = 2x°=72°， 所以∠AOC=∠EOC=×72°=36°， 所以∠BOD=∠AOC=36°． O A C B D E 重难剖析 11.一只蚂蚁从 O 点出发，沿东北方向爬行 2.5 cm，碰到障碍物 B 后，折向北偏西60°方向爬行3 cm到 C点. 画出蚂蚁的爬行路线. 北 O B 2.5 cm C 3 cm 60° 45° 解：如图所示. 能力提升 1．将下图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是( ) A． B． C． D． C 能力提升 2．用小立方块搭一个几何体，使得它从前面看和从上面看得到的图，如图所示. 这样的几何体只有一种吗?它最少需要多少个小立方块?最多需要多少个小立方块? 从前面看 从上面看 能力提升 2．用小立方块搭一个几何体，使得它从前面看和从上面看得到的图，如图所示. 这样的几何体只有一种吗?它最少需要多少个小立方块?最多需要多少个小立方块? 从前面看 从上面看 1 1 1 1 1 3 2 最少摆法示意图（不唯一） 能力提升 2．用小立方块搭一个几何体，使得它从前面看和从上面看得到的图，如图所示. 这样的几何体只有一种吗?它最少需要多少个小立方块?最多需要多少个小立方块? 从前面看 从上面看 3 3 3 2 2 2 1 最多摆法示意图 能力提升 最少摆法（不唯一）所需小立方块个数：3+2+1+1+1+1+1= 10（个）. 1 1 1 1 1 3 2 3 3 3 2 2 2 1 最多摆法所需小立方块个数：3+3+3+2+2+2+1=16 （个）. 解：如图所示. 能力提升 解：(1)因为C，D分别是线段OA，OB的中点， 所以OC=AO，OD=BO. 所以CD=OC+OD=(OA+OB)=AB=a. 3.如图，已知线段AB=a，点O是线段AB上的动点，且不与点A，B重合，点C，D分别是线段OA，OB的中点. (1)求线段CD的长. (2)当点O在线段AB的延长线上时，其他条件不变，请画出图形，并求出 CD的长；比较(1)(2)的结果，你发现了什么规律? A C O D B 能力提升 解：(2)当点O在线段AB的延长线上时，如图所示. 因为C，D分别是线段OA，OB的中点， 所以OC=OA，OD=OB， 所以CD=OC－OD=(OA－OB)=AB=a. 比较(1)(2)的结果发现，线段DC的长都等于线段AB的一半. A C B D O 能力提升 双中点线段长度计算规律 (1)线段上的一点把线段分成两条线段，这两条线段的中点间的距离等于原线段长度的一半； (2)线段延长线上的一点和原线段的两个端点构成两条线段，这两条线段的中点间的距离等于原线段长度的一半. 能力提升 4. 如图，将一张长方形纸片分别沿着EP，FP折，使点B落在点B'，点C落在点C'.若点P，B'，C'不在一条直线上，且两条折痕的夹角∠EPF=85°，则∠ B'PC'= . 10°　 能力提升 分析：由折叠可知∠BPE=∠B'PE ， ∠CPF=∠C'PF ， 所以2∠B'PE+2∠C'PF－∠B'PC'=180° ， 即2(∠B'PE+∠C'PF)－∠B'PC'=180° . 又因为∠EPF=∠B'PE+∠C'PF－∠B'PC'=85° ， 所以∠B'PE+∠C'PF=∠B'PC'+85° ， 所以2(∠B'PC'+85°)－∠B'PC'=180° ， 解得∠B'PC'=10° . 能力提升 5.已知点O是直线AB 上一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC． (1) 如图1，若∠AOC＝30°，则∠DOE 的度数为 　15°　 ； 15°　 解：(1)因为∠AOC＝ 30°，∠AOC＋∠BOC＝180°， 所以∠BOC＝180°－∠AOC＝150°. 因为OE 平分∠BOC ， 所以∠COE＝∠BOC＝ 75°. 因为∠COD＝90°， 所以∠DOE＝∠COD－∠COE ＝ 15°. 能力提升 (2) 在图1中，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数； 解：(2)因为∠AOC＝α ，∠AOC＋∠BOC＝180°， 所以∠BOC＝180°－∠AOC＝180°－α. 因为OE 平分∠BOC ， 所以∠COE＝∠BOC＝90°－α. 因为∠COD 是直角，即∠COD＝90°＝∠DOE＋∠COE ， 所以∠DOE＝∠COD－∠COE＝90°－(90°－ α) ＝ α. 能力提升 解：(3)因为∠COD是直角， 所以∠COD＝∠COE＋∠DOE＝90°， 所以2∠COE＋2∠DOE＝180°. 因为OE平分∠BOC，所以∠COE＝∠BOE. 所以∠BOC＋∠AOC＝2∠COE＋∠AOC＝180°. 所以2∠COE＋2∠DOE＝2∠COE＋∠AOC． 所以∠AOC＝2∠DOE. (3) 如图2的位置关系，探究∠AOC 与∠DOE 之间的数量关系． 能力提升 6.已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小30°，求∠α，∠β． 解：设∠α＝x°，则∠β＝180°－x°． 根据题意，得∠β＝2(∠α－30°)， 得180－x＝2(x－30)， 解得x＝80． 所以∠α＝80°，∠β＝100°． 提示：此题的和差倍分关系较复杂，可列方程解答. $