四川省仁寿第一中学校（北校区）2025-2026学年高一上学期第三次质量检测考试数学试题

仁寿一中北校区高2025级高一第三次质量检测考试 数学试题答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D【详解】因为，则.故选：D 2. 已知，且为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C【详解】因为为第二象限角,又因为, 所以.故选：C 3. 已知则（ ） A. B. C. D. 【答案】D【详解】因为，则， 故.故选：D 4. 已知圆心角为的扇形半径是3，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【详解】由题意在扇形中，弧长 扇形面积故答案为： 5. 函数的零点一定位于区间（ ） A. B. C. D. 【答案】B【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，因为，，，则， 由零点存在定理可知，函数的零点一定位于区间内.故选：B. 6. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【详解】因为定义在R上的偶函数在上单调递减，则在上单调递增， 所以不等式即，即，解得， 所以实数的取值范围为． 7. 牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度将满足，其中是环境温度，称为半衰期.现有一杯的热茶，放置在的房间中，如果热茶降温到，需要10分钟，则欲降温到，大约需要（ ）分钟. （参考数据，） A. 16分钟 B. 20分钟 C. 24分钟 D. 26分钟 【答案】D【详解】根据题意可得，解得，所以，即，所以，故, 故大约需要26分钟，故选：D 8. 已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【详解】令，则，由函数有三个不同的零点，转化为有两个零点，一个零点或另一个零点，则，则一元二次方程的两根为，即的一个根在另一根在，令，则有，即实数的取值范围为，故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点在幂函数的图象上，则（ ） A. 偶函数 B. 奇函数 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 【答案】BC【详解】设幂函数，代入可得， 故，因此，对于A，由于函数的定义域为，关于原点对称， 且，故为奇函数， 且在上单调递减,故AD错误，BC正确.故选：BC. 10. 已知函数（e为自然对数的底数），则（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数是增函数 C. 函数是奇函数 D. 若，则 【答案】AB【详解】由，因此选项A正确；， 当时，函数，单调递增， 所以也单调递增，因此选项B正确； 因为，所以函数不是奇函数，选项C不正确； 由上可得，因为函数是增函数， 所以有且，因此选项D不正确，故选：AB 11. 已知函数.（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的有（ ） A. 是奇函数 B. C. 函数是单调递增函数 D. 【答案】AC【详解】，令，定义域为，， 所以是奇函数，故A正确； 因为，，所以，故B错误；在上是增函数，故C正确；，故D不正确； 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共5分. 12. 函数的定义域为______________． 【答案】【详解】对于函数，有，解得且， 因此，函数的定义域为.故答案为：. 13. 已知，则______________． 【答案】## 【详解】，故答案为：. 14. 已知函数，若关于的方程恰有三个实数根，则的取值范围为______________． 【答案】 【详解】关于的方程恰有三个实数根等价于函数与的图象的交点个数为， 作出的图象，由图可知两个函数图象有个交点时，的取值范围为 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）在直角坐标系内，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，求值：； （2）若，求的值； （3）求值：； 【详解】【小问1详解】由三角函数的定义可得， 所以； （2）因为，两边同时平方得到， 整理得到，所以. 【小问3详解】 . 16. 已知集合，且. （1）求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）2 （2） 【小问1详解】由，得，解得或， 当时，，不符合题意；当时，符合题意，所以. 【小问2详解】由（1）得，，由，得， ①若，此时，即，符合题意； ②若，由，则，解得：， 所以实数的取值范围是. 17. 随着生活水平的提高，单人写真、旅行跟拍、家庭摄影等逐渐成为了平价且普遍的消费.某大型摄影工作室现计划投入80万元升级拍摄设备，同时由于需要更新道具、租用场地、招收员工、提升技术等，每年额外还有一笔持续的支出.结合经验，该工作室预测未来五年内的收支情况为：除升级设备的花费外，前年总共的额外持续支出约为万元，且平均每年的营业额约80万元. （1）求工作室未来五年内的前年的总利润（单位：万元）； （2）在未来五年内，对于部分摄影设备，该工作室有两种决策方案. 方案一：当总利润达到最大值时，将这些摄影设备以52万元的价格售出； 方案二：当平均年利润达到最大值时，将这些摄影设备以72万元的价格售出. 假设设备均能按预期价格顺利售出，该工作室应采取哪种方案？具体如何决策？说明理由. 【答案】（1）且； （2）答案见解析 【小问1详解】依题意可得且； 小问2详解】方案一：且，... ∴当或时，取得最大值110， 此时处理掉设备，则总利润为万元， 方案二：平均年利润为， 当且仅当，即时，等号成立，即时，平均年利润最大， 此时，若此时处理掉设备，总利润为万元； 综上，两种方案获利都是162万元，但方案二仅需要3年即可，而方案一至少需要4年，故该工作室应采取方案二，在3年后将这些摄影设备以72万元的价格售出. 18. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）判断函数在区间上的单调性并用定义法证明； （3）若都有成立，求正实数的取值范围． 【答案】（1）偶函数，证明见解析 （2）单调递减，证明见解析 （3） 【小问1详解】函数为偶函数，证明如下：要使函数f（x）有意义，则解得， 故函数的定义域为，关于原点对称．对任意，则， 所以，所以函数为偶函数． 【小问2详解】函数在区间上单调递减，证明如下： 设，设，， 根据复合函数单调性可知，，故在区间单调递减． 【小问3详解】若都有成立， 即对于恒成立，即，解得①， 又，则对于恒成立， 即，也就是对于恒成立， 设，开口向上，且， 则，解得②，由①和②得. 19. 已知函数（为实数）是奇函数. （1）求的值； （2）解不等式：； （3）若实数满足，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【小问1详解】由题意函数是定义在上的奇函数，所以， 即，整理得恒成立，即．所以； 【小问2详解】由（1）知，则， 所以，由函数单调递增得，所以原不等式的解集为； 【小问3详解】由（1）可得； 取任意，且，则 ， 因为，所以，又易知， 所以，即；因此函数为单调递减函数； 由可得； 由为单调递减可知，即， 解得，所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中北校区高2025级高一第三次质量检测考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆心角为的扇形半径是3，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的零点一定位于区间（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度将满足，其中是环境温度，称为半衰期.现有一杯的热茶，放置在的房间中，如果热茶降温到，需要10分钟，则欲降温到，大约需要（ ）分钟. （参考数据，） A. 16分钟 B. 20分钟 C. 24分钟 D. 26分钟 8. 已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点在幂函数的图象上，则（ ） A. 偶函数 B. 奇函数 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 10. 已知函数（e为自然对数的底数），则（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数是增函数 C. 函数是奇函数 D. 若，则 11. 已知函数.（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. C. 函数是单调递增函数 D. 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共5分. 12. 函数的定义域为______________． 13. 已知，则______________． 14. 已知函数，若关于的方程恰有三个实数根，则的取值范围为______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（1）在直角坐标系内，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，求值：； （2）若，求的值； （3）求值：； 16. 已知集合，且. （1）求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 17. 随着生活水平的提高，单人写真、旅行跟拍、家庭摄影等逐渐成为了平价且普遍的消费.某大型摄影工作室现计划投入80万元升级拍摄设备，同时由于需要更新道具、租用场地、招收员工、提升技术等，每年额外还有一笔持续的支出.结合经验，该工作室预测未来五年内的收支情况为：除升级设备的花费外，前年总共的额外持续支出约为万元，且平均每年的营业额约80万元. （1）求工作室未来五年内的前年的总利润（单位：万元）； （2）在未来五年内，对于部分摄影设备，该工作室有两种决策方案. 方案一：当总利润达到最大值时，将这些摄影设备以52万元的价格售出； 方案二：当平均年利润达到最大值时，将这些摄影设备以72万元的价格售出. 假设设备均能按预期价格顺利售出，该工作室应采取哪种方案？具体如何决策？说明理由. 18. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）判断函数在区间上的单调性并用定义法证明； （3）若都有成立，求正实数的取值范围． 19. 已知函数（为实数）是奇函数. （1）求的值； （2）解不等式：； （3）若实数满足，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $