期末专题09 三角恒等变换（考点串讲+专项训练）（精选31题）-【百强名校好题】2026年高一数学（上）期末终极冲刺（人教A版必修第一册）

期末专题09 三角恒等变换 百强名校-考点串讲 例1．(24-25高一上·安徽合肥第一中学·期末)已知角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 例2．(24-25高一上·湖南长沙第一中学·期末)计算：（   ） A． B．2 C．1 D． 例3．(24-25高一上·湖北武汉部分重点中学·期末)若，，并且均为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 例4．(24-25高一上·湖北武汉部分重点中学·期末)已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 例5．(24-25高一上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)若，，且，则的最小值为 . 例6．(24-25高一上·福建福州第一中学·)已知，都是锐角，且，则的最小值为 . 例7．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)若，且． （1）当时， ；（2）的最小值为 ． 例8．(24-25高一上·河北昌黎第一中学·调研)已知锐角，满足，. (1)求的值； (2)求的值. 例9．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末) 如图，在平面直角坐标系中，为单位圆上一点，射线绕点逆时针方向旋转后交单位圆于点，点的横坐标记为．    (1)求的表达式，并求的值； (2)若为任意角，，求的值． 例10．(24-25高一上·福建福州第一中学·)已知函数的最小正周期为. (1)若，求的值域； (2)若，，求的值. 百强名校-真题精练 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)（    ） A． B． C． D．1 2．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)（   ） A． B． C． D．4 3．(24-25高一上·陕西西安交通大学附属中学·期末)（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期末)已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·福建福州第一中学·)若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高一下·湖南怀化·期末)已知，，则的值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．(24-25高一上·湖北武汉部分重点中学·期末)下列式子化简正确的是（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知，且，则以下正确的有（   ） A． B．值域为 C．在上单调递增 D． 三、填空题 9．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知角终边经过点，则 ． 10．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则= ． 11．(24-25高一上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)已知，则 . 四、解答题 12．(24-25高一上·浙江杭州第二中学·期末)已知. (1)求的值； (2)求的值. 13．(24-25高一上·河北石家庄·期末)已知锐角的终边与单位圆相交于点. (1)求实数及的值； (2)求的值； (3)若，且，求的值. 14．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求的值； (2)设且，求的值． 15．(24-25高一上·湖北华中师范大学第一附属中学·期末)已知，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)若，，求的值. 16．(24-25高一上·福建福州第一中学·)如图所示，在平面直角坐标系中，角和角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A，B两点，已知，点B的横坐标为，点C与点B关于x轴对称. (1)求的值； (2)求的值. 17．(24-25高一上·安徽合肥第一中学·期末)（1）已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点，求的值； （2）已知，都是锐角，，，求的值. 18．(24-25高一上·浙江杭州第二中学·期末)已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)用五点法作出在区间内的图象； (3)在中，若，求的最大值. 19．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)学校准备用一段长为30米的篱笆在墙角（墙的长度足够长）围出一个如图的直角三角形区域进行栽种（其中为篱笆，为墙），设．划定正方形区域栽种鲜花，其中顶点在斜边上，顶点分别在直角边上． (1)设鲜花栽种区域面积为，求最大值并求此时的； (2)将鲜花栽种面积占围出的整块三角形区域面积的比称为土地有效利用率，求土地有效利用率的最大值． 20．(24-25高一上·陕西西安交通大学附属中学·期末)用高中所学知识解决下列问题：如图正方形的边长为分别为上动点，且的周长为2. (1)求的最小值； (2)证明：为定值，并求出该定值； (3)设的面积为，求的最小值. 21．(24-25高一上·安徽芜湖·期末)如图，在扇形中，半径，圆心角是扇形弧上的动点，是半径所在直线上的动点，且.记. (1)当点与点重合时，求的值； (2)记的面积为. （i）当时，求的值； （ii）若方程在的解为且.求的值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末专题09 三角恒等变换 百强名校-考点串讲 1．(24-25高一上·安徽合肥第一中学·期末)已知角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角间的关系和正切的二倍角公式即可求解. 【详解】因为且角的终边经过点， 故角为第二象限角， 所以，， 所以. 故选：C. 2．(24-25高一上·湖南长沙第一中学·期末)计算：（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】先将换成，再切化弦，利用差角公式及诱导公式化简即可. 【详解】原式 . 故选：A. 3．(24-25高一上·湖北武汉部分重点中学·期末)若，，并且均为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果. 【详解】由，可得， 又，所以， 因为，，所以， 所以 ， 又因为，所以. 故选：C 4．(24-25高一上·湖北武汉部分重点中学·期末)已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为整体，可得，根据展开计算得到答案. 【详解】因为，则， 且，可得， 所以. 故选：A. 5．(24-25高一上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)若，，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式化简可得，再利用平方关系及基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，由，得，， 由，得， 则， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用二倍角的正余弦公式变形，把用的正余弦表示是求解问题的关键. 6．(24-25高一上·福建福州第一中学·)已知，都是锐角，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】首先得到，结合基本不等式即可求解. 【详解】都是锐角，所以， 由， 可得， 由基本不等式有， 所以， 可得或（舍） 所以， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 7．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)若，且． （1）当时， ；（2）的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）代入，得到，并求出，利用诱导公式得到，求出； （2）由三角恒等变换得到，从而，换元得到，求出最小值. 【详解】（1）当时，， 即， ，即，所以， 又，故， 所以，故， 由于， 所以， 所以一种情况是， 解得，满足要求， 还可能，解得，不合要求， 故； （2）， 故， ， 由得， ， 令，则， 当时，，此时，即时，等号成立. 故答案为：， 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为三角函数或二次函数求出最值. 8．(24-25高一上·河北昌黎第一中学·调研)已知锐角，满足，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用平方关系求出，，可得，代入运算得解； （2）由（1）求出得解. 【详解】（1）由为锐角，，可得. 又由、为锐角、有， 又由，有. 有 . （2）由， 又由， 可得. 9．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末) 如图，在平面直角坐标系中，为单位圆上一点，射线绕点逆时针方向旋转后交单位圆于点，点的横坐标记为．    (1)求的表达式，并求的值； (2)若为任意角，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分析可知射线为角的终边，利用三角函数的定义可得出的表达式，再利用余弦函数的周期和两角和的余弦公式可求得的值； （2）解法一：由已知结合三角恒等变换可得出关于、的方程组，解出的值，再利用两角差的正弦公式化简即可得解； 解法二：由已知可得出的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正弦公式可计算出的值，再利用两角差的正弦公式化简即可得解. 【详解】（1）设射线为锐角的终边，则，则， 射线绕点逆时针方向旋转后交单位圆于点，则射线为角的终边， 由三角函数的定义可得， . （2）法一：因为， 联立，解得或， 又因为或； 法二：因为，则， 所以，， 当时，则 ， 此时，； 当时，则 ， 所以，. 综上所述，或. 10．(24-25高一上·福建福州第一中学·)已知函数的最小正周期为. (1)若，求的值域； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先化简函数的解析式，根据周期求，再利用代入法求函数的值域； （2）根据（1）的结果，代入求得，再利用换元，以及二倍角公式，两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】（1） ， 因为函数的最小正周期为，所以，得， 所以， ，则，所以， 所以函数的值域是； （2）， 设，，则，，所以， 所以， . 百强名校-真题精练 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简计算即可. 【详解】原式 . 故选：A 2．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】先由和差公式以及二倍角公式将化简为，再结合诱导公式即可得答案. 【详解】因为， 而，所以， 故选：D. 3．(24-25高一上·陕西西安交通大学附属中学·期末)（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式以及二倍角公式即可求解. 【详解】， 故选：B 4．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期末)已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用积化和差公式得到，代入求值即可. 【详解】， 由积化和差得， 即， 故，解得. 故选：C 5．(24-25高一上·福建福州第一中学·)若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式，以及两角差的正切公式，以及结合角的范围，诱导公式，即可求解. 【详解】， 因为，所以， 所以，得. 故选：D 6．(24-25高一下·湖南怀化·期末)已知，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由将切化弦，再通分，结合两角差的正弦公式求出，再由两角差的余弦公式求出，即可得解. 【详解】因为，， 所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是由所给条件推导出、的值. 二、多选题 7．(24-25高一上·湖北武汉部分重点中学·期末)下列式子化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】本题主要涉及三角函数的两角和差公式、诱导公式以及特殊角的三角函数值来化简式子并判断对错. 【详解】对于A选项，首先根据诱导公式. ， 所以A选项错误.   对于B选项，， 所以B选项错误.   对于C选项，因为，则. 根据二倍角公式，则，所以C选项正确.   对于D选项，根据两角和的正切公式，则. 所以D选项正确.   故选：CD. 8．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知，且，则以下正确的有（   ） A． B．值域为 C．在上单调递增 D． 【答案】BC 【分析】先化简得到，再结合正弦型函数的性质逐个判断即可； 【详解】 所以，A错误； 函数的值域为，B正确； 当，可得，故在上单调递增，C正确； 由，可得， 所以， 所以，D错误， 故选：BC 三、填空题 9．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知角终边经过点，则 ． 【答案】/ 【分析】由三角函数的定义结合二倍角正弦公式即可得答案. 【详解】由三角函数的定义可得， 所以， 故答案为：. 10．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则= ． 【答案】 【分析】根据题意，由幂函数的图像特征及函数的奇偶性、单调性求得，将代入式子利用两角和差公式将式子进行化简求解. 【详解】由幂函数为偶函数，即且为偶数，解得或， 又因为在函数上单调递减， 所以，所以， 所以 . 故答案为：. 11．(24-25高一上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)已知，则 . 【答案】 【分析】将化为，再利用两角和的正切公式求解即可. 【详解】由题意得， 则， 故答案为： 四、解答题 12．(24-25高一上·浙江杭州第二中学·期末)已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正切的二倍角公式即可求解， （2）先用诱导公式化简，即可求解. 【详解】（1）由 （2） 13．(24-25高一上·河北石家庄·期末)已知锐角的终边与单位圆相交于点. (1)求实数及的值； (2)求的值； (3)若，且，求的值. 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）由题意列式即可求解m，再由正切函数定义即可得解； （2）由锐角的终边上点的坐标求得，结合余弦两角和公式和倍角公式即可计算得解； （3）由和角的范围，求得，再巧妙地把所求转化为，然后借助正弦两角差公式即可计算得解. 【详解】（1）由于点在单位圆上，且是锐角，可得，， 则，； （2）因为锐角的终边与单位圆相交于点，所以，， 可得，， 所以. （3）因为为锐角，所以，又，所以， 因为，所以， 所以. 14．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求的值； (2)设且，求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）由三角函数定义可得正弦，余弦和正切值，利用诱导公式化简得到答案； （2）结合（1），利用诱导公式得到，利用正切差角公式进行计算即可. 【详解】（1）由三角函数定义可得， ，， ； （2） ， 由（1）知，，故， 故. 15．(24-25高一上·湖北华中师范大学第一附属中学·期末)已知，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)若，，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用平方关系求出即可得解. （2）由（1）的结论，结合二倍角的余弦函数化简求得. （3）利用和角的正切公式，结合角的范围求得角的大小. 【详解】（1）由，得，解得， 而，则，， 因此，所以. （2）由（1）得. （3）由（1）知，，则， ，，则，所以. 16．(24-25高一上·福建福州第一中学·)如图所示，在平面直角坐标系中，角和角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A，B两点，已知，点B的横坐标为，点C与点B关于x轴对称. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用诱导公式化简原式为，再弦化切代入即可求解； （2）求出的正弦值与余弦值，根据，利用两角和的余弦公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以 ， （2）因为点B的横坐标为，且B是第二象限单位圆上的点， 所以B的纵坐标为，即， 则， 因为①，②， 由①②结合可得，， 因为点C与点B关于x轴对称，所以， 因为， 17．(24-25高一上·安徽合肥第一中学·期末)（1）已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点，求的值； （2）已知，都是锐角，，，求的值. 【答案】（1）3（2） 【分析】（1）由三角函数定义以及诱导公式化简求值即可； （2）由题意结合两角差的余弦公式以及平方关系、角的范围即可求解. 【详解】（1）因为为终边上一点，则， ； （2）由，，可得， 又，，则， ， 所以. 18．(24-25高一上·浙江杭州第二中学·期末)已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)用五点法作出在区间内的图象； (3)在中，若，求的最大值. 【答案】(1) (2)图象见解析 (3) 【分析】（1）根据诱导公式以及二倍角公式化简，即可利用整体法求解单调性， （2）根据五点作图法即可求解， （3）根据，利用和差角公式以及辅助角公式，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）由可得 ， 令,解得， 故单调递增区间为 （2） 0 0 1 0 0 故在区间内的图象如下所示： （3）由可得, 由于，则，故，故， 因此， 由于，则， 故当，即时，取最大值为. 19．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)学校准备用一段长为30米的篱笆在墙角（墙的长度足够长）围出一个如图的直角三角形区域进行栽种（其中为篱笆，为墙），设．划定正方形区域栽种鲜花，其中顶点在斜边上，顶点分别在直角边上． (1)设鲜花栽种区域面积为，求最大值并求此时的； (2)将鲜花栽种面积占围出的整块三角形区域面积的比称为土地有效利用率，求土地有效利用率的最大值． 【答案】(1)100， (2)． 【分析】（1）根据解直角三角形可求，利用基本不等式可求最大值及对应的角； （2）利用三角变换公式结合基本不等式可求最大值. 【详解】（1）设，则， ，即． ， 当且仅当即时取等． 所以的最大值为，此时. （2）， 设土地有效利用率为，则 令，则（根据对勾函数性质可知其单调递减）. 故，当且仅当即时土地有效利用率取得最大值． 20．(24-25高一上·陕西西安交通大学附属中学·期末)用高中所学知识解决下列问题：如图正方形的边长为分别为上动点，且的周长为2. (1)求的最小值； (2)证明：为定值，并求出该定值； (3)设的面积为，求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）设，由锐角三角函数与三角形的周长得到，从而表示出，再由两角和的正弦公式及正弦函数的性质计算可得； （2）设，，则，，从而可得，，，再通过的周长为，建立等式，再由两角和的正切公式求出，即可求出； （3）由三角形的面积公式得到，再将（2）中数据代入求出，求出到的距离为定值1，即可求解； 【详解】（1）设，，则，， 的周长为， ， 所以， 又，， ， 当，即时，取得最小值，且的最小值为； （2）设，，， 则，， ，，， 的周长为， ， ， ， ，又，， ， ， ，为定值； （3） 如图，作， ， ， ，， ， 又，， ， ， ， 由（2）知， ， ，即到的距离的定值为． 又的最小值为， 所以的最小值为 【点睛】关键点点睛：由，推证到的距离的定值为； 21．(24-25高一上·安徽芜湖·期末)如图，在扇形中，半径，圆心角是扇形弧上的动点，是半径所在直线上的动点，且.记. (1)当点与点重合时，求的值； (2)记的面积为. （i）当时，求的值； （ii）若方程在的解为且.求的值. 【答案】(1) (2)（i）答案见解析（ii） 【分析】（1）由题意得，结合三角形内角和即可得解； （2）（i）先求出面积表达式，然后代入求值即可；（ii）由题意得，结合三角恒等变换即可求解. 【详解】（1），当与点重合时，，. （2）（i）在中，，. 当时，； （ii）在中，，. 当时，结合题意知： . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $