期末专题04 指数与对数及指数对数幂函数（考点串讲+专项训练）（精选58题）-【百强名校好题】2026年高一数学（上）期末终极冲刺（人教A版必修第一册）

期末专题04 指数与对数及指数对数幂函数 百强名校-考点串讲 1．(24-25高一上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)计算 . 【答案】 【分析】利用对数的运算性质和三角诱导公式化简计算即得. 【详解】 故答案为： 2．(20-21高三上·陕西宝鸡·模拟)很多关于大数的故事里（如“棋盘上的学问”，“64片金片在三根金针上移动的寓言”）都涉及这个数，请你估算大致所在的区间是（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数与对数互化运算即可得出结论. 【详解】设，两边同时取常用对数得， . 故选：B. 3．(24-25高一上·安徽合肥第一中学·期末)已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数、正弦函数的性质判断，，的范围，即可比较，，的大小. 【详解】由题可知， ， ， 故， 故选：B. 4．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数辅助角公式将化为正弦型函数，利用正弦函数的单调性，估算出的范围，然后与分别与比较大小，即可得到的大小关系. 【详解】因为， 所以，即：，所以， 而，所以，即； 又因为，，所以，所以有：. 故选：C 5．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)（多选）设a，b为实数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由已知可得，然后根据对数的运算性质逐个分析判断即可. 【详解】因为，所以， 对于A，，所以A正确； 对于B，，所以B错误； 对于C，，所以C正确； 对于D，，所以D正确. 故选：ACD 6．(24-25高一上·广东深圳宝安区·期末)“在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分必要条件的定义，结合对数函数和幂函数的性质判断. 【详解】若在定义域内是增函数，则，即， 此时不一定等于1，所以函数不一定是幂函数， 故“在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的不充分条件； 反之若函数是幂函数，则， 得或，此时或， 此时，即在定义域内是增函数， 所以“在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的必要条件； 故“在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的必要不充分条件. 故选：B 7．(24-25高一上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数单调性，结合对数函数、二次函数单调性列式求解. 【详解】函数在上单调递减，而函数在上单调递增， 则函数在上单调递减，因此，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 8．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知幂函数在单调递增，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据函数是幂函数及单调性得出参数，再结合函数的奇偶性解不等式即可. 【详解】因为函数是幂函数，所以，所以， 所以或，又因为在单调递增，所以，所以， 所以，因为，所以为偶函数， 因为，所以， 所以，所以， 计算得，所以， 所以解集为. 故答案为：. 9．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若在上的最大值为0，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法结合同增异减可求参数的取值范围； （2）利用换元法结合二次函数的性质可求参数的值. 【详解】（1）令，则该函数为增函数， 因为在上单调递增，所以函数在上单调递增， 故，即. （2）令，则函数的最大值为0， ①当即时，，解得； ②当即时，，解得，舍去； 综上， 10．(24-25高一上·浙江杭州第二中学·期末)已知函数. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数以及对数复合函数的单调性即可求解， （2）利用二次函数的性质求解的最值，即可根据对任意的恒成立，分离参数，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）若在上单调递增，则需满足，解得 （2）， 由于，，故， 由于对于任意，存在，使得不等式成立，故，因此对任意的恒成立， 因此对任意的恒成立， 故对任意的恒成立， 由于，当且仅当时取到等号， 故 11．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)若函数为上的奇函数． (1)求的值，并判断函数的单调性（不用证明）； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)，函数在上单调递增， (2) 【分析】（1）结合奇函数的定义可得关系，列方程求，结合指数函数单调性判断函数的单调性， （2）根据函数性质化简不等式可得，令，换元可得，结合基本不等式可求的范围，由此可得结论. 【详解】（1）函数的定义域为，定义域关于原点对称， 所以， 所以. 所以， 因为函数为增函数，又， 所以函数为减函数， 所以函数为增函数，即函数在上单调递增， （2）因为在恒成立， 所以， 因为为奇函数，所以原不等式等价于， 因为为增函数，所以原不等式等价于， 令，所以原不等式可化简为， 即当，恒成立， 根据基本不等式，，当且仅当时等号成立， 所以，即的最大值为. 12．(24-25高一上·江苏常州高级中学·期末)已知且，函数满足，设. (1)求函数在区间上的值域； (2)若函数和在区间上的单调性相同，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对和进行分类讨论，再利用题目所给的函数解析式与等式关系可求出的值，则所求函数利用换元法可得到二次函数，利用配方法及二次函数性质即可求出值域. （2）先得到两个函数解析式和，对上两函数同时单调递增和同时单调递减进行分类讨论，得到关于的不等式组，进而求出的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，. ∵，且， ，即，解得. 当时，，. ∵，且， ，即，无解. 综上，，. . 令，，，. 当时，；当时，. 综上，函数在区间上的值域为. （2）由题意，函数在上单调递减，函数在上单调递增. 由题可知：和在区间上同增或者同减. 若两函数在区间上均单调递增， 则在区间上恒成立， 故，解得. 若两函数在区间上均单调递减， 则在区间上恒成立， 故，该不等式组无解. 综上，实数的取值范围是. 13．(24-25高一上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)已知函数（，且）过点． (1)求函数的解析式； (2)若函数为的反函数，且在上单调递减，求的取值范围； (3)若函数，其中为奇函数，为偶函数，已知函数，对于任意，都存在，使得等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点代入解析式即可求得结果； （2）利用反函数概念求出的解析式，根据复合函数单调性可求得参数的取值范围； （3）根据条件求出和的解析式，将问题转化为在上恒成立，再利用换元法并分离参数结合基本不等式即可求得结果. 【详解】（1）函数过点，可得， 解得， 故函数的解析式为， （2）因为函数为的反函数，所以， 易知在上为单调递减函数， 又在上单调递减，所以函数在上单调递增， 因此，解得； 所以的取值范围为； （3）因为，所以； 由为奇函数，为偶函数可知， 可得； 又，对于任意都有， 因为对于任意，都存在，使得等式成立, 所以在上恒成立， 因为在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，所以； 令， 则， 等价成在上恒成立， 可得，因此； 又， 当且仅当，即时，等号成立， 即， 因此实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：解决第（3）问的关键是把问题转化为在上恒成立，令，则，分离参数可知在上恒成立，由基本不等式计算可得结果. 百强名校-真题精练 一、指对基本计算 1．(24-25高一上·北京清华大学附属中学·期末)计算（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】根据对数运算法则和幂的定义计算． 【详解】， 故选：C． 2．(24-25高一上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)求值： . 【答案】5 【分析】利用对数运算法则及换底公式计算得解. 【详解】. 故答案为：5 3．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)已知，则 ． 【答案】 【分析】利用指数式与对数式的互化关系，结合指数运算计算得解. 【详解】由，得，而， 所以. 故答案为： 4．(24-25高一上·湖北武汉部分重点中学·期末)设，，则等于（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用指对数互换和幂的运算性质求得，再利用对数运算性质求得，进而求得可得结果. 【详解】因为，，则， 可得，，则， 又因为， 所以. 故选：B 5．(24-25高一上·安徽合肥第一中学·期末)已知函数，则（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】由分段函数的特点代入求解即可. 【详解】因为函数， 则. 故选：A. 6．若，则 ． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算律结合立方和公式计算即可. 【详解】若，则． 故答案为：. 7．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知定义在上的奇函数满足，且时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】推导出函数的周期为，可得出，结合题中函数的解析式计算可得结果. 【详解】由题知，，则，则函数为周期函数，且其周期为， 因为， ， 因为，则，所以， 所以． 故选：B. 8．(24-25高一上·广东华南师范大学附属中学·期末)解答下列各题. (1)化简求值：； (2)已知，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用指数运算法则、对数运算法则及特殊角的三角函数值计算得解. （2）利用诱导公式及齐次式法计算得解. 【详解】（1） . （2）当时，. 9．(24-25高一上·陕西西安交通大学附属中学·期末)（1）求的值：； （2）化简； 【答案】（1）64，（2） 【分析】（1）根据对数的运算性质即可求解， （2）利用诱导公式化简即可. 【详解】（1）由可得，进而，解得， （2） 二、比大小 10．(24-25高一上·江苏常州高级中学·期末)若，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】注意题干给的数的特征，猜测的大小介于中间，进一步结合对数单调性即可判断. 【详解】由题意. 故选：C. 11．(24-25高一上·河北石家庄石家庄二中教育集团·期末)（多选）下列不等关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用基本初等函数的单调性可得出各选项中函数值的大小关系. 【详解】对于A选项，因为函数在上为增函数，则，A对； 对于B选项，因为指数函数在上减函数，则，B对； 对于C选项，因为对数函数在上为增函数， 则，C对； 对于D选项，因为，且， 因为正弦函数在上为增函数，则，D错. 故选：ABC. 12．(24-25高一上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指对数函数的性质比较大小关系即可. 【详解】由，即. 故选：C 13．(24-25高一上·广东华南师范大学附属中学·期末)下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性逐项分析判断即可. 【详解】对于A：因为且在上单调递增，所以，故A错误； 对于B：因为在上单调递增，所以， 又在上单调递增，所以，所以，故B错误； 对于C：因为，故C错误； 对于D： ， 又因为在上单调递增，所以，故D正确. 故选：D. 14．(24-25高一上·北京海淀区·期末)已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合中间值，利用指数函数、对数函数单调性比较大小即可. 【详解】依题意，， 因此实数的大小关系是. 故选：B 15．(24-25高一上·湖北武汉部分重点中学·期末)已知函数.若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知为偶函数，且在内单调递增，进而根据函数性质分析判断. 【详解】因为的定义域为，且， 可知为偶函数，则， 又因为当时，在内单调递增， 且，， 可知，所以. 故选：D. 16．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性，以及余弦函数性质，借助中间量即可得到结果. 【详解】因为，所以， ， ， 所以. 故选：C 17．(24-25高一上·福建福州第一中学·)已知函数，记，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先判断函数的单调性和奇偶性，再利用性质化简自变量，以及利用单调性，结合特殊值，比较大小. 【详解】函数的定义域为，且，所以函数是偶函数， 当时，是增函数，是减函数，所以在区间是增函数， ，， ，，， 所以， 所以，即. 故选：D 18．(24-25高一上·浙江杭州第二中学·期末)若正实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，然后利用函数单调性比较大小即可得， 【详解】因为正实数，满足 所以， 因为，所以， 即， 设，则， 又在单调递增， 所以，C，D中不等关系无法确定， 故选：B 19．(24-25高一上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期末)（多选）已知为圆周率，为自然对数的底数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由，可判断A；由，可判断B；利用，可判断C；由，结合不等式的性质可判断D. 【详解】为圆周率，为自然对数的底数，，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； 由，得，故D正确. 故选：CD. 20．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知实数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式可判断ABCD的正误. 【详解】对于A，因为， 当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，，故， 当且仅当时等号成立，故B错误； 对于C，因为，故，当且仅当时等号成立， 故，故C成立； 对于D，因为，故，故， ，当且仅当时等号成立， 故D成立， 故选：ACD. 三、单调性问题 21．(24-25高一上·浙江杭州第二中学·期末)已知（且），则的取值范围是 . 【答案】 【分析】把变形为，然后对 和讨论，得出结果 【详解】因为，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以的取值范围是， 故答案为： 22．(24-25高一上·湖北武汉部分重点中学·期末)函数在上为减函数的充要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】我们先求出函数的定义域，再根据复合函数单调性求出的取值范围. 【详解】要使函数有意义，则. 令，其对称轴为. 因为函数的二次项系数，所以其图象开口向上. 当时，函数在上单调递减. 因为函数在上为减函数， 根据复合函数单调性可知，函数在上也要为减函数且. 由，解得. 结合，所以. 故选：C 23．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)若函数为减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分段函数单调递减则各段均为递减函数，且左边函数的右端点值不小于右边函数的左端点值，由此建立不等式，求得的取值范围. 【详解】为上的减函数， 时，单调递减，即，则； 时，单调递减，即，则； 且，即. 综上，的取值范围是. 故选：B 24．(24-25高一上·广东华南师范大学附属中学·期末)已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则（   ） A．e B． C． D．2e 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再求出函数值. 【详解】令，则，且，显然函数在上单调递增， 当时，，于是，令，函数在上单调递增， 又，因此，，所以. 故选：C 25．(24-25高一上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)若函数在区间上是增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数“同增异减”的性质可得在区间上是增函数，再由二次函数性质以及对数函数定义域解不等式可得. 【详解】易知在区间上是增函数， 由复合函数单调性可知在区间上是增函数， 所以，解得； 且，解得， 综上可知，的取值范围为. 故选：D 26．(24-25高一上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)幂函数在上单调递增，则实数 . 【答案】2 【分析】利用幂函数的定义及单调性，列式求出. 【详解】由幂函数在上单调递增， 得，解得， 所以实数. 故答案为：2 27．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则= ． 【答案】 【分析】根据题意，由幂函数的图像特征及函数的奇偶性、单调性求得，将代入式子利用两角和差公式将式子进行化简求解. 【详解】由幂函数为偶函数，即且为偶数，解得或， 又因为在函数上单调递减， 所以，所以， 所以 . 故答案为：. 28．(24-25高一上·湖北武汉部分重点中学·期末)若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和性质可得，代入解不等式即可. 【详解】因为为幂函数， 则，解得或， 若，则为偶函数，符合题意； 若，则为奇函数，不符合题意； 综上所述：. 不等式，即为，等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 29．(24-25高一上·湖南长沙长郡中学·期末)若集合，，均有恒成立，则t的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】先根据指数对数转化减少未知量得出，再根据函数的单调性得出不等关系即可求出最值. 【详解】令，，，， ， 单调递减，且， 当时，，，t的最大值为4. 故选：B. 四、其他知识点综合 30．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，如函数，与函数，为“同族函数”．下面函数表达式中，可以用来构造“同族函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，函数不能严格单调，ABC不合要求，D选项，可举出子. 【详解】由题意可知，可以用来构造“同族函数”的函数不能严格单调， A选项，在R上严格单调递增，不满足要求； B选项，在上严格单调递增，不满足要求； C选项，在R上严格单调递增，不满足要求； D选项，在R上不严格单调递增， 其中，与，的值域均为， 故为“同族函数”，D正确. 故选：D 31．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)设函数，若有不相等的实数、，满足，则（ ） A．1 B．2 C． D．不能确定 【答案】B 【分析】由指数型函数性质，数形结合即可求解. 【详解】作的图象如图所示： 由题可知若有不相等的实数、，满足，不妨令，则， 所以，所以. 故选：B. 32．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)已知正实数，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，令，则问题转化为求的最小值，利用基本不等式计算可得. 【详解】因为， 令，则， 又，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即的最小值为，当且仅当时取等号， 所以的取值范围是. 故选：C 33．(24-25高一上·安徽合肥第一中学·期末)函数（且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】先找到定点的坐标，通过点坐标求解幂函数的解析式，进而得到大致图象． 【详解】函数（且）中由得， 则函数过定点， 设，代入可得，解得， 故幂函数，则B选项图象符合. 故选：B. 34．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)（多选）已知与之间的关系可用如图表示，其图象是指数函数的一部分，若则（    ） A． B． C． D．存在最大值为 【答案】ACD 【分析】根据指数函数的定义，得到，两边取自然对数， 得到，依次判定AB选项，结合基本不等式判断C选项， 代入消元判断D选项即可. 【详解】由指数函数的定义，， 因为，所以, 由图可知, 两边取自然对数得：， 故， 因为，故，故A正确； ，故B错误； ，当且仅当时取等号，故C正确； ，当时取到最大值，故D正确， 故选：ACD. 35．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)已知函数，，则的值域为 . 【答案】 【分析】由题意，利用换元法（令）可将原函数变形为关于的二次函数，结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】令，则， 原函数可变形为， 其图象为开口向上的抛物线，对称轴为， 所以该二次函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取到最小值，为； 当时，得， 所以在的值域为. 故答案为： 36．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)定义在上的函数，若存在满足，则实数的最小值为 . 【答案】 【分析】首先分析的单调性，不妨令，则，根据对数的运算性质得到，且，再由求出的取值范围，即可得解. 【详解】因为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为存在满足， 不妨令，则， 由得，则，故， ∴， 又， ∴，即，则， ∵，∴，，∵， ∴，则实数的最小值为． 故答案为：. 37．(24-25高一上·安徽马鞍山红星中学·期末)函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式有解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用函数为奇函数，结合奇函数的定义可求出的值，然后分析函数的单调性，将所求不等式变形，可得出有解，结合参变量分离法可求出实数的取值范围. 【详解】若函数是定义在实数集上的奇函数， 可得， 即，即， 由，可得； 所以， 任取，，设，则， ，， ，则， 所以，则函数为上的增函数， 又函数为上的奇函数， 所以不等式有解， 转化为，即有解， 所以有解， 即， 令，因，则，即， 则，当且仅当时取等号， 由双勾函数的单调性知：，函数单调递减，，函数单调递增， 当时，，当时，， 所以， 所以， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 五、解答题综合 38．(24-25高一上·北京第四中学·期末)已知函数. (1)当时，求的取值范围； (2)若函数在上的最大值为6，求实数的值； (3)通过软件作图发现，当时，.试利用上述结论证明：. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据对数函数的单调性和定义域解对数不等式； （2）将问题转化为在上的最大值为6，进而可得； （3）利用，分别赋值，即可证. 【详解】（1）由题意函数的定义域为，的定义域为， 由得， 故，得， 又，故的取值范围为. （2） 设，因，故， 则， 当，即时，当时，取得最大值6，故，得， 当即时，当时，取得最大值6，故，得， 故实数的值为或. （3）当时，.试利用上述结论证明：， ， 当时，由可得，故， 当时，由可得故， 故. 39．(24-25高一上·湖北华中师范大学第一附属中学·期末)已知幂函数，的图象关于轴对称. (1)求的值及函数的解析式； (2)设函数在区间上的最小值为2，求实数的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据幂函数定义，和函数图象关于轴对称确定取值，从而得到函数的解析式. （2）求出，它是一个二次函数，根据二次函数对称轴与给定区间的关系分情况讨论其最小值，进而求出的值. 【详解】（1）因为是幂函数，所以. 解这个方程得或.   当时，，其图象关于轴对称，符合题意. 当时，，其图象关于原点对称，不合题意，舍去. 所以，. （2）已知， 其图象是开口向上的抛物线，对称轴为. 因， ① 当，即时，在上单调递增， 则，解得，不满足，舍去； ② 当，即时，在处取得最小值， 即， 即，整理得，解得，因，故； ③ 当，即时，在上单调递减， 则，解得，不满足，舍去. 综上可得， . 40．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知函数． (1)若，．求的最小值、最大值及对应的的值； (2)若函数的定义域为，令．求的最小值、最大值及对应的的值． 【答案】(1)，当 (2)，当. 【分析】（1）令，换元可得，结合二次函数性质求最值； （2）求函数的定义域，令，换元可得，结合二次函数性质求最值. 【详解】（1）因为，． 令， 因为函数在上单调递增， 所以，所以， 则，， 所以当，即时，， 当，即时，. （2）因为的定义域为，， 所以，，所以的定义域为， 因为， 所以， 因为函数在上单调递增， 所以， 令，则， 所以当，即时，， 当时，即时，. 41．(24-25高一上·河北石家庄石家庄二中教育集团·期末)函数是偶函数. (1)求实数的值； (2)证明：； (3)设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用是偶函数可得答案； （2）证法1：利用分析法结合对数的运算性质可得答案； 证法2：令；即证在区间递增即可，利用定义证明在区间的单调性可得答案；证法3：将可化简为，令利用基本不等式可得答案； （3）转化为方程有且只有一个根，令，则方程有且只有一个正根，分、、讨论可得答案. 【详解】（1）函数， 因为是偶函数，所以， 即， 即对一切恒成立，所以； （2）证法1：要证，只需证， 因为， 即证，而恒成立，得证； 证法2：令；即证在区间递增即可. 下面利用定义证明在区间的单调性； ， 令，任取， ， 所以单调递增， 所以在单调递增，得证； 证法3：将可化简为 ， 令，可得（当且仅当即0时取等）； 所以得证； （3）因为函数与的图象有且只有一个公共点， 所以方程有且只有一个根， 即方程有且只有一个根，    令，则方程有且只有一个正根， 当时，解得，不合题意； 当时，开口向上，且过定点，符合题意， 当时，，解得， 综上：实数的取值范围是. 42．(24-25高一上·湖北武汉部分重点中学·期末)已知函数，其中且. (1)试判断函数的奇偶性； (2)当时，求函数的值域； (3)若对，都存在以，，为边长的三角形，求正整数的值. 【答案】(1)为偶函数， (2)的值域为， (3)时或，时所求的正整数值不存在. 【分析】（1）根据奇偶性的定义即可判定， （2）根据基本不等式求解，即可由对数的性质求解， （3）根据，，为三边长的三角形，将问题转化为恒成立，即可由，分类讨论求解函数的单调性求解. 【详解】（1），定义域为, 且，故为偶函数， （2）当时，， 由于，当且仅当时等号成立， 故， 因此的值域为， （3）若对任意的，均存在以，，为三边长的三角形， 故恒成立，且取值为正， 即， 由于时，故在单调递增， 因此当时，在单调递增，当时，在单调递减， 故当时，所以，即， 化简可得， 结合函数在单调递增， 且当时，， 当时，， 由于为正整数，故或. 当时，所以，即， 化简可得， 结合函数在单调递增，且当时，，当 时，，故此时不存在正整数， 综上所述，当时或；当，不存在满足条件的正整数. 43．(24-25高一上·北京清华大学附属中学·期末)已知函数. (1)若，求实数的值； (2)若，且，求的值； (3)若函数在的最大值与最小值之和为1，求实数的值. 【答案】(1)或； (2)1； (3)或． 【分析】（1）代入直接求解； （2）计算可知，由此得； （3）分析得函数在上最大值是1，分类讨论可求解． 【详解】（1）由题意，所以或，解得或； （2）由题意，又，且在上单调， 所以，即，所以； （3）显然时，取得最小值0，则函数在上的最大值是1， 由（2）可知， 由对数函数性质知在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，解得或． 44．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)设函数同时满足条件和对任意都有成立． (1)求的解析式； (2)求的定义域和值域； (3)若，求使得成立的整数的取值的集合． 【答案】(1) (2)定义域为，值域为； (3) 【分析】（1）由得到，再根据得到，得到解析式； （2）由函数特征得到不等式，结合指数函数和对数函数单调性解不等式，求出定义域； （3），换元法，令，则，从而得到或，进而求出或或，得到取值集合. 【详解】（1），解得， 故， ， 上式对任意都成立，故且，所以， 故； （2）， 令，解得，故定义域为， 显然值域为； （3），即， ，令，则， 当时，，满足要求， 当时，，解得， 当时，若，满足要求，故或1， 若，令，解得，故或4， 当时，若，不合要求， 若，令，解得， 综上，整数的取值集合为. 45．(24-25高一上·安徽合肥第一中学·期末)已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上是递减函数，证明见解析 (3). 【分析】（1）利用奇函数的定义列式求出值. （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证. （3）利用奇函数及单调性脱去法则“f”，再分离参数并利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，得， 则， 所以. （2）由（1）知，函数在上是递减函数， 任取，且，， 由，得，则，，即， 所以是定义在上的递减函数. （3）由，得， 由（2）知，是上的递减函数，则，即， 依题意，对任意的恒成立， 而，则，当且仅当，即时取等号， 因此，所以实数的取值范围是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末专题04 指数与对数及指数对数幂函数 百强名校-考点串讲 例1．(24-25高一上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)计算 . 例2．(20-21高三上·陕西宝鸡·模拟)很多关于大数的故事里（如“棋盘上的学问”，“64片金片在三根金针上移动的寓言”）都涉及这个数，请你估算大致所在的区间是（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 例3．(24-25高一上·安徽合肥第一中学·期末)已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 例4．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 例5．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)（多选）设a，b为实数，若，则（    ） A． B． C． D． 例6．(24-25高一上·广东深圳宝安区·期末)“在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 例7．(24-25高一上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例8．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知幂函数在单调递增，则关于的不等式的解集为 ． 例9．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若在上的最大值为0，求的值． 例10．(24-25高一上·浙江杭州第二中学·期末)已知函数. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 例11．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)若函数为上的奇函数． (1)求的值，并判断函数的单调性（不用证明）； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值． 例12．(24-25高一上·江苏常州高级中学·期末)已知且，函数满足，设. (1)求函数在区间上的值域； (2)若函数和在区间上的单调性相同，求实数的取值范围. 例13．(24-25高一上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)已知函数（，且）过点． (1)求函数的解析式； (2)若函数为的反函数，且在上单调递减，求的取值范围； (3)若函数，其中为奇函数，为偶函数，已知函数，对于任意，都存在，使得等式成立，求实数的取值范围． 百强名校-真题精练 一、指对基本计算 1．(24-25高一上·北京清华大学附属中学·期末)计算（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 2．(24-25高一上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)求值： . 3．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)已知，则 ． 4．(24-25高一上·湖北武汉部分重点中学·期末)设，，则等于（    ） A． B．1 C．2 D．3 5．(24-25高一上·安徽合肥第一中学·期末)已知函数，则（   ） A．1 B． C．0 D．2 6．若，则 ． 7．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知定义在上的奇函数满足，且时，，则（   ） A． B． C． D． 8．(24-25高一上·广东华南师范大学附属中学·期末)解答下列各题. (1)化简求值：； (2)已知，求的值. 9．(24-25高一上·陕西西安交通大学附属中学·期末)（1）求的值：； （2）化简； 二、比大小 10．(24-25高一上·江苏常州高级中学·期末)若，，，则有（    ） A． B． C． D． 11．(24-25高一上·河北石家庄石家庄二中教育集团·期末)（多选）下列不等关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 12．(24-25高一上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 13．(24-25高一上·广东华南师范大学附属中学·期末)下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 14．(24-25高一上·北京海淀区·期末)已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 15．(24-25高一上·湖北武汉部分重点中学·期末)已知函数.若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 16．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 17．(24-25高一上·福建福州第一中学·)已知函数，记，，，则（   ） A． B． C． D． 18．(24-25高一上·浙江杭州第二中学·期末)若正实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 19．(24-25高一上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期末)（多选）已知为圆周率，为自然对数的底数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 20．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知实数，则（   ） A． B． C． D． 三、单调性问题 21．(24-25高一上·浙江杭州第二中学·期末)已知（且），则的取值范围是 . 22．(24-25高一上·湖北武汉部分重点中学·期末)函数在上为减函数的充要条件为（    ） A． B． C． D． 23．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)若函数为减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．(24-25高一上·广东华南师范大学附属中学·期末)已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则（   ） A．e B． C． D．2e 25．(24-25高一上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)若函数在区间上是增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．(24-25高一上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)幂函数在上单调递增，则实数 . 27．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则= ． 28．(24-25高一上·湖北武汉部分重点中学·期末)若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 . 29．(24-25高一上·湖南长沙长郡中学·期末)若集合，，均有恒成立，则t的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 四、其他知识点综合 30．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，如函数，与函数，为“同族函数”．下面函数表达式中，可以用来构造“同族函数”的是（    ） A． B． C． D． 31．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)设函数，若有不相等的实数、，满足，则（ ） A．1 B．2 C． D．不能确定 32．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)已知正实数，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．(24-25高一上·安徽合肥第一中学·期末)函数（且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D．   34．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)（多选）已知与之间的关系可用如图表示，其图象是指数函数的一部分，若则（    ） A． B． C． D．存在最大值为 35．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)已知函数，，则的值域为 . 36．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)定义在上的函数，若存在满足，则实数的最小值为 . 37．(24-25高一上·安徽马鞍山红星中学·期末)函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式有解，则实数的取值范围为 ． 五、解答题综合 38．(24-25高一上·北京第四中学·期末)已知函数. (1)当时，求的取值范围； (2)若函数在上的最大值为6，求实数的值； (3)通过软件作图发现，当时，.试利用上述结论证明：. 39．(24-25高一上·湖北华中师范大学第一附属中学·期末)已知幂函数，的图象关于轴对称. (1)求的值及函数的解析式； (2)设函数在区间上的最小值为2，求实数的值. 40．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知函数． (1)若，．求的最小值、最大值及对应的的值； (2)若函数的定义域为，令．求的最小值、最大值及对应的的值． 41．(24-25高一上·河北石家庄石家庄二中教育集团·期末)函数是偶函数. (1)求实数的值； (2)证明：； (3)设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围. 42．(24-25高一上·湖北武汉部分重点中学·期末)已知函数，其中且. (1)试判断函数的奇偶性； (2)当时，求函数的值域； (3)若对，都存在以，，为边长的三角形，求正整数的值. 43．(24-25高一上·北京清华大学附属中学·期末)已知函数. (1)若，求实数的值； (2)若，且，求的值； (3)若函数在的最大值与最小值之和为1，求实数的值. 44．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)设函数同时满足条件和对任意都有成立． (1)求的解析式； (2)求的定义域和值域； (3)若，求使得成立的整数的取值的集合． 45．(24-25高一上·安徽合肥第一中学·期末)已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $