期末专题01 集合与常用逻辑用语（考点串讲+专项训练）（精选41题）-【百强名校好题】2026年高一数学（上）期末终极冲刺（人教A版必修第一册）

期末专题01 集合与常用逻辑用语综合 百强名校-考点串讲 例1．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 例2．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 例3．(24-25高一上·广东深圳宝安区·期末)已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 例4．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)设集合，，则（ ） A． B． C． D． 例5．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)已知命题，，则的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 例6．(24-25高一上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期末)已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例7．(24-25高一上·广东华南师范大学附属中学·期末)已知命题，使命题p为真命题的一个必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 例8．(24-25高一上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期末)已知集合. (1)当时，求； (2)已知，求实数的取值范围. 例9．(24-25高一上·广东深圳宝安区·期末)已知集合. (1)当时，求； (2)当，且时，求实数的取值范围． 例10．(24-25高一上·北京海淀区·期末)已知关于不等式的解集，集合． (1)求实数的值； (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 例11．(24-25高一上·北京清华大学附属中学·期末)设，集合含有个元素，若存在三个元正整数集合满足如下两个条件，则称为三分集合. ①； ②元素可分别排列为有序数组及，使得对，均有， 特别地，当为三分集合时，称为完美三分数. 如：因为为三分集合，所以为最小完美三分数. (1)请判断下列两个集合是否为三分集合（直接写出结论）：； (2)求出大于1的最小完美三分数； (3)请判断是否存在无穷多个完美三分数？若存在，请说明理由；若不存在，则求出最大的完美三分数. 百强名校-真题精练 一、集合单选题 1．(24-25高一上·广西河池十校·)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·广西南宁第三中学·)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．(湖南师范大学附属中学·期末)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高一上·北京清华大学附属中学·期末)设集合，则（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·湖北华中师范大学第一附属中学·期末)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 8．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 二、常用逻辑用语单选题 9．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．(24-25高一上·广东深圳宝安区·期末)“在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．(24-25高一上·湖北华中师范大学第一附属中学·期末)“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 14．(24-25高一上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)已知命题p：，，则p的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 15．(24-25高一上·湖南长沙第一中学·期末)设函数，则“”是“为偶函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)已知条件；条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)记表示命题成立且命题不成立，现给出三个命题A，B，C，则（    ） A．“是的充分不必要条件”是“是A的必要条件”的必要不充分条件 B．“是的必要不充分条件”是“是的充分不必要条件”的既不充分也不必要条件 C．“是的充要条件”是“是的充分不必要条件”的充分不必要条件 D．“是的既不充分也不必要条件”是“是的充要条件”的必要不充分条件 三、常用逻辑用语多选题 18．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)下列命题是真命题的是（    ） A． B．“”是“”成立的充分不必要条件 C．命题“”的否定是“” D．若，则 19．(24-25高一上·湖南长沙第一中学·期末)下列命题是真命题的是（   ） A．命题“，”的否定是“，” B．与是同一个函数 C．不等式的解集为 D．若，，则 20．(24-25高一上·安徽合肥第一中学·期末)下列说法正确的是（   ） A．“且”是“”的充要条件 B．弧长和面积均为的扇形的半径为2 C．“，”的否定是“，” D．函数的零点是 21．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)下列说法不正确的有（ ） A．命题“，”的否定是“，” B． C．集合，，若，则或 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 四、常用逻辑用语填空题 22．(24-25高一上·湖南长沙长郡中学·期末)若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是 . 五、综合解答题 23．(24-25高一上·河南九校联盟·月考)已知集合，. (1)当时，求和； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 24．(24-25高一上·河北石家庄石家庄二中教育集团·期末)函数的值域为. (1)求； (2)若关于的不等式的解集为，且，求的取值范围. 25．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 26．(24-25高一上·湖南湘潭第一中学·月考)已知函数的定义域为A，函数，则的值域是B，不等式的解集为C. (1)求； (2)若，则实数a的取值范围. 27．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)设函数的定义域为，集合. (1)求集合，并求； (2)记集合，若是的充分条件，求实数的取值范围. 28．(24-25高一上·安徽合肥第一中学·期末)已知集合且，集合，命题，命题. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 29．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)已知，集合，. (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件， ①求的取值范围； ②当取最小值时，设是的反函数，求函数的值域. 30．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)定义一类集合：对于集合，若都满足，则称为“单位有界集”；在集合中定义一种运算：若，，定义.现对单位有界集进行如下操作：第一步，从中任取两个元素、，将中除了、以外的元素构成的集合记为，令；第二步，若集合还是单位有界集，则继续任取两个元素，将中除了以外的元素构成的集合记为，令；依次类推…… (1)对于任意的单位有界集，判断是否仍然为单位有界集．若是，请证明；若不是，请举出反； (2)证明：若，则； (3)当时，对集合进行步上述操作，当只有一个元素时停止，求所有满足条件的． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末专题01 集合与常用逻辑用语综合 百强名校-考点串讲 1．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解即得. 【详解】集合，集合， 所以. 故选：C. 2．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次不等式化简集合，根据对数函数的定义域化简集合，再利用并集的定义求解即可. 【详解】因为或， ， 所以或， 故选：D. 3．(24-25高一上·广东深圳宝安区·期末)已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简集合，再由补集的概念，即可求出结果. 【详解】因为集合，， 所以； 故选：D 4．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)设集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合对数函数性质化简集合，再根据交集的定义求，根据补集的定义求结论. 【详解】由函数有意义，可得，故， 所以，又， 所以， 所以. 故选：B. 5．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)已知命题，，则的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断. 【详解】根据题意，命题，， 则的否定是，. 故选：C 6．(24-25高一上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期末)已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合诱导公式，再从充分性和必要性判断即可. 【详解】①因为，所以，所以是的充分条件； ②由，可得，即， 或得，即， 所以，或者， 所以不是的必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7．(24-25高一上·广东华南师范大学附属中学·期末)已知命题，使命题p为真命题的一个必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】命题p为真命题时，求得，结合充分与必要条件的定义可判断每个选项的正误. 【详解】由，得，解得， 因为真包含于，所以命题p为真命题的一个必要不充分条件可以是，故A正确； 所以命题p为真命题的一个充要条件可以是，故B错误； 因为真包含于，所以命题p为真命题的一个充分不必要条件可以是，故C错误； 由得不出，同时也得不出， 所以命题p为真命题的一个既不必要又不充分条件可以是，故D错误. 故选：A. 8．(24-25高一上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期末)已知集合. (1)当时，求； (2)已知，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或； (2)或 【分析】（1）根据求出集合，当时求出集合，即可求； （2）由有，分或两种情况求解即可. 【详解】（1）因为，或， 当时，， 所以，或； （2）因为，所以，当时，，解得； 当时，或 解得，或， 综上，实数的取值范围为或. 9．(24-25高一上·广东深圳宝安区·期末)已知集合. (1)当时，求； (2)当，且时，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解指数不等式，化简集合；再解一元二次不等式，化简集合，最后求并集即可； （2）先由将中不等式化为，讨论，，三种情况，分别求集合，再由交集为空集，即可求出结果. 【详解】（1）由，解得， 当时，即为， 即为，， ． （2）， 当，即时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，则，不合题意； 综上所述，实数的取值范围是． 10．(24-25高一上·北京海淀区·期末)已知关于不等式的解集，集合． (1)求实数的值； (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)选择见解析，答案见解析 【分析】（1）根据绝对值不等式的几何意义，得到，再结合条件，即可求解； （2）选择①，根据条件，结合图形，得到，即可求解；选项择②，根据条件，结合图形，得到，即可求解. 【详解】（1）由，得到，即， 又因为关于不等式的解集， 所以，解得，所以实数的值为. （2）选择条件①，因为，， 又，由图知， ，解得. 选择条件②，因为，， 又，即，由图知， ，解得. 11．(24-25高一上·北京清华大学附属中学·期末)设，集合含有个元素，若存在三个元正整数集合满足如下两个条件，则称为三分集合. ①； ②元素可分别排列为有序数组及，使得对，均有， 特别地，当为三分集合时，称为完美三分数. 如：因为为三分集合，所以为最小完美三分数. (1)请判断下列两个集合是否为三分集合（直接写出结论）：； (2)求出大于1的最小完美三分数； (3)请判断是否存在无穷多个完美三分数？若存在，请说明理由；若不存在，则求出最大的完美三分数. 【答案】(1)不是；是 (2)4 (3)存在无穷多个完美三分数；理由见解析 【分析】（1）利用反证法可证明不是三分集合；举找到满足条件的集合可得是三分集合； （2）反证法说明不是完美三分数，根据题意得完美三分的可能范围，再找到集合，证明是三分集合即可； （3）先证明“由为三分完美数，可得到也为三分完美数”的递推关系，将集合拆分为两个三分集合可证，再根据基础与递推关系可得. 【详解】（1）（i）不是三分集合，下面用反证法证明. 证明：假设是三分集合， 设，不妨设， 由得， ， 则，这与矛盾， 故假设错误，故不是三分集合； （ii）是三分集合. 理由如下：令， 则，满足条件①； 且由；；可知，满足条件②. 故是三分集合. （2）由（1）可知，当时，不是三分集合； 当时，， 假设是三分集合， 同理由， ，可推出与矛盾， 故假设也错误，故不是三分集合； 当时，， 存在三个元集合， 满足为三分集合的两个条件. 故大于1的最小完美三分数为. （3）存在无穷多个完美三分数，理由如下. 由题意知，为最小完美三分数. 当时，， 存在三个元集合满足三分集合的条件， 故为完美三分数. 当时，， 存在如下三个元的集合满足三分集合的条件： ， ， 故为完美三分数. 首先证明：若为三分完美数，则也为三分完美数. 证明：记，， 若为三分完美数，则为三分集合， 即存在三个元集合满足如下两个条件， ①； ②元素可分别排列为有序数组及， 使得对，均有， 则可得到：对，， 故集合也满足三分集合的两个条件，其也为三分集合， 下面记集合. 对，集合. 构造集合，共有个奇数； 集合， 共有个逐个减小的连续正整数； 集合， 共有个逐个增大的连续正整数； 可知这三个元集合满足如下两个条件， ①集合； ②元素可分别排列为有序数组及， 使得对，均有； 故为三分集合，而已知为三分集合，将其对应与合并， 令， 可知这三个元集合，满足，且满足条件②， 故为三分集合， 因此可得，若为三分完美数，则也为三分完美数. 由为完美三分数，结合所证结论可知，存在无穷多个完美三分数. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于第（3）问中，能将一个集合为两个三分集合（交集为空集）的并集，由此借助两个条件可证明其也是三分集合. 百强名校-真题精练 一、集合单选题 1．(24-25高一上·广西河池十校·)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合元素的范围，再结合交集运算得到结果. 【详解】， 又，所以. 故选：B. 2．(24-25高一上·广西南宁第三中学·)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合集合间的交集运算求解即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选：B. 3．(24-25高一上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简集合B，进而根据包含关系以及集合见的运算逐项分析判断. 【详解】由题可知：， 显然不是的子集，不是的子集，故AB错误； 且，C错误； 因为，所以，D正确. 故选：D. 4．(20-21高一上·湖南师范大学附属中学·期末)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先化简集合B，然后与A取交集即可． 【详解】∵， 又 ∴． 故选：B． 【点睛】集合的交并运算： (1)离散型的数集用韦恩图； (2) 连续型的数集用数轴． 5．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解一元二次不等式和对数不等式，再利用交集的定义计算即可. 【详解】由，解得，则， 由，解得，则，所以. 故选：C. 6．(24-25高一上·北京清华大学附属中学·期末)设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式确定两个集合中的元素，再由交集定义计算． 【详解】由已知，， 所以， 故选：B． 7．(24-25高一上·湖北华中师范大学第一附属中学·期末)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性求出函数的值域，再根据交集的定义计算即可. 【详解】因为对数函数是上的增函数， 所以由，得，则； 因为指数函数是上的减函数， 所以由，得，则， 由此，. 故选：B. 8．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合后利用交集的定义可求. 【详解】，. 所以， 故选：C. 二、常用逻辑用语单选题 9．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据诱导公式、充分和必要条件等知识来确定正确答案. 【详解】若，则， 若，则可能等于， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 10．(24-25高一上·广东深圳宝安区·期末)“在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分必要条件的定义，结合对数函数和幂函数的性质判断. 【详解】若在定义域内是增函数，则，即， 此时不一定等于1，所以函数不一定是幂函数， 故“在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的不充分条件； 反之若函数是幂函数，则， 得或，此时或， 此时，即在定义域内是增函数， 所以“在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的必要条件； 故“在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的必要不充分条件. 故选：B 11．(24-25高一上·湖北华中师范大学第一附属中学·期末)“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合同角公式判断即得. 【详解】由，得；反之，若，则或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 12．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据分式不等式的解法求出集合A，利用数形结合的思想解集合，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】由，得，即， 得，解得， 所以； 由，得， 作出函数与直线的图形，如图， 由图可知不等式的解集为， 即， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 13．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可. 【详解】命题“”为存在量词命题，而存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以命题“”的否定为：“”. 故选：D. 14．(24-25高一上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)已知命题p：，，则p的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，在上恒成立，结合恒成立与最值关系的转化即可求解． 【详解】命题p：，，则在上恒成立， 而函数在上单调递增，则，因此，解得， 能推出的选项，并且又不能推出该选项的只有D符合， 所以p的一个充分不必要条件是 故选：D 15．(24-25高一上·湖南长沙第一中学·期末)设函数，则“”是“为偶函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】判断“”和“为偶函数”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】由，得，，则为偶函数， 由为偶函数，得，，得， 所以“”是“为偶函数”的充要条件. 故选：C. 16．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)已知条件；条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式，根据条件得到真包含关系，从而得到不等式，求出答案. 【详解】，设， 或，设或， 是的充分不必要条件，故是的真子集， 故或，解得或， 故选：B 17．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)记表示命题成立且命题不成立，现给出三个命题A，B，C，则（    ） A．“是的充分不必要条件”是“是A的必要条件”的必要不充分条件 B．“是的必要不充分条件”是“是的充分不必要条件”的既不充分也不必要条件 C．“是的充要条件”是“是的充分不必要条件”的充分不必要条件 D．“是的既不充分也不必要条件”是“是的充要条件”的必要不充分条件 【答案】D 【分析】将每个选项的命题都用集合表示，再根据集合的运算性质判断命题的充分条件和必要条件，从而可以逐一判断. 【详解】令三个命题A，B，C对应三个数集，全集为， 对于A，命题“A是B的充分不必要条件”等价于命题：⫋， 命题“B是A的必要条件”，等价于命题：， 因此，但，所以是的充分不必要条件，故A错误； 对于B，命题“是的必要不充分条件”等价于命题：⫋， 命题“A是的充分不必要条件”等价于命题：⫋，因此，但， 所以是的必要不充分条件，故B错误； 对于C，命题“是的充要条件”等价于命题，即， 也即；命题“是的充分不必要条件”等价于命题⫋， 因此，但，所以是的既不充分不必要条件，故C错误； 对于D，命题“是的既不充分也不必要条件”等价于命题：与互不包含， 命题“是的充要条件”等价于命题，即， 因此，但，所以是的必要不充分条件，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点：该题的解题关键点是将所有命题都用集合表示，把充分条件必要条件问题转化为集合的关系和运算问题，从而快速得解. 三、常用逻辑用语多选题 18．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)下列命题是真命题的是（    ） A． B．“”是“”成立的充分不必要条件 C．命题“”的否定是“” D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据对数的运算性质判断A的真假；根据充分不必要条件的判断方法进行判断；根据存在量词命题的否定形式判断C的真假；根据对数的运算性质判断D的真假. 【详解】对A：，故A错误； 对B：由“”可得“”，但“”得不到“”，所以“”是“”成立的充分不必要条件，故B正确； 对C：存在量词命题“”的否定时全称量词命题“”，故C正确； 对D：由可得，，且， 所以，即，故D正确. 故选：BCD. 19．(24-25高一上·湖南长沙第一中学·期末)下列命题是真命题的是（   ） A．命题“，”的否定是“，” B．与是同一个函数 C．不等式的解集为 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】根据存在命题得否定判断A；根据定义域不同判断B；求分式不等式的解集判断C；根据不等式的性质判断D. 【详解】由存在量词命题的否定知，“，”的否定是“，”，故A正确； 由，知的定义域为，由或，知的定义域为，所以不是同一个函数，故B错误： 由得，解得：，故不等式的解集是，故C正确； 由不等式的性质，，又，所以，故D正确. 故选：ACD. 20．(24-25高一上·安徽合肥第一中学·期末)下列说法正确的是（   ） A．“且”是“”的充要条件 B．弧长和面积均为的扇形的半径为2 C．“，”的否定是“，” D．函数的零点是 【答案】BC 【分析】对于A，利用充要条件的概念判断即可；对于B，利用扇形的面积公式计算可得半径，即可判断：对于C，全称量词命题的否定为存在量词命题，判断即可；对于D，根据函数的零点不是点，即可判断. 【详解】对于A，当“且”时，“”一定成立， 当“”时，“且”不一定成立，比如， 所以“且”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对于B，因为扇形的弧长和面积均为，则扇形面积， 因为弧长，则半径，故B正确； 对于C，“，”的否定是“，”，故C正确； 对于D，函数的零点是1，不是点，故D错误. 故选：BC. 21．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)下列说法不正确的有（ ） A．命题“，”的否定是“，” B． C．集合，，若，则或 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】AC 【分析】根据全称量词的命题的否定方法判断A，根据三角函数的值的正负与象限的关系判断B，由可得，根据集合的包含关系判断C，根据一元二次方程的根与系数关系判断D. 【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，A错误； 对于B，角在第一象限，角在第二象限，角在第二象限， 所以，，，所以，B正确； 对于C，， 由，可得，又， 所以或或， 所以或或，C错误； 对于D，关于的方程有一正一负根的充要条件为，即， 所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，D正确； 故选：AC. 四、常用逻辑用语填空题 22．(24-25高一上·湖南长沙长郡中学·期末)若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】问题化为时能成立，结合指数函数的性质求参数范围. 【详解】由题设命题为真命题，即时能成立，故能成立， 所以. 故答案为： 五、综合解答题 23．(24-25高一上·河南九校联盟·月考)已知集合，. (1)当时，求和； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)；或 (2) 【分析】（1）解出集合，写出时的集合，直接求解即可. （2）将是的充分不必要条件转化为两集合的包含关系，列不等式组求解即可. 【详解】（1）由得， 解得，即，或， 当时，，或， 所以，或， （2）若是的充分不必要条件，则是的真子集， 由（1）知：， 所以且等号不同时成立，解得， 即实数的取值范围是. 24．(24-25高一上·河北石家庄石家庄二中教育集团·期末)函数的值域为. (1)求； (2)若关于的不等式的解集为，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，利用正弦函数的性质求解； （2）不等式可化为，根据得到，再由求解. 【详解】（1）解：， ， ，故 （2）不等式可化为 ，方程两根为，且不等式解集， ，即 则有. 25．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2)或 【分析】（1）解不等式分别求出集合，然后再利用补集的概念求解； （2）根据条件得出是的真子集，分类讨论求解集合B，根据集合关系列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）当时，， 所以或， 又，所以或； （2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，所以，， 当时，，， 由题意，解得； 当时，，， 由题意，解得； 综上实数的取值范围为或． 26．(24-25高一上·湖南湘潭第一中学·月考)已知函数的定义域为A，函数，则的值域是B，不等式的解集为C. (1)求； (2)若，则实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根式的意义求集合A，根据求集合B，进而求并集； （2）分、和三种情况解不等式求集合C，再结合即可得结果. 【详解】（1）因为，解得或，即； 又因为，当且仅当时，等号成立，则， 可得，即； 所以. （2）对于不等式，令，可得或， 当时，则，可知不成立，不合题意； 当时，则，可知不成立，不合题意； 当时，则，若，则； 综上所述：实数a的取值范围为. 27．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)设函数的定义域为，集合. (1)求集合，并求； (2)记集合，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)（1），， (2) 【分析】（1）由对数函数的性质可得，由二次不等式可得，再由集合的交集、补集的概念即可得解； （2）转化条件为，按照、分类，运算即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 又，或， 所以； （2）因为是的充分条件， 所以， 当时，，解得，符合题意； 当时，则； 综上：a 的取值范围是. 28．(24-25高一上·安徽合肥第一中学·期末)已知集合且，集合，命题，命题. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）求得集合和， ，进而可求得； （2）根据给定条件可知集合是集合的真子集，根据包含关系列不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以，故， 又因为， 所以. （2）因为是的充分不必要条件，故是的真子集， 又且， 所以（等号不同时成立），解得， 综上，实数的取值范围是. 29．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)已知，集合，. (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件， ①求的取值范围； ②当取最小值时，设是的反函数，求函数的值域. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据对数函数的性质求出集合，再解一元二次不等式求出集合，最后根据补集、交集的定义计算可得； （2）①令，依题意可得是的必要不充分条件，即真包含于，再对分类讨论，分别求出集合，从而得到不等式组，解得即可； ②首先求出的解析式，再反解求出的解析式，最后再根据对数型复合函数的值域计算可得. 【详解】（1）对于， 令，即，则，解得， 所以， 当时，不等式即，解得或， 所以， 所以，，所以； （2）①令， 因为是的必要不充分条件，所以是的必要不充分条件， 所以真包含于， 又， 由可得， 因为，所以，解得，即， 则，解得， 即的取值范围为； ②由①可得，所以，，则， 又是的反函数， 令，则，所以， 所以，即， 所以，， 所以 ，， 其中， 又，则，所以，所以， 即，所以，所以的值域为. 30．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)定义一类集合：对于集合，若都满足，则称为“单位有界集”；在集合中定义一种运算：若，，定义.现对单位有界集进行如下操作：第一步，从中任取两个元素、，将中除了、以外的元素构成的集合记为，令；第二步，若集合还是单位有界集，则继续任取两个元素，将中除了以外的元素构成的集合记为，令；依次类推…… (1)对于任意的单位有界集，判断是否仍然为单位有界集．若是，请证明；若不是，请举出反； (2)证明：若，则； (3)当时，对集合进行步上述操作，当只有一个元素时停止，求所有满足条件的． 【答案】(1)是，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用比差法证明即可， （2）结合定义计算，，由此证明结论； （3）结合（1）（2）的证明结论，先取求，再取求，，逐步求出. 【详解】（1）是，证明如下： 从中任取两个元素、，，， 要证明是单位有界集，只需证明， 因为，其中， 所以，即； 因为，其中， 所以，即，所以仍然为单位有界集. （2）因为， ， 所以. （3）由（1）（2）知都为“单位有界集”，所定义的运算具有结合律， 又，即定义的运算具有交换律， 不妨先取， 因为，所以，所以， 再取，，所以， 类似的，，， 所以. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $