精品解析：河北省枣强中学2025-2026学年高一上学期第三次月考考试数学试题

河北枣强中学2025-2026学年高一上学期第三次月考考试 数学学科试题 一、单选题（每题5分，只有一个正确选项，选对得5分，选错0分，共40分） 1. 角的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 设 则的大小关系为（ ） A B. C. D. 4. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数f（x）=ln（ax2-2x+3）的值域为R，则实数a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 已知函数，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的定义域为，若满足：（1）在内是单调函数；（2）存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”.若函数是“梦想函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，选全得5分，部分选对的2分，选错得0分，共20分） 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 10 已知，则（ ） A. B. C D. 11. 给出下列结论，其中正确的结论是（ ） A. 函数的最小值为2 B. 函数的零点是和 C. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称 D. 若x，y，z为正数，且，则 12. 已知，均为正实数，若，，则（ ） A. B. C. D. 2 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 半径为2的圆中，圆心角所对的弧的长度_____，该扇形面积是_____. 14. 计算：__________. 15. 函数的单调递增区间为_____________． 16. 已知，若方程有四个不同解、、、且，则的取值范围是______． 四、解答题（共70分） 17. . （1）求； （2）求. 18. 已知函数是指数函数. （1）求的表达式； （2）判断的奇偶性，并加以证明； （3）解不等式：. 19. 如图，单位圆与轴正半轴交点为点，点在圆上，且点在第一象限，点在第二象限． （1）当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积； （2）设，当点的横坐标为时，求及的值． 20. 某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为平方米，经过3个月其覆盖面积达到平方米．该生物覆盖面积（单位：平方米）与经过时间（）个月的关系适合函数模型（，）． （1）求出该模型的函数解析式； （2）问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的倍？ （参考数据：，，月份保留到整数） 21. 已知函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求的最小值． 22. 已知函数为奇函数，且不为常函数. （1）求的值； （2）若，用定义法证明：在上单调递减； （3）若（2）中的对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北枣强中学2025-2026学年高一上学期第三次月考考试 数学学科试题 一、单选题（每题5分，只有一个正确选项，选对得5分，选错0分，共40分） 1. 角的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据终边相同的角的公式，转化到，即可判断. 【详解】与终边相同的角的集合为， 当时，，为第二象限角. 故选：B 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的定义以及分式的意义列式求解即可. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 3. 设 则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解. 【详解】因为 所以， 故选：A 4. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及单调性求出，再结合指数函数的性质可得. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得或， 又为为增函数，则， 故恒过定点. 故选：C. 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求函数的定义域，排除BD，再判断奇偶性，排除C，最后得出答案. 【详解】因为，所以， 所以函数的定义域，排除B,D, 定义域关于原点对称，因为， 所以函数是偶函数，排除C， 所以函数的图象大致为A. 故选：A. 6. 若函数f（x）=ln（ax2-2x+3）的值域为R，则实数a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对数函数复合函数，要使值域为R，可使内层函数t=ax2-2x+3取得一切的正数，再依据二次函数性质判断参数取值范围. 【详解】若函数f（x）=ln（ax2-2x+3）的值域为R， 即有t=ax2-2x+3取得一切的正数， 当a=0时，t=3-2x取得一切的正数，成立； 当a＜0不成立； 当a＞0，△≥0即4-12a≥0， 解得0＜a≤， 综上可得0≤a≤． 故选A． 【点睛】值域为R，对应内层函数取到全体正数. 7. 已知函数，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用定义确定函数的奇偶性，根据对数函数和二次函数的性质确定复合函数的单调性，然后利用单调性解不等式即可. 【详解】因为，所以函数的定义域为，则定义域关于原点对称，且，所以为偶函数， 当时，令其为单调递增函数，而是单调递减函数，所以在区间上是单调递减函数， 根据对称性知，函数在区间上是单调递增函数， 所以函数的函数值随着的增大而减小， 因为，所以，即，或， 当时；当时； 所以实数的取值范围为. 故选：A 8. 函数的定义域为，若满足：（1）在内是单调函数；（2）存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”.若函数是“梦想函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数单调性的关系先判断函数是单调递增函数，然后根据值域关系建立方程，然后转化为方程根的个数问题即可判断． 【详解】设，则， 当时，为增函数，也是增函数，则为增函数， 当时，为减函数，也是减函数，则为增函数， 综上可得：为增函数，即在内是单调函数． 因为是单调递增函数，所以若为“梦想函数”， 则有，即方程有两个不同的解， 即可得有两个不同的解， 令，即方程有两个不等的正实数根， 即，有两个不等的正实数根， 即和在的图象有两个不同交点， 又在的最小值为， 所以结合图象可知： 即. 即的取值范围为. 故选：A 二、多选题（每题5分，选全得5分，部分选对的2分，选错得0分，共20分） 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据对数的运算法则，逐一分析选项即可得答案. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：因为，所以，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：BCD 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系判断选项. 【详解】对于A，因为，所以， ， 所以，故A正确； 对于B，由已知可得， 因为， 所以，故B错误； 对于C，D，由， 可得，所以，故C，D都正确． 故选：ACD 11. 给出下列结论，其中正确的结论是（ ） A. 函数的最小值为2 B. 函数的零点是和 C. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称 D. 若x，y，z为正数，且，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，令，然后利用指数函数的单调性判断错误；对于B，根据零点的定义判断错误；对于C，根据反函数的图像性质判断正确；对于D，令，然后利用对数的运算公式化简，判断正确. 【详解】对于A，令，所以原函数化为，又单调递减，所以，故A错误； 对于B，令，解得或，所以函数的零点是或，故B错； 对于C，函数与互为反函数，所以在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，令，解得， 所以，，故D正确， 故选：CD. 12. 已知，均为正实数，若，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】AD 【解析】 【分析】令，代入可求出，可得与的关系式，再代入即可求出，的值. 【详解】令，则， 所以，即， 解得或，即或，所以或， 因为，代入得或， 所以，或，， 所以或. 故选：AD. 【点睛】本题主要考查了对数的运算及性质，属于中档题. 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 半径为2的圆中，圆心角所对的弧的长度_____，该扇形面积是_____. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据题意，利用扇形的弧长公式和扇形的面积公式，进行计算，即可求解. 【详解】由题意知，圆的半径，圆心角， 则所对的弧的长度为，扇形的面积为. 故答案为：；. 14. 计算：__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数和对数的运算法则求解即可. 【详解】由题可得：， 故答案为： 15. 函数的单调递增区间为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再利用求复合函数单调区间的方法求解即得. 【详解】依题意，由得：或，即函数的定义域是， 函数在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递增， 于是得在是单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 16. 已知，若方程有四个不同的解、、、且，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象可得：，，进而得到，求出的取值范围，利用函数的单调性进而求解. 【详解】如下图所示： 方程有四个不同的解、、、且，且， 由图可知，点、关于直线对称，则， 由图可得，由可得，可得， 由可得， 所以，， 因为函数、在上均为减函数，故函数在上为减函数， 因为，则， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于根据函数的对称性、对数的运算性质将所求代数式化简，转化为只含一个变量的函数，结合函数基本性质求解. 四、解答题（共70分） 17. . （1）求； （2）求. 【答案】（1）2 （2）2 【解析】 【分析】（1）应用齐次式弦化切计算求解； （2）应用同角三角函数关系结合齐次式弦化切计算求解； 【小问1详解】 因为，所以， 化简得，故； 【小问2详解】 因为， 所以. 18. 已知函数是指数函数. （1）求的表达式； （2）判断奇偶性，并加以证明； （3）解不等式：. 【答案】（1） （2）奇函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用指数函数的定义求解即可； （2）结合指数运算，根据函数奇偶性的定义即可证明； （3）根据对数函数的单调性即可求解不等式的解集. 【小问1详解】 函数是指数函数，所以解得或2， 又，所以，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 其定义域为R，关于原点对称， 又因为，所以是奇函数； 【小问3详解】 由（1）知：， 所以，解得：， 所以不等式的解集为. 19. 如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点在圆上，且点在第一象限，点在第二象限． （1）当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积； （2）设，当点的横坐标为时，求及的值． 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】（1）设圆心角，应用扇形面积公式计算求解即可； （2）先由已知得，进而得出，即可求解. 【小问1详解】 设圆心角为，弧长为l，弓形的面积为S． 因为，圆O的半径为，所以， 所以，， 所以图中阴影部分的面积为． 【小问2详解】 因为， 的横坐标为， 所以的纵坐标为， 则， 所以，. 20. 某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为平方米，经过3个月其覆盖面积达到平方米．该生物覆盖面积（单位：平方米）与经过时间（）个月的关系适合函数模型（，）． （1）求出该模型的函数解析式； （2）问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的倍？ （参考数据：，，月份保留到整数） 【答案】（1）（）. （2）个月 【解析】 【分析】（1）利用指数函数模型，结合经过2个月和3个月时覆盖面积，列方程组求解； （2）先求出初始投放面积，再根据生物面积是初始投放的倍列方程求解． 【小问1详解】 该生物覆盖面积（单位：平方米）与经过时间（）个月的关系适合函数模型（，）， 又经过2个月其覆盖面积为平方米，经过3个月其覆盖面积达到平方米， ，解得， ∴该模型的函数解析式为（）． 【小问2详解】 ， 当时，， 此生物的初始投放面积为平方米， 设经过个月该水域的生物的面积是当初投放的倍，则 ，即，解得． ，取， 约经过个月，该水域中此生物的面积是当初投放的倍． 21. 已知函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用换元法将对数函数转化为二次函数，再利用二次函数的单调性求值域即可. （2）将不等式恒成立问题转化为最值问题，结合函数单调性求出最值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为. . 令，则，当时，， 所以当时，， 当时，， 所以当时，该函数的值域为. 【小问2详解】 当时，， 原不等式可化为，即对恒成立. 令，. 任取，则， 所以， ， 则在上单调递增， 所以. 故，即的最小值为. 22. 已知函数为奇函数，且不为常函数. （1）求的值； （2）若，用定义法证明：在上单调递减； （3）若（2）中的对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数定义导出关于方程，解出，再结合“不为常函数”排除得到结果； （2）将值代入，化简函数表达式，在定义域内任取自变量作差，利用对数性质与真数大小比较证明函数值随自变量增大而减小； （3）将不等式分离出，构造关于的函数，利用其在给定区间上的单调性求出最大值，由大于该最大值确定参数范围； 【小问1详解】 由为奇函数，则对定义域内的每一个都有， 所以，即，所以， 当时，函数为常函数，与已知矛盾， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 任取，则， ，则，， ，即所以， 所以函数在上单调递减. 【小问3详解】 对任意的，， 即，得， 记函数，， 则函数在区间上单调递减， 函数在区间上的最大值为， ，因此，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $