精品解析：湖南省常德市临澧县第一中学2025-2026学年高三上学期第五次月考数学试题（永通班）

临澧一中2026届高三第五次阶段性考试试卷（永通） 数学 时量：120分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合与集合的交集，然后根据元素与集合之间的关系和子集的定义逐项判断即可. 【详解】由题意得，则，，，. 故选：D. 2. 复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数z，根据复数模的计算公式，即得答案. 【详解】由，得， 故， 故选：B 3. 已知函数，则下列命题正确的有（ ）个 ① ②在上单调递增 ③为的一个对称中心 ④最小正周期为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】直接求函数值判断命题①；由正切函数的单调区间、对称轴公式、周期公式进行求解分别判断命题②③④. 【详解】命题①，已知函数，，故①错误； 命题②，，，解得，， 当时，，所以在上单调递增，故②正确； 命题③，把带代入，， 则为的一个对称中心，故③正确； 命题④，函数最小正周期为，故④错误. 正确命题有2个. 故选：C. 4. 已知函数.若对于任意的等差数列，总有是等差数列，则称函数具有“保等差性”.函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的定义依次验证选项即可. 【详解】是等差数列，则需要满足， 对于A，取等差数列，则,，,则，故A不正确； 对于B，取等差数列，则,,，则，故B不正确； 对于C，取等差数列，则,,,则，故C不正确； 对于D, ,, 所以，， 由于为等差数列，则，所以，故D正确； 故选：D 5. 已知椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，连接并延长交椭圆于点.若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义及勾股定理列式求出离心率. 【详解】设，由，得，， 由椭圆定义得， 由，得，则， 解得，，令椭圆的半焦距为c， 由，得，解得， 所以椭圆的离心率为. 故选：C 6. 已知指数函数，若有且只有两个不等根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，由互为反函数函数图象关系可得有两解， 即有两个根，最后由函数图象与直线有两个交点可得答案. 【详解】由题意得，即方程有两个不等根， 函数与图象有两个不同交点， 与互为反函数，则两函数图象关于对称， 则与图象的交点都分布在直线上，问题等价于与有两个不同交点，即有两根， 即函数图象与直线有两个交点. 设，则，令， 则在上单调递增，在上单调递减，. 又， 可得大致图象如下，则要使图象与直线有两个交点， 需满足. 故选：C 7. 已知正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点在平面上（不含三棱柱的顶点），若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知，点是在以线段为直径的球与平面形成的交线上， 如图，取的中点，的中点，设BP的中点为， 连接，则，， 过点作，垂足为N， 由于， 又根据正三棱柱可知，平面， 所以平面，则平面， 则， 而， ，，， 故点在以为圆心，为半径的圆上， 故的最小值为， 故选：D. 8. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用通过将原不等式转化为，令，利用导数可得该函数为增函数，从而得，再设，求出该函数的最大值后可得参数的取值范围. 【详解】依题意，，则， 令，则， 则，令，解得， 故当时，，在上单调递减， 当时，，在单调递增， 故， 故在上单调递增，故只需，即， 令，则， 故当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 故，则，即， 故选：C. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设为两个相互独立的随机事件，且，下列命题中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由为两个相互独立的随机事件，则和，和也是相互独立，得，再依次判断选项即可． 【详解】由为两个相互独立的随机事件，则和，和也是相互独立，得， 对于A项，，故A项错误； 对于B项，，故B项正确； 对于C项，，故C项正确； 对于D项，，故D项正确． 故选：BCD 10. 已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点，分别以为切点作的切线，且两切线相交于点，设为坐标原点，则（ ） A. B. 抛物线的准线与以为直径的圆相切 C. 设，则 D. 点位于定直线上 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用解析法结合方程组和韦达定理来进行计算即可判断各选项. 【详解】设过点的直线方程为：，与抛物线联立方程组， 消得：， 由可得：， 又由， 所以，故A正确； 设的中点， 则， 即中点到准线的距离为 ， 假设抛物线的准线与以为直径的圆相切，则， 这显然是不成立的，故无解，所以抛物线的准线与以为直径的圆不相切，故B错误； 由 ， 所以有，故C正确； 由抛物线方程或， 求导得：或， 则抛物线在点的切线方程分别为：和， 两式消得：， ， 令，则 所以， 所以交点在直线上，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】证明，放缩可判断A，由，放缩可判断B，取，计算可判断C，可得，令，转化为，构造，利用导数判断单调性求函数最小值即可判断D. 【详解】，，，，， 构造，则，∴函数在上单调递增， ，，．，，故A正确； 令，则， 在上递增，，， ，，，故B错误； 当时，，则，，，，故C错误； ，，， 令，则，，， 设，，则， 令，，则， 可知函数在上单调递增，，则， 在上单调递增，，，故D正确． 故选：AD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，，当取最小值时，__________. 【答案】1 【解析】 【分析】对进行换元，消去变量，再结合基本不等式的取等条件建立方程，求解参数即可. 【详解】令，则，即 ， 当且仅当时取等，解得（负根舍去）. 故答案为：1 13. 有个编号分别为1，2，…，的盒子，第1个盒子中有3个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，从第个盒子中取到黑球的概率是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】记事件表示从第，2，，个盒子里取出白球，即可得到，然后构造等比数列，求通项公式，然后根据对立事件的概率关系求解． 【详解】解：记事件表示从第，2，，个盒子里取出白球，则，， 所以， ， 进而可得，， 所以， 又，，， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 故从第个盒子中取到黑球的概率是为：． 故答案为：． 14. 过点的直线与圆相切于点，与曲线交于点R.若的中点为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设为上的任意一点，将点绕原点逆时针旋转到，根据旋转关系，可得点的轨迹为等轴双曲线，从而得到曲线也是等轴双曲线，由双曲线的性质结合几何关系即可求解. 【详解】设为上的点，将点绕原点逆时针旋转到， 则，由于，则， 化简可得：，则点的轨迹为等轴双曲线，其焦点为，，且； 所以曲线也是等轴双曲线，其焦点为，，故点到焦点距离之差为常数.即，如图所示. 因为点分别是和的中点，故， 而，由于， 所以. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图所示，已知的内角、，所对的边分别为、、，且． （1）求角的值； （2）若点是的外接圆上一点（不与、、重合），且满足，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角求解. （2）由（1）的结论，利用余弦定理求出并确定点位置，再利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 而，则，又，所以. 【小问2详解】 在中，，，由余弦定理得， 则，又四边形内接于圆，因此点在优弧上，且， 即为等边三角形，则， 又， 所以四边形的面积. 16. 已知正项数列的首项，前n项和满足. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）化简数列的递推公式，得，进而可求解数列的通项公式； （2）利用裂项法，求解，列出不等式，即求. 【小问1详解】 当时，， ∴，即，又， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故， 又由（）， 当时，也适合， 所以. 【小问2详解】 ∵， ∴， 又∵对任意的，不等式恒成立，， ∴，解得或. 即所求实数的范围是或. 17. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 【答案】（1） 连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意易证平面，从而证得； （2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设，，． ，，又，平面平面． 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， ，取，所以； ，取，所以， 所以，，从而． 所以二面角的正弦值为． 18. 已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 【答案】（1） （2）（i）证明：记，由题意知. 设直线的方程为，代入椭圆得：. 则有，① 设与的斜率分别为，则 所以. （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据即可求解椭圆标准方程； （2）（i）设与的斜率分别为，将问题转化为证明即可； （ii）设满足，化简可得：，因为直线和直线的交点为，则点都在以为直径的圆上，因为都在以为直径的圆上，故，所以是的角平分线，则，利用三角形面积公式化简即可求解. 【小问1详解】 由题知，，又，解得. 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）设满足，则 ② 将代入②，并化简得 ，③ 将（2）中①代入③得：， 即. 又因为直线和直线的交点为. 故满足的点都在以为直径的圆上. 因为都在以为直径的圆上， 故，所以是的角平分线. 则， 所以， 即. 所以，解得， 所以. 19. 已知函数，直线：. （1）若直线与曲线相切，求实数的值； （2）证明：对于，，使得当时，直线恒在曲线上方； （3）若直线与曲线有三个不同的交点，且从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，证明：. 【答案】（1）或. （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先设切点，再求出导函数得出切线斜率计算求点即可求参； （2）把恒成立问题转化为最值关系，分和计算证明； （3）根据交点列式再取对数构造函数，最后应用导函数 得出函数单调性计算证明即可. 【小问1详解】 设直线与曲线相切于点，， 令，得或2. 故切点为或，切线方程为或，即或. 【小问2详解】 由得，当，递减，有， 当，递增，有， 当，递减，有. 若，取，当时，结合函数单调性可知 若，取，下面证明不等式， 先证明如下不等式：当，有， 令，，当，递减，当，递增， 有，即， 变形得：，即， 故当时，结合函数单调性可知. 综上，结论成立. 【小问3详解】 由题意及函数的单调性可知：，满足 由②③可得 作差得，故有 下证不等式成立，即证， 令，只需证时，成立， 即证时，， 令，，在递减， 故， 故， 则. 故要证，只需证，即证， 又因为，，则， 所以，故只需证， 令，设函数，，， 所以在上递增，在上递减. 所以，故命题得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临澧一中2026届高三第五次阶段性考试试卷（永通） 数学 时量：120分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知函数，则下列命题正确的有（ ）个 ① ②在上单调递增 ③为的一个对称中心 ④最小正周期为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 已知函数.若对于任意的等差数列，总有是等差数列，则称函数具有“保等差性”.函数可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，连接并延长交椭圆于点.若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知指数函数，若有且只有两个不等根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点在平面上（不含三棱柱的顶点），若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设为两个相互独立的随机事件，且，下列命题中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点，分别以为切点作的切线，且两切线相交于点，设为坐标原点，则（ ） A. B. 抛物线的准线与以为直径的圆相切 C. 设，则 D. 点位于定直线上 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，，当取最小值时，__________. 13. 有个编号分别为1，2，…，的盒子，第1个盒子中有3个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，从第个盒子中取到黑球的概率是_________________． 14. 过点的直线与圆相切于点，与曲线交于点R.若的中点为，则__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图所示，已知的内角、，所对的边分别为、、，且． （1）求角的值； （2）若点是的外接圆上一点（不与、、重合），且满足，求四边形的面积． 16. 已知正项数列的首项，前n项和满足. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 17. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 18. 已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 19. 已知函数，直线：. （1）若直线与曲线相切，求实数的值； （2）证明：对于，，使得当时，直线恒在曲线上方； （3）若直线与曲线有三个不同的交点，且从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $