第七单元 第2课时 长方体和正方体的表面积(分层作业)数学青岛版五年级下册

第七单元 第2课时 长方体和正方体的表面积 分层作业 1.长方体或正方体6个面的总面积叫做它们的（ ）。 2.长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×（ ），用字母表示为S=2（ ）。3.正方体的表面积=棱长×棱长×（ ），用字母表示为S=6（ ）。 4.一个无盖的长方体水箱，计算其表面积时应计算（ ）个面的面积之和。 5.一个正方体的棱长为a，它的表面积是（ ）。 6.长方体有（ ）组相对的面，每组相对的面面积（ ）。 7.计算长方体的表面积时，需要知道它的（ ）、（ ）和（ ）。 8.当长方体的长、宽、高分别扩大到原来的2倍时，它的表面积扩大到原来的（ ）倍。9.正方体的表面积大小由它的（ ）决定。 10.制作一个棱长为5分米的正方体无盖玻璃鱼缸，至少需要（ ）平方分米的玻璃。 11.长方体表面积的单位通常用（ ）、（ ）或平方米等。 12.一个长方体的长是8厘米，宽是5厘米，高是3厘米，它的表面积是（ ）平方厘米。 1．如下图所示，将一个长5厘米、宽2厘米、高3厘米的长方体木块切成两个小长方体，有①、②或③三种不同的切法。这三种切法中，表面积最多增加（    ）平方厘米。 A．15 B．12 C．20 D．30 2．魔方又叫鲁比克方块，是一款风靡全球的机械益智玩具。辰辰是魔方爱好者，他有一款三阶魔方，即3×3×3。可是，他在一次玩耍中不小心掉了一个小正方体，请问魔方的表面积会（    ）。 A．变大 B．变小 C．不变 D．答案不唯一 3．两个正方体的棱长之比为1∶3，则它们的表面积之比为( )。 4．用铁皮做一节长3米的长方体通风管，横截面是边长为10厘米的正方形，共需要( )平方米铁皮。 5．下图是由棱长2厘米的正方体木块堆成的形体。 (1)它的表面积是( )平方厘米； (2)至少再堆上( )个相同的正方体后，就能变成一个大正方体。 6．一个正方体的底面积是平方米，它的表面积是多少平方米？ 7．一间教室长9米，宽6米，高3米，门窗面积为11.6平方米，如果每平方米用涂料0.5千克，粉刷教室的四周和顶面需要涂料多少千克？ 8．园园用长为48dm的铁丝做了一个正方体框架，她想在正方体框架的外面贴上一层彩纸，至少要用多少平方分米的彩纸？（不计损耗） 9．有一个长方体木块，长是10cm，宽是8cm，高是6cm，把它切割成棱长是2cm的小正方体，这些小正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米？ 10．某工厂新建了一个长30米、宽25米、深1.5米的雨水收集池。要在收集池的内壁和底部抹一层砂浆。已知每平方米需要4千克砂浆，考虑到实际施工部分损耗，因此要多准备所需总质量的。那么至少要准备多少千克的砂浆？ 11．祥和社区发起“有爱助无碍”募捐活动，为需要帮助的困难人群提供切实的帮助。工作人员制作了一个正方体爱心箱，它的棱长为5分米，爱心箱的前面开了一个长2.5分米、宽0.3分米的长方形投钱孔（如图）。这个正方体爱心箱的表面积是多少平方分米？ 12．为了美化图书馆环境，图书管理员在网上购买了一个青花瓷瓶来装饰图书馆大厅（如图）。商家在发货时需要根据青花瓷瓶的尺寸选择合适的长方体包装盒（长、宽、高均为整分米数），这个长方体包装盒的表面积至少是多少平方分米？（包装盒的厚度不计） 13．如下图所示的是两个棱长分别为2cm和3cm的正方体。 （1）写出这两个正方体的棱长比、表面积的比以及棱长和的比，并求出比值。 （2）再看一看其中哪两个比可以组成比例，把组成的比例写出来。 14．认真阅读下面的背景资料，并从中选择恰当的数学信息解决问题。 北海小区有一个便民超市，超市房间长8米，宽5.6米，高3米，门窗面积共5.2平方米。超市收银台旁有一个长6分米，宽5分米，高4分米的长方形无盖鱼缸。 暑假期间，张老板对便民超市进行了重新装修，房间四壁贴上了新的墙纸，房顶安装了新的吊顶，地板重新铺了正方形瓷砖，鱼缸的棱上贴了装饰条，鱼缸里还放了不少美丽的珊瑚石…… （1）装修时至少需要多少平方米的墙纸？ （2）鱼缸里原有水深2.5分米，放入珊瑚石（完全浸没）后，水面上升到3分米，放入珊瑚石的体积是多少立方分米？（鱼缸厚度忽略不计） 15．乐园小学举办“传统文化进校园”活动，旨在弘扬中华民族优秀传统文化，增强学生对传统文化的认同感与自豪感，并在亲身体验中感受其独特魅力，进一步推动文化的传承与创新发展。 （1）木工技艺传承人李叔叔现场制作了一个方凳，方法是先制作一个木框架（如右图），然后在上面固定一块木块。请你帮他算一算，一个木框架要用多长的木条？（接口处忽略不计） （2）“二月二日，祀土地神，吃撑腰糕。”崇明有吃撑腰糕的习俗，下图是崇明的李师傅现场做的一块正方体的撑腰糕，将其竖切1刀分成2个相同的长方体，再横切2刀分成6个相同的小长方体。切开后6个小长方体的表面积总和是多少？ （3）学科素养/空间观念 榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式。下图是一个棱长为3dm的正方体木块，李叔叔准备分别在它的前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长为1dm的小正方体，做成一个连接构件。这个连接构件的表面积是多少平方分米？ 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．D 【分析】根据题意，长方体木块切成两个小长方体，会增加两个面，横切面越大，增加面积就越大；据此解答。 【详解】 ，①切法增加的面积：2×3×2＝12（平方厘米）； ，②切法增加的面积：5×3×2＝30（平方厘米）； ，③切法增加的面积：5×2×2＝20（平方厘米）。 30＞20＞12，所以②切法增加的面积最大，是30平方厘米。 将一个长5厘米、宽2厘米、高3厘米的长方体木块切成两个小长方体，有①、②或③三种不同的切法。这三种切法中，表面积最多增加30平方厘米。 故答案为：D 2．D 【分析】掉了一个小正方体后，由于掉的小正方体原来的位置不同，魔方的表面积会有不同的变化，需要分类讨论。讨论时，先分析增加的部分，再分析减少的部分，最后对比出魔方的表面积是增还是减。 【详解】①掉的小正方体是魔方的8个顶点中的一处，会减少三个小正方形的面积，同时会增加三个小正方形的面积，那么魔方的表面积不变； ②掉的小正方体是魔方每条棱上非顶点位置的一处，会减少2个小正方形的面积，但同时会增加4个小正方形的面积，那么魔方的表面积变大； ③掉的小正方体在魔方每个面的中心位置，会减少1个小正方形的面积，但同时会增加5个小正方形的面积，那么魔方的表面积变大。 综上可知，魔方的表面积可能变大也可能不变，那么答案不唯一。 故答案为：D 3．1∶9 【分析】由题意可知，两个正方体棱长的比是1∶3，假设这两个正方体的棱长为1和3，再根据正方体的表面积＝6×棱长×棱长，据此求出它们的表面积，进而求出它们的表面积的比。 【详解】根据分析： 两个正方体的表面积分别为： 6×1×1＝6； 6×3×3 ＝18×3 ＝54 所以，它们的表面积的比为： 6∶54 ＝（6÷6）∶（54÷6） ＝1∶9 两个正方体的棱长之比为1∶3，则它们的表面积之比为1∶9。 4．1.2 【分析】求需要铁皮的面积，就是求这个长方体通风管的侧面积，根据长方体侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答，注意单位的换算。 【详解】10厘米＝0.1米 0.1×4×3 ＝0.4×3 ＝1.2（平方米） 用铁皮做一节长3米的长方体通风管，横截面是边长为10厘米的正方形，共需要1.2平方米铁皮。 5．(1)120 (2)19 【分析】（1）从上面和下面看到的图形都有5个小正方形，从左面和右面看到的图形都有6个小正方形，从前面和后面看到的图形都有4个小正方形。先算出组合体露在外面的正方形面的数量，再计算单个面的面积，最后相乘得到总面积。 （2）观察图形可知，要堆成的大正方体的棱长应该是3个小正方体组成的。先计算出大正方体所需小正方体总数，再减去原来已有的小正方体个数，求出还需堆的小正方体个数。 【详解】（1）2×2×（5＋6＋4）×2 ＝2×2×15×2 ＝4×15×2 ＝60×2 ＝120（平方厘米） 所以它的表面积是120平方厘米。 （2）3×3×3－8 ＝9×3－8 ＝27－8 ＝19（个） 所以至少再堆上19个相同的正方体后，就能变成一个大正方体。 6．平方米 【分析】正方体的表面积是6个面的面积之和。它的底面积就是一个面的面积，用底面积乘6即可算出它的表面积。 【详解】（平方米） 答：它的表面积是平方米。 7．66.2千克 【分析】根据题意，要粉刷教室的顶面和墙壁，即粉刷的是长方体的顶面和4个侧面，求出顶面和4个侧面的面积和，再减去门窗面积，求出需要粉刷的面积，再乘每平方米需要的涂料数量即可。 【详解】需要粉刷的面积：9×6＋9×3×2＋6×3×2－11.6 ＝54＋27×2＋18×2－11.6 ＝54＋54＋36－11.6 ＝108＋36－11.6 ＝144－11.6 ＝132.4（平方米） 132.4×0.5＝66.2（千克） 答：粉刷这间教室共需涂料66.2千克。 8． 96平方分米 【分析】先根据正方体棱长总和（48dm）求出棱长：棱长之和除以12，再利用棱长计算正方体表面积，正方体表面积，即为所需彩纸面积。据此解答。 【详解】（分米） （平方分米） 答：至少要用96平方分米的彩纸。 9． 1064平方厘米 【分析】本题要求计算长方体切割成小正方体后表面积的增加量。 首先，根据长方体的尺寸和小正方体的棱长，计算可切割的小正方体数量。 其次，计算每个小正方体的表面积和总表面积。然后，计算原长方体表面积。 最后，求差。 据此列式解答即可。 【详解】计算小正方体的数量： 长方向：10 ÷ 2 ＝ 5（个） 宽方向：8 ÷ 2 ＝ 4（个） 高方向：6 ÷ 2 ＝ 3（个） 小正方体总数：5 × 4 × 3 ＝20×3 ＝ 60（个） 计算每个小正方体的表面积： （平方厘米） 计算所有小正方体的总表面积： （平方厘米） 计算原长方体的表面积： （平方厘米） 计算增加的表面积： （平方厘米） 答：这些小正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了1064平方厘米。 【点睛】增加的原因是切割后内部面暴露，增加了表面积。 切1次增2个面，小正方体总表面积减原长方体表面积，即得增量。 10．4026千克 【分析】先求出长方体水池的表面积，因为水池是无盖的所以只计算5个面的面积；再乘每平方米需要的砂浆，求出抹一层需要的砂浆的总数量；然后用抹一层需要的砂浆的总数量乘损耗的砂浆数量占抹一层需要的砂浆的总数量的份数，求出损耗的砂浆数量；最后用抹一层需要的砂浆的总数量加上损耗的砂浆数量，即可求出至少要准备的砂浆数量。 【详解】水池的表面积：30×25＋（30×1.5＋25×1.5）×2 ＝750＋（45＋37.5）×2 ＝750＋82.5×2 ＝750＋165 ＝915（平方米） 所需砂浆：915×4＝3660（千克） 3660×＝366（千克） 3660＋366＝4026（千克） 答：至少要准备4026千克的砂浆。 11．149.25平方分米。 【分析】先明确正方体表面积的计算方法，再考虑投钱孔对表面积的影响（需要用正方体的表面积减去投钱孔的面积）。正方体的表面积公式为：表面积＝ 棱长×棱长×6。 爱心箱前面开了一个长方形投钱孔，因此正方体的表面积需要减去这个投钱孔的面积（投钱孔只在一个面上，所以只需减一次）。 【详解】计算爱心箱的原始表面积： 计算投钱孔的面积： 计算爱心箱的实际表面积： 答：这个正方体爱心箱的表面积是149.25平方分米。 12．378平方分米 【分析】要确定长方体包装盒的最小表面积，需先明确包装盒的长、宽、高至少为多少，因为花瓶腹部最大直径是7分米，所以长方体包装盒的长和宽至少要能容纳花瓶的腹部，即长和宽最少是7分米，又因为花瓶高是10分米，所以长方体包装盒的高最少是10分米，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，将长7分米、宽7分米、高10分米代入公式即可求出长方体包装盒的表面积，据此解答。 【详解】（7×7＋7×10＋7×10）×2 ＝（49＋70＋70）×2 ＝（119＋70）×2 ＝189×2 ＝378（平方分米） 答：这个长方体包装盒的表面积至少是378平方分米。 13．（1）棱长比为，比值为，表面积的比为，比值为，棱长和的比为，比值为； （2）棱长比、棱长和的比可以组成比例；。 【分析】（1）本题考查正方体棱长、表面积、棱长和的计算，以及比与比例的应用。首先明确正方体的核心公式：表面积 ＝ 棱长 ×棱长×6、棱长和 ＝ 棱长 ×12；再分别计算两个正方体的表面积、棱长和，进而求出棱长比、表面积比、棱长和的比及比值； （2）通过对比比值，找出能组成比例的两个比。 【详解】（1）棱长比：，比值为； （平方厘米） （平方厘米） 表面积的比：，比值为； （厘米） （厘米） 棱长和的比：，比值为； （2）棱长比、棱长和的比可以组成比例。 14．（1）76.4平方米； （2）15立方分米 【分析】（1）求需要墙纸的面积就是求长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，因为只有房间四壁贴上了新的墙纸，所以只需计算长方体四个侧面的面积，最后减去门窗的面积； （2）放入珊瑚石的体积等于放入珊瑚石后上升部分水的体积，放入珊瑚石后上升部分水的体积＝鱼缸的底面积×上升部分水的高度，据此解答。 【详解】（1）（8×3＋5.6×3）×2－5.2 ＝（24＋16.8）×2－5.2 ＝40.8×2－5.2 ＝81.6－5.2 ＝76.4（平方米） 答：装修时至少需要76.4平方米的墙纸。 （2）6×5×（3－2.5） ＝6×5×0.5 ＝30×0.5 ＝15（立方分米） 答：放入珊瑚石的体积是15立方分米。 15．（1）440厘米；（2）432平方厘米；（3）78平方分米 【分析】（1）求制作木框架要用多长的木条即求这个方凳的棱长之和，根据图用（长＋宽＋高）×4即可解答； （2）求切开后6个小长方体的表面积总和，因为不知道每个小长方体的长、宽、高，所以只能通过原正方体来求，由图可知切开6个小长方体后在原正方体的表面积上又增加了2个上面的面积、2个下面的面积即2个侧面的面积，而因为是正方体，所以每个面面积相等，即增加的6个面的面积相等，用一个面的面积乘6最后再加上原正方体面积即可解答； （3）求这个连接构件的表面积是多少平方分米，由图可看出做成的这个连接构件在原正方体木块的表面积上又增加了面积，即增加了棱长为1分米的小正方体的上面、下面、左面和右面，这样的小正方体面积增加了6个（因为在大正方体的每个面上都挖去），所以用大正方体的面积加增加的面积（小正方体一个面的面积乘4——小正方体每个面面积相等，又只增加了4个面，再乘6）即可解答。 【详解】（1） （厘米） 答：一个木框架要用440厘米的木条。 （2） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 答：切开后6个小长方体的表面积总和是432平方厘米。 （3） （平方分米） （平方分米） 答：这个连接构件的表面积是78平方分米。 【点睛】求在正方体上进行改造后的物体的表面积，要知道这个物体与原正方体哪些面未改变，哪些面改变，然后用未改变的面的面积加上改变了的面的面积即可。 $