专题19.2 二次根式的乘法与除法（知识荟萃+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题）-2025-2026学年人教版数学八年级下册同步培优讲义

本初中数学讲义聚焦二次根式的乘法与除法核心知识点，系统梳理乘法法则及推广、乘法法则逆用（积的算术平方根）、除法法则及易错点拨、最简二次根式概念（定义与化简方法）。通过知识荟萃搭建基础，衔接6个题型讲练（含乘法、除法、乘除混合运算等），辅以中考真题及分层训练，构建从理解到应用再到巩固的完整学习支架。 资料特色在于知识梳理逻辑清晰，题型设计覆盖全面，每个题型配备典例及变式训练，结合中考真题提升应用能力。通过分层训练（基础夯实与培优拔高）满足不同学生需求，在运算训练中培养学生的运算能力和推理意识，课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，强化用数学语言解决问题的应用意识。

专题19.2 二次根式的乘法与除法 （知识荟萃+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 【解析版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：二次根式的乘法法则 1 知识点梳理02：二次根式的乘法法则的逆用 2 知识点梳理03：二次根式的除法法则 2 知识点梳理04：最简二次根式的概念 2 题型讲练 3 题型1：二次根式的乘法 3 题型2：二次根式的除法 4 题型3：二次根式的乘除混合运算 5 题型4：最简二次根式的判断 6 题型5：化为最简二次根式 7 题型6：已知最简二次根式求参数 8 中考真题 9 分层训练 13 基础夯实 13 培优拔高 17 知识点梳理01：二次根式的乘法法则 1.二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 知识点梳理02：二次根式的乘法法则的逆用 1.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 2.二次根式的乘法法则的逆用的推广 知识点梳理03：二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广 【易错点拨】 （1） a≥0，b＞0时，才有意义； （2） 如果被开方数时带分数，应先化成假分数 知识点梳理04：最简二次根式的概念 1.最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 题型1：二次根式的乘法 【典例精讲】（2025·江苏淮安·中考真题）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法运算法则计算即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【变式训练1】（23-24八年级下·辽宁鞍山·月考）设，，则可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的乘法．根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， 故选：D． 【变式训练2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式的乘法．二次根式的乘法法则．根据二次根式的乘法法则计算即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 题型2：二次根式的除法 【典例精讲】（2025·上海浦东新·三模）已知函数，那么 【答案】3 【思路点拨】本题考查求函数值，二次根式的运算，把代入函数表达式，进行计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴； 故答案为：3 【变式训练1】（24-25八年级下·安徽淮南·月考）计算的结果是（   ） A． B．4 C．3 D． 【答案】A 【思路点拨】此题考查了二次根式的除法法则，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 根据二次根式的除法法则计算即可． 【规范解答】解：． 故选：A． 【变式训练2】（24-25八年级下·天津静海·月考）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查二次根式的除法，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据二次根式的除法法则进行计算即可． 【规范解答】解： 故答案为： 题型3：二次根式的乘除混合运算 【典例精讲】（24-25八年级下·上海·月考）计算： 【答案】 【思路点拨】先根据二次根式有意义的条件判断a的符号，然后根据二次根式的乘除混合运算，根号里面和外面分别计算，最后再化简二次根式即可求解．本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：由题意可得，，， ∵， ∴， ∴ ． 【变式训练1】（2024·广东茂名·一模）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查二次根式的乘除运算，根据二次根式的运算法则计算即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25八年级下·广东茂名·月考）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 同级运算从左向右进行计算即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 题型4：最简二次根式的判断 【典例精讲】（24-25八年级下·云南临沧·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了二次根式的化简，熟记“被开方数不能含有能开得尽方的因数或式子，不能含有分母”是解题关键． 根据最简二次根式的定义求解即可． 【规范解答】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【变式训练1】（24-25八年级下·云南红河·期末）下列各二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键；根据最简二次根式的定义，被开方数是整数，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项即可． 【规范解答】解：∵最简二次根式需满足被开方数为整数且无开得尽方的因数， 对于A：，被开方数6为整数，且无平方因数，∴为最简二次根式； 对于B：，被开方数含分母，不是整数，∴不是最简二次根式； 对于C：，被开方数含平方因数4，∴不是最简二次根式； 对于D：，被开方数9为平方数，可开尽，∴不是最简二次根式； 故选A． 【变式训练2】（23-24八年级下·全国·期中）下列说法中正确的是 ．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数n是3； ③是最简二次根式； ④计算的结果是1． 【答案】②④/④② 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义，熟练进行二次根式的运算是解题的关键． 利用二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义分析即可得出答案． 【规范解答】解：①∵， ∴，故①错误； ②是正整数的最小整数， ∴n是3，故②正确； ③，不是最简二次根式，故③错误； ④，故④正确． 故答案为：②④ 题型5：化为最简二次根式 【典例精讲】（24-25八年级下·山西朔州·期末）将化成最简二次根式的结果为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是最简二次根式，根据最简二次根式定义进行化简即可． 【规范解答】解：． 故答案为： 【变式训练1】（24-25八年级下·福建福州·期中）下列根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查最简二次根式的识别，解题的关键是掌握：被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此判断即可． 【规范解答】解：A．，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B．是最简二次根式，故此选项符合题意； C．，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D．，不是最简二次根式，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式训练2】（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·月考）下列二次根式中不能再化简的二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题考查了最简二次根式以及化为最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【规范解答】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、是不能再化简的二次根式，本选项符合题意； 故选：D． 题型6：已知最简二次根式求参数 【典例精讲】（24-25八年级下·广东汕尾·期末）已知与是同类二次根式，则的最小整数值为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查同类二次根式．根据“化简为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式为同类二次根式”，先将化简为，根据被开方数相同，即可求解． 【规范解答】解：∵与是同类二次根式， ∴， ∴的最小整数值为3， 故答案为：3． 【变式训练1】（24-25八年级下·河北承德·期末）若是最简二次根式，则整数的最小值为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵是最简二次根式，且为整数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 故答案为：3． 【变式训练2】（24-25八年级下·河北邢台·期中）请写出一个正整数的值： ，使是最简二次根式． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念解答即可． 【规范解答】解：∵是最简二次根式， ∴或或等， ∴或或等， 故答案为：（答案不唯一）． 1．（2024·陕西西安·中考真题）如图，在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出可得结论． 【规范解答】解：如图，设，交于点, 四边形是平行四边形，，相交于点O，，， ，，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 2．（2024·全国·中考真题）下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义逐一判断即可，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【规范解答】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、是最简二次根式，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：C． 3．（2024·山东烟台·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，幂的运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的乘法法则和幂的运算是解决问题的关键． 先根据积的乘方运算，然后利用平方差公式计算即可． 【规范解答】解：原式， ， ， ． 故答案为：． 4．（2024·福建厦门·中考真题）如图，在矩形中，，．点在边上，且，分别是边上的动点，且，是线段上的动点，连接．若取最小值，则线段的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，如图，作关于的对称点，连接，可得当共线，且时，，此时最小，证明四边形为矩形，可得，进一步可得答案． 【规范解答】解：如图，作关于的对称点，连接， ∴， 当共线，且时， ，此时最小， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由对称可得：， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； 故答案为：． 5．（2024·湖南湘潭·中考真题）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，所以，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为_______；当时，的最大值为________； (2)当时，求代数式的最小值，并求出此时的值． 【答案】(1)2； (2)当时，代数式的最小值为11，此时的值为4 【思路点拨】本题考查了完全平方公式、二次根式的乘法、利用平方根解方程，灵活运用完全平方公式和二次根式的运算是解题关键． （1）当时，则，由此即可得；当时，，由此即可得； （2）先将代数式变形为，再根据可得（当且仅当时取等号），由此即可得． 【规范解答】（1）解：当时，则， ∵， ∴， ∴（当且仅当时取等号）， ∴当时，的最小值为2． 当时，则， ∵， ∴（当且仅当时取等号）， ∴， ∴当时，的最大值为． 故答案为：2；． （2）解：， 当时，则， ∵， ∴（当且仅当时取等号）， ∴（当且仅当时取等号）， ∴（当且仅当时取等号）， 由得：，解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是方程的解， 所以当时，代数式的最小值为11，此时的值为4． 基础夯实 1．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查最简二次根式，最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数． 【规范解答】解：A． = = ，含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B．被开方数含分母，不是最简二次根式； C． = ，可完全开方，不是最简二次根式； D． 被开方数为质数，无分母和能开得尽方的因数，是最简二次根式． 故选：D． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，最简二次根式需同时满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项． 【规范解答】解： A、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，含能开方的因数，不是最简，不符合题意； C、被开方数为质数，不含分母和能开方的因数，是最简二次根式，符合题意； D、 ，含能开方的因数，不是最简，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级下·云南临沧·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．根据算术平方根定义，二次根式加法，二次根式乘法运算法则，逐项进行判断即可． 【规范解答】解：A．，故A选项不符合题意； B．与不是同类二次根式，不能合并，故B选项不符合题意； C．，故C选项符合题意； D．，故D选项不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）计算的结果为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式的乘法法则，根据二次根式的乘法法则， ，直接计算即可． 【规范解答】解：，其中已是最简二次根式， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·福建三明·期中）若一个无理数a与的积是一个有理数，则a的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了二次根式的乘法运算．需要找到一个无理数，使得与的乘积为有理数．由于可化简为，因此应包含的因子，以便与相乘后得到有理数． 【规范解答】解：取，则，是有理数，满足条件． 故答案为． 6．（24-25八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则 ， ． 【答案】 1 2 【思路点拨】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可． 【规范解答】解：∵和都是最简二次根式， ∴， 解得， 故答案为：1；2． 7．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，分别是，的中点，，，则 ． ‍ 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 设，，由勾股定理得，整理得，然后根据即可求解． 【规范解答】解：设，， ∵，分别是，的中点， ∴． 由勾股定理得 ，得， 则， ‍． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形． (1)则裁去的较大正方形的边长是 ，较小正方形的边长是 ； (2)求留下部分的面积． 【答案】(1)， (2)留下部分的面积为 【思路点拨】本题主要考查了算术平方根． 根据算术平方根的定义和正方形的面积求出正方形的边长； 根据两个正方形的边长可知留下矩形的长为，宽为，根据长方形的面积公式即可求出结果． 【规范解答】（1）解：较大正方形的面积是， 较大正方形的边长是； 较小正方形的面积是， 较小正方形的边长是； 故答案为：，； （2）解：由可知裁去的较大正方形的边长为，较小正方形的边长为， 留下矩形的长为，宽为， 留下部分的面积， 答：留下部分的面积为．   9．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）计算： 【答案】2 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的除法，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则，先计算二次根式的除法，再算零指数幂和负整数指数幂，最后算加减即可． 【规范解答】解： ． 10．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）计算：． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了实数的混合运算，涉及二次根式的乘法，负整数指数幂，绝对值，零指数幂，按运算顺序应用各运算法则进行计算即可得答案． 【规范解答】解：原式 ． 培优拔高 11．（24-25八年级下·四川泸州·期中）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的化简和运算，解题的关键是掌握二次根式的化简法则和运算法则． 通过计算每个等式的左右两边，判断是否相等． 【规范解答】解：对于选项A：，该选项不成立； 对于选项B：，， ∴左边=右边，该选项成立； 对于选项C：，， ，该选项不成立； 对于选项D：， ，该选项不成立； 故选：B． 12．（24-25八年级下·四川泸州·期中）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了最简二次根式的识别，解题的关键是掌握最简二次根式的定义． 最简二次根式需满足：被开方数为整数或整式，且不含能开得尽方的因数或因式，也不含分母． 【规范解答】解：A. ，该选项不是最简二次根式； B. ，该选项不是最简二次根式； C. ，该选项不是最简二次根式； D. 该选项被开方数为整式，且无开得尽方的因式，也无分母，该选项是最简二次根式； 故选：D． 13．（24-25八年级下·吉林·期末）在下列四个式子中，最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，逐一判断即可解答． 【规范解答】解：A、，故A不符合题意； B、是最简二次根式，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 14．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）平行四边形的面积是12，M，N分别是的中点，P是直线上一点且，若，，则 ． 【答案】或 【思路点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先根据平行四边形的面积计算公式求出；再分点P在点C左侧和点P在点C右侧两种情况，延长交于F，证明，得到，；求出的长，进而求出的长即可得到答案。 【规范解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图所示，当点P在点C左侧时，延长交于F， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴，； ∵点N为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在点C右侧时，延长交于F， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴，； ∵点N为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或。 15．（24-25八年级下·广东佛山·月考）如图（1）是一把折叠桌实物图，支架与交于点，．如图（2）是桌子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），桌面与地面水平线平行，，．那么展开后桌子的高度约为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先求得 ，再根据勾股定理求得完全打开时的高度，即可求解． 【规范解答】解：如图所示，过点作于点，    ∵ ，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， ∴， ∵，，即 ∴， ∴ ， ∴在中，， ∴展开后桌子的高度约为． 故答案为：. 16．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·月考）如图，一架的云梯斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的实际应用，在中，由勾股定理可求出的长，则可求出的长，在中，由勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【规范解答】解：由题意得，， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，， ∴， ∴梯子的顶端向上滑动的距离是， 故答案为：． 17．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，矩形中，点H，F分别在边上，连接，将沿折叠，点D恰好落在线段上的点E处，同时将沿折叠，点B恰好落在线段上的点G处．连接，若，则 ， ． 【答案】 10 【思路点拨】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，设，由折叠的性质可得，即可得，解得，故；由折叠的性质可得，即得，设，可得，解得，即，再由勾股定理得FG． 【规范解答】解：设， 由折叠的性质可得， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴FG； 故答案为：10，． 18．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）如图，在中，为锐角，作交的延长线于点． (1)若，则的度数为_____． (2)求证：． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意求出的度数，再根据，得出即可求出； （2）设，根据题意表示出的度数，再根据，表示出，即可求出； （3）过C作于E，可证明为等腰直角三角形，则可求出和，再利用勾股定理计算即可． 【规范解答】（1）解： ∵， ∴， 又∵     ，   ∴， ∴； （2）证明：设， ∵， ∴， 又∵，   ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过C作于E， ∵， ∴由（2）得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，     又∵ ，     ∴， 又∵ ，           ∴， ∴． 19．（24-25八年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】本题考查了二次根式性质，二次根式除法，二次根式乘法，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据二次根式性质，二次根式除法法则化简，然后合并即可； （）通过二次根式性质，平方差公式，二次根式乘法法则进行运算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 20．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）如图，某景区的划船观景处位于离水面处高为4米的岸上（处），在处有一艘游船，工作人员用绳子在处（于点）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍．（结果保留根号） (1)求处的游船到岸边的距离（即的长）； (2)为了让游船靠岸，工作人员以1米秒的速度收绳，7秒后游船移动到点处，求游船向岸边移动的距离． 【答案】(1)米 (2)米 【思路点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，二次根式的运算，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型． （1）在中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【规范解答】（1）解：在中，，米，米， （米）， 即处的游船到岸边的距离为米． （2）解：工作人员以1米秒的速度收绳，7秒后游船移动到点处， （米）， 在中，（米）， 米， 即游船向岸边移动的距离为米． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19.2 二次根式的乘法与除法 （知识荟萃+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 【原卷版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：二次根式的乘法法则 1 知识点梳理02：二次根式的乘法法则的逆用 2 知识点梳理03：二次根式的除法法则 2 知识点梳理04：最简二次根式的概念 2 题型讲练 3 题型1：二次根式的乘法 3 题型2：二次根式的除法 3 题型3：二次根式的乘除混合运算 3 题型4：最简二次根式的判断 4 题型5：化为最简二次根式 4 题型6：已知最简二次根式求参数 4 中考真题 4 分层训练 6 基础夯实 6 培优拔高 7 知识点梳理01：二次根式的乘法法则 1.二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 知识点梳理02：二次根式的乘法法则的逆用 1.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 2.二次根式的乘法法则的逆用的推广 知识点梳理03：二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广 【易错点拨】 （1） a≥0，b＞0时，才有意义； （2） 如果被开方数时带分数，应先化成假分数 知识点梳理04：最简二次根式的概念 1.最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 题型1：二次根式的乘法 【典例精讲】（2025·江苏淮安·中考真题）计算： ． 【变式训练1】（23-24八年级下·辽宁鞍山·月考）设，，则可以表示为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）计算： ． 题型2：二次根式的除法 【典例精讲】（2025·上海浦东新·三模）已知函数，那么 【变式训练1】（24-25八年级下·安徽淮南·月考）计算的结果是（   ） A． B．4 C．3 D． 【变式训练2】（24-25八年级下·天津静海·月考）计算： ． 题型3：二次根式的乘除混合运算 【典例精讲】（24-25八年级下·上海·月考）计算： 【变式训练1】（2024·广东茂名·一模）计算： ． 【变式训练2】（24-25八年级下·广东茂名·月考）计算： ． 题型4：最简二次根式的判断 【典例精讲】（24-25八年级下·云南临沧·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25八年级下·云南红河·期末）下列各二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（23-24八年级下·全国·期中）下列说法中正确的是 ．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数n是3； ③是最简二次根式； ④计算的结果是1． 题型5：化为最简二次根式 【典例精讲】（24-25八年级下·山西朔州·期末）将化成最简二次根式的结果为 ． 【变式训练1】（24-25八年级下·福建福州·期中）下列根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·月考）下列二次根式中不能再化简的二次根式是（   ） A． B． C． D． 题型6：已知最简二次根式求参数 【典例精讲】（24-25八年级下·广东汕尾·期末）已知与是同类二次根式，则的最小整数值为 ． 【变式训练1】（24-25八年级下·河北承德·期末）若是最简二次根式，则整数的最小值为 ． 【变式训练2】（24-25八年级下·河北邢台·期中）请写出一个正整数的值： ，使是最简二次根式． 1．（2024·陕西西安·中考真题）如图，在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·中考真题）下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东烟台·中考真题）计算的结果为 ． 4．（2024·福建厦门·中考真题）如图，在矩形中，，．点在边上，且，分别是边上的动点，且，是线段上的动点，连接．若取最小值，则线段的长为 ． 5．（2024·湖南湘潭·中考真题）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，所以，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为_______；当时，的最大值为________； (2)当时，求代数式的最小值，并求出此时的值． 基础夯实 1．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·云南临沧·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）计算的结果为 ． 5．（24-25八年级下·福建三明·期中）若一个无理数a与的积是一个有理数，则a的值可以是 ．（写出一个即可） 6．（24-25八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则 ， ． 7．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，分别是，的中点，，，则 ． ‍ 8．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形． (1)则裁去的较大正方形的边长是 ，较小正方形的边长是 ； (2)求留下部分的面积． 9．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）计算： 10．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）计算：． 培优拔高 11．（24-25八年级下·四川泸州·期中）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·四川泸州·期中）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级下·吉林·期末）在下列四个式子中，最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）平行四边形的面积是12，M，N分别是的中点，P是直线上一点且，若，，则 ． 15．（24-25八年级下·广东佛山·月考）如图（1）是一把折叠桌实物图，支架与交于点，．如图（2）是桌子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），桌面与地面水平线平行，，．那么展开后桌子的高度约为 ． 16．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·月考）如图，一架的云梯斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是 ． 17．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，矩形中，点H，F分别在边上，连接，将沿折叠，点D恰好落在线段上的点E处，同时将沿折叠，点B恰好落在线段上的点G处．连接，若，则 ， ． 18．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）如图，在中，为锐角，作交的延长线于点． (1)若，则的度数为_____． (2)求证：． (3)已知，求的值． 19．（24-25八年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． 20．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）如图，某景区的划船观景处位于离水面处高为4米的岸上（处），在处有一艘游船，工作人员用绳子在处（于点）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍．（结果保留根号） (1)求处的游船到岸边的距离（即的长）； (2)为了让游船靠岸，工作人员以1米秒的速度收绳，7秒后游船移动到点处，求游船向岸边移动的距离． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $