专题19.1 二次根式及其性质（知识荟萃+5个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题）-2025-2026学年人教版数学八年级下册同步培优讲义

本初中数学讲义聚焦二次根式及其性质核心知识点，系统梳理二次根式的定义（含识别标准、有意义条件）和基本性质（双重非负性、平方性质、算术平方根意义），通过5个题型（识别、求值、参数、有意义条件、化简）搭建从概念到应用的学习支架，形成完整知识脉络。 该资料以“知识荟萃+题型讲练+中考真题+分层训练”为设计特色，题型讲练含典例与变式助学生深化理解，中考真题链接实战，分层训练适配不同水平。通过具体问题培养数学眼光（抽象能力）和数学思维（推理能力），课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识。

专题19.1 二次根式及其性质 （知识荟萃+5个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题） 【解析版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：二次根式的定义 1 知识点梳理02：二次根式的基本性质 2 题型讲练 2 题型1：二次根式的识别 2 题型2：求二次根式的值 3 题型3：求二次根式中的参数 4 题型4：二次根式有意义的条件 5 题型5：利用二次根式的性质化简 6 中考真题 7 分层训练 9 基础夯实 9 培优拔高 13 知识点梳理01：二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号，a叫做被开方数. （1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”; ②被开方数是否为非负数. 若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式. （3）形如（a≥0）的式子也是二次根式,其中m叫做二次根式的系数； （4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式与都有意义,则有A=B. 知识点梳理02：二次根式的基本性质 （1）；a≥0（双重非负性）. （2）；a≥0（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）. （3）（算术平方根的意义）. 题型1：二次根式的识别 【典例精讲】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）下列各式中一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是二次根式的定义，根据二次根式的概念，形如的式子是二次根式，依据定义即可判断． 【规范解答】解：A、∵，∴不是二次根式，故此选项错误； B、根指数是3，不是二次根式，故此选项错误； C、∵，∴是二次根式，故此选项正确； D、当时，不是二次根式，故此选项错误； 故选：C． 【变式训练1】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）下列各式中，一定是二次根式的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次根式的定义，根据被开方数必须非负逐一分析各选项即可求解． 【规范解答】解：∵ 二次根式要求被开方数是非负数． 对于A：被开方数为，不符合； 对于B：根指数为3，是三次根式，不是二次根式； 对于C：∵，∴，恒成立，故一定是二次根式； 对于D：当时，，被开方数为负，不是二次根式． ∴ 只有C一定是二次根式． 故选：C． 【变式训练2】（24-25八年级下·广西河池·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查二次根式，根据二次根式的定义，形如 ，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【规范解答】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、不是二次根式，不符合题意； D、，，不是二次根式，不符合题意； 故选B． 题型2：求二次根式的值 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西安康·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【规范解答】当时， ， 故选：C． 【变式训练1】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）当时，二次根式的值是 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查二次根式的求值，将代入二次根式中求解即可． 【规范解答】解：当时，， 故答案为：2． 【变式训练2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的性质与化简． 将代入二次根式，即可计算求值． 【规范解答】解：， ． 故答案为：3． 题型3：求二次根式中的参数 【典例精讲】（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次根式的性质与化简．把每个选项中的m的值代入二次根式化简即可． 【规范解答】解：A、当时，，不是一个正整数，故此选项不符合题意； B、当时，，是一个正整数，故此选项符合题意； C、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； D、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练1】（24-25八年级下·浙江温州·月考）当 时，二次根式的值为0． 【答案】2 【思路点拨】本题主要考查的求二次根式中的参数，属于基础题型．理解二次根式的概念是解题的关键．当二次根式的被开方数为零时，则二次根式的值为零． 【规范解答】解：根据题意可得：，解得：． 故答案为：2． 【变式训练2】（24-25八年级下·辽宁盘锦·月考）当的值为 时，的值最小，这个最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质解答即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴当时，即，取最小值， 此时的值最小，最小值为， 故答案为：，． 题型4：二次根式有意义的条件 【典例精讲】（24-25八年级下·云南红河·期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数． 根据二次根式有意义的条件作答即可． 【规范解答】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 故选：C． 【变式训练1】（24-25八年级下·甘肃武威·月考）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据二次根式有意义的条件，确定被开方数的取值范围，再通过解不等式得到的取值范围．本题考查二次根式有意义的条件，解题中用到的方法是利用“二次根式的被开方数为非负数”这一性质列不等式求解．解题关键是牢记二次根式有意义的核心条件，准确列出并解出不等式．易错点是混淆被开方数的符号要求，错误地认为被开方数可以为负数，或在解不等式时符号处理出错． 【规范解答】∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 因此，的取值范围是． 故选C 【变式训练2】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）若，则的值为（） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次根式的非负性；根据根号下的表达式必须非负，从而确定，代入原方程求出，最后计算的值． 【规范解答】解：∵和在实数范围内有定义， ∴且， ∴且， ∴． 代入原方程： ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 题型5：利用二次根式的性质化简 【典例精讲】（23-24八年级下·河南洛阳·月考）若是正整数，则满足条件n的最小正整数值为 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了二次根式的性质，先化简，再结合是正整数，故是正整数，即可求出满足条件的n的最小正整数值． 【规范解答】解：依题意，， ∵是正整数， ∴是正整数， ∴满足条件的n的最小正整数值是， 故答案为：2． 【变式训练1】（24-25八年级下·青海海西·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是 ． 【答案】 【思路点拨】由数轴可得到，，，根据和绝对值的性质即可得到答案． 本题考查了二次根式的性质与化简：也考查了绝对值的性质． 【规范解答】解：观察数轴得：，，， 原式 ．     故答案为：． 【变式训练2】（24-25八年级下·青海海西·期中）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】把式子化为，再根据二次根式的性质得出，求出即可． 本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当时，，当时， 【规范解答】解：， ， ， ， 故选：C． 1．（2024·广西钦州·中考真题）已知三角形的三条边长为3，5，k，化简：（   ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】此题考查三角形的三边关系，化简绝对值及二次根式，熟练掌握三角形三边关系得到k的取值范围是解题的关键， 先根据三角形三边关系得到，再根据绝对值及二次根式的性质化简计算即可． 【规范解答】解：∵三角形的三条边长为3，5，k， ∴，即， ∴ 故选A． 2．（2024·山东德州·中考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二次根式的性质，由，则，所以，从而可得，然后求解即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴，解得， 故选：． 3．（2024·全国·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第七行左起第5个数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查二次根式中的规律探究，观察可知，第行共个数，最后一个数字为，且每一个数的被开方数均为的倍数，进行求解即可． 【规范解答】解：， ∴第行共个数，最后一个数字为， ∴第七行的最后一个数为：， ∴第七行左起第5个数是：； 故答案为：． 4．（2024·福建厦门·中考真题）已知，是两个连续的正奇数，，令，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了二次根式的性质和奇数的定义．根据奇数的定义得到，则，所以，，根据二次根式的性质化简，然后去绝对值后合并即可． 【规范解答】解： ，是两个连续的正奇数，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 5．（2024·云南保山·中考真题）计算： 【答案】 【思路点拨】此题考查了负整数指数幂，有理数的乘方，零指数幂，化简绝对值和二次根式，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算负整数指数幂，有理数的乘方，零指数幂，化简绝对值和二次根式，然后计算加减． 【规范解答】解： ． 基础夯实 1．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）能使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了二次根式有意义，根据被开方数必须非负，因此，即可作答． 【规范解答】解：∵要使成立， ∴， 解得， 故选：A． 2．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次根式的定义，一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可得出答案． 【规范解答】二次根式需满足根指数为且被开方数， 对于：，根指数为，不是二次根式； 对于：，被开方数，无意义，不是二次根式； 对于：，，，恒成立，是二次根式； 对于：，当时，，被开方数不能保证为非负数，不属于二次根式的式子； 故选． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）使二次根式有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数非负，据此进行列式计算，即可作答． 【规范解答】解：∵有意义， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2025·江苏连云港·二模）使有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查二次根式有意义的条件，关键在于根据题意推出，然后正确的解不等式即可． 根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可解答． 【规范解答】解：∵有意义， ∴， 即． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·北京海淀·开学考试）要使二次根式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了二次根式有意义的条件， 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零． 【规范解答】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·广西河池·期末）计算： ． 【答案】5 【思路点拨】本题考查二次根式的性质，解题的关键是掌握（为任意实数）． 先计算被开方数的值，再根据二次根式的性质求算术平方根． 【规范解答】解：． 故答案为：5． 7．（24-25八年级下·云南红河·期末）要使二次根式有意义，y的值可以是 ． 【答案】2025（答案不唯一） 【思路点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握“二次根式的被开方数是非负数”是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，确定被开方数的取值范围，进而得到y的取值，再选取一个符合条件的值． 【规范解答】解：∵ 二次根式有意义的条件是被开方数非负， ∴ ， ∴ ， ∴ 取（满足）， 故答案为：2025（答案不唯一） 8．（2024八年级下·福建南平·竞赛）计算： 【答案】 【思路点拨】本题考查了完全平方公式，绝对值的化简与计算，零指数幂的运算，负整数指数幂的运算，正确运算是解决本题的关键． 根据完全平方公式，绝对值的化简与计算，零指数幂的运算，负整数指数幂计算即可． 【规范解答】解： ． 9．（24-25八年级下·广东阳江·月考）若，则是多少？ 【答案】4 【思路点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解决本题的关键． 根据二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于零求解x的值，再计算出y的值，求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴，解得， 即， ∴， ∴． 10．（24-25八年级下·河南漯河·期末）（1）计算：     （2）解方程： 【答案】 （1） （2）或 【思路点拨】本题考查求二次根式的性质化简，化简绝对值，运用平方根解方程，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． （1）先计算各部分，再进行加减计算即可； （2）对原方程进行整理，利用平方根的定义解方程即可． 【规范解答】（1）解： （2）解： ∴， ∴， ∴或 ∴或 培优拔高 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）如果a满足，那么的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值的化简，掌握二次根式的被开方数是非负数，根据取值范围化简绝对值是解题的关键． 本题由方程中的可知，从而，代入原方程化简后平方求解，再计算的值． 【规范解答】解：∵有意义 ∴，即 ∵ ∴ 代入原方程： 化简得： 两边平方： ∴． ∴． 故选：C． 12．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）设正整数满足，则的值为（    ） A．9 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次根式与实数的应用，完全平方公式，平方根，代数式求值． 将等式两边平方，利用有理数与无理数的对应关系，结合x、y、p为正整数的条件，解出x、y、p的值． 【规范解答】解：∵，且为正整数， ∴， 即，， ∵为正整数， ∴， 即， ∴， ①当时，，不符合题意，舍去； ②当时，，不符合题意，舍去； ③当时，，即或（不符合题意，舍去）； ∴． 故选B． 13．（24-25八年级下·广西百色·期中）已知，当分别取时，所对应值的总和是（　　） A．2022 B．2024 C．2026 D．2028 【答案】D 【思路点拨】本题考查化简二次根式，先求出x取1，2时对应的值，当x取时，， ，代入化简得，由此可解． 【规范解答】解：当x取1时，， 当x取2时，， 当x取时，， ， 所以对应值的总和是：， 故选D． 14．（24-25八年级下·上海徐汇·月考）如果方程无实数解，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查解无理方程，二次根式有意义的条件，能得出关于k的不等式是解此题的关键． 移项后得出，根据方程无实数解得出，再求出k的范围即可． 【规范解答】解：， ， ∵方程无实数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 15．（2024·山西·模拟预测）已知实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据数a、b在数轴上的位置得到，，然后推出，，，再根据二次根式的性质和绝对值进行化简，再合并同类项． 【规范解答】解：根据数轴，得， ，， ． 故答案为：4． 16．（2024·湖南·模拟预测）要使二次根式有意义，则x 的取值范围为 ． 【答案】 【思路点拨】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，据此列不等式求解．本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 【规范解答】解：要使二次根式有意义，则， ， ． 故答案为：． 17．（2024八年级下·广东江门·竞赛）设，求不超过的最大整数 ． 【答案】 【思路点拨】先对每一项的根式进行化简，找出规律，再将所有项相加求和，最后确定不超过和的最大整数．本题主要考查了二次根式的化简以及裂项相消法求和，熟练掌握二次根式的化简方法和裂项相消法是解题的关键． 【规范解答】解：∵ ， ∴ ， ∴ 故答案为：． 18．（24-25八年级下·上海·自主招生）非负实数，，，满足，设求p的最值． 【答案】的最小值为，的最大值为 【思路点拨】本题考查了不等式的性质，二次根式的性质，根据题意得出，进而得出，同理，，，，即可求解． 【规范解答】解：∵非负实数，，，满足， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，，，， ∴． ∴的最小值为．（当，，，满足其中一个数是，另外三个数是时，可取最小值） ∵， ∴， ∴，当且仅当时取等号， ∴， ∴当且仅当，即时，的最大值为． 19．（2024·河南周口·模拟预测） 计算∶ 【答案】 【思路点拨】根据运算顺序先分别进行负指数幂的计算、二次根式的化简、零指数幂的运算、绝对值的化简，然后再进行加减法运算即可． 本题考查了负指数幂的计算、二次根式的化简、零指数幂的运算、绝对值的化简，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． 【规范解答】解： 20．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）已知关于，的二元一次方程组，有一个解为正数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查解二元一次方程组，一元一次不等式的应用，绝对值与二次根式的化简． （1）先求出方程组的解，再根据有一个解为正数列出不等式，求解即可； （2）由得到，，再根据绝对值与二次根式的性质进行化简即可． 【规范解答】（1）解：解方程组得， ∵方程组有一个解为正数， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19.1 二次根式及其性质 （知识荟萃+5个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题） 【原卷版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：二次根式的定义 1 知识点梳理02：二次根式的基本性质 2 题型讲练 2 题型1：二次根式的识别 2 题型2：求二次根式的值 2 题型3：求二次根式中的参数 2 题型4：二次根式有意义的条件 3 题型5：利用二次根式的性质化简 3 中考真题 3 分层训练 4 基础夯实 4 培优拔高 5 知识点梳理01：二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号，a叫做被开方数. （1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”; ②被开方数是否为非负数. 若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式. （3）形如（a≥0）的式子也是二次根式,其中m叫做二次根式的系数； （4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式与都有意义,则有A=B. 知识点梳理02：二次根式的基本性质 （1）；a≥0（双重非负性）. （2）；a≥0（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）. （3）（算术平方根的意义）. 题型1：二次根式的识别 【典例精讲】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）下列各式中一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）下列各式中，一定是二次根式的是(   ) A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25八年级下·广西河池·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型2：求二次根式的值 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西安康·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）当时，二次根式的值是 ． 【变式训练2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为 ． 题型3：求二次根式中的参数 【典例精讲】（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 【变式训练1】（24-25八年级下·浙江温州·月考）当 时，二次根式的值为0． 【变式训练2】（24-25八年级下·辽宁盘锦·月考）当的值为 时，的值最小，这个最小值为 ． 题型4：二次根式有意义的条件 【典例精讲】（24-25八年级下·云南红河·期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25八年级下·甘肃武威·月考）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）若，则的值为（） A．1 B．2 C．3 D．5 题型5：利用二次根式的性质化简 【典例精讲】（23-24八年级下·河南洛阳·月考）若是正整数，则满足条件n的最小正整数值为 ． 【变式训练1】（24-25八年级下·青海海西·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是 ． 【变式训练2】（24-25八年级下·青海海西·期中）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 1．（2024·广西钦州·中考真题）已知三角形的三条边长为3，5，k，化简：（   ） A．8 B． C． D． 2．（2024·山东德州·中考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第七行左起第5个数是 ． 4．（2024·福建厦门·中考真题）已知，是两个连续的正奇数，，令，则的值为 ． 5．（2024·云南保山·中考真题）计算： 基础夯实 1．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）能使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）使二次根式有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏连云港·二模）使有意义的x的取值范围是 ． 5．（24-25八年级下·北京海淀·开学考试）要使二次根式有意义，则的取值范围是 ． 6．（24-25八年级下·广西河池·期末）计算： ． 7．（24-25八年级下·云南红河·期末）要使二次根式有意义，y的值可以是 ． 8．（2024八年级下·福建南平·竞赛）计算： 9．（24-25八年级下·广东阳江·月考）若，则是多少？ 10．（24-25八年级下·河南漯河·期末）（1）计算：     （2）解方程： 培优拔高 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）如果a满足，那么的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 12．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）设正整数满足，则的值为（    ） A．9 B．12 C．16 D．18 13．（24-25八年级下·广西百色·期中）已知，当分别取时，所对应值的总和是（　　） A．2022 B．2024 C．2026 D．2028 14．（24-25八年级下·上海徐汇·月考）如果方程无实数解，那么k的取值范围是 ． 15．（2024·山西·模拟预测）已知实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 16．（2024·湖南·模拟预测）要使二次根式有意义，则x 的取值范围为 ． 17．（2024八年级下·广东江门·竞赛）设，求不超过的最大整数 ． 18．（24-25八年级下·上海·自主招生）非负实数，，，满足，设求p的最值． 19．（2024·河南周口·模拟预测） 计算∶ 20．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）已知关于，的二元一次方程组，有一个解为正数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $