专题13 相似动点问题分类训练（5种类型40道）（高效培优期末专项训练）九年级数学上学期湘教版

专题13 相似动点问题分类训练 （5种类型40道） 考点01 动点定值问题 考点02 动点最值问题 考点03 动点探究数量关系 考点04 动点存在性问题 考点05 动点求值 考点01 动点定值问题 1．综合与探究： (1)问题情景：如图1，，连接交于点O，，，，则________． (2)拓展延伸：如图2，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿射线运动，动点Q从点D出发，在线段上运动，连接，交于点M，交于点N．当时，求线段的长． (3)延伸探究：在（2）的条件下，P，Q在运动的过程中始终保持，此时是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)6 (2) (3)是定值，为定值 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质： （1）根据，可得，再由相似三角形的性质解答即可； （2）证明，，可得，，即可求解； （3）设．由（2）可知，，，从而得到，，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 故答案为：6 （2）解：如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． （3）解：是定值． 设． 由（2）可知，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴为定值． 2．“综合与实践”课上，同学们以“正方形的翻折”为主题开展数学活动．已知正方形，，点E是边上的一个动点． (1)连接，将沿折叠得到． ①如图1，若折叠后点恰好落在对角线上，则的长为______； ②如图2，请用无刻度的直尺和圆规作出点E，连接，使得；（不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (2)如图3，点F是边上的一个动点，过点E、F分别作于点为M、于点为N，若，判断的值是否为定值，若是定值求出这个值，若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)①；②见解析 (2)定值4，理由见解析 【分析】本题考查了正方形与折叠，尺规作图，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）①设，则，，在中，根据勾股定理求解即可； ②以A、B为圆心，为半径画弧，相交于点，过A作交于E即可； （2）证明，得出，证明，得出，则，进而求出，即可求解． 【详解】（1）解：①∵正方形，， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， 即， 故答案为：； ②如图，点E即为所求， 理由：由作图知， ∵ ∴， 又， ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∴B、关于对称， 又， ∴点E符合题意； （2）解：的值为定值4， 理由如下； ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的值为定值4． 3．如图1，正方形的边长为4，点是边上一动点（不与端点重合），连接． (1)当时，求的周长； (2)将沿折叠得到，延长交射线于点． ①如图2，当为中点时，求的长； ②当点在边上运动的过程中，小方同学认为的长度是一个定值，而小程同学认为的长度才是一个定值，你认为谁说的对呢？说出你的理由． 【答案】(1) (2)①1 ②当点F在的延长线上时，为定值，小程同学说得对；当点F在线段上时，为定值，小方同学说得对．理由见解析 【分析】（1）由勾股定理求出，即可求出的周长． （2）①连接，通过证明，得到为的角平分线，，进而得出，再通过，得出，从而求的长，即可得到的长度． ②通过辅助线构造和，得出，，再根据点F的位置进行分类讨论判断，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴， 在中，，，则， ∴的周长， 故的周长为． （2）解：①连接，如图， ∵正方形， ∴， 根据折叠的性质，，，． ∴， ∵点E为的中点， ∴ ∴， 在和中，，， ∴． ∴，． ∴， ， ∵ ∴ ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∴． ∴． ②当点F在的延长线上时，为定值，小程同学说得对； 当点F在线段上时，为定值，小方同学说得对． 理由如下： 延长交于点H，交延长线于点G，连接．如图， 由正方形与折叠的性质得， ，， ∴对于和，，， ∴， ∴， 在和中，，，， ∴， ，， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 如图a，当点F在的延长线上时，， ∵，，， ∴； 如图b，当点F在线段上时，， ∵，，， ∴． 故当点F在线段上时，小方同学说得对；当点F在的延长线上时，小程同学说得对． 【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，以及分类讨论的能力．通过构造全等三角形证明是解决本题的关键． 4．如图，在直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，、是线段上的两个动点，且，过点、分别作轴和轴的垂线、相交于点，垂足分别为、、设点的坐标为，令， (1)求证：； (2)当时，求的值； (3)在点、运动过程中，点也随之运动，探索：是否为定值？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2) (3)为定值，理由见解析 【分析】（1）根据点、坐标得出，根据等边对等角推出，根据，结合三角形外角的性质，推出，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，即可证明； （2）过点作于点，根据点、点得出，推出，推出，，根据等角对等边得出，结合勾股定理求出，利用证明，计算角度推出，根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”得出，则，计算求出的值即可； （3）过点作于点，过点作于点，由（1）得，根据相似三角形的性质得出，则，推出，，证明四边形和四边形都是矩形，得出，，根据勾股定理推出，，进一步得出，则，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵点坐标为，点坐标为，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵点坐标为，点坐标为，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ， ∵过点、分别作轴和轴的垂线、相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴此时点的坐标为，； （3）解：为定值，理由如下， 如图，过点作于点，过点作于点， 由（1）得， ∴， ∴， ∵点坐标为，点坐标为， ∴， ∴， ∵，过点作于点，过点作于点， ∴，，， ∴，四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为定值． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理等知识点，综合性较强，灵活运用知识点、作辅助线推理证明是解题的关键． 5．（1）如图，点为正方形对角线上一动点，过点作交于点，试判断线段、的数量关系，并说明理由； （2）如图，点为矩形对角线上一动点，过点作交于点，若，，试判断的值是否为定值？若是定值，请求出的值；若不是定值，请说明理由．    【答案】（1），理由见解析；（2）的值是定值， 【分析】（1）过点作，交于，证明，由全等三角形的性质得出结论； （2）过点作，交于点，证明，得出，由直角三角形的性质得出结论． 【详解】解：．理由： 过点作，交于，   四边形是正方形， ， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴ ∴， ， ， ； 的值定值． 过点作，交于点，    ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，矩形的判定及性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．如图1，在中，，，． (1)请计算的面积； (2)如图2，将沿着翻折，D点的对应点为，线段交于点M，请计算的长度； (3)如图3，在（2）的条件下，点P为线段上一动点，过点P作于点N，交的延长线于点G．在点P运动的过程中，的长度是否为定值？如果是，请计算出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)的长度为； (3)的长度是定值，这个定值为． 【分析】（1）作，在中，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得高的长，再根据平行四边形的面积公式即可求解； （2）先证明，再在中，由勾股定理列式计算即可求解； （3）利用勾股定理求得，证明，求得，再求得，过点作交的延长线于点，得到的长度是的长度，据此求解即可． 【详解】（1）解：作交延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， 在中，，， ∴的面积为； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得：，即的长度为； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，由折叠的性质得， ∵， ∴， 过点作交的延长线于点， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的长度是的长度， 过点作交的延长线于点， ∴四边形是矩形， ∴，由折叠的性质得， 又， ∴， ∴． 综上，的长度是定值，这个定值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，第3问求得是解题的关键． 7．如图1，在矩形ABCD中，，，点E在边BC上，且．动点P从点E出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动，作．交边或边于点Q，连接．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．    (1)当点P和点B重合时，直接写出点P的运动时间为________秒和线段的长为________． (2)当点Q和点D重合时，求线段的长； (3)如图2，当点P在边AD上运动时，求证：的值为定值． 【答案】(1)2， (2) (3) 【分析】（1）当点P和点B重合时，运动路程为的长，据此可求出运动时间；证明四边形是矩形，求出的长，进而在中，勾股定理即可求解； （2） （2）证明，得到，据此求出的长，进而求出的长，在中，利用勾股定理求解即可； （3）如图所示，过点作于点，同理可证明四边形是矩形，得到，再证明，即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，连接，        ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴运动时间为秒 在中，由勾股定理得， 故答案为：2，； （2）解：如图所示，      ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； （3）证明：如图所示，过点作于点， 同理可证明四边形是矩形， ∴， ∵，在矩形中，， ∴，      ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，遇到矩形问题，要熟知矩形的判定定理和性质；遇到直角三角形求线段长，要熟知勾股定理；遇到求两个三角形中线段的比值问题，要通过构造相似三角形进行求解． 8．如图1，在矩形中，是的角平分线，，点P为对角线上的一个动点，连接，线段与线段相交于点F．    (1)当时，求证：； (2)在（1）的基础上，，．求的长； (3)如图2，若，，过点P作，与直线相交于点Q，试判断点P在线段上运动的过程中，的值是否发生变化？若有变化，请求出其变化范围；若无变化，请求出这个定值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)不变，定值 【分析】（1）根据矩形性质和角平分线的定义证得，，进而根据相似三角形的判定可得结论； （2）作于点H，先证明，，再根据等腰三角形的性质得到，然后利用勾股定理求得，证明求得值即可； （3）过点P作于点K，交于点L，证明得到，证明求得，进而可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． （2）解：如图1，作于点H，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，    ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． （3）解：：的值不变， 如图2，过点P作于点K，交于点L， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴,    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值不变，这个定值为． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的定义、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． 考点02 动点最值问题 9．如图， 在中，， D为的中点， 连接， E为边上一动点， 连接， 将绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1， 当E在线段上时，若 ，求的长； (2)如图2， 当E在线段上时（点E不与C， D重合）， 连接交于点G， 求证:； (3)在（2）的条件下，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到， 连接与交于点 P， 当取得最小值时，直接写出的值． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据勾股定理求出，即可求出，再证明可得答案； （2）结合（1）证明，可得，进而得出，可得，可得，即可得出答案； （3）先确定当点共线时，取得最小值，画出图形，由（2）得根据翻折的性质得，再设，则，根据勾股定理表示，，即可得出，，接下来说明，结合相似三角形的性质得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵ 根据勾股定理，得， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴. ∵， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 即， ∴； （3）解：如图所示，根据翻折的性质可知， 则， 当点共线时，取得最小值． 如图所示，由（2）得 由翻折得， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则， 根据勾股定理，得， 则， ∴， 则，． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，旋转的性质，灵活选择判定定理是解题的关键． 10．如图，在Rt中，，，，是边上的动点，过点作，且使得与相交于点是的中点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)求长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)长的最小值为2 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质（斜边中线等于斜边一半）、勾股定理及垂线段最短的性质，解题的关键是通过角的关系证明相似三角形，利用相似性质转化线段和角度，结合最值模型求解。 （1）利用垂直关系得，通过角的和差及已知推出，根据两角对应相等证明相似； （2）由（1）的相似得边的比例，结合证明，利用相似比得出线段关系； （3）由相似推出，根据直角三角形斜边中线性质得，通过（1）的相似转化与的关系，利用垂线段最短求最小值，进而求出最小值。 【详解】（1）解：证明： ， 又 ， ， ； （2） ， 又 ， ； （3）， ， ， 又是的中点， ， ， 又 ， 当时，的长最小，最小值为， 此时的长最小，， 长的最小值为：． 11．【问题情境】： （1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、，求证： 【类比探究】： （2）如图2，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接、请判断线段与有怎样的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】： （3）如图3，在（2）的条件下，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）根据正方形的性质证明和全等，即可得到； （2）根据矩形的性质证明，得到，即可证得结论； （3）过点E作，垂足为点K，过点G作交BC的延长线于点L，先证明∽，证得是固定值，进而证得点G的运动轨迹是直线，然后将的最小值转化为求的最小值，即点B，G，三点同一直线时，，取得最小值，求即可． 【详解】解：（1）证明：四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）判断：，理由如下： 四边形是矩形，四边形是矩形， ，， ， ，，， ， ， ． ， ； （3）如图，过点 E作，垂足为点 K，过点 G作交 BC的延长线于点 L，则， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 点G的运动轨迹是直线， 作点 D关于直线的对称点，则， 当点 B， G，三点同一直线时，的值最小，即为， 由（2）得， ， ， 的最小值为的最小值，即， ，， ， ， ， 的最小值为 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是在判断三角形全等和相似时出现“手拉手”模型证明对应角相等及利用三边关系来转化线段的数量关系求出最小值． 12．已知矩形，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接． (1)如图1，若，请判断线段与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若． ①请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由； ②过点作于点，若，求面积的最小值，并求此时的长． 【答案】(1)，理由见解析； (2)①不成立，理由见解析；②面积的最小值为，此时 【分析】（1）根据题意，容易证出，则，求得线段与的数量关系； （2）①与（1）同理，此时，则，故（1）中结论不成立； ②容易得出为等腰直角三角形，则当最小时，的面积最小．结合垂线段最短的基本事实，当时，最小，根据正方形的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 在矩形中，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①（1）中的结论不成立，理由如下： ∵在矩形中，， ∴四边形是正方形， ∴，，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴（1）中的结论不成立； ②由①可知，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，最小， ∵是等腰直角三角形， ∴当时，点B为斜边的中点，此时， ∴面积的最小值为， 在等腰直角三角形中，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在等腰直角三角形中，， ∴， ∴， ∴面积的最小值为，此时． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理和正方形的性质，掌握好相似三角形的模型与判定定理是解题关键． 13．问题提出 （1）如图①，在中，D，E分别是和上的点，且，若，，则的值为___________： 问题思考 （2）如图②，平面内两定点A，B之间的距离为8，为一动点，且，连接，以为斜边在的上方作等腰直角，连接，则的最大值与最小值的差为___________． 问题解决 （3）如图③，现有一块矩形研发基地，米，米，计划修一条可移动的伸缩轨道，使得分别在上，且满足，轨道上安装一个监控G，需保证于，以为斜边作，并在点处安装一个追踪器，满足．为节省追踪器的布设成本，需让尽可能小，那么的最小值是多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）的最小值等于米 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理和等腰三角形，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； （1）根据，可得，进一步可得； （2）以为斜边作等腰直角三角形，证明，推出， 再求出的最大值和最小值，作差即可； （3）延长，相交于点M，根据题中条件证明，求出，再先后证明，， 可得，取的中点N，连接，，求出，的长，再求的最小值． 【详解】解：（1），， ， ， ， ，即． 故答案为：． （2）如图②，以为斜边作等腰直角三角形， 可得，，， 由勾股定理得，即， ． 同理可得，． 由，可得， ， 又， ， ， ， 的最大值等于， 的最小值等于， ， 的最大值与最小值的差为． 故答案为：． （3）如图③，延长，相交于点M，连接， 四边形是矩形， ，，， ， ，， 又，， ， ， 由，得， ， ，， 连接， 由，得， 由，，， 可得， ， ， 取的中点N，连接，， 则， 由勾股定理得， 当点H在上时，的值最小，最小值等于米． 14．综合与实践：某校为了激发学生的数学兴趣举行数学节活动，小明制作了一些几何图形的模具． 追本溯源 （1）如图，小明制作等边三角形模具，点是动点． ①当点在上运动时，将绕点旋转，使得旋转后点的对应点为点，得到，连接，用尺规作图法在图1中作出旋转后的图形； 特例探究 ②在①中，若，则的最小值是______； 类比迁移 ③若点在下方时，连接，，，当时，求的最小值； 拓展应用 （2）如图3、4中，小明制作矩形模具，，，为模具边上的一动点． ①如图3，以为边向右作等边，连接，判断是否存在最小值，若存在，求最小值；若不存在，说明理由？ ②如图4，以为边向右构造正方形，连接，直接写出的最小值是______． 【答案】解：（1）①作图见解析；②；③的最小值为 （2）①存在，的最小值为；② 【分析】（1）①以为原点，为半径画弧，以点为圆心，为半径画弧，两弧交点为，连接、，即可；②根据题意得：当时，最小，再由等边三角形的性质以及勾股定理解答即可；③将绕着点逆时针旋转60度得到，连接，则，证明，可得，，再由，可得到、、三点共线，可得到是等边三角形，当成为等边三角形的高线时才会最短，过作的垂线段，再由，可得当时，最短，即可求解； （2）①将绕着点顺时针旋转60度得到，可得，连接，则是等边三角形，证明，可得当最小时，最小，从而得到当时，即点与点重合时，最小，再证明四边形是矩形，可得，即可求解；②以为边向下作正方形，连接、交于点，连接，，过点作于，交于，证明，可得，从而得到当取得最小值时，最小，进而得到当时，即点与点重合时，最小，证明四边形是矩形，可得，即可求解． 【详解】解：（1）①以为原点，为半径画圆弧交于点为圆心，为半径．画的圆弧，交点为，连接、， 即为旋转后所得图形． ②根据题意得：当时，最小， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， 即的最小值是． ③将绕着点逆时针旋转60度得到，连接，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴ ∵， ∴、、三点共线， ∴， ∴是等边三角形 当成为等边三角形的高线时才会最短，过作的垂线段， ∵， ∴当时，最短， ∴的最小值为 ； （2）①如图，将绕着点顺时针旋转60度得到，可得，连接，则是等边三角形， ∴， ∴的最小值为12， 过点作于，交于， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵为定点， ∴当时，即点与点重合时，最小， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为． ②如图，以为边向下作正方形，连接、交于点，连接，，过点作于，交于， ∵四边形、是正方形， ∴，， ，是等腰直角三角形 ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 当取得最小值时，最小， ∵点为定点， ∴当时，即点与点重合时，最小， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的最小值为12， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，利用类比思想解答是解题的关键． 15．在矩形中，宽，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠． (1)如图1，若，将矩形沿折叠后，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，交于点M． ①判断与是否相等，并说明理由； ②连接交于点N，若，求的值； (2)如图2，若矩形的长，将矩形沿折叠后，点A、D的对应点分别是点，连接，直接写出面积的最小值为　　． 【答案】(1)①，理由见解析② (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①证明，即可解答； ②延长交于点G，证明，得到，设，则，根据勾股定理可得，，再证明，得到，证明，得到，即可求解； （2）当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小，根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：①，理由如下：             如图1，由折叠可得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；                                     ②如图2，延长交于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：x， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴； （2）解：如图3，由折叠可得： 当中边上的高最小时，的面积最小， 即当E，C，三点共线时，的面积最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， 即面积的最小值为， 故答案为：． 16．在中，． (1)如图1，点D是的中点，点E是上一点，连接，作交于点F．若，，求线段的长； (2)如图2，点D是延长线上一点，连接，以为直角边在上方作等腰直角，，点E是的中点，连接并延长到点H，连接，若，用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点D是线段上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转到，连接，点E是线段上一点，满足，连接，点P是线段上一点，连接，当最小时，在平面内将沿翻折至，连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)的最小值为 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，添加适当的辅助线、构造相似三角形或全等三角形是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半、；再证明可得，再运用勾股定理求得，再根据线段的和差求解即可； （2）连接，作交于G，先证明可得，再证明可得，易证可得，易得，然后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）作于F，由（1）知：是等腰直角三角形可得、，由旋转的性质证明可得，易证四边形是矩形可得，即，由勾股定理可得、；再根据折叠的性质可得，进而得到，当M、C、N共线时，最小，再求得即可解答． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵，D是的中点， ∴， ∴°， ∵∠， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴． （2）解：，理由如下： 如图2，连接，作交于G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，作于F， 由（1）知：是等腰直角三角形， ∴，， ∵绕点D逆时针旋转到， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点M在过点B且与成的直线l上运动， ∴当时，最小， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵沿翻折至， ∴， ∴，当M、C、N共线时，最小， ∴的最小值为． 考点03 动点探究数量关系 17．如图，，点B为射线上一定点，点C为射线上一动点，连接，D为线段上一点，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，线段与交于点F，当点C运动到如图所示位置时，有． (1)①请补全图形；②求的大小（用表示）； (2)若，用等式表示与的数量关系并证明． 【答案】(1)①补图见解析；② (2)，证明见解析 【详解】（1）解：①如图，补全图形如下： ②∵线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 如图，记的交点为， ∵， ∴， ∵， ∴. （2）解：如图，延长至，且，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 18．如图，在等边中，，分别为，边的中点．为所在平面内一动点（点不在的三边上），且满足，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，．    (1)点在直线的右侧时，求的度数； (2)点在直线的右侧时，用等式表示，，的数量关系并证明； (3)将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等边与，得出，再由定点定长得出隐圆，通过圆周角定理与圆心角性质即可求解； （2）通过在上取点M，构造，结合得出，在中解三角形，即可得出； （3）此问涉及比值最值，难度较大，通过将转换为，通过在平面内取点I，构造出，从而找出点I轨迹为直线，则只需求最小值即可得出答案． 【详解】（1）解：，证明如下， 法一：如图，连接，，   点E为中点，为等边三角形， ，， ， ， 线段绕点E顺时针旋转得到线段， 为等边三角形，， 在与中， ， ， ， ， ； 法二：如图，取中点H，连接，   为等边三角形，为中点， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，点D为中点， ， 点在以点H为圆心，长为半径的圆上， ． （2）解：，理由如下， 如图，在上取点M，连接，使得，设交于点K，   为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 点为中点， ，， ，为等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为线段中点， ， ， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， 在与中， ， ， ． （3）解：最小值为，证明如下， 法一：如图，在平面内取点I，连接、使得且，连接、、，延长交于点P，    由题意得， ， ， ， ， ， ， ， ， D、E、H为中点， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 点I在线段垂直平分线上， 为中点， ， 为线段的垂直平分线， ，， ， ，， ， 故的最小值为． 法二：如图，以长为半径作，延长交于点J，延长交于点K，连接、，   D、E、H为中点， ，， ， ， 由题意得， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故最小值为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理等知识点，掌握旋转相似的构造与隐圆的转换找出轨迹是解题的关键． 19．平面直角坐标系中，已知，，且、满足． (1)请直接写出、两点的坐标及的度数； (2)如图1，为内一点，连接，过作，连接，若，点，求点的坐标； (3)如图2，点为延长线上的动点，点在轴负半轴上运动，且始终满足，过作的垂线交的延长线于，连接，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，， (2) (3)，证明见解析 【分析】(1)根据绝对值的非负性和平方的非负性求出、的值，从而得点、的坐标，根据点、的坐标，可知，根据等腰直角三角形的性质求出的度数； (2)过点作轴于，过点作于点，交轴于，可证，根据全等三角形的性质可以求出，，从而得到点的坐标； (3)延长至，使，连接，可证，根据全等三角形的性质可以求出，即可证出，根据全等三角形对应边相等可得：，从而可证结论成立． 【详解】（1）解：， ，， 点的坐标是，点的坐标是， ， 又， ； （2）解：，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 如下图所示，过点作轴于，过点作于点，交轴于， ， ，， ， 在和中，， ． ，， ， ，， ，， ，， ； （3）解：， 理由如下： 延长至，使，连接， ， ， ， ， 在和中，， ． ，，， ， ， 在和中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了非负数的性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质．解决本题的关键是添加辅助线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质找边和角之间的关系． 20．在中，． (1)如图 1，若，，求的面积； (2)如图 2，D为上一点，，F为延长线上一点，连接并延长至点G，使得，连接，过点C作交延长线于E，若，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图 3，，，D为线段上一动点，将关于对称得到，连接，将绕E顺时针旋转得到，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1)2 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）过点作交延长线于点，则，，再利用含30度角的直角三角形性质可得，最后利用三角形面积公式即可求解； （2）延长至点使得，交于点，连接，根据三角形中位线定理得到，，则有，利用平行线的性质以及角的和差得到，得到，利用等腰三角形和三角形外角的性质得到，，进而推出，再利用角度的等量代换得到，得到，最后利用线段的和差即可得出结论； （3）取的中点，连接、、，利用等腰直角三角形的性质得到，，，根据旋转的性质得到，，得到，，通过证明得到，再利用两点之间线段最短性质求出的最小值，即可求出的最小值． 【详解】（1）解：如图，过点作交延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的面积为2； （2）解：，证明如下： 如图，延长至点使得，交于点，连接， ∵，， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，取的中点，连接、、， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∵点是的中点， ∴，平分，， ∴，，， ∵将绕E顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，也取得最小值； ∵将关于对称得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、轴对称的性质、旋转的性质、二次根式的应用，综合性强，有一定的难度，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造等腰三角形和相似三角形是解答的关键． 21．如图，在矩形中，E为边上一动点（不与端点重合），将沿翻折，点C的对应点F恰好落在上，对角线与交于点M． (1)求证：． (2)连接，延长交于点N，若． ①求证：． ②请探究，，三条线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）只需要证明，即可证明结论； （2）①导角可证明，再由，即可证明；②根据相似三角形的性质可得，则可证明． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴； 由折叠的性质可得， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：由（1）可得， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②，证明如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 22．如图，在中，，，是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)连接，求的大小（用含的代数式表示）； (2)过点作交的延长线于点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】（1）过点作于点H，由旋转的性质得：，易证是等腰三角形，进而推出，求出，根据，即可求解； （2）①根据题意补全图形即可；②连接AQ，取AQ中点M，连接MC，MD，证明，再根据证明得，得到，再根据平行线分线段成比例定理可得结论 【详解】（1）解：过点作于点H， 由旋转的性质得：， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①如图所示. ②， 证明：取中点P，连接， ∵，， ， 又，， ， ， ， ∴， ∴， ∴点中点， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识．添加适当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 23．综合探究 如图1所示，已知四边形是正方形，点是边上的中点，连接，在线段上有一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接与延长线交于点． (1)证明：； (2)当点与点重合时，如图2所示，求的值； (3)当点与点不重合时，求、与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)在线段上：；在延长线上： 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定与性质（、）、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用旋转的性质构造全等三角形，将分散的边和角转化为关联条件，结合正方形的特殊边角关系进行推理与计算． （1）由正方形性质得、，由旋转得、，推出；用证，即可得； （2）设正方形边长为（简化中点计算），用勾股定理求；由得，结合对顶角证，用相似比求；计算，进而求的值； （3）分两种情况：①当在CH延长线上时，过作垂线构造正方形DMHN，证得、，结合为中点得，推出； ②当在线段CH上时，过作垂线构造正方形，证得、，结合为中点得，推出． 【详解】（1）证明： ∵四边形是正方形， ∴， ∵ ， ∴ ∴ ∴ ∴ （2）边上的中点是E，设正方形边长为， ∴， ， ∵， ∴ ∵ ， （3）解： ①当点G在的延长线上时， 如图所示． 过点 D 作， 的延长线于点， 则 ∵， ∴， ， ∴ ∴ ∴， ， ∴四边形 是正方形． ∴ ∴ ∵点E是的中点， ∴ ②当点G在线段上时， 过点 D 作 ， 的延长线于点Q，如图所示． 则 ∵ ， ∴， ∴ ∴， ， ∵ ∴ ∴四边形 是正方形， ∴ ∴ ∵点E是的中点， ∴ ∴ 24．综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段时上，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 【答案】（1），；（2） ，理由见解析；（3）或 【分析】由旋转的性质可得，，可得是等边三角形，可求，由可证≌，可得； 由全等三角形的性质可得，即可求解； 分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况讨论，通过证明∽，可得，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， 将绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ， ， 又，， ， ， 故答案为：，； ，理由如下： ， ， ； 如图，当点在线段上时，过点作，交于， ，， ， ， ， ∽， ， 设， ，， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ； 如图，当点在线段的延长线上时，过点作，交于， 同理可求：， 综上所述：的值为或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 考点04 动点存在性问题 25．如图，在中，，点F在边上，点D在的延长线上，射线平分，点E在边上，且满足． (1)图中是否存在与相似的三角形，若存在请找出并证明，若不存在，请说明理由； (2)若，求的值． 【答案】(1)与相似，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，证明三角形相似是解题的关键． （1）证明，得出，从而得出，结合，即可证明； （2）根据勾股定理并结合已知可得出，则为等腰直角三角形，得出，从而得出，，由（1）知，从而得，证明，得出，从而得，由（1）知，则，得出，即可求解． 【详解】（1）解：与相似， 证明：， ， ， ， 又， ； （2）证明：，， ， 为等腰直角三角形， ， ，， 由（1）知， ， ， ， ，即， ，即， 由（1）知， ，即， ， ． 26．如图1，四边形是矩形，，，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度匀速运动，当点运动到点时，点停止运动，设运动时间为秒． (1)尺规作图：沿过点的直线将矩形折叠，使得点与点重合，在图1中作出该折痕； (2)在（1）的条件下，该折痕分别与，相交于点，点，连接，，求四边形的周长； (3)过点作的垂线，是否存在某一时间，使得该直线被矩形的边所截得的线段长为5，若存在，求的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)25 (3)或 【分析】本题考查了折叠的性质，垂直平分线的性质，矩形的性质，菱形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意，作出的垂直平分线，即可求解； （2）先证明，得出，得出四边形是平行四边形，根据垂直平分，即可证明四边形是菱形，进而在中，勾股定理求得，进而根据菱形的性质求得周长，即可求解； （3）分情况讨论，根据相似三角形的性质求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）如图所示． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，． ∵沿过点的直线将矩形折叠，使得点与点重合， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵垂直平分， ∴． ∴四边形是菱形． ∵四边形是矩形， ∴． 设， ∵，，， ∴． 在中，， ， 解得：，即． ∴四边形的周长为． （3）如图所示，当在上， ∵， ． 又四边形是矩形，，， ，．     ∴，． ∴，． 依题意得，， ，． ∴． 如图所示，当在上， 同理可得，则， ∴， 综上所述，或． 27．如图，已知矩形 ，以点 O 为坐标原点建立平面直角坐标系，其中 ，点 P 以每秒 1 个单位的速度从点 C 出发在射线上运动，连接 ，作 交 x 轴于点 E ，连接 交 于点 F ，设运动时间为 t 秒． (1)若平分 时，求 t 的值； (2)当时，求点 E 的坐标； (3)在运动的过程中，是否存在以 P、O、E 为顶点的三角形与 相似．若存在，请求 t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)点E的坐标为 (3)t的值为或 【分析】（1）证是等腰直角三角形，得，即可得出结论； （2）证，则，得，即可得出点E的坐标． （3）本题需先证出，求出，再分两种情况讨论，求出t的值即可． 【详解】（1）解：当平分时，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴点E的坐标为； （3）解：存在，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当点P在点O上方时，如图， 若时，， ∵，， ∴， 解得：，（运动时间不能为负数，不合题意舍去）， ∴； 当点P在点O下方时，如图， ①若，则， ∴， 解得：，（不合题意舍去）， ∴， ∴， ∴； ②若，则， ∴， 整理得：， ∴这种情况不成立； 综上所述，在运动的过程中，存在以P、O、E为顶点的三角形与相似，t的值为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及分类讨论等知识，熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键． 28．如图，已知矩形中，，．某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动． (1)经过多长时间，的面积等于矩形面积的？ (2)是否存在时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒或秒 (2)存在，秒或秒 【分析】（1）设经过秒，的面积等于矩形面积的，由题意得，，，先求得矩形的面积，再根据的面积等于矩形面积的，得到关于的一元二次方程求解； （2）由题意得，，，再分、两种情况，分别得到关于的方程求解即可． 【详解】（1）解：设经过秒，的面积等于矩形面积的， 由题意得，，， ∵矩形中，， ∴，，， ∴矩形的面积为：， ∴的面积， ∴， 解得：，， 答：经过秒或秒，的面积等于矩形面积的； （2）由题意得，，， 若， 则有， ∴， 解得：， 若， 则有， ∴， 解得：， 答：当秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了相似三角形——动点问题，利用相似三角形的性质求解，动态几何问题(一元二次方程的应用)，根据矩形的性质求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 29．如图，已知梯形中，，，P为一动点从点B出发，沿方向，以的速度由点B向点D运动；Q为另一动点，从C出发，沿方向，以的速度由点C向点D运动，当其中一动点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒． (1)如图1，当P运动t秒时，恰好有，求t的值； (2)如图2，过点Q作于点E． ①在运动过程中，是否存在t秒时，使得以P、A、D为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． ②在运动过程中，是否存在t秒时，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值（直接写出答案）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2秒 (2)①存在，秒或秒；②存在，秒或4秒或秒 【分析】（1）根据题意，得，，根据相似三角形的性质得，即，求解即可； （2）①过点D作于点，证明四边形是矩形，得，，在中，，设，得，，证明得，得，，分两种情况求解：当时；当时； ②过点作于点，证明四边形是矩形，得，，，在中，，在中，，，分三种情况求解：当时；当时；当． 【详解】（1）解：点P沿方向以的速度向由点向点D运动；点沿方向以的速度向由点向点运动， 点P由点到点D的运动时间为：（秒）， 点由点C到点D的运动时间为：（秒）， 运动时间为t秒， ，， ， ，即， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， 的值为秒； （2）①过点D作于点， ， ，，，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， 运动时间为t秒， ∴， 设， ，， ， ， ， ，即， ，， 存在P、A、D为顶点的三角形与相似， 当时， ，即， 解得：， （秒）； 当时， ∴，即， 解得：， （秒）； 综上所述，t的值为秒或秒时，以P、A、D为顶点的三角形与相似； ②过点作于点， ， 四边形是矩形， ，， ∴， 在中，， 在中，，， 存在以P、D、Q为顶点的三角形恰好是等腰三角形； 当时，得， ， 解得：，， ， （不合题意，舍去），； 当时，得：， ， 解得：， ； 当时，得：， ， 解得：，， （不合题意舍去），； 综上所述，当t的值为秒或4秒或秒时，以P、D、Q为顶点的三角形恰好是等腰三角形． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的定义等知识点．利用方程的思想和分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 30．如图1，在等腰三角形中，，，有两动点P、Q分别在边上运动，点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点和点同时出发，点沿线段按方向向终点运动，点沿线段按方向向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题： (1)秒后，请用含有的代数式表示以下线段的长：______；____． (2)如图1，当为何值时，； (3)当为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； (4)如图2，点P、Q在运动过程中，是否存在这样的，使得的面积等于4？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或； (4)存在，． 【分析】（1）根据即可得到，直接利用速度乘以时间表示出； （2）根据平行线的性质判定，得到，表示出，，代入比例式，解方程即可； （3）分和分别讨论即可； （4）过作，垂足为，作边上的高，利用三线合一和勾股定理求出AD，证明，得到，表示出，再根据三角形的面积得出关于的方程，解之即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：；； （2）解：当时，， ， ， ， ， 解得：， 当时，； （3）解：， 当时， 同（1）可得：； 当时， ，即， 解得：； 综上：当或时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； （4）解：存在，理由是： 如图，过P作，垂足为D，作边上的高， 即 解得：或， 当时，，故不合题意， ，即存在，使得的面积等于4． 【点睛】本题考查了三角形综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形三线合一，解一元二次方程，分类讨论． 31．已知在平面直角坐标系中，正方形的边长是1，点P为正方形内一动点，若点M在上，且满足，延长交于N，连接． (1)如图1，若点M在线段上，求证：； (2)如图2，在点P、M、N运动的过程中，满足的点M在的延长线上时，求证：； (3)是否存在满足条件的点P，使得PC=？若存在，请求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)存在， 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，恰当作出辅助线，灵活运用相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由，推导出，由，推出，即可证明； （2）先推导出，进而判定出，推出，由此即可证明； （3）先推导出点P在上，再判定出，求出，，即可得求解． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）这样的点P存在．理由：如图，取的中点H，连接， 在中，，， 根据勾股定理得，， 由(2)知，， ∴， ∴， ∴点P在上， 过点P作于G， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 32．如图，在菱形中，对角线，，在中，，边和重合，边和重合．如图②，从图①所示位置出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，．设运动时间为．解答下列问题： (1)当 t为何值时，？ (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在时刻t，使得P、E、C三点共线？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)连接，是否存在时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)存在， (4)存在， 【详解】（1）解：四边形是菱形，，， ，，， 由平移知， 由题意，，， ∵， ∴， ， ∴当 t为时，； （2）解：存在， 由平移得，，， ， ， ， 当或时，与相似， 当时， ， ， ， ， 解得； 当时， ， ， ， ， 解得， 故存在或时，与相似； （3）解：当P、E、C三点共线时， ， ， ， ， ， ， 解得，（舍）， ∴存在时刻，使得P、E、C三点共线； （4）解：作于M，设交于点H， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， 设交于点N， ∵， ， 又， ， 又， ， ， ， 解得． ∴存在时刻，使得． 考点05 动点求值 33．如图，在矩形中，，，是上的一个动点． (1)如图1，连接，是对角线的中点，连接．当时，求的长； (2)如图2，连接，，过点作交于点，连接，与交于点．当平分时，求的长； (3)如图3，连接，点在上，将矩形沿直线折叠，折叠后点落在上的点处，过点作于点，与交于点，且．求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：如图1，连接， 在矩形中，， 在中，根据勾股定理得， ∵是中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∴， 即． （2）解：如图2，在矩形中， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图 2，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，． （3）解：如图3： 在矩形中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠知，， ∴， 设， ∴， 根据勾股定理得，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，勾股定理，平行线的性质和判定，三角形全等的性质和判定，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 34．在中，，，垂足为，且，点是边上一动点（点不与点、点重合），连接，过点作，交线段于点，交线段于点． (1)如图①，求证：． (2)如图②，若，，，分别求线段、线段的长． (3)若，，连接，且与相似，请直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长是5、线段的长是4 (3)或4 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余，得出两组对应角相等，则； （2）由，，可得，设，则，可得，求出m的值即可解答； （3）与相似，只需或，分两种情况讨论：①当时，②当时，根据相似三角形和全等三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】（1）证明∶， ． ， ． ， ． ，， ． ． （2）解：由（1）知， ． ， ． 设，则． 在中，． 即． 解得． ． 综上所述：线段的长是5、线段的长是4． （3）解：， ∴当与相似时，或． 当时， 则． ， ． ，， ． ，， ． ． ，即． 解得，． ， ，即． ． 由（1）知，． ，即． 解得（负数舍去） 当时，如图 ，， ， ． ， ． ， ． 在和中 ． ． 是的垂直平分线． ． 综上所述，的长为或4． 【点睛】本题考查相似三角形的综合应用、勾股定理、全等三角形的判定及性质以及直角三角形的性质，掌握相似三角形判定定理和分类讨论思想的应用是解题的关键． 35．如图，矩形，，，是边上一点，且，点为边上一动点，连接，过作的垂线交矩形的边于点，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)如图2，当点在上时，是否变化？若不变，请求出的值，若变化，请说明理由； (3)在整个运动过程中，的中点的运动路径长为_________． 【答案】(1)1 (2)不变； (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，平面直角坐标系中线段中点的坐标，用勾股定理求平面直角坐标系中两点的距离； （1）证明，可得，即可求解； （2）过点作于点，证明可得，再利用勾股定理可得结论； （3）分类讨论：①当点Q在边上时，过作，交于点，交于N，点在直线上运动，当，即点P运动到图1中位置时，运动到最左端；当运动到和在处，即点P运动到图1中，位置时，运动到最右端，即最右端点为，最左端点为，并且点P从运动到的过程中，点会从运动到再回到，运动的路程长为；②当点Q在边上时，以点B为坐标原点建立平面直角坐标系，此时点在直线上运动，其运动路径为一个线段；分别求出两个运动路径长度，然后相加即可. 【详解】（1）解：∵在矩形中，，，是边上一点，且， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ． （2）解：不变化，理由如下： 过点作于点，如图所示： ， ∵四边形为矩形， ∴四边形、四边形均为矩形， ， ， ， ， ， ∴， ， ∴， ∴在中，， ． （3）解：①当点Q在边上时，过作，交于点，交于N，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴ ∵点是的中点 ∴平行线分线段成比例定理可得：、分别为、中点 ∴点在直线上运动，当，即点P运动到图1中位置时，运动到最左端；当运动到和在处，即点P运动到图1中，位置时，运动到最右端，即最右端点为，最左端点为，并且点P从运动到的过程中，点会从运动到再回到. ∴运动的路程长为， ∵四边形是矩形， ， ∵， 当在处，即点P运动到图1中位置时， 由（1）知，， ∴，是的中点， ∵为的中位线， ， 当，即点P运动到图1中位置时，此时四边形、四边形为矩形， ∴ 由（1）知， ， 即， ∴或（舍去）， ， ， ， ②当点Q在边上时，以点B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图2所示： 设，，则， 由（2）得 ∵在中， 在中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 令，则 ∴ ∴ ∴此时点在直线上运动，其运动路径为一个线段 如图2所示，当P点在B点的时候M点在最下端， 即时，此时 当Q点在D点的时候M点在最上端， 由（1）得：即时，此时 ∴此时M点运动路径长为 综上：点的运动路径长为． 36．如图，在中,，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时，连结．作点A关于直线的对称点，连结、．设点P的运动时间为t秒． (1)求线段的长； (2)用含t的代数式表示线段的长； (3)当点在边上时，求出t的取值范围； (4)当与相等时，求t的值． 【答案】(1)2 (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据勾股定理求出的长，再根据点D为的中点，得到结果； （2）由，得出结论； （3）分情况计算出两个临界值，当点在上时,，根据对应边成比例求出，当点在上时,，点A’与点C重合,，根据对应边成比例求出，最后得出结论； （4）根据要求画出图形，利用折叠全等与两角对应相等，两三角形相似，证明出三角形相似，再根据对应边成比例计算出各边的长，最后得到结果． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵点D为边的中点， ∴； （2）当点P在上时，∵， ∴， 当点P在上时,， ∴。 （3）如图，当点在上时,， ∴ ∴， ∴， ∴， 如图，当点在上时,，点与点C重合， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴当点在内部时，， （4）①如图， ∵点A关于直线的对称点， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴, ∴，, ∵’E， ∴， ∴， ∵，, ∴， ∴， ∴， ②如图， ∵点A关于直线的对称点’， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题主要考查了直角三角形中的动点问题、相似三角形的判断与性质、勾股定理，解题关键在于根据题意画出图形，再根据两角对应相等，两三角形相似证明三角形相似，再结合勾股定理求出结论． 37．如图，在中，，，，是边上的中线，点是边上的一个动点，连接，将沿直线翻折得到． (1)如图，线段与线段相交于点，当点是边的中点时，求的长； (2)如图2，当点与点重合时，线段与线段相交于点，求的长； (3)如图3，线段与线段相交于点，是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的长为； (2)； (3)的长为或． 【分析】（1）由勾股定理求得，根据直角三角形的性质可得，再由三角形中位线定理求得，由翻折的性质得，，求得，再由勾股定理求解即可； （2）根据相似三角形的判定和性质即可求解； （3）分两种情况：①当时，②当时，根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：中，，，， ， 是边上的中线， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ，， 将沿翻折得到， ，， ， 是的中位线， ， ， 设，则， 在中，， ， 即当点是边的中点时，的长为； （2）解：由（1）知， ， 将沿翻折得到， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则，， ， （经检验是原方程的根） ； （3）解：①如图，当时， ，， ， ， ， 作于， ，， ， ， ， ，， ， ； ②如图，当时， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，存在点，使得为直角三角形，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 38．如图，在菱形中，点为对角线上的动点，连接，将绕点按逆时针方向旋转至，使与交于点． (1)求证：； (2)已知． ①当时，求的面积； ②当将分成的两部分的面积之比为时，试求出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②的值为或 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练结合菱形性质推导角和边的关系，利用相似三角形的判定定理（两角对应相等）是解题关键． （1）利用菱形中得角相等，结合旋转性质及，推导角的等量关系，再通过“两角对应相等”证明三角形相似； （2）①借助菱形对角线垂直平分的性质，结合相似三角形的对应边成比例求出，再用三角形面积公式计算； ②通过证明三角形相似得到边的比例关系，结合面积比转化为线段比，分两种面积比例情况计算． 【详解】（1）证明：在菱形中，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 又， ； （2）解：①如图，连接与交于点， 在菱形中，与互相垂直平分， ， ， ， ， ， 又， ， ， 解得， ； ②， ， ， ， ， ， ，即， ， 当，即时， ； 当，即时， ， 综上所述，的值为或． 39．在中，，，，点为边的中点，连接，动点从出发沿折线以每秒个单位长度的速度运动，连结，设的运动时间为秒． (1)求线段______（用含的代数式表示）； (2)当时，求的值； (3)当时，则______． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角函数等知识，运用分类思想是解决问题的关键． （1）分点在上或点在上两种情形，分别表示的长； （2）如图，当点在上，过点作于，求出的长，再利用等积法求出，当点在上，同法可得； （3）当点在上时，利用∽，得可得的长，当点在上时，可知，则，从而解决问题． 【详解】（1）解：∵动点从点出发沿折线以每秒 1 个单位长度的速度运动，当点在上时， ， 当点在上时， ， 综上所述，； （2）解：， 当点在上时，， 如图1中，过点作于． ， ， 为中点， ， ， ， ， 当点在上时，同法可得，可得， 综上所述，满足条件的的值为 2 或； （3）解：如图 2 中，当点在上时， 又 ∵为的中点， 又 ∵为公共角， 当点在上时， 综上所述：的值为或． 40．如图，在中，，，．动点从点出发沿折线-以每秒5个单位长度的速度向终点运动，当点不与的顶点重合时，过点作于点，以为边作矩形，使点、点始终在直线的同侧，且．设点的运动时间为秒． (1)_____ (2)当点在边上时，用含的代数式表示线段的长_____ (3)连接，当为钝角时，求的取值范围； (4)作点关于直线的对称点，连接，当直线与的边平行时，直接写出的值． 【答案】(1)4 (2) (3)或 (4)或或 【分析】（1）运用勾股定理即可求得； （2）证得，则 ，由题意得，可表示，而，则可得； （3）当点在边上，时，可证得，，利用相似三角形性质求得的值；当点在边上，时，同理求得的值，即可得出的取值范围； （4）分四种情况：当点在边上，时，当点在边上，时，当点在边上，时，当点在边上，时，分别利用相似三角形性质求得的值即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ． 故答案为：4； （2）解：由题意得， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， 四边形是矩形， ． 故答案为：； （3）解：当点在边上，时，如图3，连接， 则、、在同一条直线上， ，， ， ，即， ，， ， ， ， ， ， ，即， 解得：， ∵点不与的顶点重合， ∴若为钝角，则； 当点在边上，时，如图4， 同理可得：， 而P到达A时，用时秒， ∵点不与的顶点重合， ∴若为钝角，则； 综上所述，当为钝角时，的取值范围为或； （4）解：当点在边上，时，如图5，延长交于点，设直线交于点，交于点， 则，， ， ，即， ，， 由题意得：，， 由（2）知：，，， ， ， ， ，即， ， ， ， ，即， ， 点与点关于直线对称， ， ，， ， ，即， ， ， ， 解得：； 当点在边上，时，如图6，过点作于点，过点作于点， 则，，，， 同理可得， ，即， ， 四边形是矩形， ， 即， 解得：； 当点在边上，时，如图7，过点作于点，过点作于点， 则，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 点与点关于直线对称， ， 同理可得：， ，，， 四边形是矩形， ， ， 解得：； 当点在边上，时，如图8， 则，，，，， ，， 同理可得：， 又， 同理可得， ，，， 四边形是矩形， ， 即， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，当直线与的边平行时，的值为或或． 【点睛】本题考查矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题关键是运用分类讨论思想及方程思想解决问题． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题13 相似动点问题分类训练 (5种类型40道) 考点归纳 考点01 动点定值问题 考点02 动点最值问题 考点03 动点探究数量关系 考点04 动点存在性问题 考点05动点求值 考点专练 考点01动点定值问题 1.综合与探究： B P E 图1 图2 (1)问题情景：如图1，AB∥CD,连接AD,BC交于点O,A0=3,B0=4,C0=8,则D0= (2)拓展延伸：如图2，在矩形ABCD中，AD=6,AB=8,动点P从点B出发，沿射线AB运动，动点Q 从点D出发，在线段DC上运动，连接PQ,交AC于点M,交BC于点N.当DQ=BP=2时，求线段MN 的长。 (3)延伸探究：在(2)的条件下，P,Q在运动的过程中始终保持BP=DQ,此时 MN N是否为定值？若为定 值，求出该定值；若不为定值，请说明理由 2.“综合与实践”课上，同学们以“正方形的翻折"为主题开展数学活动.己知正方形ABCD,AB=2,点E是 BC边上的一个动点. 1/17 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A D D M B E B 图1 图2 图3 (1)连接AE,将△ABE沿AE折叠得到△AB'E. ①如图1，若折叠后点B恰好落在对角线AC上，则BE的长为； ②如图2，请用无刻度的直尺和圆规作出点E,连接BB',使得BB'=BC;(不写作法，保留作图痕迹，写 出必要的文字说明) (2)如图3，点F是CD边上的一个动点，过点E、F分别作EM⊥AC于点为M、FN⊥AC于点为N,若 ∠EAF=45°，判断AM·AC-AM·NC的值是否为定值，若是定值求出这个值，若不是定值，请说明理由. 3.如图1，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一动点（不与端点重合），连接AE. D D E E 图1 图2 备用图 (1)当BE=1时，求△ABE的周长； (2)将△ABE沿AE折叠得到△AME,延长AM交射线DC于点F, ①如图2，当E为BC中点时，求CF的长： ②当点E在BC边上运动的过程中，小方同学认为AF+CE+CF的长度是一个定值，而小程同学认为 AF+CE-CF的长度才是一个定值，你认为谁说的对呢？说出你的理由. 4.如图，在直角坐标系中，点A坐标为1,0)，点B坐标为(0,1，E、F是线段AB上的两个动点，且 ∠EOF=45°，过点E、F分别作x轴和y轴的垂线CE、DF相交于点P,垂足分别为C、D、设P点的坐 标为x,y),令y=k, D 0 C (1)求证：△AOF∽△BE0; 2/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)当0C=0D时，求k的值： (3)在点E、F运动过程中，点P也随之运动，探索：k是否为定值？请证明你的结论 5.(1)如图1，点E为正方形ABCD对角线AC上一动点，过点E作EF⊥ED交BC于点F,试判断线段 ED、EF的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点E为矩形ABCD对角线AC上一动点，过点E作EF⊥ED交BC于点F,若AB=2, ∠4CB:30,试判新的值是否为定值2若无定值，访求出2的C:若不是定值，请说明理由， EF A D 图1 图2 6.如图1，在▣ABCD中，∠A=60°，AD=4,AB=8, D D B D 图1 图2 图3 (1)请计算。ABCD的面积 (2)如图2，将△ADC沿着AC翻折，D点的对应点为D,线段CD'交AB于点M,请计算AM的长度； (3)如图3，在(2)的条件下，点P为线段CM上一动点，过点P作PN⊥AC于点N,PG⊥AD'交AD的延 长线于点G,在点P运动的过程中，√7PN+PG的长度是否为定值？如果是，请计算出这个定值；如果不 是，请说明理由， 7.如图1，在矩形ABCD中，AB=3,AD=6,点E在边BC上，且BE=2,动点P从点E出发，沿折线 EB-BA-AD以每秒1个单位长度的速度运动，作∠PEQ=90°.交边AD或边DC于点Q,连接，当点Q 与点C重合时，点P停止运动，设点P的运动时间为t秒，(t>0) BP E 图1 图2 3/17 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)当点P和点B重合时，直接写出点P的运动时间为 秒和线段PO的长为 (2)当点Q和点D重合时，求线段PQ的长： PE (3)如图2，当点P在边AD上运动时，求证： 的值为定值 EO 8.如图1，在矩形ABCD中，BE是∠ABD的角平分线，AE=3,点P为对角线BD上的一个动点，连接 AP,线段AP与线段BE相交于点F. B 图1 图2 (1)当AP⊥BD时，求证：△ABE∽△PBF: 2①的非础上，BF-65,B即袋求P的长： 5 (3)如图2，若AD=8,AB=6,过点P作PQ⊥AP,PQ与直线BC相交于点Q,试判断点P在线段BD上 运动的过程中，号的值是否发生变化？若有变化，请求出其变化范围：若无变化，请求出这个定值， 考点02动点最值问题 9.如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D为BC的中点，连接AD,E为边BC上一动点，连 接AE,将AE绕点A顺时针旋转90°得到线段AF,连接BF· B E D D E DE 图1 图2 备用图 (1)如图1，当E在线段BD上时，若AB=4√2，DE=2,求BF的长； (2)如图2，当E在线段CD上时（点E不与C,D重合），连接CF交AD于点G,求证：BE=2AG; (3)在(2)的条件下，将aCAE沿AE所在直线翻折至ABC所在平面内，得到△C'AE，连接CD,CF,CF 专BC交于点P,当CD取得最小值时，直接写出一的值 1O.如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，AC=2,BC=4,D是AB边上的动点，过点C作CE⊥CD,且 使得∠BDE=∠ACD,DE与BC相交于点F,G是DE的中点，连接BG,BE. 4/17 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G A D B (1)求证：△ABC∽△DEC: (2)求证：BE=2AD: (3)求BG长的最小值， 11.【问题情境】： (1)如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形 CEFG,连接DG、BE,求证：DG=BE. 【类比探究： (2)如图2，四边形ABCD是矩形，AB=4,BC=6,点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右 侧作矩形CEFG,且CG:CE=2:3,连接DG、BE.请判断线段DG与BE有怎样的数量关系，并说明理由； 【拓展提升： (3》如图3，在2》的条件下，连接8G,直接写出8G+BE的最小值， D E G D 图1 图2 图3 12.已知矩形ABCD,AB=n·AD,E为对角线AC上一动点，过点C作垂直于AC的射线CG,点F在射 线CG上，且∠EBF=90°，连接EF. B B G G D 图1 图2 (1)如图1，若n=√5，请判断线段AE与CF的数量关系，并说明理由 (2)如图2，若n=1. ①请问(1)中的结论还成立吗？请说明理由； ②过点E作EH⊥AB于点H,若AC=3,求△BEF面积的最小值，并求此时BH的长. 13.问题提出 5/17 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)如图①，在ABC中，D,E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC,若AD=3,BD=2,则DE:BC 的值为 问题思考 (2)如图②，平面内两定点A,B之间的距离为8，P为一动点，且PB=2,连接AP,以AP为斜边在AP 的上方作等腰直角△APC,连接BC,则BC的最大值与最小值的差为 问题解决 (3)如图③，现有一块矩形研发基地ABCD,AB=400米，BC=800米，计划修一条可移动的伸缩轨道 ,使得E、F分别在AD、BC上，且满足能=，轨道EF上安装一个监控G,需保证DG1EF于G: 以DG为斜边作R4DHG,并在点H处安装一个追券器，满足G的-为节省道踪器的布设成本，需 BH尽可能小，那么BH的最小值是多少？ 图① 图② 图③ 14.综合与实践：某校为了激发学生的数学兴趣举行数学节活动，小明制作了一些几何图形的模具. 追本溯源 (1)如图，小明制作等边三角形ABC模具，点D是动点， ①当点D在BC上运动时，将△ABD绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为点C,得到△ACD',连接 DD',用尺规作图法在图1中作出旋转后的图形； A B B B PD 图1 图2 图3 图4 特例探究 ②在①中，若BC=4,则AD的最小值是 类比迁移 ③若点D在BC下方时，连接BD,CD,∠CDB=I20°，当AD=4时，求AC的最小值； 拓展应用 (2)如图3、4中，小明制作矩形模具ABCD,AB=6,BC=12,P为模具边AD上的一动点. 6/17 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①如图3，以PC为边向右作等边△PCE,连接BE,判断BE是否存在最小值，若存在，求最小值；若不存 在，说明理由？ ②如图4，以PC为边向右构造正方形PCFE,连接BE,直接写出BE的最小值是 15.在矩形ABCD中，宽AD=3,E是边AB上的一个动点，F是边DC上的一个动点，连接EF,将矩形 沿EF折叠. B 图1 图2 (1)如图1，若AE=AD=3,将矩形ABCD沿EF折叠后，点C恰好落在AD上的点C处，点B落在点B处， B'C'交AB于点M. ①判断AC'与BE是否相等，并说明理由； ②连接DE交CF于点N,若4C'=1,求DN的值： EN (2)如图2，若矩形ABCD的长AB=5,BE=1,将矩形ABCD沿EF折叠后，点A、D的对应点分别是点 A'、D',连接CA'、CD',直接写出ACA'D'面积的最小值为一 16.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC. B D H 图1 图2 图3 (1)如图1，点D是BC的中点，点E是AC上一点，连接DE,作DF⊥DE交AB于点F.若BC=2N2, CE-分求线段8F的长： (2)如图2，点D是BC延长线上一点，连接AD,以AD为直角边在AD上方作等腰直角△ADF, ∠DAF=90°，点E是FD的中点，连接BE并延长到点H,连接DH,若2LH+∠HBD=90°，用等式表示 线段HE、EB、CD之间的数量关系，并证明： (3)如图3，点D是线段BC上一动点，连接AD,将AD绕点D逆时针旋转9O°到MD,连接AM,点E是 线段AC上一点，满足2CE=AE=2,连接EM,点P是线段AD上一点，连接PM,当EM最小时，在平 面内将△APM沿PM翻折至△NPM,连接CN,请直接写出CN的最小值. 考点03动点探究数量关系 7/17 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 17.如图，60°<∠PAQ<90°，点B为射线AP上一定点，点C为射线AQ上一动点，连接BC,D为线段 BC上一点，∠BAD=60°，将线段BD绕点B顺时针旋转60°得到线段BE,连接AE,DE,线段DE与 AC交于点F,当点C运动到如图所示位置时，有∠ADE=∠BCA=a· D D 备用图 (1)①请补全图形：②求∠BAC的大小（用a表示）： (2)若CF=AF+AE,用等式表示DF与EF的数量关系并证明. 18.如图，在等边ABC中，D,E分别为BC,AC边的中点.F为ABC所在平面内一动点（点F不在 ABC的三边上)，且满足∠BFC=90°，连接EF,将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EG,连接 AG,DE,DG,FG. A G G E D B D 备用图 (1)点F在直线AB的右侧时，求∠DGE的度数： (2)点F在直线AB的右侧时，用等式表示AG,EF,CF的数量关系并证明； (3)将△BDG沿BG所在直线翻折至ABC所在平面内，得到△BMG,连接AM,直接写出 AM EF 的最小值. 19.平面直角坐标系中，已知Aa,0),B(0,b),且a、b满足a-3+(b-3)2=0. B B A 图1 图2 8/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)请直接写出A、B两点的坐标及∠AB0的度数： (2)如图1，G为AOB内一点，连接BG,过G作HG⊥BG,连接BH,若∠ABG=∠HB0,点 G0.9,0.2),求H点的坐标； (3)如图2，点P为OA延长线上的动点，点N在x轴负半轴上运动，且始终满足AP=ON,过O作NB的垂 线交AB的延长线于M,连接MP,探究线段NB、OM、MP之间的数量关系，并证明你的结论. 20.在ABC中，AB=AC. G D 图1 图2 图3 (1)如图1，若AB=2√2，∠BAC=150°，求ABC的面积： (2)如图2，D为BC上一点，AD=CD,F为DA延长线上一点，连接BF并延长至点G,使得BF=FG, 连接AG,过点C作CE∥AG交AD延长线于E,若∠E+∠ABC=∠BAD,请猜想线段AG、CD、AF之 间的数量关系，并证明你的猜想 (B)如图3，∠BAC=90°，AB=1,D为线段AC上一动点，将△ABD关于BD对称得到△EBD,连接AE, 将AE绕E顺时针旋转90°得到FE,连接CF,直接写出CF的最小值. 21.如图，在矩形ABCD中，E为边BC上一动点（不与端点重合），将△CDE沿DE翻折，点C的对应点F 恰好落在AE上，对角线BD与AE交于点M. (1)求证：AF=BE. (2)连接BF,延长DF交BC于点N,若AB=BF. ①求证：ABEF∽ABFN. ②请探究BN,AF,CD三条线段之间的数量关系，并加以证明 22.如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠B=a(0°<a<45),M是线段BC上的动点（不与点B,C重合）， 将线段MC绕点M顺时针旋转2α得到线段MN,连接AN. 9/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)连接CN,求∠ACN的大小（用含a的代数式表示）： (2)过点N作ND⊥AN交BC的延长线于点D,连接AD. ①依题意补全图形： ②用等式表示线段BM与DM的数量关系，并证明. 23.综合探究 如图1所示，己知四边形ABCD是正方形，点E是CD边上的中点，连接AE,在线段AE上有一动点F, 连接DF,将DF绕点D逆时针旋转90°到DG,连接CG与AE延长线交于点H. D D GO B 图1 图2 (1)证明：AF=CG; ②当点G与点H重合时，如图2所示，求华的馆， (3)当点G与点H不重合时，求FH、GH与CH之间的数量关系. 24.综合与实践：如图，ABC是等边三角形，点D是射线AC上一个动点，连接BD,将BD绕点B逆时 针旋转60°得到BE,连接CE,DE. 备用图 观察发现 (1)∠BDE=°，LBCE=—°； 迁移探究 (2)当点D在线段AC时上，请判断线段AB,CD,CE三条线段之间的数量关系，并说明理由： 拓展应用 10/17