专题11 相似与函数综合题分类训练（4种类型32道）（高效培优期末专项训练）九年级数学上学期湘教版

专题11 相似与函数综合题分类训练 （4种类型32道） 考点01 一次函数相关相似综合问题 考点02 反比例函数相关相似综合问题 考点03 一次函数和反比例函数相关相似综合问题 考点04 二次函数相关相似综合问题 考点01 一次函数相关相似综合问题 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，一次函数的图象经过点，且与轴的交点为，点的横坐标为，点的坐标是，连接． (1)如图1，求点的坐标及的函数表达式； (2)如图2，点是线段上一点，连接并延长，交于点，过点作轴，交于点，设点的横坐标为． ①求的长（用含有的代数式表示）； ②和的面积分别记为，若，求点的坐标； (3)一次函数与一次函数组成新函数，当直线（为常数）与有两个交点时，这两个交点从左到右依次为，点是轴上一点，点在一次函数上，当四边形是菱形时，请直接写出的值． 【答案】(1)，， (2)①，② (3)1或 【分析】（1）对于，分别令，，可求出点A，B的坐标，再利用待定系数法求出的函数表达式； （2）①求出直线的解析式，可用m表示出点F，G的坐标，即可；②延长交x轴于点L，过点E作轴交x轴于点K，则，可得，再由，可得，，从而得到点E的纵坐标为，进而得到点E的横坐标为，再由，得到关于m的方程，即可求解； （3）根据题意可得，再结合四边形是菱形，可得，，设点，则点，根据点在一次函数上，可得，再由，可得到关于t的方程，即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，，当时，， ∴，， 根据题意得：点， 把点，代入得： ，解得：， ∴的函数表达式为； （2）解：①设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为，轴， ∴点，， ∴； ②如图，延长交x轴于点L，过点E作轴交x轴于点K，则， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即点E的纵坐标为， ∵点E在直线上， ∴点E的横坐标为， ∵， ∴， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴点G的坐标为； （3）解：根据题意得：点，轴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 设点，则点， ∵点在一次函数上， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或1． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，点是轴负半轴上一点，且． (1)求点、、的坐标； (2)如果点的坐标为，点为线段上一个动点，连接，是否存在这样的点，使得以点为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； (2)存在，点的坐标为或． 【分析】（1）根据题意即可求得点、、的坐标； （2）求得是等腰直角三角形，作于点，求得是等腰直角三角形，分和两种情况讨论，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则； 令，则，解得； ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：存在，理由如下： ∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ，，， ∴， 作于点， ∵， ∴是等腰直角三角形， 当时， 则，即， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 当时， 则，即， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【点睛】此题考查了一次函数综合题，相似三角形的性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定和性质，利用了分类讨论及数形结合的思想，解题的关键学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数图象的交点坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点． (1)求点、的坐标； (2)如果点的坐标为，点为线段上一个动点，连接，是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在；点的坐标为或 【分析】（1）根据一次函数的解析式，分别令、，求得对应的、的值，可得点、的坐标； （2）确定是等腰直角三角形，过点作于点，确定是等腰直角三角形，然后分和两种情况讨论，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点， 当时，得：；当时，得：， ∴，； （2）存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似． 理由：∵，，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ，，， ∴， 如图，过作于点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 当时， 则，即， ∴， ∴， ∴， 此时点的坐标为； 当时， 则，即， 解得：， ∴， ∴， 此时点的坐标为； 综上所述，存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似；点的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的与坐标轴的交点，坐标与图形性质，相似三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，利用分类讨论及数形结合的思想解决问题是解题的关键． 4．如图，一次函数的图象交x轴于点，交y轴于点，点P是直线（不与点A，B重合）上一个动点，过点P作和的垂线，垂足分别为C、D，连接，设点P的横坐标为m． (1)求一次函数解析式； (2)当，矩形的面积为1时，求此时点P坐标； (3)点P在运动过程中，当与相似时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式 (2)或 (3)或或 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象与几何图形的应用等知识点，相似三角形的判定与性质等知识，根据点的坐标，用绝对值表示出，的长度是解题的关键，同时渗透了分类讨论思想， (1)将点、代入，解方程组即可； (2)根据点在第一象限知，，解方程可得的值； (3)首先可知，分两种情形和，根据对应边成比例，从而解决问题． 【详解】（1）解：将点、代入得， ， ， 一次函数解析式； （2）解：由(1)可知， 点的横坐标为， ， ， 或， 或； （3）解：， ， ， ， 与相似且， 可分两种情况： ①当时， ， ，解得， ∴， ②时， ， ， 解得或， ∴或， 或或． 5．如图，一次函数的图像与轴和轴分别交于、两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点和点，得到一个矩形． (1)求、两点的坐标； (2)当时，求点的坐标，并直接写出此时矩形的周长； (3)矩形的周长是否随点位置的变化而变化？说明理由． 【答案】(1)， (2)，矩形的周长为8 (3)矩形的周长不随点位置的变化而变化，周长总等于8，理由见解析 【分析】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，矩形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）求出自变量为0时的函数值，求出函数值为0时的自变量的值即可得到答案； （2）根据题意得到，证明得到，则可求出，据此求出点P坐标得到，再根据三角形周长计算公式可得答案； （3）设点坐标为，则，，将点坐标为代入中得整理得，，则，据此可得结论． 【详解】（1）解：将代入，得，解得， ； 将代入，得， ； （2）解：当时，， 由矩形的性质可得， ， ， ， ， ， ， 将代入，解得， ， ∴， ∴此时矩形的周长； （3）解：矩形的周长不随点位置的变化而变化，周长总等于8，理由如下： 设点坐标为 点在第一象限， ，， 将点坐标为代入中得 整理得，， ， 矩形的周长不随点位置的变化而变化，周长总等于8． 6．（）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，以为腰在第二象限作等腰直角，，点、的坐标分别为______、______； （）如图．直线与坐标轴交于点、，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数表达式； （）如图，四边形为长方形，其中为坐标原点，点的坐标为，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限．若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点的坐标． 【答案】 （）， （） （）或 【分析】()先求出直线与坐标轴交点，再利用等腰直角三角形性质求点坐标； ()先求直线与坐标轴交点，通过构造全等三角形求旋转后直线上一点坐标，进而求直线表式； ()分点在矩形内部和外部两种情况，通过作辅助线构造全等三角形，利用对应边相等列方程求解点坐标．根据可判定，即可得出结论； 【详解】（）解：在一次函数中，与轴交于点，与轴交于点， 当时，解得，即点的坐标，， 当时，解得，即点的坐标，， 如图，过点作轴于点． ∵ 是等腰直角三角形，， ∴，， 又 ∵，即， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ， ∴由图可得 点的坐标为． （）∵直线与坐标轴交于点、， ∴当时，解得，即点的坐标，， 当时，解得，即点的坐标，， 如图，过点作交直线于点C，过 点C作轴于点． ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，． ∴， 所以点的坐标为， 设的解析式为，将，点坐标代入， 得， 解得， ∴的解析式为， （）当点是直线上的动点且在第四象限时，分两种情况， 第一种情况：当点在矩形的内部时， 如图，过作轴的平行线，交直线于，交直线于， 设，则， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ， 由()可得，≌，则， ∴， 解得， ∴， ∴， 此时，，，符合题意； 第二种情况：当点在矩形的外部时， 如图，过作轴的平行线，交直线于，交直线于， 设， ∴，则， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴，， 同理可得：≌，则，， 即：， 解得， ∴， ∴， 此时，，， ，符合题意， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要涉及一次函数的性质、等腰直角三角形的性质以及三角形全等的知识．本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用． 7．在平面直角坐标系中，如果一点的坐标满足我们称这个点叫一阶升幂点，显然这样一阶升幂点有无数个；同样的满足我们称这个点叫二阶升幂点，也有无数个；满足我们称这个点叫三阶升幂点，……依此类推满足我们称这个点叫阶升幂点（其中为正整数）． (1)请判断下列点中①②③④其中属于三阶升幂点有____________．（填序号） (2)若一次函数图象上有且只有唯一的一个二阶升幂点，请求出一次函数的表达式． (3)如图，一次函数的图象与轴、轴交点为点和点，若在一次函数的图象上有两个阶升幂点，分别为点A、点，另外在轴上存在点，面积等于20，设点A、点的横坐标分别为，， ①请求出的值． ②请求出的值． 【答案】(1)①②④ (2)或 (3)①；②1 【分析】本题主要考查了新定义、坐标与图形、一次函数与几何的综合等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接根据三阶升幂点的定义逐个判断即可； （2）由题意可得一元二次方程，然后再根据题意结合根的判别式即可解答； （3）如图：作的边上的高，即，由坐标与图形以及勾股定理可得、、，再证明可得，再根据等面积法可得；再根据题意以及根与系数的关系可得；再根据两点间距离公式可得、整理得到，解得：或（不合题意，舍弃）；进而得到，最后代入求解即可． 【详解】（1）解：由，则①是三阶升幂点； 由，则②是三阶升幂点； 由，则③不是三阶升幂点； 由，则④是三阶升幂点． 故答案为：①②④． （2）解：∵二阶升幂点坐标满足，且在图象上， ∴，整理得． ∵图象上有且只有唯一的一个二阶升幂点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即，解得：． ∴一次函数表达式为或． （3）解：如图：作的边上的高，即， ∵一次函数的图象与轴、轴交点为点和点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，   ∴， ∴， ∴ ∴，即，解得：， ∵面积等于20， ∴，即，解得：， ∵在一次函数的图象上有两个阶升幂点，分别为点A、点， ∴，整理得：， 设点A、点的坐标分别为，， ∴， ∴， ∴， ∴，整理得：，解得：或（不合题意，舍弃）， ∴． ， 综上，①；②． 8．一次函数与x轴，y轴交于点C，D，一次函数与x轴，y轴交于点A， B，直线，直线交于点    (1)求直线的解析式； (2)平行于y轴的直线与直线，交于点F， G，点F在点G的上方，． ①求点F坐标； ②在y轴正半轴找一点H，使得为直角三角形，请直接写出点H的坐标； ③在直线上找一点M，使得，请直接写出点M的横坐标． 【答案】(1)； (2)①；②，；③或． 【分析】（1）将点代入一次函数得：，得到，再将代入，即可求解； （）①先求得两点的坐标，得到，设，，得到，又因为，解得，即可求解； ②先求得，设，根据两点间距离公式得到，分三种情况讨论即可求解； ③作于点，证明，得到，从而求得，再证明为等腰直角三角形，得到，， 设，得到，求解即可． 【详解】（1）解：将点代入一次函数得：， ∴， 将代入得：，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：①在函数中，令，则，故， 在函数中，令，则，故， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴； ②令，则，解得：，故， 设， 根据两点间距离公式可得： ， ， 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：，则； 当时，，解得：或（舍去），则， 综上，点H的坐标为或； ③作于点，如图：    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，则， ∵在直线上， 设， ∴， 整理得：， ∴， 解得：，， ∴点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数的解析式，勾股定理，相似三角形的判定与性质等性质，掌握相关知识是解题的关键． 考点02 反比例函数相关相似综合问题 9．如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，D是边上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数的图象经过点D且与边交于点E，连接． (1)如图1，若点D是的中点，则E点的坐标为______； (2)如图2，若直线与x轴、y轴分别交于点M，N，连接；求证：； (3)如图3，将沿折叠，点B关于的对称点为点； ①当点落在矩形内部时，求k的取值范围； ②连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②的最小值为 【分析】本题考查了反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质，反比例函数的性质，垂线段最短，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正弦函数，熟练掌握三角函数，平行四边形的判定和性质，垂线段最短是解题的关键. （1）由是的中点，得,则，所以，即可求得点的坐标为; （2）由，得，则，所以，得，则; （3）①连接交于点交于点，由可知当点在轴上时，的值最小；若点与点重合，则的值最大，可求得，由勾股定理得得，则，所以；若点与点重合，则，即可求得的取值范围是；②由，可知点在经过点且与垂直的直线上运动，则当点落在上时，的值最小，此时，即可求得的最小值为. 【详解】（1）解：如图1，四边形是矩形， ∴轴，轴， ∵，D是的中点， ∴， ∵双曲线经过点， ∴， ∴， 当时，， ∴点E的坐标为． （2）证明：如图2， ∵点D、点E都在双曲线上，则，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：①如图3，连接、交于点I，交于点F， ∵， ∴k随x的增大而增大， ∴当点在y轴时，k的值最小；若点D与点B重合，则k的值最大， ∵垂直平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴； 若点D与点B重合，则， ∴的取值范围是． ②如图4，连接、，交于点F， ∵， ∴的度数为定值， ∴点在经过点B且与垂直的直线上运动， ∴当点落在上时，即时，的值最小， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 10．如图，路灯、树的底端与小明的站位点在同一条直线上，灯（点）、树顶、小明的头顶这三个点所在的曲线的形状恰好是反比例函数的一支，在灯光的照射下，树的影子的底部与点重合，小明的影长为3米，已知小明的身高为1.75米，他与路灯相距9米．求： (1)路灯高度； (2)树与路灯相距多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数、相似三角形的应用，熟练掌握反比例函数的性质和相似三角形的判定与性质的应用是解题的关键． （1）由，可得，则有，代入，，的值即可求解． （2）由灯（点）、树顶、小明的头顶这三个点所在的曲线的形状恰好是反比例函数的一支，可设点的坐标为，则可表示出点与点的坐标，利用反比例函数的性质可求出函数关系式，再设，则可表示出，再由，可得，则有，代入相应数值即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ∴， ∴，即， 解得． ∴路灯高度是7米． （2）解：设点的坐标为，则，， ∵点，在反比例函数图像上， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 设反比例函数为，把代入得：， 解得， ∴反比例函数关系式为， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得． ∴树与路灯相距6米． 11．如图，矩形交反比例函数于点、，已知点，点， (1)求的值； (2)在直线上方的反比例函数的图象上取一点，连接、、，且，求点的坐标； (3)若四边形的一组邻边垂直，另外两条边相等，则称这个四边形为“垂等四边形”．已知点在轴上运动，点在反比例函数的图象上运动，且在第三象限．若四边形为垂等四边形，求点、的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）先求出点坐标，代入解析式即可求出值； （2）先求出点坐标，再求出解析式，利用面积列方程求解即可； （3）分类讨论，利用一线三垂直构造相似求解即可． 【详解】（1）解：由题可知， ， 解得， ， ； （2）解：由（1）知， 反比例函数表达式为， ， ∵矩形中， ， ， 设直线解析式为， 则， 解得， 直线解析式为， 过作轴交于点， 设，则， ， ， ， 整理得， 解得或， 点在上方， ， ； （3）解：设，， 当时，如图， 此时需要满足，即点在垂直平分线上，很明显无满足题意的点； 当时，此时， 如图，过作轴，再分别过、作的垂线段，垂足分别为点、， 则， ， ∽， ， ， 解得或， 在第三象限， ， 即， ， ， 解得， ； 当时，此时， 此时满足条件的明显不存在； 当时，此时， 此时满足条件的明显不存在； 综上，， 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数解析式、坐标与图形面积、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 12．如图，矩形的两个顶点A，B都在反比例函数的图象上，经过原点O，对角线垂直于x轴，垂足为E，已知点A的坐标为． (1)求反比例函数的表达式并写出点B的坐标； (2)在反比例函数图象上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在点P，使得，点P的坐标为或 【分析】（1）把代入，即可求解出反比例函数的表达式，根据点A，B关于原点对称，即可求出点B的坐标； （2）根据勾股定理得到，再有，并证得， 根据相似三角形的性质求得的长，再求矩形的面积，最后根据分类讨论即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：把代入得：，， 反比例函数的表达式为， 点A，B都在反比例函数的图象上，AB经过原点O， 点A，B关于原点对称， 点B的坐标为， （2）解：矩形的对角线垂直于x轴，点A的坐标为， ，， ，， 又， ， ，即，， ， 设点P的纵坐标为m， ①当点P在第一象限时，，解得，此时点P坐标为， ②当点P在第三象限时，，解得，此时点P坐标为， 存在点P，使得，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，矩形的面积的计算，中心对称图形的性质，相似三角形的判定与性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 13．小华在探索相似三角形时，提供了一些解题思路，展示如下：在中，点是上一点，连接． (1)如图1，若，，，则_____； (2)如图2，若，，，，求的长；在进一步探索相似时，其实就是探究边角关系，在延长线上取一点，使，设，在中，利用勾股定理，用的代数式表示，利用（斜射子母型），列方程求出，我们把这一个结构称为“斜射勾股”型，在小华的思路分析下，请完成求的计算过程． (3)如图3，已知反比例函数的图象经过点，点（点的右侧），若，求点的坐标．（在第（2）问的启发下，完成构图与计算） 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）通过两角分别相等判定三角形相似，再利用相似三角形的性质列比例式求解； （2）先判定三角形相似得到比例关系，结合勾股定理分别用含的代数式表示相关线段，进而列方程求解； （3）通过构造相似三角形，结合一次函数与反比例函数的性质，列方程求解点的坐标． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 在中，， ， 整理得：， 解得：，(负值，舍去)， ； （3）解：如下图所示，过点作轴，过点的中点作交于点，交轴于点， ， ，， ， ， ， 点的坐标是， 点的坐标是，，， ， ， ， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 设点的坐标是， ，， ， 可得：， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式是， 解方程， 整理可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 当时，， 点的坐标是 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、反比例函数的图像及性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 14．如图，为反比例函数(其中)图象上的一点，在轴正半轴上有一点，， 连接 且． (1)求的值； (2)过点作， 交反比例函数 (其中)的图象于点，连接交于点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的几何应用，相似三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． （）过点作交轴于点，交于点，由等腰三角形的性质可得，再利用勾股定理求出可得点坐标，进而即可求解； （）由反比例函数解析式可得，即得，进而由得到，再根据即可求解； 【详解】（1）解：过点作交轴于点，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为反比例函数图象上的一点， ∴； （2）解：∵， ∴反比例函数解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．如图，正方形的顶点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，点为其对角线上一点，反比例函数的图象交于点，交于点，连接． (1)求t的值和反比例函数的表达式； (2)求周长的最小值； (3)当时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）待定系数反求出和的值即可； （2）作关于的对称点，连接，则周长的最小值为，进行求解即可； （3）求出时的两个的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∴； （2）∵正方形，， ∴，，， ∴， 由（1）可知：， ∴，， 作关于的对称点，连接，则：，， ∴在线段上， ∴， ∴， ∴， ∵的周长， ∴的周长的最小值为：； （3）当，且点时，过点作轴于点，交于点，作于点，则：四边形，四边形均为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即：， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去）或； 当，且点时，过点作于，交于点，作， 同法可求或（舍去）； ∵， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形集合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，已知点，，且m，n是关于x的方程的两个根（），点D是的中点，连接． (1)求点B的坐标； (2)如图1，若反比例函数的图象经过点B，点Q为y轴上一点，点P为反比例函数图象上一点，是否存在点Q，使以P，Q，A，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，在线段上取点E，使得，G是线段上的一动点，F是双曲线（）与线段的交点，且满足，当取得最小值时，求a的值． 【答案】(1) (2)存在，Q点的坐标为或或 (3)3 【分析】（1）通过解一元二次方程得到m，n的值，得到点的坐标，再根据矩形的性质即可得到点B的坐标； （2）根据中点的定义得到，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，设，，分3种情况讨论：①与互相平分；②与互相平分；③与互相平分，分别列出方程组，求出的值，即可得到Q点的坐标； （3）在的延长线上截取点，使得，连接，通过证明，得到，则，分析可知当三点共线时，有最小值，利用相似三角形的性质与判定求出点的坐标，再利用待定系数法即可求出a的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：，， 由题意得，，， ∴，， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴点B的坐标为； （2）解：存在， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 代入到，得， ∴反比例函数的解析式为， 设，， ∵以P，Q，A，D为顶点的四边形是平行四边形， ∴下面分3种情况讨论： ①当与互相平分，则，解得， ∴； ②当与互相平分，则，解得， ∴； ③当与互相平分，则，解得， ∴； ∴综上所述，Q点的坐标为或或； （3）解：如图，在的延长线上截取点，使得，连接， 则， ∵矩形， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 代入到，得， ∴a的值为3． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合、矩形的性质、解一元二次方程、平行四边形的存在性问题、相似三角形的性质与判定、最短路径问题，熟练掌握相关知识点，运用数形结合的思想是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的数形结合和分类讨论能力，适合有能力解决压轴题的学生． 考点03 一次函数和反比例函数相关相似综合问题 17．如图1，在平面直角坐标系中，直线 ，与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，与反比例函数的交点为 ． (1)求反比例函数的解析式； (2)点在反比例函数（点在点的右边），若的面积为 ，求点的坐标； (3)如图2，在第（2）问的条件下，点为轴正半轴上一点，连接，将直线沿直线翻折，与反比例函数图像交于另一点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，面积问题，平行线分线段成比例，折叠的性质； （1）把代入，求出C的坐标，然后把C的坐标代入求解即可； （2）过点作轴交的延长线于点，设，则，根据的面积为 ，建立方程，解方程，即可求解； （3）延长交轴于点，是关于的对称点，过点作轴的平行线，交的延长线于点，过点作于点，先求得直线的解析式为，即可得出，根据折叠的性质得出，设，进而得出，，根据得出，根据平行线分线段成比例可得得出的横坐标为，代入反比例函数解析式得出，进而求得直线的解析式为，将点代入，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：如图，过点作轴交的延长线于点， 对于， 当时，则，解得， ∴， 当时，， ∴， 设，则， ∴， ∴ 解得：（舍去）或， ∴； （3）如图，延长交轴于点，是关于的对称点，过点作轴的平行线，交的延长线于点，过点作于点 设直线的解析式为代入，，得 解得： ∴直线的解析式为 当，， ∴， ∵将直线沿直线翻折， ∴ 设， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴的横坐标为 ∵在上， ∴ ∴ 设直线的解析式为 代入，得 解得： ∴直线的解析式为 ∵在上 ∴ 解得： ∴点的坐标为． 18．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式； (2)点在线段上，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合运用、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出点的坐标． 根据点在反比例函数图象上，可得方程，解方程即可求的值，根据的值求出点、的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； 过点作轴平行线，过点作轴平行线，两线交于点，可证，根据相似三角形对应边成比例可得：点的横坐标为，把点的横坐标代入一次函数的解析式中求出点的纵坐标即可． 【详解】（1）解：点，在反比例函数图象上， ， 解得：， （舍去） ， ， 反比例函数的解析式是； 将点，的坐标代入一次函数， 可得：， 解得：， 一次函数的解析是； （2）解：过点作轴平行线，过点作轴平行线，两线交于点， 过点作，垂足为， ， ． ，， ，， ， ， ，即， 解得：， 点的横坐标为， 将代入中， 可得：， 点的坐标为． 19．如题图1，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，动点D从点O出发，沿线段运动到点C时停止，连接，将沿直线折叠得到． (1)当时，则__________ ； (2)如题图2，延长交线段于点F． ①当点F为线段中点时，求的长度； ②已知点P为线段上一点，一次函数经过点P，并与过点F的反比例函数分别交于两点，若为方程的两个根，且，求k的值与a的取值范围． 【答案】(1)50 (2)①；②， 【分析】（1）由折叠可知，，求出，则； （2）①先求出，确定直线的解析式为，设，由，求出，设，由，可求； ②联立，整理得，结合为方程的两个根得到；再由根与系数的关系可得，，过点N作轴交于H点，过点M作于点G，则，得到③，将③代入①②中，整理可得，求出，则，进而可得答案． 【详解】（1）解：由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：50； （2）解：①∵四边形是边长为4的正方形， ∴，，， ∵点F为线段中点， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵， ∴， 解得或（舍）， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴； ②∵一次函数经过点P，并与过点F的反比例函数分别交于两点， ∴联立， 整理得， ∴为方程的两个根， ∵为方程的两个根， ∴，，， ∵， ∴过点F的反比例函数解析式为， ∵点F的纵坐标为， ∴， 由①可得； 过点N作轴交于H点，过点M作于点G， ∴， ∴③， 将③代入①②中，整理可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行线的性质，正方形的性质，折叠的性质是解题的关键． 20．如图1，在平面直角坐标系中，，经过两点的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，经过两点的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，已知点的坐标为． (1)求直线的解析式及点的坐标； (2)若轴上有一动点，直线上有一动点．当最小时，求周长的最小值； (3)如图2，直线上是否存在一点，使得与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为； (2) (3)直线上存在一点，使得与相似， 点的坐标为或． 【分析】（1）先确定出点A，C坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，再用待定系数法求出反比例函数解析式，联立求出点E坐标； （2）先判断出，进而得出点G在上，且轴，即时，最小，进而求出点G坐标，作点G关于y轴的对称点，连接，则，再判断出点F在上时，的周长最小，即可求出答案； （3）设直线上点，由，得到，则，当在左边时，是钝角三角形，不可能与相似，得到在右边，再根据或分情况讨论，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 联立解得，或， ∵点E在第一象限内， ∴； （2）解：如图1，过点G作轴于H， 由（1）知，，， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点G在上，且轴，即时，最小，则最小，如图2， ∴ 作点关于y轴的对称点，连接，则， ∴，， ∴当在上时最小，此时，的周长最小，其值为， 即周长的最小值为； （3）解：设直线上点， ∵， ∴，， ∵， ∴当在左边时，是钝角三角形，不可能与相似， ∴在右边，则， 当时，则，，解得，此时； 当时，则，，解得，此时； 综上所述，直线上存在一点，使得与相似， 点的坐标为或． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，函数图象的交点坐标的求法，三角形的面积的求法，相似三角形判定和性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 21．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为线段的中点，将线段直线向右平移m个单位，点B、C的对应点分别为D、E，且D、E均在反比例函数的图象上． (1)求m的值和反比例函数的关系式； (2)连接、，求的面积； (3)若点P是直线下方反比例函数图象上的点，点Q在x轴上，连接，是否存在点P、Q使？若存在，求出符合要求的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)3 (3) 【分析】（1）先根据直线与坐标轴的交点和中点坐标公式，求出，，，再根据平移的坐标变换规律求得点，，然后用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）设直线交x轴于F，先用待定系数法求出直线解析式为，从而求得点，利用求解即可； （3）设点P的坐标为，点Q的坐标为，， ， ，当时，则，代入得求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴令，则， 令，则， ∴，， ∵点C为线段的中点 ∴， ∵线段直线向右平移m个单位，点B、C的对应点分别为D、E， ∴，， 把，，分别代入，得 ，解得：， ∴m的值为1， 反比例函数的关系式为． （2）解：设直线交x轴于F， 由（1）知：，，， ∴，， 设直线解析式为， 把，分别 代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴ ． （3）解：由(1)知∶ ，， ∴， ∴ 设点P的坐标为，点Q的坐标为， 由(2)知∶ ， ∴， ， ， 当时，则 ∴ 解得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，一次函数图象平移，相似三角形的性质，勾股定理，坐标与图形面积，此题综合性较强，属中考压轴题目． 22．如图1，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象分别交于点，，且． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若将直线向上平移个单位，使平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求的值； (3)中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线满足且，则直线就是图形与的“楚河汉界线”．例如：如图2，直线是函数的图象与正方形的一条“楚河汉界线”．如图3，正方形的一边在轴上，其他三边都在轴的右侧，点是此正方形的中心，若存在直线是图1中反比例函数的图象与正方形的“楚河汉界线”，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）过点C作轴于点D，过点A作轴，交于点E，根据，得出，即，求出，把代入求出，根据反比例函数解析式求出，把，代入求出，即可得出一次函数解析式； （2）过点M作轴，交于点N，根据平移可知：，根据，得出，求出结果即可； （3）分两种情况：当正方形在直线下方时，当正方形在直线上方时，先分别求出p的值，得出直线的解析式，然后再画出图形，根据图形求出q的取值范围即可． 【详解】（1）解：过点C作轴于点D，过点A作轴，交于点E，如图所示： ∵点，， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， 把代入得：， ∴反比例函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴， 把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为：； （2）解：过点M作轴，交于点N，如图所示： 根据平移可知：， ， ∵， ∴， 解得：； （3）解：①当正方形在直线下方时， 由得，， 整理得：， ∵直线与双曲线有唯一公共点， ∴， ∴， 解得：， ∵反比例函数， ∴直线与双曲线有唯一交点时， ∴此时的“楚河汉界线”为，如图所示： ∵点是此正方形的中心， ∴顶点， 把代入得， ∵顶点不能在直线上方， ∴， 解得：； ②当正方形在直线上方时， 把代入得：， 把代入得：， 把代入得：， 解得：， 把代入得， ∴在直线上， ∴此时直线的解析式为，如图所示： 把代入得：， ∵顶点不能在直线下方， ∴， 解得：； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，新定义运算，平行线的性质，求一次函数和反比例函数解析式，正方形的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标： (2)过点的直线与轴交于点，与轴负半轴交于点，若，求的面积： (3)在（2）的条件下，点是反比例函数图象上的一点，且，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为；的坐标为 (2) (3)或 【分析】（1）将代入得：，，把代入得反比例函数的表达式为；联立可解得点的坐标为； （2）过作轴于，过作轴交于，由，，，可得，，直线的解析式为，即可得，，故，从而； （3）先根据（2）得出，且，结合已知可得，当在的上方时，构造矩形，根据中点坐标公式得出，再求得直线的解析式，联立求得点的坐标，当在的下方时，作平行四边形，则，同理求得，再得直线的解析式为，联立求得点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得：， ， 把代入得：， 反比例函数的表达式为； 联立， 解得或， 点的坐标为； （2）解：过作轴于，过作轴交于，如图： ， ， ， ，， ， ，， 由，得直线的解析式为， 在中，令得，令得， ，， ， ； （3）解：如图所示， 由（2）可得 ∵， ∴，，, ∴，且 ∵， ∴； 当在的上方时， 作，则四边形是矩形，延长交于点，设交于点， ∴ ∴ 设 ∴， ∴ ∴ 设直线的解析式为 ∴，解得： ∴ 联立 解得：或（舍去） ∴ 当在的下方时，作平行四边形，则 ∴ 同理可得 由，可得直线的解析式为 联立 解得：或（舍去） ∴ 综上所述，或． 【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形判定与性质，平行四边形的性质与矩形的性质，勾股定理及其逆定理的应用，分类讨论是解题的关键． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，与反比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为，轴，垂足为点． (1)求出点，，的坐标； (2)若点是反比例函数图象上的一个动点且位于点右侧，连接，过点作轴，垂足为点．是否存在这样的点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，一次函数与坐标轴的交点坐标，相似三角形的性质，一元二次方程的解法，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． （）由一次函数可得当，，，分别求解对应的，，从而可得点的坐标； （）代入的坐标可得反比例函数解析式，证明，由在的右侧，分两种情况：当时，设；当时，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于两点， ∴当时，；当时，；当时，； ∴，，； （2）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵， ∴， 当时， 设， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， 当时， ∴， 解得：， （不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 综上：或． 考点04 二次函数相关相似综合问题 25．如图，已知二次函数的图象经过，两点．    (1)求此二次函数的解析式； (2)设二次函数的图象与轴的另一个交点为，它的顶点为，连接，，，．请你判断与是否相似，并说明理由； (3)当时，求此二次函数的最大值和最小值． 【答案】(1)二次函数的解析式为 (2)，理由见解析 (3)在范围内，当时，；当时， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C和点D的坐标，进而利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再证明，即可证明； （3）根据抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解之得， 二次函数的解析式为； （2）解：理由如下： 当时，即， 解得，， 抛物线与轴的交点为，， ，， 对称轴为，顶点为， ，，，， 是直角三角形，且， ， 在和中， ，， ， ； （3）解：抛物线的对称轴为，顶点为， 在范围内， ∵， ∴当时，， ∵， ∴当时，． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与相似三角形，勾股定理和勾股定理的逆定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过和点． (1)求二次函数的表达式： (2)如图1，平移线段，点的对应点落在二次函数在第一象限的图象上，点的对应点落在直线上，直接写出四边形的形状，并求出此时点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，交轴于点，点为直线下方抛物线上一个动点，过点作轴，交于点，连接，是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)D(4，5)； (3)存在，4或； 【分析】（1）由一次函数解析式求得A点坐标，再待定系数法求二次函数解析式即可； （2）由平移的性质可得四边形ACED是平行四边形；设点根据坐标的平移规律可得，将点E代入一次函数求得a即可解答； （3）由PF∥y轴，可得∠OCM=∠CFP，则∠CFP≠90°，①△COM∽△FPC时，过点D作DG⊥y轴于G，则，由二次函数的对称性可得PC=2，由即可解答；②△COM∽△FCP时，过点D作DG⊥y轴于G，过点C作CH⊥PF于H，解Rt△CHF和Rt△CHP可得，由C、D坐标可得：y=2x-3，设，F(b，2b-3)，由建立方程求得b值即可解答； 【详解】（1）解：由，令y=0，得x=3，   ∴A(3，0)， 将C（0，-3）代入，得c=-3， 将A（3，0）代入，得b=-2， ∴二次函数的表达式为：； （2）解：由平移性质可得DE=AC，DE∥AC， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴CE=AD，CE∥AD， 设点， ∵点A（3，0）向下平移3个单位，再向左平移3个单位可以得到点C（0，-3）， ∴点D向下平移3个单位，再向左平移3个单位可以得到点E， ∴， 将点E坐标代入，得： ， 解得（不符合题意舍去），， 把a=4代入，y=5， ∴D(4，5)； （3）解：∵PF∥y轴，∴∠OCM=∠CFP， ∴∠CFP≠90°， ①如图，过点D作DG⊥y轴于G， 当∠CPF=∠COM=90°时，△COM∽△FPC， ∵的对称轴为x=1，PC∥x轴，C（0，-3）， ∴P（2，-3）， ∴PC=2， ∵D(4，5)，C（0，-3）， ∴， ∴， ∴PF=2CP=4； ②如图，过点D作DG⊥y轴于G，过点C作CH⊥PF于H， 当∠PCF=∠COM=90°时，△COM∽△FCP， ∵∠CPF+∠1=90°，∠CPF+∠2=90° ∴∠1=∠2=∠DCG， ∴， ∴，FH=2CH， ∴， 由C（0，-3）、D（4，5）可得：y=2x-3， 设，F(b，2b-3)， ， ∴，， 解得：，b=0（舍去）， ∴， 综上所述，存在点P，使得以P，C，F为顶点的三角形与△COM相似， 此时PF=4或； 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的综合，平移的性质，相似三角形的判定，解直角三角形等知识；综合性较强，正确作出辅助线是解题关键． 27．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点B和点C，二次函数的图象经过B，C两点，并与x轴交于点A．点是线段OB上一个动点（不与点O、B重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线BC相交于点D和点E，连接CD． (1)求这个二次函数的解析式． (2)①求DE、CE的值（用含m的代数式表示）． ②当以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，求m的值． (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，；②m的值为或 (3)存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形，点M的坐标为(1，0)或(2，0)或(，0)． 【分析】（1）利用直线解析式求出B、C两点坐标，代入抛物线解析式，求解即可； （2）①由题意可得出点D和E坐标，再由两点的距离公式求解即可；②由抛物线解析式可求出A点坐标，从而可求出AB的长，又可求出BC的长．过点E作轴于点F．易得出，从而由所作辅助线得出，即可求出．故可分类讨论：当时和当时，根据相似三角形的性质：对应边成比例求解即可； （3）由题意可求出，根据（2）可求出由（2）可知，．由菱形的性质：各边相等，即可分类讨论①当CD=CE时，即．②当CD=DE时，即和③当CE=DE时，即．列出等式，解出m，舍去不合题意的m的值，即得出答案． 【详解】（1）对于一次函数，令，则；令，则， ∴B(3，0)，C(0，3)． ∵二次函数的图象经过B，C两点， ∴， 解得：， ∴该二次函数解析式为； （2）①根据题意可知， ∵点是线段OB上一个动点（不与点O、B重合， ∴． ∵点D在二次函数图象上，点E在一次函数图象上， ∴，， ∴， ； ②对于，令，则， 解得：， ∴A(-1，0)， ∴， ． 如图，过点E作轴于点F． ∵B(3，0)，C(0，3)， ∴OB=OC， ∴． ∵轴， ∴， ∴， ∴． 故可分类讨论：当时， ∴，即， 解得：（舍）； 当时， ∴，即 解得：（舍）． 综上可知，m的值为或； （3）由（2）可知，， ∴，． 又可求出． ∵以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形， 故可分类讨论①当CD=CE时，即， ∴， 解得：（舍），（舍）， ∴此时M(1，0)； ②当CD=DE时，即， ∴， 解得：（舍）， ∴此时M(2，0)； ③当CE=DE时，即， ∴， 解得：（舍），（舍）， ∴此时M(，0)． 综上可知存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形，点M的坐标为(1，0)或(2，0)或(，0)． 【点睛】本题为二次函数综合题．考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定，菱形的性质等知识．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． 28．如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线1，一次函数yx+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B． （1）点D的坐标是　 ； （2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似． ①当n时，求DP的长； ②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围　　． 【答案】（1）（2，9）；（2）①DP或DP；②n. 【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可； （2）由对称轴可知点C（2，），A（，0），点A关于对称轴对称的点（，0），借助AD的直线解析式求得B（5，3）；①当n=时，N（2，），可求DA=，DN=，CD=，当PQ∥AB时，△DPQ∽△DAB，DP=DP=；当PQ与AB不平行时，DP=；②当PQ∥AB，DB=DP时，DB=，DN=，所以N（2，），则有且只有一个△DPQ与△DAB相似时，n； 【详解】解：（1）顶点为D（2，9）； 故答案为（2，9）； （2）对称轴x＝2， ∴C（2，）， 由已知可求A（，0）， 点A关于x＝2对称点为（，0）， 则AD关于x＝2对称的直线为y＝﹣2x+13， ∴B（5，3）， ①当n=时，N（2，）， ∴DA=，DN=，CD=， 当PQ∥AB时，△DPQ∽△DAB， ∵△DAC∽△DPN， ∴， ∴DP=； 当PQ与AB不平行时，△DPQ∽△DBA， ∴△DNQ∽△DCA， ∴， ∴DP， 综上所述，DP或DP； ②当PQ∥AB，DB＝DP时，DB＝， ∴ ∴DN ∴N（2，）， ∴有且只有一个△DPQ与△DAB相似时，n； 故答案为：n； 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键． 29．如图已知二次函数图象的顶点坐标为，直线的图象与该二次函数的图象交于两点，其中点坐标为，点在轴上，直线与轴的交点为．为线段上的一个动点（点与不重合），过作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点． （1）求的值及这个二次函数的解析式； （2）设线段的长为，点的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）为直线与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段上是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）设抛物线解析式为 在抛物线上， 二次函数解析式为： （或） 令得： 即点在上 把代入得 （2） （3）假设存在点，①当时，由题意可得， 则 ，，舍去 而，存在点，其坐标为． ②当时， 过点作垂直于抛物线的对称轴，垂足为； 由题意可得： 则 ，（舍去） 而，存在点，其坐标为． 综上所述存在点满足条件，其坐标为 ， 【详解】（1）根据二次函数的顶点坐标，可设抛物线解析式为（顶点式），把点代入解析式即可求出，根据求出点，由点和点求出直线即可 （2）由于，则线段的长等于一次函数减去二次函数值，点在线段上，故 （3）以点为顶点的三角形与相似，由于字母没有对应，则需分情况讨论： ①，利用相似三角形对应边成比例，得到，注意的取值范围，得到点 ②，同理可得，注意的取值范围，得到点 30．如图，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴相交于点．连结两点的坐标分别为、，且当和时二次函数的函数值相等． （1）求实数的值； （2）若点同时从点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为秒时，连结，将沿翻折，点恰好落在边上的处，求的值及点的坐标； （3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）t=， ；（3）Q（-1，），见解析. 【分析】（1）由题意和图形可求出函数的表达式； （2）结合抛物线内部几何关系和性质求出t值及P点坐标； （3）假设成立（1）若有△ACB∽△QNB则有∠ABC=∠QBN，寻找相似条件，判断是否满足． 【详解】解：（1）∵在抛物线上 ∴代入得c= ∵x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等， ∴顶点横坐标, , 又∵A（-3，0）在抛物线上， ∴9a−3b+=0 由以上二式得; （2）由（1）, ∴B（1，0）， 连接BP交MN于点O1，根据折叠的性质可得：O1也为PB中点． 设t秒后有, 设P（x，y），B（1，0） ∵O1为P、B的中点可得，即, ∵A，C点坐标知AC：，P点也在直线AC上代入得t=, 即； （3）假设成立； ①若有△ACB∽△QNB，则有∠ABC=∠QBN， ∴Q点在x轴上，AC∥QN但由题中A，C，Q，N坐标知直线的一次项系数为：， 则△ACB不与△QNB相似． ②若有△ACB∽△QBN，则有 设， 则， 代入（1）得， 或， 当时有Q（-1，）则不满足相似舍去； 当y=有Q（-1，）则， ∴存在点Q（-1，）使△ACB∽△QBN． 综上可得：Q（-1，）. 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考函数的性质和坐标，几何变换与三角形相似的性质，探究一些存在性问题，难度较大，灵活运用函数性质来解题，考查知识点全面． 31．如图，二次函数y＝－x2＋nx＋n2－9（n为常数）的图像经过坐标原点和x轴上另一点A，顶点在第一象限． （1）求n的值和点A坐标； （2）已知一次函数y＝－2x＋b（b >0）分别交x轴、y轴于M、N两点．点P是二次函数图像的y轴右侧部分上的一个动点，若PN⊥NM于N点，且△PMN与△OMN相似，求点P坐标． 【答案】（1）A（3，0）；（2）P（，）和P（2，2） 【详解】试题分析：(1)、将点(0,0)代入求出n的值，从而得到函数解析式，得出点A的坐标；(2)、首先求出M和N的坐标，然后分两种情况进行讨论得到答案. 试题解析：(1)、∵图像经过坐标原点 ∴－9=0 ∴n=3或－3 ∵顶点在第一象限 ∴n=3 ∴y=－+3x ∴点A的坐标为(3,0) 、过P作PB⊥y轴于B，设P(x，－+3x) ∵PN⊥MN ∠NOM=90° ∴要使△PMN与△OMN相似 则分两种情况：①、△PMN∽△MNO  ②、△PMN∽△NMO ∵一次函数y=－2x+b分别交x轴、y轴于点M、N ∴OM= ON=b ∴ ①、当△PMN∽△MNO(如图1)，得 ∵PN⊥NM，PB⊥y轴 ∴△PNB∽△MNO ∴ ∴x=，x=0(舍去) ∴点P的坐标为(，) ②、当△PMN∽△NMO时(如图2)，得： 解法同上，得x=2，x=0(舍去) ∴点P的坐标为(2,2) 综上所述：满足条件的点有2个：P(，)和P(2,2). 考点：三角形相似的应用、求二次函数解析式. 32．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与y轴交于点，是坐标原点，已知点的坐标是，． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）根据题意求出点的坐标，再结合，可求出点的坐标，再根据待定系数法求得函数解析式，即可求解； （2）过点作轴于点，证明为等腰直角三角形，得出，求出，先求出直线的解析式，设点的坐标为，求出，，根据二次函数最值，求出最后结果即可； （3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得出关于的方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点， 令，得， ∴点的坐标为． ∴． ∵， ∴， 即点A的坐标为． ∵点， ∴， 解得． ∴抛物线的函数表达式是，即． ∴抛物线的对称轴为直线． （2）解：如图1，过点作轴于点， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴． 设直线的解析式为，把代入得：，解得， ∴直线的解析式为． 设点的坐标为， ∵轴， ∴． 把代入得：，解得， ∴． ∴ ． ∴当时，有最大值，且最大值为． ∴的最大值为，此时点P的坐标为． （3）解：如图2， 设点的坐标为， ∵，， ∴为的锐角三角形． 也是锐角三角形． ∴点在点的上方． ∴． ∴． ∵，，， ①当时， ∴，即，解得， 即点． ②当时， ∴，即，解得， 即点． 综上所述，符合条件的点的坐标为或． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 相似与函数综合题分类训练 （4种类型32道） 考点01 一次函数相关相似综合问题 考点02 反比例函数相关相似综合问题 考点03 一次函数和反比例函数相关相似综合问题 考点04 二次函数相关相似综合问题 考点01 一次函数相关相似综合问题 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，一次函数的图象经过点，且与轴的交点为，点的横坐标为，点的坐标是，连接． (1)如图1，求点的坐标及的函数表达式； (2)如图2，点是线段上一点，连接并延长，交于点，过点作轴，交于点，设点的横坐标为． ①求的长（用含有的代数式表示）； ②和的面积分别记为，若，求点的坐标； (3)一次函数与一次函数组成新函数，当直线（为常数）与有两个交点时，这两个交点从左到右依次为，点是轴上一点，点在一次函数上，当四边形是菱形时，请直接写出的值． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，点是轴负半轴上一点，且． (1)求点、、的坐标； (2)如果点的坐标为，点为线段上一个动点，连接，是否存在这样的点，使得以点为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点． (1)求点、的坐标； (2)如果点的坐标为，点为线段上一个动点，连接，是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由． 4．如图，一次函数的图象交x轴于点，交y轴于点，点P是直线（不与点A，B重合）上一个动点，过点P作和的垂线，垂足分别为C、D，连接，设点P的横坐标为m． (1)求一次函数解析式； (2)当，矩形的面积为1时，求此时点P坐标； (3)点P在运动过程中，当与相似时，请直接写出点P的坐标． 5．如图，一次函数的图像与轴和轴分别交于、两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点和点，得到一个矩形． (1)求、两点的坐标； (2)当时，求点的坐标，并直接写出此时矩形的周长； (3)矩形的周长是否随点位置的变化而变化？说明理由． 6．（）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，以为腰在第二象限作等腰直角，，点、的坐标分别为______、______； （）如图．直线与坐标轴交于点、，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数表达式； （）如图，四边形为长方形，其中为坐标原点，点的坐标为，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限．若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点的坐标． 7．在平面直角坐标系中，如果一点的坐标满足我们称这个点叫一阶升幂点，显然这样一阶升幂点有无数个；同样的满足我们称这个点叫二阶升幂点，也有无数个；满足我们称这个点叫三阶升幂点，……依此类推满足我们称这个点叫阶升幂点（其中为正整数）． (1)请判断下列点中①②③④其中属于三阶升幂点有____________．（填序号） (2)若一次函数图象上有且只有唯一的一个二阶升幂点，请求出一次函数的表达式． (3)如图，一次函数的图象与轴、轴交点为点和点，若在一次函数的图象上有两个阶升幂点，分别为点A、点，另外在轴上存在点，面积等于20，设点A、点的横坐标分别为，， ①请求出的值． ②请求出的值． 8．一次函数与x轴，y轴交于点C，D，一次函数与x轴，y轴交于点A， B，直线，直线交于点    (1)求直线的解析式； (2)平行于y轴的直线与直线，交于点F， G，点F在点G的上方，． ①求点F坐标； ②在y轴正半轴找一点H，使得为直角三角形，请直接写出点H的坐标； ③在直线上找一点M，使得，请直接写出点M的横坐标． 考点02 反比例函数相关相似综合问题 9．如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，D是边上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数的图象经过点D且与边交于点E，连接． (1)如图1，若点D是的中点，则E点的坐标为______； (2)如图2，若直线与x轴、y轴分别交于点M，N，连接；求证：； (3)如图3，将沿折叠，点B关于的对称点为点； ①当点落在矩形内部时，求k的取值范围； ②连接，直接写出的最小值． 10．如图，路灯、树的底端与小明的站位点在同一条直线上，灯（点）、树顶、小明的头顶这三个点所在的曲线的形状恰好是反比例函数的一支，在灯光的照射下，树的影子的底部与点重合，小明的影长为3米，已知小明的身高为1.75米，他与路灯相距9米．求： (1)路灯高度； (2)树与路灯相距多少米？ 11．如图，矩形交反比例函数于点、，已知点，点， (1)求的值； (2)在直线上方的反比例函数的图象上取一点，连接、、，且，求点的坐标； (3)若四边形的一组邻边垂直，另外两条边相等，则称这个四边形为“垂等四边形”．已知点在轴上运动，点在反比例函数的图象上运动，且在第三象限．若四边形为垂等四边形，求点、的坐标． 12．如图，矩形的两个顶点A，B都在反比例函数的图象上，经过原点O，对角线垂直于x轴，垂足为E，已知点A的坐标为． (1)求反比例函数的表达式并写出点B的坐标； (2)在反比例函数图象上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 13．小华在探索相似三角形时，提供了一些解题思路，展示如下：在中，点是上一点，连接． (1)如图1，若，，，则_____； (2)如图2，若，，，，求的长；在进一步探索相似时，其实就是探究边角关系，在延长线上取一点，使，设，在中，利用勾股定理，用的代数式表示，利用（斜射子母型），列方程求出，我们把这一个结构称为“斜射勾股”型，在小华的思路分析下，请完成求的计算过程． (3)如图3，已知反比例函数的图象经过点，点（点的右侧），若，求点的坐标．（在第（2）问的启发下，完成构图与计算） 14．如图，为反比例函数(其中)图象上的一点，在轴正半轴上有一点，， 连接 且． (1)求的值； (2)过点作， 交反比例函数 (其中)的图象于点，连接交于点，求的值． 15．如图，正方形的顶点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，点为其对角线上一点，反比例函数的图象交于点，交于点，连接． (1)求t的值和反比例函数的表达式； (2)求周长的最小值； (3)当时，请直接写出m的取值范围． 16．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，已知点，，且m，n是关于x的方程的两个根（），点D是的中点，连接． (1)求点B的坐标； (2)如图1，若反比例函数的图象经过点B，点Q为y轴上一点，点P为反比例函数图象上一点，是否存在点Q，使以P，Q，A，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，在线段上取点E，使得，G是线段上的一动点，F是双曲线（）与线段的交点，且满足，当取得最小值时，求a的值． 考点03 一次函数和反比例函数相关相似综合问题 17．如图1，在平面直角坐标系中，直线 ，与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，与反比例函数的交点为 ． (1)求反比例函数的解析式； (2)点在反比例函数（点在点的右边），若的面积为 ，求点的坐标； (3)如图2，在第（2）问的条件下，点为轴正半轴上一点，连接，将直线沿直线翻折，与反比例函数图像交于另一点，若，求点的坐标． 18．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式； (2)点在线段上，连接，若，求点的坐标． 19．如题图1，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，动点D从点O出发，沿线段运动到点C时停止，连接，将沿直线折叠得到． (1)当时，则__________ ； (2)如题图2，延长交线段于点F． ①当点F为线段中点时，求的长度； ②已知点P为线段上一点，一次函数经过点P，并与过点F的反比例函数分别交于两点，若为方程的两个根，且，求k的值与a的取值范围． 20．如图1，在平面直角坐标系中，，经过两点的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，经过两点的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，已知点的坐标为． (1)求直线的解析式及点的坐标； (2)若轴上有一动点，直线上有一动点．当最小时，求周长的最小值； (3)如图2，直线上是否存在一点，使得与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为线段的中点，将线段直线向右平移m个单位，点B、C的对应点分别为D、E，且D、E均在反比例函数的图象上． (1)求m的值和反比例函数的关系式； (2)连接、，求的面积； (3)若点P是直线下方反比例函数图象上的点，点Q在x轴上，连接，是否存在点P、Q使？若存在，求出符合要求的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 22．如图1，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象分别交于点，，且． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若将直线向上平移个单位，使平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求的值； (3)中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线满足且，则直线就是图形与的“楚河汉界线”．例如：如图2，直线是函数的图象与正方形的一条“楚河汉界线”．如图3，正方形的一边在轴上，其他三边都在轴的右侧，点是此正方形的中心，若存在直线是图1中反比例函数的图象与正方形的“楚河汉界线”，求的取值范围． 23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标： (2)过点的直线与轴交于点，与轴负半轴交于点，若，求的面积： (3)在（2）的条件下，点是反比例函数图象上的一点，且，求点的坐标． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，与反比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为，轴，垂足为点． (1)求出点，，的坐标； (2)若点是反比例函数图象上的一个动点且位于点右侧，连接，过点作轴，垂足为点．是否存在这样的点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点04 二次函数相关相似综合问题 25．如图，已知二次函数的图象经过，两点．    (1)求此二次函数的解析式； (2)设二次函数的图象与轴的另一个交点为，它的顶点为，连接，，，．请你判断与是否相似，并说明理由； (3)当时，求此二次函数的最大值和最小值． 26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过和点． (1)求二次函数的表达式： (2)如图1，平移线段，点的对应点落在二次函数在第一象限的图象上，点的对应点落在直线上，直接写出四边形的形状，并求出此时点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，交轴于点，点为直线下方抛物线上一个动点，过点作轴，交于点，连接，是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 27．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点B和点C，二次函数的图象经过B，C两点，并与x轴交于点A．点是线段OB上一个动点（不与点O、B重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线BC相交于点D和点E，连接CD． (1)求这个二次函数的解析式． (2)①求DE、CE的值（用含m的代数式表示）． ②当以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，求m的值． (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 28．如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线1，一次函数yx+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B． （1）点D的坐标是　 ； （2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似． ①当n时，求DP的长； ②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围　　． 29．如图已知二次函数图象的顶点坐标为，直线的图象与该二次函数的图象交于两点，其中点坐标为，点在轴上，直线与轴的交点为．为线段上的一个动点（点与不重合），过作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点． （1）求的值及这个二次函数的解析式； （2）设线段的长为，点的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）为直线与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段上是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 30．如图，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴相交于点．连结两点的坐标分别为、，且当和时二次函数的函数值相等． （1）求实数的值； （2）若点同时从点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为秒时，连结，将沿翻折，点恰好落在边上的处，求的值及点的坐标； （3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 31．如图，二次函数y＝－x2＋nx＋n2－9（n为常数）的图像经过坐标原点和x轴上另一点A，顶点在第一象限． （1）求n的值和点A坐标； （2）已知一次函数y＝－2x＋b（b >0）分别交x轴、y轴于M、N两点．点P是二次函数图像的y轴右侧部分上的一个动点，若PN⊥NM于N点，且△PMN与△OMN相似，求点P坐标． 32．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与y轴交于点，是坐标原点，已知点的坐标是，． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点的坐标． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $