专题10 图形的相似相关压轴题分类训练（综合最值折叠动点4种类型32道）（高效培优期末专项训练）九年级数学上学期湘教版

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10图形的相似相关压轴题分类训练 (综合最值折叠动点4种类型32道) 考点归纳 考点01图形的相似相关综合问题 考点02图形的相似相关最值问题 考点03图形的相似相关折叠问题 考点04图形的相似相关动点问题 考点专练 考点01图形的相似相关综合问题 1.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,E是边BC的中点，连结AE,DE,分别交 BD,AC于点P,Q,过点P作PF⊥AE交CB的延长线于点F,下列结论： 4E=100 2 ②AP=FP: ③若△CQD的面积为8，则正方形ABCD的面积为36： ④CE·EF=EQ·DE 其中结论正确的个数是() A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④ 2.矩形ABCD中，AB<BC,点E在边AB上，BC=4BE=2分别以点E'C为圆心，大于2EC长 为半径在直线EC的两侧作弧，使两弧分别交于点M,N,作直线MN交CD的延长线于点F,交CE于点 G,连接EF,下列结论：①FC=FE;②EC平分∠BEF;③CF=5:④FG=CE.其中正确的有( ) 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,点D为AB的中点，点E,F分别在边AC、BC上 (点E,F与点A,B,C不重合)，且AE=CF,连接CD、DE、DF、EF,下列结论：①△ADE可由 △CDF绕点D逆时针旋转90°得到；②△DEF是等腰直角三角形；③△CEO∽△ADE:④四边形CEDF的 面积等于△ABC的面积的一半.上述结论正确的有() D 6 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，在等边△ABC中，点D,E分别是边AB、BC上的动点，且BD=2CE,以DE为边作等边 △DEF,使点A与点F在直线DE同侧，DF交AC于点G,EF交AC于点H.给出下面四个结论：① ∠BED=∠AHF;②AD·DF=BE·DG:③若ED⊥AB,则DF⊥AC;④若CE:BE=1:2,则四边形 DBEF是菱形. 上述结论中，正确的序号是() D A.①② B.③④ C.①②③ D.①②③④ 5.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD交BC于E,垂足为F,BG平分∠ABD交AE于H,GP∥BD交 1 11 E于p下列结论：①BP+GPCD:②SSsS®8升Cp@ 2 111 AD AF-AG·其中结论正确的个数是() 2/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B E A.1个 B.4个 C.3个 D.2个 6.如图，△ABC为等边三角形，BD=DE,∠BDE=I20°，连接CE,F为CE的中点，连接DF并延长到 点G,使FG=DF,连接AD、CG、AG.下列结论： @CGDE②DE/RC：则REGRD@在2的系件下，煮CELC则D的 BD 2 其中正确的有() G F D A.①②③都正确 B.只有①②正确 C.只有②③正确 D.只有①③正确 7.如图，矩形ABCD,点F是CD边上的一点，把矩形ABCD沿BF折叠，点C落在AD边上的点E处， AD=5,AB=4,点M是线段CF上的动点，连接BM,过点E作BM的垂线交BC于点N,垂足为H.以 AE DF 、BM5 下结论：①△MBE-△DEF:②BEEF;圆cF=2:④EN4·其中正确的结论有（） A M A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，D在AB的垂直平分线上，CE平分∠ACB,底边BC=a, 下达结论：①D平分∠ABC②5=35： 2°a:③ABDC的周长等于AB+BC:④D是AC中点.其 中正确的命题序号是() 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.①②③ B.①②④ c.②③④ D.①③④ 考点02图形的相似相关最值问题 9.如图，在矩形ABCD中，AB=I0,BC=5.若点E,F分别是线段AC,AB上的两个动点，则BE+EF 的最小值为() D A.6 B.35 c.4v5 D.8 10.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,△ADE的顶点D在BC上运动，且∠DAE=90°， ∠ADE=∠B,F为线段DE的中点，连接CF,在点D运动过程中，线段CF长度的最小值为() A.1 B.2 c.6 2 11.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,P是对角线AC上的动点，连接DP,将直线DP绕点P顺 时针旋转使∠DPG=∠DAC,且过D作DG⊥PG,连接CG,则CG最小值为() D G B 36 48 16 A.25 B.25 C.2 D.5 12.如图，在△ABC中，AB=AC=8,∠BAC=120°，D、E分别是边BC、AC上的动点，且始终满足 ∠ADE=30°，则AE的最小值为() 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D A.2 B.2V5 C.4 D.3 13.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,过点A作AD I BC交BC于点D,点P为线段 AD上的一动点（点P可与点A,点D重合），连接CP,以CP为直角边向下作Rt△CPE,且 ∠PCE=∠ACB,连接DE,则DE的最大值和最小值分别为() D A号号 ®号治 c号 936 14.如图，在正△ABC中，AB=1,点P,Q分别在BC,AC上且有BP=CO,记PQ中点为D,连接 CD,则CD的最小值是()· D 4 3 c.23 5 o. 15.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E是BC边上任意一点，连接AE,F为AE中点，将线段 EF绕点F逆时针旋转0°，点E旋转到点E',连接DE,CE',则△CDE'周长的最小值为() B C E A.3+3√2 B.7 c.3+17 D.8 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=2,P是AC上一动点，连接BP,以BP为直角边 向PB上方作△PBQ,使∠PBQ=90°，∠BPO=30°，作BH1PO于点H,连接AH,则AH的最小值为( A.1 8. 3 c.3 2 考点03图形的相似相关折叠问题 17.如图，∠C=90°，AC=4,BC=3,点P、9分别为AB、BC上的动点，将△PQB沿P9折叠，使点 B的对应点D恰好落在边AC上，当△APD与△ABC相似时，AP的长为一 B 18.如图1等边△ABC,AB=6,点E、F分别是AB和AC上的点，△AEF沿EF折叠使点A落在BC上 的点D处，如图2，折痕为EF,且DB:DC=1:2,则DE:DF=一· D B D 图1 图2 19.如图，在正方形ABCD中，AB=15,点E在AB上，且AE=5,连接DE.将△ADE沿DE折叠得到 △FDE,连接CF,则CF的长为一 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 20.如图，在等边△ABC中，边长为20，点M为线段AB上一动点，将等边△ABC沿过M的直线折叠， 折痕与直线AC交于点N,使点A落在直线BC上的点D处，且BD:DC=1:4,设折痕为MN,则AW的 值为 A M B D 21.如图，矩形ABCD中，AB=12,AD=10.点E为AD的中点，连接BE,点P为BC上一个动点，点 Q为矩形另一边上的一个动点，过直线PQ将矩形折叠，使点C的对应点始终落在BE上，当△PMB与 △ABE相似时，CP的长为一· C E M B 22.如图，在菱形ABCD中，∠C=120°，AB=4V3,E是CD上一点，将△BCE沿BE折叠得到△BC'E, EF平分∠CED交AD于点F,当B,C',F三点在同一条直线上时，BF的长为一 F B 23.如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B处，CB'⊥AD,垂 足为F若CF=4cm,FB'=lcm,则BE=_cm. 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 28.如图，在等边△ABC中，边长为30，点M为线段AB上一动点，将等边△ABC沿过M的直线折叠， 折痕与直线AC交于点N,使点A落在直线BC上的点D处，且BD:DC=I:4设折痕为MN,则AN的值 为 A M B 29.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠C=90°，AB=1,CD=2,BC=3,P为BC边上一动点.若 AP⊥DP,垂足为P,则BP的长为一· D B 30,如图，在矩形1BCD中，E是边C上动点，SGE BC-E-反，∠AEF=-90.若BE=2则Cr的长 为一 B E 31.如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边CD上一动点，连接AE,将线段AE绕点E逆时针旋转 90°到线段EF,连接AF,BF,AF交边BC于点G,连接EG,当AF+BF取最小值时，线段CG的长为 :线段CE的长为一 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 32.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6,AC=8,D是CB延长线上一点，BD=3,F是边 AB上一动点（不与点B重合），以BF,BD为邻边作口BDEF,连接CE,G是线段CE上一点，且 CG=)G正，那么Gr的取值范图是一 G 10/10 专题10 图形的相似相关压轴题分类训练 （综合最值折叠动点4种类型32道） 考点01 图形的相似相关综合问题 考点02 图形的相似相关最值问题 考点03 图形的相似相关折叠问题 考点04 图形的相似相关动点问题 考点01 图形的相似相关综合问题 1．如图，在正方形中，对角线，交于点，是边的中点，连结，，分别交于点，过点作交的延长线于点．下列结论： ①； ②； ③若的面积为8，则正方形的面积为； ④． 其中结论正确的个数是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】过点作，，根据条件证明即可证明①；设正方形边长为1，结合是边的中点，即可证明②；可证，由是边的中点，可得，则由的面积为8，可知，则正方形面积可求；可证，得，通过证明，可得，则即可证明④． 【详解】解：过点作于I，于H，如图， ， ∵四边形是正方形， ，， ∴四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ， ，故②正确； 设正方形边长为1， 是边的中点， ， ， ， ， ；故①正确； ∵， ， 是边的中点， ∴， ， ∴， 的面积为8， ， ∵ ， ，故③错误； 四边形是正方形， ， ， ， ∵，，， ∴， ， 又∵， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，故④正确， 故选：C． 【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相关性质，并灵活运用所学知识解决问题． 2．矩形中，，点在边上，，．分别以点，为圆心，大于长为半径在直线的两侧作弧，使两弧分别交于点，，作直线交的延长线于点，交于点，连接，下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】由线段的垂直平分线的性质证明即可判断①；利用等腰三角形的性质以及平行线的性质证明即可判断②；利用相似三角形的性质求出、即可判断③④． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ，故①正确； ， 四边形是矩形， ，， ， ， 平分，故②正确； ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，，故③正确； ， ，故④正确． 综上所述，其中正确的有4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了作图—基本作图，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．如图，在等腰中，，，点D为的中点，点E，F分别在边上（点E，F与点A，B，C不重合），且，连接，下列结论：①可由绕点D逆时针旋转得到；②是等腰直角三角形；③；④四边形的面积等于的面积的一半．上述结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形性质及相似三角形性质与判定等知识，逐一分析即可求解． 【详解】解：∵在等腰中，，点D为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴可由绕点D逆时针旋转得到，①正确； 由①得，， ∴， ∴是等腰直角三角形，②正确； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴③正确； ∵， ∴， ∴， ∴④正确， 综上正确的结论有①②③④， 故选：D． 4．如图，在等边中，点D，E分别是边、上的动点，且．以为边作等边，使点A与点F在直线同侧，交于点G，交于点H．给出下面四个结论：①；②；③若，则；④若，则四边形是菱形． 上述结论中，正确的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、菱形的判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、菱形的判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，都是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，故④正确； 故选D． 5．如图，在矩形中，交于，垂足为，平分交于，交于，下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形和相似三角形的判定与性质，熟练掌握其性质是做题的关键．根据全等三角形得到线段的相等关系，再结合相似三角形得出面积关系和线段比例关系，最后推导出相应等式即可． 【详解】解：如图， 作于点， 在和中， ， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵，，， ∴， 故①错误； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故②正确； ∵，， ∴． 在和中， ，， ∴， ． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ． 故③正确； 如图， 作于点， 在和中， ∴， ∴． ∵，， ∴， ， ， ， 故④正确． 综上，结论正确的有3个：②③④． 故选：C． 6．如图，为等边三角形，，连接，F为的中点，连接并延长到点G，使，连接．下列结论： ①；②若，则；③在②的条件下，若，则． 其中正确的有（　　） A．①②③都正确 B．只有①②正确 C．只有②③正确 D．只有①③正确 【答案】A 【分析】①通过全等三角形的判定定理证得，可得， 得B、C、G三点共线，然后根据“全等三角形的对应边相等”推知； ②由可得，，由，得B、C、G三点共线，由，可得，可得，可得是等边三角形，可得，即得； ③过点D作于点Q．构建矩形，得．得．设，根据，得，，得，即得． 【详解】解：①如图1，∵点F是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． 故本选项正确； ②如图1，∵， ∴， ∴， ∵， ∴B、C、G三点共线， ∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴，，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故本选项正确； ③如图2，过点D作于点Q． ∵， ∴． 又， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． 设， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故本选项正确； 综上所述，正确的结论是①②③． 故选A． 【点睛】本题考查了相似综合题．熟练掌握等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形外角定理，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题的关键． 7．如图，矩形，点是边上的一点，把矩形沿折叠，点落在边上的点处，，，点M是线段上的动点，连接，过点E作的垂线交于点N，垂足为H．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用矩形的折叠相关知识，先用勾股定理求出，设，结合和利用勾股定理列出方程可求出，从而判定③错误，利用一线三直角模型可证明，从而判定①正确，利用相似三角形的性质可知，可判定②，作，证明，可判断故④正确，从而得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得， 在中，， ∴， 设， ∴， 在中，， 解得，即，故③错误； 在矩形中，， ， 又 ∵， ， ， ∴，故①正确； ， ， ∴，故②正确； 作， 则四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，故④正确； 故正确的有①②④，共三个． 故选：C． 【点睛】本题考查折叠的性质以及相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，掌握勾股定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 8．如图，在中，，，在的垂直平分线上，平分，底边，下述结论：平分；；的周长等于；是中点．其中正确的命题序号是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，由垂直平分线的性质，等腰三角形的性质可判断；通过相似三角形的判定与性质，解方程可判断；由垂直平分线的性质可判断；根据的结论求出、即可判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴，即平分，故正确； 由（）得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，整理得：， 解得或（舍去）， ∴，故正确； 的周长， ∵， ∴， ∵， 又因为， ∴， 即的周长，故正确； 由知，， ∴， 这就说明点不是线段的中点，故错误； 综上，正确， 故选：． 考点02 图形的相似相关最值问题 9．如图，在矩形中，．若点分别是线段上的两个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质等，作点关于的对称点，与相交于点，过点作于点，交于点，则，，，，即得，由垂线段最短，可知此时取最小值，最小值即为的长，再利用矩形的性质证明，进而根据相似三角形的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，与相交于点，过点作于点，交于点， 则，，，， ∴， 由垂线段最短，可知此时取最小值，最小值即为的长， ∵矩形中，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：． 10．如图，在中，，，，的顶点在上运动，且，，为线段的中点，连接，在点运动过程中，线段长度的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用相似进行转化先得出，是的中点，可得，再根据当时，最短，此时最短，根据直角三角形的面积以及相似三角形的性质，求得的最小值，即可得出的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： ， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵中， ∴， ∴，即， ∵是的中点， ∴， ∵，即， ∴， ∴当时，最短，此时最短， 当时，的面积， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上中线的性质、三角形面积的计算等知识，解决问题的关键是利用垂线段最短得到线段的最小值． 11．如图，在矩形中，，是对角线上的动点，连接，将直线绕点顺时针旋转使，且过作，连接，则最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】如图，作于H，连接延长交于E，作于F，先证明，得到，，进而证得，得到，推出点G在射线上运动，从而可知当时，的值最小；然后通过角的运算和等角对等边得到，接着利用勾股定理和三角形面积求得，通过证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于H，连接延长交于E，作于F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，，即， ∴， ∴，即为定值， ∴点G在射线上运动， ∴当时，的值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 12．如图，在中，，，分别是边上的动点，且始终满足，则的最小值为（　　） A．2 B．2 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，由等腰三角形的性质得，根据外角的性质得,证明，得出，过作于点，求出，设，则；设，则，根据相似三角形的性质得，整理为二次函数关系式，运用二次函数的性质可得结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又， ∴, 又， ∴， ∴， 过作于点， 在中，，， ∴，， ∴， 设，则；设，则； ∴， 整理得：， ∴ ∵, ∴抛物线开口向上，有最小值， 当时，有最小值为2， 即的最小值为2， 故选：A． 13．如图，在中，，，，过点A作交BC于点D，点P为线段上的一动点（点P可与点A，点D重合），连接，以为直角边向下作，且，连接，则的最大值和最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，确定点E在线段上运动是解题的关键；连接交的延长线于点F，过点D作于点G；由题意知，进而可得，则，而，从而，则可证明，，则点E在线段上运动，当与重合时，最小，当与重合时，最大，再求出最小值与最大值即可． 【详解】解：如图，连接交的延长线于点F，过点D作于点G； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E在射线上运动， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点P与点A重合时，点E与点B重合，当点P与点D重合时，点E与点F重合， ∴点E在线段上运动， 当与重合时，最小，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，且， ∴当与重合时，最大，最大值为线段的长，即为， ∵， ∴， 即的最小值为， 综上，的最大值和最小值分别为和． 故答案为：B． 14．如图，在正中，，点，分别在，上且有，记中点为，连接，则的最小值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，坐标与几何综合，过点作于，设，则，，，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，，求出，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ， ∵为等边三角形，，， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴，， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，， ∵记中点为， ∴， ∴ ， ∵， ∴时，的长度最小，为， 故选：A． 15．如图，在矩形中，，是边上任意一点，连接，F为中点，将线段绕点逆时针旋转，点旋转到点，连接，则周长的最小值为（    ） A． B．7 C． D．8 【答案】C 【分析】连接并延长，交延长线于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，证明以及四边形为正方形，并证明，易得即，即为等腰直角三角形，可知点的运动轨迹在过点且与夹角为的直线上；作点关于直线的对称点，连接，当点在同一直线上时，可有取最小值，即取最小值，此时周长取最小值，然后证明，，利用勾股定理可解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接并延长，交延长线于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∵四边形为矩形，， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转，点旋转到点， ∴，， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵F为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴为等腰直角三角形，， ∴点的运动轨迹在过点且与夹角为的直线上， 如下图，作点关于直线的对称点，连接， 则， ∴， 当点在同一直线上时，可有取最小值，即取最小值， 此时周长取最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴此时周长． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识，正确作出辅助线，确定点的运动轨迹是解题关键． 16．如图，在中，，，，P是上一动点，连接，以为直角边向上方作，使，，作于点H，连接，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】作于点D，连接，可证明得到，进一步可证明，得到，进而得到，证当时，的长度最短，求出，得到，则，即可得到． 【详解】解：作于点D，连接， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点P运动时，的度数不变， ∴当时，的长度最短， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴长度的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造相似三角形推出点H的轨迹是解题的关键． 考点03 图形的相似相关折叠问题 17．如图，，，，点P、Q分别为、上的动点，将沿折叠，使点B的对应点D恰好落在边上，当与相似时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质、折叠的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键，注意与相似要分情况讨论． 根据勾股定理可得，设，则，根据与相似，分两种情况讨论：①；②，利用相似三角形的性质分别列方程求解即可． 【详解】解：中，，，， ， 由折叠的性质得， 设，则， 与相似， 分两种情况讨论： ①若， ，即， 解得， ； ②若， ，即， 解得， ； 综上，的长为或， 故答案为：或． 18．如图1等边，，点、分别是和上的点，沿折叠使点落在上的点处，如图2，折痕为，且，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握折叠变换和等边三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴, 又∵，点在上， ∴， ， 又∵折叠后与重合， ∴, 又∵,且是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则有， 解得，， ∴， ∵， ∴， 解得即， ∴， ∴， ， 故答案为． 19．如图，在正方形中，，点E在上，且，连接．将沿折叠得到，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，正方形的性质，熟练掌握折叠的性质并结合全等三角形的判定与性质、相似三角形相似比是解决问题的关键．过点F作交，于点G，H，由翻折可知：，，，证明，可得，所以，解得，，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，过点F作交，于点G，H， 在正方形中，， ∴，， ∵，， ∴， 由翻折可知：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得，， 故答案为：． 20．如图，在等边中，边长为20，点为线段上一动点，将等边沿过的直线折叠，折痕与直线交于点，使点落在直线上的点处，且，设折痕为，则的值为 ． 【答案】14或 【分析】分点在上与的反向延长线上两类讨论，根据是等边三角形得到，，根据沿折叠得到可得，，，结合三角形内外角关系即可得到，即可得到，则可得，设，则，，代入比例式中，结合，求出x的值，即可得到答案． 【详解】解：①当点D在上时， ∵是等边三角形， ∴，， ∵沿折叠得到， ∴，，， 在中， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设，则，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 解得，经检验，符合题意， ∴； ②当点D在的反向延长线上时， 与①同理可得，， ∴， ∵，且， ∴，， 设，则，， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， 解得，经检验，符合题意， ． 故答案为：14或． 【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，等边三角形性质，折叠的性质，解分式方程等知识，解题的关键是根据折叠相等及三角形内外角关系得到相似的条件． 21．如图，矩形中，，．点为的中点，连接，点为上一个动点，点为矩形另一边上的一个动点，过直线将矩形折叠，使点的对应点始终落在上，当与相似时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查矩形与折叠，相似三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键，分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴； 当与相似时，则为直角三角形， ①当时，，如图，则， ∴，即：， 解得； ②当时，，则：， ∴，即：， 解得； 综上：或； 故答案为：或． 22．如图，在菱形中，，E是上一点，将沿折叠得到，平分交于点F，当B，，F三点在同一条直线上时，的长为 ． 【答案】 【分析】连接，过点E作交BC延长线于点H，由菱形的性质可得，，由两直线平行同旁内角互补可得，由折叠可知，，，由B、、F三点共线可得，进而可得，利用AAS可证得≌，于是可得，进而可得，即E为CD中点，由直角三角形的两个锐角互余可得，由含30度角的直角三角形的性质可得，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，连接，过点E作交BC延长线于点H，由折叠可知，，，， ， 四边形ABCD是菱形， ，， ， ，，F三点共线， ， ， 平分， ， ， ≌， ， ， 为CD中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ∽， ， ， 当B，，F三点在同一条直线上时，BF的长为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠问题，两直线平行同旁内角互补，角平分线的有关计算，全等三角形的判定与性质，线段中点的有关计算，直角三角形的两个锐角互余，含30度角的直角三角形，勾股定理，线段的和与差，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 23．如图，在菱形纸片中， 点在边上，将纸片沿折叠， 点落在处，， 垂足为  若， 则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据菱形的性质，翻折的性质，和三角形的相似判定和性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由翻折，菱形的性质，得： ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，过点E作， 设， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 24．如图，在矩形中，，是边上一点，将沿折叠后展开，点的对应点恰好落在边上，连接 （1） （填“”“”或“”）； （2）作的平分线交边于点，若，，则的长为 ． 【答案】 8 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形与折叠问题，勾股定理． （1）根据矩形的性质与折叠的性质得出，，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （2）过点M作于点N，证明，得出，进而根据折叠的性质得出，证明得出，设，则，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）四边形ABCD是矩形， ， ， 由折叠知， ， ， ， ， ，故答案为：； （2）如图，过点M作于点N， 平分，，， ， ，， ， ， ， 由折叠知， ， ， ， ， ， 在和中， ． 设，则， ， 在中，， ， 解得或（舍去）， ， ． 故答案为：． 考点04 图形的相似相关动点问题 25．如图，，射线和互相垂直，是上一个动点，点在射线上，，作并使，连接并延长交射线于点．若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形和相似三角形．熟练掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，添加辅助线，是解题的关键．作于点G．证明，得，，由，得，即可得． 【详解】解：过点F作于点G， 则， ∵， ∴， ∴ ，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 26．如图，在锐角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为，点E运动的速度为，如果两点同时开始运动： （1）当时，运动时间为 秒； （2）以点A，D，E为顶点的三角形与相似，且与不平行时的运动时间为 秒． 【答案】 3 【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）当时，即当时，又因为，则，代入数值到进行计算，即可作答． （2）因为与不平行，则当时，结合，证明，再代入数值到，进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵， ∴ ∵， ， ， ， 解得：， 故答案为：； （2）设经过后，以点A，D，E为顶点的三角形与相似，且与不平行，且 ，， 即 ， ， ， 解得：； 故答案为：； 27．如图，等边的边长为，，，为边上动点，以的速度从向运动，假设点运动时间为，当 时，与相似． 【答案】或或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分两种情况讨论，若，则；若，则，以此为等量关系列出方程，求出，进而求出时间即可． 【详解】解：∵等边的边长为， ∴， 若， 则， ， 或4， 或， 若， 则， ， ， ， 故答案为：或或． 28．如图， 在等边中，边长为30，点M为线段上一动点，将等边沿过的直线折叠，折痕与直线交于点，使点落在直线上的点处，且设折痕为，则的值为 ． 【答案】21或65 【分析】分点在上与的反向延长线上两类讨论，根据是等边三角形得到，，根据沿折叠得到可得，，，结合三角形内外角关系即可得到，即可得到，则可得，设，则，，代入比例式中，可得，，根据，求出x的值，即可得到答案． 【详解】解：①当点D在上时， ∵是等边三角形， ∴，， ∵沿折叠得到， ∴，，， 在中， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设，则，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴； ②当点D在的反向延长线上时， 与①同理可得，， ∴， ∵，且， ∴，， 设，则，， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， 解得， ． 故答案为：21或65． 【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，等边三角形性质，折叠的性质，解题的关键是根据折叠相等及三角形内外角关系得到相似的条件． 29．如图，在四边形中，，，，，为边上一动点．若，垂足为，则的长为 ． 【答案】1或2 【分析】设，则．利用，得，代入即可解决问题． 【详解】解：设，则． ，， ， ． ． ， ． ， 解得． 经检验，均为原分式方程的解． 故的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角模型是解题的关键． 30．如图，在矩形中，是边上一动点，．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质，先求得，得，进而求得，据此即可求得答案． 【详解】解：如图所示，连接． ∵矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴， ∴． 故答案为：． 31．如图，点是边长为8的正方形的边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转到线段，连接，，交边于点，连接，当取最小值时，线段的长为 ；线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，作出正确的辅助线是解题的关键． 过点作交的延长线于点，作直线，首先证明，得，，再证明点在的平分线上，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时，最小，设，由图1知，，则，由，得到对应边成比例即可求出的值，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，作直线， 四边形是正方形， ，，， ， ， 由旋转知，，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 点在的平分线上， 如图2，延长使得， 在与中， ， ， ， ， 当三点共线时，取最小值， ，， 四边形为平行四边形， ， 设，由图1知，， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， 故答案为：；． 32．如图，在Rt中，，，，是延长线上一点，，是边上一动点（不与点重合），以，为邻边作，连接，G是线段上一点，且，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】如图1，在上截取，连接并延长交于M，作垂直于点P，，F在边上移动时，点G在过点N与平行的直线上移动．如图2，当时最小，．如图3，当点F和点A重合时最大，分别求出最大值和最小值即可求出的取值范围． 【详解】解：如图1，在上截取，连接并延长交于M，作垂直于点P， ∵，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴当F在边上移动时，点G在过点N与平行的直线上移动， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2，当时最小，此时， 如图3，作于T，交于I，作于Q，则，， 当点F和点A重合时最大，此时， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质等知识点，关键是添加辅助线构造相似． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $