专题08 一元二次方程应用题分类训练1（工程行程几何动点比赛增长率5种类型40道）（高效培优期末专项训练）九年级数学上学期湘教版

专题08 一元二次方程应用题分类训练1 （工程行程几何动点比赛增长率5种类型40道） 考点01 工程问题 考点02 行程问题 考点03 几何动点问题 考点04 比赛问题 考点05 增长率问题 考点01 工程问题 1．随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍． （1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？ （2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数） 2．公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 3．为保护人类赖以生存的生态环境，中国植树节定于每年的3月12日，通过立法确定的节日．今年3月某县举办了大型植树活动，现有相邻的、两个社区计划共种树78棵，已知社区每天可以种植6棵树，社区每天可以种植12棵树． （1）由于人员调动，要求社区种植天数至少是社区种植天数的倍，当种植结束时，社区至多种植多少天？ （2）、两个社区种植一棵树的所需费用分别为500元和750元，在（1）问社区最多种植天数基础上，社区最少种植了5天．在实际种植过程中，社区决定加大投入，种更多的树，总费用共投入67500元，社区每天种植棵数不变，种植天数比（1）问中社区最多天数多；社区每为种植棵数下降，种植天数比（1）问中社区最少种植天数多，求的值． 4．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米 （1）由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间至少为多少小时？ （2）通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的最少里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比（1）中的最小值多，同时，因为工人操作大型设备不够熟练，使得大型设备铺设公路的效率比原计划下降了，使用时间比（1）中大型设备使用的最短时间多，求的值． 5．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 6．“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 7．列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 8．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 考点02 行程问题 9．九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 10．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 11．一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动20m后小球停下来．     （1）小球滚动了多少时间?     （2）平均每秒小球的运动速度减少多少?     （3）小球滚动到5m时约用了多少时间（精确到0.1s）? 12．为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小明每分钟跑多少米？ (2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟． 13．已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度米秒与时间秒之间满足一次函数关系，其图象如图所示；    (1)求与之间的函数关系式； (2)已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间该运动状态下的平均速度，表示这段时间起始时刻的速度，表示这段时间结束时刻的速度．若该车刹车后秒内向前滑行了米，求的值． 14．某学校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏型．如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程与时间满足关系：（），乙以4的速度匀速运动，半圆的长度为21． （1）甲运动4后的路程是多少？ （2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ 15．某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如下表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）． 注：步数×平均步长＝距离． （1）根据题意完成表格填空； （2）求x的值； （3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长． 16．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后又滑行25m后停车． （1）从刹车到停车用了多少时间？ （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ （3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）？ 考点03 几何动点问题 17．在中，，，，点从点开始向点以的速度运动，同时，点从点开始向点以的速度运动，当点运动到点后停止，点也随之停止运动， (1)设的运动时间为，则的长度为_____（用含的式子表示） (2)若的面积为，求的运动时间； (3)的面积能否为？若能，请求出的运动时间；若不能，请说明理由 18．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以相同的速度向点D移动，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为t秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点P和点Q的距离可能是吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． 19．如图，在直角中，，cm，cm．点P从点A出发，沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B出发，沿向点C以的速度移动，设运动时间为t（秒）． (1)用t的代数式表示：_______，_______． (2)线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出移动时间；若不能，请说明理由． 20．如图，在矩形中，．点从点出发，沿运动，速度为每秒2个单位长度；点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为（秒）．连接． (1)点运动到点时，___________；当点运动到点时，的长度为___________． (2)用含的代数式表示的长． (3)当的面积为9时，求的值． 21．如图，在矩形中，，，点M从点A出发沿以的速度向点D移动，一直到达点D为止；同时，点N从点C出发沿以的速度向点B移动．经过多长时间，M、N两点之间的距离是？ 22．在矩形中，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动（点停止移动时，点也停止移动）．设移动时间为，连接． (1)用的式子表示______，______； (2)当为何值时，四边形的面积为？ (3)当为何值时，两点间的距离为13cm？ 23．在矩形中， ，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 24．如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、．设点、运动的时间为． (1)当_____时，四边形是矩形； (2)当_____时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻使得，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 考点04 比赛问题 25．某单位准备举办羽毛球邀请赛，赛制为单循环（每两位选手之间各比赛一场），计划一共举行45场比赛． (1)求该邀请赛的参赛选手人数； (2)为保证比赛正常进行，邀请方与羽毛球商两次协商后，羽毛球商由原来每桶羽毛球售价50元，降为每桶32元，求平均每次协商后降价的百分率． 26．九年级乒乓球赛制采用单循环形式（每两人之间进行一场比赛）． (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)以下是小文和小博对比赛总场数的统计，判断小博的说法是否正确，并说明理由． (3)若八年级也举行单循环赛制的乒乓球比赛，且比赛场次控制在90~100之间，则应该安排___________名参赛者． 27．以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 28．课本再现 （1）某校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每：两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛？ 模型变式 （2）年月日晩，江西省第十六届运动会在九江市隆重开幕，已知某个学校体育项目部的比赛所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛．    29．九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． (1)依据两人对话，乐乐列出方程：．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； (2)赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值． 30．2025年江西省举行赣超足球联赛，宜春和赣州最终联手进入决赛． 本次比赛第一阶段采取分区对抗，分为南、北两区，南区6个队，北区n个队，每个区进行双循环小组积分赛（每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛），各区取前四晋级决赛． (1)宜春队作为南区强队在第一阶段以小组第一晋级，问：宜春队第一阶段共参与了____场比赛． (2)如果北区第一阶段比赛总场数为20场，求 n 的值． 31．某校准备组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，求共有多少个队参加？ 32．请阅读下面材料，解决后面的问题： 材料一：单循环赛是体育比赛中的一种赛制，规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他每支队伍比赛一次．例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行场比赛，这4支队伍的比赛总场次为： 场． 材料二：淘汰赛是体育比赛中的又一种赛制，规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局．胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示． 材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． (1)大连是中国著名的“足球城”，某区组织区内企业进行足球比赛，在上届比赛中，有一支球队参加了8场比赛，以不败战绩获得积分18分，求这支球队胜了多少场； (2)在本届比赛中，由于报名参加比赛的队伍增多，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行496场比赛，这样场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛能决出冠军？ 考点05 增长率问题 33．某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变 (1)求四、五两个月销售量的月平均增长率； (2)从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？ 34．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 35．随着科技发展，骑共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计，某市2025年7月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，9月份租车量达9360人次，求平均每个月的增长率． 36．2025年，明水古城依托其深厚的文化底蕴，旅游经济持续向好．据统计，2023年明水古城全年接待游客量为100万人次，预计到2025年全年，接待游客量将达到144万人次． (1)求2023年到2025年这两年明水古城游客量的年平均增长率． (2)古城某特产店销售一款“平遥推光漆器”纪念品，已知该纪念品平均每天可售出20件，每件盈利40元．在2025年“十一”黄金周期间，该店决定降价促销．如果每件降价1元，平均每天可多售出2件．在每件纪念品盈利不少于25元的前提下，要使该纪念品每天盈利1200元，每件纪念品应降价多少元？ 37．安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 38．果农张大爷原计划以每千克4元的价格销售某种水果，由于部分果农盲目扩大种植，造成该水果滞销，张大爷为了加快销售，减少损失，经过两次下调价格后，以每千克元的价格销售．求平均每次下调价格的百分率． 39．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，8月份进馆120人次，进馆人次逐月增加，到10月份累计进馆570人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过400人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，学校图书馆能否接纳11月份的进馆人次？说明理由． 40．“尊老敬长”是刻在我们骨子里的传统，某地文旅商店在售卖一款冰箱贴时，对60岁以上老人购买冰箱贴给予每个两元的优惠，对其他人则按原价销售．某旅行团在此商店每人购买了一个冰箱贴，共花费了90元，售货员发现该旅行团人数和每个冰箱贴的原价恰好相同，该旅行团中有5名60岁以下成员，其余成员均在60岁以上． (1)求冰箱贴的原价． (2)一段时间后新品上市，这批冰箱贴需清仓处理，商店经历两次降价，降价百分率相同，降价后，60岁以上老人购买冰箱贴仍给予每个降价两元的优惠．若一名60岁以上老人购买一个冰箱贴付款6.1元，求降价的百分率． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 一元二次方程应用题分类训练1 （工程行程几何动点比赛增长率5种类型40道） 考点01 工程问题 考点02 行程问题 考点03 几何动点问题 考点04 比赛问题 考点05 增长率问题 考点01 工程问题 1．随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍． （1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？ （2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数） 【答案】（1）甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月． （2）甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元． 【分析】（1）若乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需（x+5）个月，等量关系为：“两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍”，据此列方程求解即可． （2）设甲队施工m个月，求出乙施工的时间，根据工程款不超过1500万元，列不等式求解． 【详解】解：（1） 设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需（x+5）个月， 根据题意，得， 即， 解得（不合题意，舍去）． ∴． 答：甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月． （2）设甲队施工m个月，则乙施工的时间为m 个月， 由题意得，100m+（100+50）m≤1500， 解得： ∵施工时间为整数， ∴m≤8， 答：完成这项工程，甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，难度一般，解本题的关键是根据题意设出未知数列出方程及不等式求解． 2．公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20% (2)在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． 3．为保护人类赖以生存的生态环境，中国植树节定于每年的3月12日，通过立法确定的节日．今年3月某县举办了大型植树活动，现有相邻的、两个社区计划共种树78棵，已知社区每天可以种植6棵树，社区每天可以种植12棵树． （1）由于人员调动，要求社区种植天数至少是社区种植天数的倍，当种植结束时，社区至多种植多少天？ （2）、两个社区种植一棵树的所需费用分别为500元和750元，在（1）问社区最多种植天数基础上，社区最少种植了5天．在实际种植过程中，社区决定加大投入，种更多的树，总费用共投入67500元，社区每天种植棵数不变，种植天数比（1）问中社区最多天数多；社区每为种植棵数下降，种植天数比（1）问中社区最少种植天数多，求的值． 【答案】（1）A社区至多种植3天；（2）a的值为40 【分析】（1）设A社区种植x棵树，则B社区种植（78-x）棵树，根据B社区种植天数至少是A社区种植天数的倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，进而可得出的取值范围，取其中的最大值即可得出结论； （2）根据投入的总费用=种植每棵树所需费用×植树棵树，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：（1）设A社区种植x棵树，则B社区种植（78-x）棵树， 依题意得：， 解得：x≤18， ∴≤3． 答：A社区至多种植3天； （2）依题意得：500×6×3（1+5a%）+750×12（1-a%）×5[1+（a+30）%]=67500， 整理得：2.25-90a=0， 解得：=0（不合题意，舍去），=40． 答：a的值为40． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 4．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米 （1）由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间至少为多少小时？ （2）通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的最少里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比（1）中的最小值多，同时，因为工人操作大型设备不够熟练，使得大型设备铺设公路的效率比原计划下降了，使用时间比（1）中大型设备使用的最短时间多，求的值． 【答案】（1）当这个工程完工时，小型设备的使用时间至少为300小时；（2）32． 【分析】（1）设这个工程完工时，小型设备的使用时间为x小时，根据总工作量大于等于39000米列出不等式求解即可； （2）根据题意列出方程并求解，然后舍去不合题意的解即可． 【详解】（1）设这个工程完工时，小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为x小时， 根据题意得：， 解得：x≥300， 答：当这个工程完工时，小型设备的使用时间至少为300小时； （2）由题意得：300×（1+3.2%）×30+60×（1-%）×300×（1+%+30%）=39000+9000， 整理得：， 解得：或， ∵﹥0， ∴=， 故的值是． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，正确理解，找出合适的等量关系或不等关系，列出方程和不等式是解题的关键． 5．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 6．“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子 (2)400 【分析】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一次方程组，从而解决问题． （2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设“甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之和，列出方程． 【详解】（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子 由题意得：解得： 答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子． （2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子 由题意得： 整理得： 解得：，， 又∵甲、乙两组加工的天数均为整数 ∴ ∴200+100×2=400（袋） 答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子． 【点睛】本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的关键． 7．列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【答案】(1)甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件 (2)10 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意，得到等量关系是解题的关键． （1）设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据“甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同．”列出方程，即可求解； （2）先求出更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据“甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，” 列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，此时， 答：甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件； （2）解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 即m的值为10． 8．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 考点02 行程问题 9．九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 【答案】(1)第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时 (2)60分钟 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分式方程的实际应用， （1）设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时，根据第一队比第二队早40分钟到达步道终点列出方程求解即可； （2）小明从山路登山直至山顶共用m分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的热量”列出关于m的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时； （2）解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟． 10．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 11．一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动20m后小球停下来．     （1）小球滚动了多少时间?     （2）平均每秒小球的运动速度减少多少?     （3）小球滚动到5m时约用了多少时间（精确到0.1s）? 【答案】(1)4s；(2) 2.5m/s；（3）4-2. 【分析】弄清题意，根据以下关系解答： （1）小球滚动时间=总路程÷平均速度； （2）平均每秒小球的运动减少的速度=减少的速度÷小球滚动时间； （3）要用到的等量关系为：速度×时间=路程，时间为x，则速度为10-2.5x． 【详解】（1）小球滚动的平均速度==5（m/s）   小球滚动的时间：=4（s）   （2）=2.5（m/s）   （3）小球滚动到5m时约用了xs 平均速度== 依题意，得：x·=5， 整理得： x2-8x+4=0 解得：x=4±2，所以x=4-2. 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，本题的重点在于求出平均每秒小球的运动减少的速度，而平均每秒小球的运动减少的速度=(初始速度-末速度)÷时间. 12．为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小明每分钟跑多少米？ (2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)480米 (2)70分钟 【分析】（1）设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米，根据题意建立分式方程，解方程即可得； （2）设小明从地到地锻炼共用分钟，再根据热量的消耗规律建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米， 由题意得：， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解也符合题意， 则， 答：小明每分钟跑480米． （2）解：设小明从地到地锻炼共用分钟， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小明从地到地锻炼共用70分钟． 【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 13．已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度米秒与时间秒之间满足一次函数关系，其图象如图所示；    (1)求与之间的函数关系式； (2)已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间该运动状态下的平均速度，表示这段时间起始时刻的速度，表示这段时间结束时刻的速度．若该车刹车后秒内向前滑行了米，求的值． 【答案】(1) (2)该车刹车后秒内向前滑行了米 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意得出，路程等于速度乘以时间，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入， ， 解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：依题意，， ，， 则 依题意，， 即 解得：或（舍去） 答：该车刹车后秒内向前滑行了米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，求得一次函数解析式是解题的关键． 14．某学校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏型．如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程与时间满足关系：（），乙以4的速度匀速运动，半圆的长度为21． （1）甲运动4后的路程是多少？ （2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】（1）甲运动4后的路程是14；（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3． 【分析】（1）根据题目所给的函数解析式把t＝4s代入求得l的值即可； （2）根据图可知，二者第一次相遇走过的总路程为半圆，分别求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可． 【详解】(1)当时， （）， 答：甲运动4后的路程是14； （2）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆21，甲走过的路程为，乙走过的路程为4， 则， 解得：或（不合题意，舍去）， 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，试题比较新颖．解题关键是根据图形分析相遇问题，第一次相遇时二者走的总路程为半圆． 15．某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如下表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）． 注：步数×平均步长＝距离． （1）根据题意完成表格填空； （2）求x的值； （3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长． 【答案】（1）①，② ；（2）的值为0.1；（3）王老师这的平均步长为0.5米/步． 【分析】（1）①直接利用王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍，得出第二次锻炼的步数；②利用王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x，即可表示出第二次锻炼的平均步长（米/步）； （2）根据题意表示出第二次锻炼的总距离，进而得出答案； （3）根据题意可得两次锻炼结束后总步数，进而求出王老师这500米的平均步长． 【详解】（1）①根据题意可得第二次锻炼的步数为10000（1＋3x）； ②第二次锻炼的平均步长（米/步）为：0.6（1−x）； 故答案为：10000（1＋3x）；0.6（1−x）； （2）根据题意得， 解得（舍去），. 则的值为0.1. （3）根据题意可得：10000＋10000（1＋0.1×3）＝23000， 500÷（24000−23000）＝0.5（m）． 答：王老师这500米的平均步长为0.5米． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出第二次锻炼的步数与步长是解题关键． 16．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后又滑行25m后停车． （1）从刹车到停车用了多少时间？ （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ （3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）？ 【答案】（1）2.5s；（2）8m/s；（3）0.9 【分析】（1）由题意可得s＝25m，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从20m/s减少到0，由（1）可得车速减少共用了2.5秒，平均每秒车速减少量＝总共减少的车速÷时间，由此可求得； （3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s，继而可表示出这段路程内的平均车速，从而可求得x． 【详解】解：（1）从刹车到停车所用的路程是25m；从刹车到停车的平均车速是（m/s）， 那么从刹车到停车所用的时间是s； （2）从刹车到停车车速的减少值是20-0＝20， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是m/s； （3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s， 则这段路程内的平均车速为， 所以x（20-4x）＝15， 整理得：4x²-20x＋15＝0， 解得：， ∴x≈4.08（不合，舍去），x≈0.9（s）， 答：刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． 考点03 几何动点问题 17．在中，，，，点从点开始向点以的速度运动，同时，点从点开始向点以的速度运动，当点运动到点后停止，点也随之停止运动， (1)设的运动时间为，则的长度为_____（用含的式子表示） (2)若的面积为，求的运动时间； (3)的面积能否为？若能，请求出的运动时间；若不能，请说明理由 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了动点问题、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意即可解题； （2）设运动时间为，用代数式表示出的面积，进而解方程即可； （3）根据题意列出方程，发现无解，即可解题． 【详解】（1）解：由题意知，； 故答案为：； （2）解：设运动时间为，由（1）得：，则， 列方程得：， 解得：，， ∵且， ∴， ∴； 的运动时间为； （3）解：不能，理由如下： 若面积为，则可列方程得：， 解得：， ∵， ∴不合题意， ∴面积不能为． 18．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以相同的速度向点D移动，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为t秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点P和点Q的距离可能是吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)能， (3)能，或7 【分析】（1）根据当时，四边形为矩形，列出方程，求出解即可； （2）根据当时，四边形为菱形，在中，根据勾股定理列出方程，求出解即可； （3）先作出辅助线，表示，再根据勾股定理列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：∵点P、Q分别从点A、C同时出发，速度相同． ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴则， 根据题意得， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴当时，四边形为矩形， ， 解得， ∴秒时，四边形为矩形． （2）解：运动过程中，四边形可以为菱形，理由如下： 连接、， ∵点、分别从点、同时出发，速度相同， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形 在中，，， ∴ 即 解得， ∴运动时间为时，四边形为菱形． （3）解：点和点的距离可以是，理由如下： 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，有， 即， 解得，． ∴当运动时间为或时，点和点的距离是． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了动点问题，勾股定理，矩形和菱形的性质，一元二次方程的解法，灵活掌握相关知识是解决问题的关键． 19．如图，在直角中，，cm，cm．点P从点A出发，沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B出发，沿向点C以的速度移动，设运动时间为t（秒）． (1)用t的代数式表示：_______，_______． (2)线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出移动时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用， （1）根据速度乘以时间求出点运动的距离即可； （2）经过t秒，线段能将分成面积相等的两部分，根据的面积是的面积的一半，列出一元二次方程，化为一般式，再利用根的判别式可得结论． 【详解】（1）解：由题意知：，，则， 故答案为：，； （2）解：不能，理由如下： 设经过t秒，线段能将分成面积相等的两部分，即是 面积的一半， 由题意知：， ， ∵， ∴此方程无解， ∴线段不能将 分成面积相等的两部分． 20．如图，在矩形中，．点从点出发，沿运动，速度为每秒2个单位长度；点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为（秒）．连接． (1)点运动到点时，___________；当点运动到点时，的长度为___________． (2)用含的代数式表示的长． (3)当的面积为9时，求的值． 【答案】(1)， (2)当时，；当时，；当时，； (3)当的面积为9时或 【分析】本题考查了矩形的性质，列代数式，一元二次方程的几何动点问题，三角形的面积等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）点P到点C时，所走路程为，根据速度可得出t的值，当点Q到终点时，P点回到中点，可直接求出； （2）分三种情况讨论：点P在上时，时，时，再逐个情况作图，结合动点的速度和方向进行列式表示的长，即可作答． （3）当的面积为9时，类似（2）分三种情况进行讨论可得出结果． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∴， 则点到点时，所走路程为， ∵速度为每秒2个单位长度 ∴， ∵点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度， ∴当点到终点时，， 则点的运动路程为， ∵点从点出发，沿运动，速度为每秒2个单位长度， ∴此时点P在边上， ∴点回到中点， ∴， 故答案为：，； （2）解：分三种情况： ①点P在上时， 则 即，如图所示： 故； ②点P在时， 则， ∴，如图所示： 此时 ③点P在时， ∴ 则，如图所示： 此时； （3）解：①点P在上时，，如图所示： 则，，， ， 解得：，（舍去） ②点P在时，，如图所示： 同理得， ， 解得： ③点P在时，，如图所示： 同理得， ， 解得（舍去） 综上所述，当的面积为9时，则或． 21．如图，在矩形中，，，点M从点A出发沿以的速度向点D移动，一直到达点D为止；同时，点N从点C出发沿以的速度向点B移动．经过多长时间，M、N两点之间的距离是？ 【答案】秒或秒 【分析】本题考查了动点问题，矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，解题关键在于正确表示线段长度，构造直角三角形，建立方程，易错点在于忽略解的合理性；设运动时间为秒，用表示线段，，，，构造图形与关系，应用勾股定理建立方程，解出方程并检验是否符合题意，即检验值有没有使得，点的运动超出矩形范围，超出需舍去． 【详解】解：设经过t秒时，M、N两点之间的距离是13cm， 则，， 如图，过点N作于点E，则四边形ABNE是矩形， ∴，， ∴． 根据题意得：， 即， 解得， （秒），， 经检验，两个值都符合题意． 答：经过秒或秒，M、N两点之间的距离是． 22．在矩形中，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动（点停止移动时，点也停止移动）．设移动时间为，连接． (1)用的式子表示______，______； (2)当为何值时，四边形的面积为？ (3)当为何值时，两点间的距离为13cm？ 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方，一元二次方程的应用、勾股定理的应用； （1）根据题意直接列出代数式； （2）根据梯形的面积为，列出一元一次方程，解方程，即可求解． （3）可通过构建直角三角形来求解．过作于，如果设出发秒后，．那么可根据路程速度时间，用未知数表示出的值，然后在直角三角形中，求出未知数的值． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为，，； （2）解：∵， ∴， 依题意，， 素 解得： （3）解：设出发秒后、两点间的距离是． 则，，作于，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 解得：或． 23．在矩形中， ，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当t的值为时，点B在的垂直平分线上 (2)当时，的长度等于10cm (3)存在t的值，使得五边形的面积等于，此时t的值为1 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）由题意得，，则，再根据垂直平分线的性质可得进行求解即可； （2）由勾股定理得出关于的一元二次方程，计算即可得解； （3）根据题意得出关于的一元二次方程，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：，则， 当时，点B在的垂直平分线上， ∴， 解得， ∴当t的值为时，点B在的垂直平分线上； （2）解：在中，由勾股定理得：， 即， ， ， 解得：（不合题意，舍去）， ∴当时，的长度等于； （3）解：存在t的值，使得五边形的面积等于，理由如下： 由题意得：， ， ∴五边形的面积， 即， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴存在t的值，使得五边形的面积等于，此时t的值为1． 24．如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、．设点、运动的时间为． (1)当_____时，四边形是矩形； (2)当_____时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻使得，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在某一时刻，使得 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，利用方程的思想求解是解题的关键． （1）当四边形是矩形时，，据此建立方程可求得的值； （2）当四边形是菱形时，，据此建立方程可求得的值； （3）根据勾股定理得到，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出答案； 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴；   由题意得， 则， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， 解得 即当时，四边形是矩形， 故答案为：； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 同理可得； 由矩形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即当时，四边形是菱形， 故答案为：； （3）解：不存在，理由如下： 如图， 过点作于点，    由矩形可知，，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，由运动可知， ， ， ， ， 若存在某一时刻，使得，则存在某一时刻使得， 即方程有解， 方程整理得， ∴， 故方程无解， 即不存在某一时刻，使得． 考点04 比赛问题 25．某单位准备举办羽毛球邀请赛，赛制为单循环（每两位选手之间各比赛一场），计划一共举行45场比赛． (1)求该邀请赛的参赛选手人数； (2)为保证比赛正常进行，邀请方与羽毛球商两次协商后，羽毛球商由原来每桶羽毛球售价50元，降为每桶32元，求平均每次协商后降价的百分率． 【答案】(1)10人； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该邀请赛的参赛选手人数为x，根据实行单循环赛制共赛了45场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设平均每次协商后降价的百分率为a，根据两次降价列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设该邀请赛的参赛选手人数为x人． 根据题意： 解得：，（不合题意，舍去） 答：该邀请赛的参赛人数为10人； （2）解：设平均每次协商后降价的百分率为a． 根据题意： 解得：，（不合题意，舍去） 答：平均每次协商后降价的百分率为． 26．九年级乒乓球赛制采用单循环形式（每两人之间进行一场比赛）． (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)以下是小文和小博对比赛总场数的统计，判断小博的说法是否正确，并说明理由． (3)若八年级也举行单循环赛制的乒乓球比赛，且比赛场次控制在90~100之间，则应该安排___________名参赛者． 【答案】(1)15场 (2)说法正确，理由见解析 (3)14 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个队伍需比赛的局数为，即可求解； （2）设有x个队伍报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （3）设有人参赛，则比赛的总场数为，然后取当，，，计算的值，结合题意即可得出答案． 【详解】（1）解： 故按赛制共进行了15场比赛； （2）解：小博的说法正确． 理由：设有人参赛， 由题意得， 整理得， 解得 的取值不为整数，即方程的解不符合实际， 小博的说法正确； （3）解：设有人参赛，则比赛的总场数为， 当时，； 当时，； 当时，； 又比赛场次控制在90~100之间， ∴应该安排14名参赛者， 故答案为：14． 27．以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 【答案】(1)平均增长率为 (2)此次参赛一共有8个球队 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）设每年接待游客人数的增长率为，根据题意可得，求解得到合适的x值； （2）设此次参赛一共有个球队，根据题意可得，求解得到合适的x值即可． 【详解】（1）解：设每年接待游客人数的增长率为， 可列方程：，解得（舍去） 答：平均增长率为． （2）解：设此次参赛一共有个球队， 可列方程：，解得，（舍去） 答：此次参赛一共有8个球队． 28．课本再现 （1）某校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每：两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛？ 模型变式 （2）年月日晩，江西省第十六届运动会在九江市隆重开幕，已知某个学校体育项目部的比赛所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛．    【答案】（1） （2） 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可； （2）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可； 【详解】（1）设应该邀请支球队参加比赛， 依题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：应该邀请支球队参加比赛． （2）有支球队参加比赛， 依题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：有支球队参加比赛． 29．九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． (1)依据两人对话，乐乐列出方程：．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； (2)赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值． 【答案】(1)正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：依题意，， ∴， 整理得 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 故淇淇的说法是正确， （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 整理得， ∴， 解得（舍去）， ∴x的值为． 30．2025年江西省举行赣超足球联赛，宜春和赣州最终联手进入决赛． 本次比赛第一阶段采取分区对抗，分为南、北两区，南区6个队，北区n个队，每个区进行双循环小组积分赛（每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛），各区取前四晋级决赛． (1)宜春队作为南区强队在第一阶段以小组第一晋级，问：宜春队第一阶段共参与了____场比赛． (2)如果北区第一阶段比赛总场数为20场，求 n 的值． 【答案】(1)10 (2)5 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确地列出方程是解题的关键： （1）根据每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛，列出算式进行计算即可； （2）根据每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，宜春队要跟其他的5个队各踢2场， ∴宜春队第一阶段共参与（场）比赛； 故答案为：10； （2）由题意，， 整理，得：， 解得或（舍去）； 故． 31．某校准备组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，求共有多少个队参加？ 【答案】共有8个队参赛 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设共有x个队参赛，根据题意列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． 【详解】解：设共有x个队参赛，则 解得：（舍去）． 答：共有8个队参赛． 32．请阅读下面材料，解决后面的问题： 材料一：单循环赛是体育比赛中的一种赛制，规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他每支队伍比赛一次．例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行场比赛，这4支队伍的比赛总场次为： 场． 材料二：淘汰赛是体育比赛中的又一种赛制，规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局．胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示． 材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． (1)大连是中国著名的“足球城”，某区组织区内企业进行足球比赛，在上届比赛中，有一支球队参加了8场比赛，以不败战绩获得积分18分，求这支球队胜了多少场； (2)在本届比赛中，由于报名参加比赛的队伍增多，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行496场比赛，这样场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛能决出冠军？ 【答案】(1)这支球队胜了5场 (2)这种方案共需要 119 场比赛能决出冠军 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设这个球队胜了x场，则平了场，根据总得分为18分建立方程求解即可； （2）设一共有m支球队参加比赛，根据单循环场次计算方法列出方程求出参与的球队数，进而求出每个小组的球队数，则可求出小组赛的场次，再求出淘汰赛的场次即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个球队胜了x场，则平了场， 由题意得，， 解得， 答：这支球队胜了5场； （2）解：设一共有m支球队参加比赛， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， ∴一共有32支球队参加比赛， ∵一共分成四个小组， ∴每个小组有支球队， ∴小组循环赛一共有场比赛， ∵把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军， ∴淘汰赛一共有支球队， ∴淘汰赛一共有场比赛， ∴一共有场比赛， 答：这种方案共需要119场比赛能决出冠军． 考点05 增长率问题 33．某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变 (1)求四、五两个月销售量的月平均增长率； (2)从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？ 【答案】(1)四、五月份销售量平均增长率为； (2)商品降价5元时，商场获利2250元 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． （1）设四、五月份销售量平均增长率为x，根据题意列出方程求出x的值，即求解平均增长率； （2）利用销量×每件商品的利润列方程求解即． 【详解】（1）解：设四、五月份销售量平均增长率为， 则 解得，（舍去） 所以四、五月份销售量平均增长率为； （2）解：设商品降价m元，则 解得，（舍去） 所以商品降价5元时，商场获利2250元． 34．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】(1)日平均增长率为 (2)每个玩偶降价元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； （2）解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 35．随着科技发展，骑共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计，某市2025年7月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，9月份租车量达9360人次，求平均每个月的增长率． 【答案】平均每个月的增长率为． 【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用增长率模型求解，其中为初始值，为最终值，为平均每月增长率． 【详解】解：设平均每个月的增长率为， 由题意得：， ， 或（舍去）， ， 答：平均每个月的增长率为． 36．2025年，明水古城依托其深厚的文化底蕴，旅游经济持续向好．据统计，2023年明水古城全年接待游客量为100万人次，预计到2025年全年，接待游客量将达到144万人次． (1)求2023年到2025年这两年明水古城游客量的年平均增长率． (2)古城某特产店销售一款“平遥推光漆器”纪念品，已知该纪念品平均每天可售出20件，每件盈利40元．在2025年“十一”黄金周期间，该店决定降价促销．如果每件降价1元，平均每天可多售出2件．在每件纪念品盈利不少于25元的前提下，要使该纪念品每天盈利1200元，每件纪念品应降价多少元？ 【答案】(1)这两年古城游客量的年平均增长率 (2)每个纪念品应降价10元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设2023年到2025年这两年明水古城游客量的年平均增长率为，根据2023年明水古城全年接待游客量为100万人次，预计到2025年全年，接待游客量将达到144万人次，列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． （2）设每件纪念品应降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，利用盈利每件的销售利润日销售量，列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这两年明水古城游客量的年平均增长率为， 则， ∴， 解得：，（舍去）， ∴这两年古城游客量的年平均增长率； （2）设每件纪念品应降价元，则销售量为件， 由题意得，， 整理得：， 解得，， 当时，每件纪念品盈利30元，符合题意； 当时，每件纪念品盈利20元，不符合题意； ∴每件纪念品应降价10元． 37．安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔每个应涨价5元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【详解】（1）解：设头盔销售量的月增长率为， 根据题意得： ， 解得（舍去）， 答：头盔销售量的月增长率为； （2）解：设头盔每个涨价元， 根据题意得： ， 整理得， 解得， 要尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 38．果农张大爷原计划以每千克4元的价格销售某种水果，由于部分果农盲目扩大种植，造成该水果滞销，张大爷为了加快销售，减少损失，经过两次下调价格后，以每千克元的价格销售．求平均每次下调价格的百分率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设出平均每次下调价格的百分率，根据从4元下调到2.56元，列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设平均每次下调价格的百分率是x，由题意得： ， 解得，， 因为降价的百分率不可能大于1， 所以不符合题意，舍去； 答：平均每次下调价格的百分率是． 39．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，8月份进馆120人次，进馆人次逐月增加，到10月份累计进馆570人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过400人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，学校图书馆能否接纳11月份的进馆人次？说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、含乘方的有理数混合运算的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设进馆人次的月平均增长率为，根据到10月份累计进馆570人次建立方程，解方程即可得； （2）结合（1）的结论，先求出10月份的进馆人次，再求出11月份的进馆人次，与400人次进行大小比较，由此即可得． 【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为， 由题意得：， 整理得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：进馆人次的月平均增长率为． （2）解：学校图书馆不能接纳11月份的进馆人次．理由如下： 由（1）已得：进馆人次的月平均增长率为， ∴10月份的进馆人次为（人次）， ∴11月份的进馆人次为（人次）， ∵因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过400人次，且， ∴学校图书馆不能接纳11月份的进馆人次． 40．“尊老敬长”是刻在我们骨子里的传统，某地文旅商店在售卖一款冰箱贴时，对60岁以上老人购买冰箱贴给予每个两元的优惠，对其他人则按原价销售．某旅行团在此商店每人购买了一个冰箱贴，共花费了90元，售货员发现该旅行团人数和每个冰箱贴的原价恰好相同，该旅行团中有5名60岁以下成员，其余成员均在60岁以上． (1)求冰箱贴的原价． (2)一段时间后新品上市，这批冰箱贴需清仓处理，商店经历两次降价，降价百分率相同，降价后，60岁以上老人购买冰箱贴仍给予每个降价两元的优惠．若一名60岁以上老人购买一个冰箱贴付款6.1元，求降价的百分率． 【答案】(1)冰箱贴的原价为10元 (2)降价的百分率为10% 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）设冰箱贴的原价为x元，根据题意列出方程，解出方程并舍去不符合题意的解即可； （2）设降价的百分率为m，根据题意列出方程，解出方程并舍去不符合题意的解即可． 【详解】（1）解：设冰箱贴的原价为x元， 由题意，得，整理，得， 解得（舍去）， 答：冰箱贴的原价为10元． （2）解：设降价的百分率为m， 由题意，得，整理，得， 解得（舍去）， 答：降价的百分率为10%． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $