专题05 反比例函数综合题分类训练（5种类型40道）（高效培优期末专项训练）九年级数学上学期湘教版

专题05 反比例函数综合题分类训练 （5种类型40道） 考点01 面积相关反比例函数综合题 考点02 角相关反比例函数综合题 考点03 周长最值相关反比例函数综合题 考点04 反比例函数与一次函数综合解不等式 考点05 几何动点相关反比例函数综合题 考点01 面积相关反比例函数综合题 1．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，交轴于点，交反比例函数（为常数，且，）的图象于点，已知． (1)求反比例函数的表达式； (2)点为反比例函数的图象上一点，且点在第二象限，连接、、，若四边形的面积为，求点的坐标． 2．如图1，矩形在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B坐标为．反比例函数的图象与交于点E，与交于点F．    (1)若点E为中点，求证：； (2)若的面积为，求反比例函数的解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，将沿x轴的正方向平移得到，若线段在内部的长度为3．求点P的坐标． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第二、四象限内的点和点，过点A作轴的垂线，垂足为点C，的面积为4．    (1)分别求出和的值； (2)结合图象直接写出的解集； (3)在x轴上取一点P，当取得最大值时，求P的坐标； (4)若点M是双曲线上一点，且，直接写出M点的横坐标． 4．已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点 (1)分别求出的值． (2)根据图象回答，在第一象限内，当取何值时？ (3)是反比例函数图象上的一动点，其中，过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由． 5．如图，是反比例函数的图象上的一点，过点作轴于点，连接，的面积为2，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)若一次函数的图象经过点，并交双曲线的另一支于点，交轴于点，那么在轴上是否存在一点，使得的面积为6？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 6．如图，点、在反比例函数（）的图象上，轴，轴，垂足分别为C、D，与相交于点E． (1)由图象直接写出、的大小关系； (2)若四边形的面积为2，求k的值． 7．如图，反比例函数（k为常数，）与正比例函数（m为常数，）的图象交于，B两点． (1)求反比例函数和正比例函数的表达式； (2)根据图象请直接写出不等式的取值范围； (3)若x轴上有一点，的面积为4，求点C的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，平行四边形的面积为． (1)求反比例函数的解析式 (2)连接，点为边与反比例函数图象的交点，点为轴上一动点，若点为的中点，，求点的坐标． 考点02 角相关反比例函数综合题 9．如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点，已知点A，B的坐标分别为和． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图2，若点P为第一象限内反比例函数图象上的一点，且满足，点Q为x轴上一动点，连接，当最小时，求出此时点Q的坐标． (3)在第（2）问的条件下，点M为反比例函数图象上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程． 10．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于点P，作轴，垂足为B， (1)求m的值； (2)点M是反比例函数的图象上的一点，且在点P的右侧，连接． ①连接，，若，求点M的坐标； ②过点M作交的延长线于点D，若，求点M的坐标． 11．如图，点为一次函数与反比例函数的图象的交点，点的纵坐标为轴，垂足为，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值． (2)点是反比例函数的图象上的一点，且在点的右侧，连接． ①如图1，连接，，在轴上有两个动点和点，点在点左侧，且，若，求点的坐标，并求出的最小值． ②如图2，过点作于点，若，请直接写出符合条件的点的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B． (1)求b和k的值; (2)求点B的坐标，并直接写出不等式的解集； (3)将直线沿x轴向左平移后，与x轴交于点C．当时，求点C的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的一个交点为，与x轴的交点为． (1)求k的值； (2)直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式； (3)P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，求点E的坐标． 14．如在平面直角坐标系中，点A、B是反比例函数的图像上的两点，且点A与点关于原点对称，直线经过点，设点A、B的横坐标分别为． (1)若，． ①求函数的表达式； ②求的面积； (2)若，求的值． 15．如图，菱形ABCD的顶点A、B分别在y轴与x轴正半轴上，C、D在第一象限，轴，反比例函数的图象经过顶点D． (1)若， ①求反比例函数的解析式； ②证明：点C落在反比例函数的图象上； (2)若，，求菱形ABCD的边长． 16．如图，平行四边形ABMN中，AC平分∠BAN交BM于C点，CD∥AB交AN于D点． （1）判断四边形ABCD的形状并证明你的结论； （2）以B点为坐标原点，BM所在的直线为横轴建立平面直角坐标系，若∠ABM = 60°，A点横坐标为2，请直接写出A、C、D点坐标及经过D点的反比例函数解析式； （3）设（2）中反比例函数的图象与MN交于P点，求当BM的长为多少时，P点为MN的中点． 考点03 周长最值相关反比例函数综合题 17．如图，一次函数的图象交x轴，y轴于A，B两点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点，，在x轴的正半轴上有一点D，且，连接．      (1)求点C的坐标和一次函数的解析式； (2)点E是线段上的一点，点F是x轴上的一动点，连接，其中，求出的周长最小值及此时点F的坐标； (3)在直线上是否存在一点P，使得，若存在，请直接写出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，一次函数的图象与反比例函数（，）的图象交于点，与x轴交于点C，与y轴交于点B． (1)求a与k的值； (2)由图象可知，当x______时，； (3)若点M为x轴上的动点，当的周长最小时，求点M的坐标． 19．如图，在平面直角坐标系中，点 和都在反比例函数的图像上． (1)在轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (2)现有条件下，你还能提出一个新的问题吗？（不必计算，只提出问题即可．） 20．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点与，过点A作轴，垂足为，连接、． (1)求的值； (2)求证：为等腰三角形； (3)为轴上一点，的周长是否有最小值，若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 21．如图，点，在反比例函数的图象上，轴于点D，轴于点C，． (1)求m，n的值及反比例函数的表达式． (2)连接，在线段上是否存在点E，使的面积等于3，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若P是y轴上的一个动点，请直接写出当的周长最小时点P的坐标． 22．如图，在矩形中，，，点是边的中点，反比例函数的图象经过点，交边于点，直线的解析式为． (1)求反比例函数的解析式和直线的解析式； (2)在轴上找一点，使的周长最小，求出此时的周长最小值和点的坐标． 23．如图，在矩形中，，，点是边的中点，反比例函数的图象经过点，交于点，直线的解析式为．    (1)求反比例函数的解析式和直线的解析式； (2)在轴上找一点，使的周长最小，求此时点的坐标； 24．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．    (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 考点04 反比例函数与一次函数综合解不等式 25．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，且一次函数与x轴，y轴分别交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图像直接写出不等式的解集； (3)若点P为x轴上一点，的面积为10，求出点P的坐标． 26．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)直接写出不等式的解集； (3)保持点位置不变，将直线逆时针转动得到新的直线，且与反比例函数的图象交于点，（点在第二象限），且点，的横坐标之和为，求点，的坐标． 27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于，两点，与轴、轴分别交于点，，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)反比例函数的图象上是否存在一点．使得，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 28．如图，在矩形中，，，点是边的中点，点在边上，反比例函数与一次函数的图象交于点、． (1)求反比例函数和点、的坐标； (2)直接写出关于的不等式的解集 (3)在轴上找一点，使的周长最小，请求出此时点的坐标． 29．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出关于的不等式的解集； (3)连接，求的面积． 30．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； (3)点是轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点的坐标． 31．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)请结合图象直接写出不等式的解集； (3)点是轴上的一个动点，且是为腰的等腰三角形，求点的坐标． 32．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直于轴、垂足为点，反比例函数 的图像经过的中点且与相交于点．经过两点的一次函数表达式为，若点的坐标为且． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)请观察图象直接写出不等式的解集． 考点05 几何动点相关反比例函数综合题 33．如图，在矩形中，，，动点以每秒1个单位长度从点出发，沿着运动，当点到达点时停止运动，同时，动点以每秒个单位长度从点出发，沿运动，、两点同时停止运动．记的面积为；点为直线上的动点，满足，点到的距离记为，设点的运动时间为秒． (1)请直接写出，关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 34．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿着折线方向运动到点停止，速度为每秒个单位长度，同时点以个单位长度每秒的速度从点出发，沿着方向运动到点停止，过点作交于点，设点运动的时间为秒，记的面积为，的周长与的周长之比为． (1)请直接写出与关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数和的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差范围不超过） 35．如图1，在中，，，，为的中点，连接．动点P从点B出发，沿折线方向运动，速度为每秒1个单位长度，到达点A时停止运动；同时动点Q从点C出发，沿方向运动，速度为每秒1个单位长度，到达点A时停止运动．设点P的运动时间为x秒，记为，记为． (1)请直接写出，分别关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； (2)在图2所示的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x取值范围（近似值保留小数点后1位，误差不超过0.2）． 画图如下： 36．如图，在矩形中，，，动点以每秒1个单位长度从点出发，沿着运动，当点到达点时停止运动，同时，动点以每秒个单位长度从点出发，沿运动，、两点同时停止运动．记的面积为；点为直线上的动点，满足，点到的距离记为，设点的运动时间为秒． (1)请直接写出，关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 37．如图，在矩形中，，，点为边上的三等分点（），动点从点出发，沿折线运动（不与、重合）．点的运动速度为每秒2个单位长度，设点运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)若函数，请在平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时的取值范围（保留一位小数，误差不超过0.2）． 38．如图1，在矩形中，，，对角线，交于点．动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发，沿着D→C→B运动，同时点Q从点D出发，以相同的速度沿射线 运动，当点P到达点B时，点P，Q同时停止，设点P运动的时间为x，的面积为，的面积为4，的长度为 (1)直接写出，与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)在图2所示的平面直角坐标系中，画出，的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质；根据函数图象，直接写出时x的取值范围．（近似值精确到，误差不超过） 39．如图，在中，，，点P为上一动点，，过点作交于点．设长为，与长之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围（结果保留一位小数，误差不超过）． 40．如图1，在中，为边上的高，，，，动点P从点B出发，沿以1个单位每秒的速度运动，到达点C时停止运动，设点P运动的时间为t，过点P作交的边于点Q，点P，Q的距离为，的面积与点P运动的路程之比为． (1)请直接写出，分别关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；并写出函数的一条性质； (3)当函数与的图像有两个交点时，请直接写出b的取值范围． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 反比例函数综合题分类训练 （5种类型40道） 考点01 面积相关反比例函数综合题 考点02 角相关反比例函数综合题 考点03 周长最值相关反比例函数综合题 考点04 反比例函数与一次函数综合解不等式 考点05 几何动点相关反比例函数综合题 考点01 面积相关反比例函数综合题 1．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，交轴于点，交反比例函数（为常数，且，）的图象于点，已知． (1)求反比例函数的表达式； (2)点为反比例函数的图象上一点，且点在第二象限，连接、、，若四边形的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】本题主要考查求反比例函数解析式，比例系数的几何意义，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数比例系数的几何意义，以及面积公式即可求解． 【详解】（1）解：将代入中，得， 解得， ． ，轴，且交轴于点， ，， ． 将代入，得， 解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：轴，且交轴于点，， 点的坐标为，， 即． ， ． 点在第二象限， ． 将代入中，得， 点的坐标为． 2．如图1，矩形在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B坐标为．反比例函数的图象与交于点E，与交于点F．    (1)若点E为中点，求证：； (2)若的面积为，求反比例函数的解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，将沿x轴的正方向平移得到，若线段在内部的长度为3．求点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)反比例函数解析式为 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）由矩形的性质可得，则根据点坐标可得，则可证明四边形为正方形，得到，，可求出点的坐标．则．证明△△，即可证明． （2）根据列式求解即可； （3）由（2）易得，，可求出直线解析式为，直线解析式为，直线解析式为；设，由平移的性质可得，，，则平移方式为向右平移个单位长度，则，可得直线的解析式为，直线解析式为，直线解析式为；再分当与交于，与交于，当与交于，与交于，分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵E为的中点， ∴，即， 把点E坐标代入中，得， 即， ∵， ∴当时，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴反比例函数解析式为； （3）解：由（2）知，反比例函数解析式为； ∵点B坐标为， ∴，， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为． 同理可得直线解析式为，直线解析式为． 设，由平移的性质可得，，， 则平移方式为向右平移m个单位长度，则， ∴直线的解析式为，直线解析式为， 直线解析式为．    ①当与交于G，与交于H， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴，， ∴，解得， ∴． ②当与交于K，与交于H， 同理可得，， ∴，解得， ∴． 综上，若线段在内部的长度为3，则点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，反比例函数与几何综合，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第二、四象限内的点和点，过点A作轴的垂线，垂足为点C，的面积为4．    (1)分别求出和的值； (2)结合图象直接写出的解集； (3)在x轴上取一点P，当取得最大值时，求P的坐标； (4)若点M是双曲线上一点，且，直接写出M点的横坐标． 【答案】(1)， (2) (3)； (4)2或或或． 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求函数解析，函数交点坐标的计算方法，线段最大值的计算方法，函数图象与几何图象的综合，几何图象的面积的计算方法等知识是解题的关键． （1）根据点的坐标可知，，，根据的面积为4，可求出的值，从而求出反比例函数解析式，将点的坐标代入即可求出的值； （2）由（1）求出点，的坐标，代入一次函数，运用待定系数法求出一次函数解析式，及一次函数与轴的交点，根据图示，可知不同的自变量取值范围一次函数的函数值与反比例函数的函数值的大小情况不同，由此即可求解； （3）作点关于轴的对称点，当点，，三点共线时，取得最大值，运用待定系数法求出所在直线的解析，令，即可求解点的坐标； （4）根据题意，先求出的面积，由此可得的面积，点在反比例函数图象上，设，根据图象（图示见详解），分类讨论，根据结几何图象的面积的计算方法，图形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：点在第二象限，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4， ，， ，解得，，即， 点在反比例函数的图象上， ，解得，， 反比例函数：， 点在反比例函数的图象上， ，解得， ，； （2）解：由（1）知，，且点，在一次函数的图象上， ， 解得，， 一次函数解析式为， 令时，则，解得，即一次函数与轴的交点为， 一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第二、四象限内的点和点， 结合图象的解集为：． （3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，   ，且点， 设所在直线的解析式为， ，解得，， 直线的解析式为， 当点，，三点共线时，取得最大值，且点在轴上，如图， 令时，， 点的坐标为． （4）解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，直线与轴交于点，   直线的解析式为，令，则， ，即， ，， ，， ， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， 设， ①如图所示，连接，，过点作轴于点，与交于点，过点作于点，过点作延长线于点，    设所在直线的解析式为，且，， ，解得， 直线的解析式为， ，轴， 点，的横坐标为，且点在直线的图象上， 当时，， ， ，，， ， ，整理得， 解得，，， 点的坐标为或，即点的横坐标为2或； ②如图所示，连接，，过点作轴于点，延长交于点，过点作延长线于点，过点作于点，    设直线所在直线的解析式为，且，， ， 解得，， 直线的解析式为， 点，，，在一条直线上，且轴， 点的横坐标为8，且点在直线的图象上， 当时，，即 ，，， ， ， 整理得，， 解得，，， 点的横坐标为或； 综上所述，点的横坐标为2或或或． 4．已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点 (1)分别求出的值． (2)根据图象回答，在第一象限内，当取何值时？ (3)是反比例函数图象上的一动点，其中，过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合、反比例函数与一次函数综合、反比例与不等式的综合等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）将分别代入中求解即可； （2）由可得，然后根据函数图象即可解答； （3）根据反比例函数的性质可得，则，即；进而得到即可结论． 【详解】（1）解：将分别代入中， ∴，即． （2）解：由可得， 观察图象，确定在第一象限内反比例函数在一次函数上方所对应的自变量取值为， 所以当时，． （3）解：，理由如下： ， ，即：， ， ，即， ， ∴． 5．如图，是反比例函数的图象上的一点，过点作轴于点，连接，的面积为2，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)若一次函数的图象经过点，并交双曲线的另一支于点，交轴于点，那么在轴上是否存在一点，使得的面积为6？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2)存在，点的坐标为或 【分析】（1）由的面积为2，点的坐标为．可求得的值，进而求得点坐标，代入反比例函数即可； （2）先求出一次函数解析式，再利用一次函数与反比例函数构成方程组求出点坐标，设点的坐标为，利用的面积为建立方程即可求解． 【详解】（1）解：由的面积为2，点的坐标为． 得， 解得， 点的坐标为． 把点代入，得， 解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：存在．理由如下： 把代入，得， 解得， 一次函数的表达式为， 点的坐标为． 联立 解得 点的坐标为． 设点的坐标为， 则， 解得或， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力，关键掌握用待定系数法解函数的解析式． 6．如图，点、在反比例函数（）的图象上，轴，轴，垂足分别为C、D，与相交于点E． (1)由图象直接写出、的大小关系； (2)若四边形的面积为2，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据图象即可得； （2）根据矩形的判定与性质可得，再根据点A、B的坐标可得，从而可得，因此，利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，； （2）解：轴，轴，， 四边形是矩形， ， 、， ， ， 解得， ， 将点代入得：． 7．如图，反比例函数（k为常数，）与正比例函数（m为常数，）的图象交于，B两点． (1)求反比例函数和正比例函数的表达式； (2)根据图象请直接写出不等式的取值范围； (3)若x轴上有一点，的面积为4，求点C的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，三角形的面积，数形结合是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）根据图象得出不等式的解集即可； （3）过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为E，F，然后根据点A、B、C的坐标表示出，，，最后再根据即可求出点C的坐标． 【详解】（1）解：将点A的坐标分别代入两个函数的表达式得： ， 解得， 则反比例函数和正比例函数的表达式分别为：，； （2）解：∵反比例函数（）与正比例函数（）的图象交于点和点B， ∴， 根据图象得：不等式的解集为或； （3）解：过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为E，F， ∵，，， ∴，， ∵， 即：， ∴， ∴， ∴C的坐标为或． 8．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，平行四边形的面积为． (1)求反比例函数的解析式 (2)连接，点为边与反比例函数图象的交点，点为轴上一动点，若点为的中点，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，待定系数法求解析式； （1）过点作轴垂足为，即可求得，根据平行四边形的面积为，可得，从而可得，即可求得点的坐标，待定系数法求解析式即可； （2）根据中点坐标公式先求得点的纵坐标，代入反比例函数解析式，进而求得的坐标．设，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：过点作轴垂足为， 平行四边形的边在轴上，点的坐标为， ， 平行四边形的面积为．    ， ， ， ； （2）解：∵点为的中点，点的坐标为， ∴点的纵坐标为． 又∵点在上， ∴． ∴． ∴ 设， ∵平行四边形的面积为． ∴． ∴． 解得：或． ∴点的坐标为或． 考点02 角相关反比例函数综合题 9．如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点，已知点A，B的坐标分别为和． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图2，若点P为第一象限内反比例函数图象上的一点，且满足，点Q为x轴上一动点，连接，当最小时，求出此时点Q的坐标． (3)在第（2）问的条件下，点M为反比例函数图象上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把点代入直线，可得一次函数的解析式，再把点代入，可求出m的值，即可求解； （2）求出点，根据，可求出点P的纵坐标，即可求解； （3）分两种情况：当点M在第三象限时，当点M在第一象限时，结合等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：把点代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为， 把点代入得：，解得：， ∴点， 把点代入得：， ∴反比例函数解析式为； （2）解：把代入得：， ∴点， ∵， ∴，即， ∴， ∴点P的坐标为， 设点A关于x轴的对称点D，则点，， ∴， 即当点P，Q，D三点共线时，取得最小值， 设直线得解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线得解析式为， 当时，， 解得：， 即点Q的坐标为； （3）解：当点M在第三象限时，如图，过点C作，交于点E，轴于点C，过点分别作于点G，F，则， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 由（2）得：，， ∴， ∴， 设点E的坐标为， ∴，解得：或5（舍去）， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：或； 此时点M的坐标为； 当点M在第一象限时，如图，过点C作交于点L，过点P作轴于点K，过点L作轴于点N，则， 同理， ∴， ∴，即点， 同理直线的解析式为， 联立得：，解得：或； ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：涉及了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质等知识，利用数形结合和分类讨论思想解答是解题的关键． 10．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于点P，作轴，垂足为B， (1)求m的值； (2)点M是反比例函数的图象上的一点，且在点P的右侧，连接． ①连接，，若，求点M的坐标； ②过点M作交的延长线于点D，若，求点M的坐标． 【答案】(1)24 (2)①点M的坐标为；②点M坐标为 【分析】本题考查的是反比例函数与几何综合、全等三角形的判定和性质、一次函数的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出P点的坐标，代入反比例函数解析式计算即可； （2）①过点M作轴于点N，先求出点，可得到，从而得到，设点M的坐标为，则，再由，求出a的值，即可求解；②过点P作交延长线于点G，作于点H，证明，可得，用t表示出点M的坐标，代入反比例函数解析式计算，得到答案． 【详解】（1）解：代入到，得， 解得， ∴， 代入到，得， ∴m的值为24； （2）解：①如图，过点M作轴于点N， 对于，当时，，当时，， ∴点A坐标为， 点C坐标为， ∵轴，点P坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，反比例函数的解析式为， 设点M的坐标为，则，， ∵， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴点M的坐标为； ②如图，过点P作过交BP的延长线于点G，作于点H， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴，， ∴ ∵点M在反比例函数的图象上的一点 ∴， 解得：，， ∵点M在点P的右侧， ∴， ∴点M坐标为． 11．如图，点为一次函数与反比例函数的图象的交点，点的纵坐标为轴，垂足为，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值． (2)点是反比例函数的图象上的一点，且在点的右侧，连接． ①如图1，连接，，在轴上有两个动点和点，点在点左侧，且，若，求点的坐标，并求出的最小值． ②如图2，过点作于点，若，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点的坐标，代入反比例函数解析式计算即可； （2）①过点作轴于点，先求出点，，可得到，从而得到，设点的坐标为，则，再由，求出的值，即可求解；因为，若求 的最小值，即求 的最小值加 ，将 向左平移 个单位得 ，则，作 关于 轴的对称点 ，则，故，则 的最小值为，用勾股定理求解即可； ②过点作交延长线于点，过作于点，证明，可得，用表示出点的坐标，代入反比例函数解析式计算，得到答案． 【详解】（1）解：对于， 当时，， 解得：， 点， 把点代入得： ， 解得：； （2）解：①如图，过点作轴于点， 对于， 当时，，当时，， 点，， ，， 轴，点．， ，， ， ， ， ∵在反比例函数上， ∴设点的坐标为，则， ∵P，M在为上， ， ， ∴， ， 即， 解得：或（舍去）， 点的坐标为； ∵，若求 的最小值，即求 的最小值加 ， 将 向左平移 个单位得 ，则， 作 关于 轴的对称点 ，则， 故， 当三点共线时， 最小，最小值为； 作，由勾股定理得： ， ∴ 的最小值为 ； ②如图2，过点作交延长线于点，过作交的延长线于点， ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ，， ∵在直线上， ∴设， ， ， ， 点是反比例函数的图象上的一点， ， 解得：，， 点在点的右侧， 点的坐标为． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质和图象、全等三角形的判定和性质、一次函数的性质和图象，对称求距离和最短，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B． (1)求b和k的值; (2)求点B的坐标，并直接写出不等式的解集； (3)将直线沿x轴向左平移后，与x轴交于点C．当时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)，或 (3) 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征，正确地理解题意是解题的关键． （1）把点代入求得，把代入得到的值即可； （2）解方程组得到，于是根据函数图象可得到不等式的解集； （3）设，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：把点代入得， ， ∴， 把代入得； （2）解：由（1）可知：一次函数解析式为，反比例函数解析式为， ∴联立得 解得或， ∴， ∴由函数图象可知不等式的解集为或； （3）解：设， ∵，，， ， ， 解得， ∵将直线沿x轴向左平移后，与x轴交于点C． ∴， ∴． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的一个交点为，与x轴的交点为． (1)求k的值； (2)直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式； (3)P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）把代入，可求出一次函数的解析式，从而得到点A的坐标，即可求解； （2）连接，求出点C的坐标为，可得，设点D的坐标为，可得到，再由勾股定理求出m的值，即可求解； （3）设点E的坐标为，求出直线的解析式，可用t表示点E的坐标，再由三角形的面积公式解答，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与x轴的交点为， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 把代入得： ，解得：， ∴点， 把点代入得：； （2）解：如图，连接， 由（1）得：反比例函数的解析式为， ∵直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点， ∴点C的坐标为， ∴， 设点D的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点D的坐标为， 设直线的函数表达式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； （3）解：设点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点P的坐标为， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴， 解得：或， ∴点E的坐标为或． 14．如在平面直角坐标系中，点A、B是反比例函数的图像上的两点，且点A与点关于原点对称，直线经过点，设点A、B的横坐标分别为． (1)若，． ①求函数的表达式； ②求的面积； (2)若，求的值． 【答案】(1)①，②15 (2)4 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数图象上的点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）①先求出点，，然后用待定系数法求出函数的表达式即可； ②设直线与x轴交于点M，直线交x轴于N，则，求解即可； （2）先求出，，，当是直角三角形时，只能是，则即代入计算即可得出结论． 【详解】（1）解：①点A、B是反比例函数的图像上的两点， 时，， ， 当时，，解得：， ， 把代入， 得，解得： ； ②令，则， ． 设直线与x轴交于点M，直线交x轴于N， ． 点与点关于原点对称， ， 设直线解析式为，把，代入， 得，解得： 直线解析式为． 令，则， ． ； （2）由题意，当时，， ， 当时，， ， 点与点关于原点对称， ， ， ， ， 又， ， ， 整理得：， ， ， ． 15．如图，菱形ABCD的顶点A、B分别在y轴与x轴正半轴上，C、D在第一象限，轴，反比例函数的图象经过顶点D． (1)若， ①求反比例函数的解析式； ②证明：点C落在反比例函数的图象上； (2)若，，求菱形ABCD的边长． 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】（1）①过点D做y轴垂线交于点F，由为菱形得，，进而求得，从而求得即可求出反比例函数的解析式；②过点C做x轴垂线交于点G，先求得，即可判断C落在反比例函数的图象上； （2）设，则，，从而求得BD=2BE=2，得进而有，解得，即可求解． 【详解】（1）①解：过点D做y轴垂线交于点F， ∵为菱形， ∴，， 易证四边形AOBE、AEDF为矩形 ∴， ∴， ∴ ②证明：过点C做x轴垂线交于点G， 易证四边形AEBO、ACGO为矩形 ∴， ∴， ∴C落在反比例函数的图象上； （2）解：∵，，DB=2BE，AC=2AE， ∴设，则，， ∴BD=2BE=2， ∴ ∵D在反比例函数上， ∴， ∴， ∴， ∴菱形ABCD的边长为6． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形，求反比例函数的解析式以及反比例函数的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 16．如图，平行四边形ABMN中，AC平分∠BAN交BM于C点，CD∥AB交AN于D点． （1）判断四边形ABCD的形状并证明你的结论； （2）以B点为坐标原点，BM所在的直线为横轴建立平面直角坐标系，若∠ABM = 60°，A点横坐标为2，请直接写出A、C、D点坐标及经过D点的反比例函数解析式； （3）设（2）中反比例函数的图象与MN交于P点，求当BM的长为多少时，P点为MN的中点． 【答案】（1）详见解析；（2）A（2，2），C（4，0），D（6，2），；（3）当BM=11时，反比例函数的图象经过MN的中点． 【详解】试题分析：（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明BA= BC即可得□ABCD是菱形；（2）作出等边三角形OC边上的高，利用勾股定理求得OA、OC的长，即可得A、C、D点坐标，再求过D点的反比例函数解析式；（3））设BM=a，则点把代入反比例函数解析式，解得a的值，． 所以当BM=a时，反比例函数的图象经过MN的中点． 试题解析：（1）是菱形， 证明：∵四边形ABMN是平行四边形 ∴ AD∥BC   ∵CD∥AB ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵AC平分∠BAN ∴∠BAC=∠DAC ∵AD∥BC ∴∠CAD=∠ACB ∴∠BAC=∠ACB ∴BA= BC ∴□ABCD是菱形 （2）A（2，2），C（4，0），D（6，2）， （3）设BM=a，则点 把代入，解之得． 所以当BM=11时，反比例函数的图象经过MN的中点． 考点：反比例函数与四边形的综合题． 考点03 周长最值相关反比例函数综合题 17．如图，一次函数的图象交x轴，y轴于A，B两点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点，，在x轴的正半轴上有一点D，且，连接．      (1)求点C的坐标和一次函数的解析式； (2)点E是线段上的一点，点F是x轴上的一动点，连接，其中，求出的周长最小值及此时点F的坐标； (3)在直线上是否存在一点P，使得，若存在，请直接写出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，， 【分析】（1）把点坐标代入反比例函数的解析式，求出点坐标，作轴于点，得到，平行线分线段成比例，求出点坐标，待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而得到，作轴于点，则，得到，进而推出点坐标，作关于轴的对称点，则，连接，进而得到当点在线段上时，的周长最小，求出的长，进而求出的周长的最小值，求出直线的解析式，进而求出点的坐标； （3）分两种情况讨论：①点P在的延长线上．过点P作轴于点N，证明，得到，设（），则，，根据列出方程，求解即可；②点P在线段上时，设为，过点作，交的延长线于点K，设点的坐标为（），证明，得到，由得到，根据两点间距离公式求出，， ，，代入后求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， ∴， ∴， 作轴于点，则：， ∴， ∴， ∴， 把，代入，得， 解得， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 作轴于点，则：， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， 作关于轴的对称点，连接，则， ∴，， ∴， ∴当点在线段上时，的周长最小为； 同（1）法可得：直线的解析式为， ∴当时，， ∴； （3）解：存在； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 分两种情况讨论： ①当点P在的延长线上时，过点P作轴于点N， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线：上， ∴设（）， ∴， ∵ ∴，解得， ∴． ②当点P在线段上时，设为，过点作，交的延长线于点K， 设点的坐标为（）， ∵， ， ∴， ∴是的平分线， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ， ， ， ∴， 整理，得， 解得或（不合题意，舍去）， ∴． 综上所述，符合条件的P点的坐标为或． 18．如图，一次函数的图象与反比例函数（，）的图象交于点，与x轴交于点C，与y轴交于点B． (1)求a与k的值； (2)由图象可知，当x______时，； (3)若点M为x轴上的动点，当的周长最小时，求点M的坐标． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，求一次函数解析式，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）先求出点的坐标，待定系数法求出k的值即可； （2）图象法求出不等式的解集即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点． 【详解】（1）解：把代入，得：； ∴， ∴； （2）由图象可知：当时，； （3）∵， ∴当时，， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接，则，； ∵的周长，其中为定值， ∴当在线段上时，的周长最小， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴． 19．如图，在平面直角坐标系中，点 和都在反比例函数的图像上． (1)在轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (2)现有条件下，你还能提出一个新的问题吗？（不必计算，只提出问题即可．） 【答案】(1)存在，点的坐标为； (2)在轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（答案不唯一） 【分析】（）由是定值，则最小即为的周长最小，利用轴对称可解决问题； （）根据题意，提出问题即可； 本题考查了一次函数和反比例函数的性质，利用轴对称的性质求最小值问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：存在； 如图，作点关于y轴的对称点，连接，交轴于点，此时的周长最小， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标为； （2）解：在轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的周长最小， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标为． 20．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点与，过点A作轴，垂足为，连接、． (1)求的值； (2)求证：为等腰三角形； (3)为轴上一点，的周长是否有最小值，若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）把与代入，解方程组即得； （2）过作于点，根据， ， 得到线段，，，得到垂直平分，即得为等腰三角形； （3）作点C关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小．设所在直线的表达式为，把，代入，解方程组得到，即可求得点的坐标为． 【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点与， ∴， 解得：， 故m的值为8； （2）过作于点， ∵ ∴点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴为等腰三角形； （3）存在，理由： 作点C关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小． 设所在直线的表达式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， 当时，， 故点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数、一次函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形判断，轴对称线段最短，待定系数法求一次函数解析式，一次函数性质，是解决问题的关键． 21．如图，点，在反比例函数的图象上，轴于点D，轴于点C，． (1)求m，n的值及反比例函数的表达式． (2)连接，在线段上是否存在点E，使的面积等于3，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若P是y轴上的一个动点，请直接写出当的周长最小时点P的坐标． 【答案】(1)，， (2)存在， (3) 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，解题的关键是求出函数解析式，根据反比例函数的性质解题. （1）将点A，点B坐标代入可求，由，即可求解； （2）由面积和差关系列出等式，即可求解； （3）作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点，此时有最小值，求出的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：点，在反比例函数的图象上， ， 即， ， ， ，， 点，点， ， 反比例函数的表达式为； （2）设点， ，，，， ， ， 点； （3）的周长， 又是定值， 当的值最小是，的周长最小， 如图，作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点，此时有最小值， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点． 22．如图，在矩形中，，，点是边的中点，反比例函数的图象经过点，交边于点，直线的解析式为． (1)求反比例函数的解析式和直线的解析式； (2)在轴上找一点，使的周长最小，求出此时的周长最小值和点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，直线的解析式为； (2)的周长最小值是，点的坐标为． 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数综合，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． （1）易得，把代入求出k的值，即可得出反比例函数的解析式为，进而得出，把和代入求出m和n的值，即可得出直线的解析式为． （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时，的周长最小．用待定系数法求出直线的解析式为，即可得出点的坐标为，再求出，，即可求出的周长最小． 【详解】（1）解：点是边的中点，，， ，则， 把代入得， ， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， 把和代入得， ， ， 直线的解析式为． （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时，的周长最小． 点的坐标为， 的坐标为，， 设直线的解析式为， ， 解得：． 直线的解析式为， 令，得， 点的坐标为， ，，， ，， 所以的周长最小值． 综上所述，的周长最小值为，点的坐标为． 23．如图，在矩形中，，，点是边的中点，反比例函数的图象经过点，交于点，直线的解析式为．    (1)求反比例函数的解析式和直线的解析式； (2)在轴上找一点，使的周长最小，求此时点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到，利用待定系数法求函数的解析式； （2）作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于P，连接，此时的周长最小，求得直线的解析式为，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点是边的中点，， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵反比例函数的解析式为， 当时，， ∴， 把和代入得： ， ∴， ∴直线DE的解析式为； 作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于P，连接，此时的周长最小，    ∵， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，轴对称——最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键． 24．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．    (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)在x轴上存在一点，使周长的值最小,最小值是． 【分析】（1）过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，则，由得到点A的坐标是，由A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上得到，解得，得到点A的坐标是，点B的坐标是，进一步用待定系数法即可得到答案； （2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，利用轴对称的性质得到，，则，由知是定值，此时的周长为最小，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点P的坐标，再求出周长最小值即可． 【详解】（1）解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D， 则，    ∵点，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标是， ∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． ∴， 解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， ∴， ∴反比例函数的解析式是， 设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得， ，解得, ∴直线所对应的一次函数的表达式为， （2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，    ∴点A与点关于x轴对称， ∴，， ∵， ∴的最小值是的长度， ∵，即是定值， ∴此时的周长为最小， 设直线的解析式是， 则， 解得， ∴直线的解析式是， 当时，，解得， 即点P的坐标是， 此时， 综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 考点04 反比例函数与一次函数综合解不等式 25．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，且一次函数与x轴，y轴分别交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图像直接写出不等式的解集； (3)若点P为x轴上一点，的面积为10，求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)P的坐标是或 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数综合应用，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）首先将点代入反比例函数，利用待定系数法确定反比例函数的表达式，再确定点A的坐标，然后利用待定系数法确定一次函数的表达式即可； （2）结合图像即可获得答案； （3）首先确定点C的坐标，设设，则，结合可得关于的绝对值方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数， 可得，解得， 反比例函数的表达式为， 将点代入反比例函数，得， 点A的坐标为． 将点A和点B的坐标分别代入， 得，解得， ∴一次函数的表达式为； （2）由图像可知，不等式的解集为或； （3）把代入，得， 解得， ∴点C的坐标是， ∵点P为x轴上一点，可设，则， ∵， ∴， ， ， ∴，解得或， 即P的坐标是或． 26．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)直接写出不等式的解集； (3)保持点位置不变，将直线逆时针转动得到新的直线，且与反比例函数的图象交于点，（点在第二象限），且点，的横坐标之和为，求点，的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握一次函数和反比例函数的性质． （1）将点代入求出反比例函数解析式，将代入反比例函数解析式，求出即可； （2）根据函数图象，得出不等式的解集即可； （3）先求出点C的坐标为，设直线的表达式为，联立，得出，根据点，的横坐标之和为，得出，求出，再求出直线和双曲线的交点坐标即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴， 解得：； （2）解：由图象可得，的解集为：或； （3）解：把代入得：， ∴点C的坐标为， 设直线的表达式为， 联立， 则， 整理得：， ， 解得：， ， 解得：，， ∵点在第二象限， ∴点． 27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于，两点，与轴、轴分别交于点，，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)反比例函数的图象上是否存在一点．使得，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数解析式为 (2)或 (3)或 【详解】（1）解：把代入，得， ∴反比例函数的解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵一次函数（）的图象过，， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴当时，x的取值范围为或． （3）解：①当点在第四象限时，如图，构造等腰直角三角形，且， 过作轴，再分别过作的垂线段，垂足分别为， 则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由点和点坐标同上可得直线解析式为， 联立，解得或（与点重合，舍去）， ∴； ②当点在第二象限时，如图，构造等腰直角三角形且， 同①理可得直线解析式为， 联立得，解得或（与点重合，舍去）， ∴，综上，或 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数交点问题、待定系数法求解析式、函数点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 28．如图，在矩形中，，，点是边的中点，点在边上，反比例函数与一次函数的图象交于点、． (1)求反比例函数和点、的坐标； (2)直接写出关于的不等式的解集 (3)在轴上找一点，使的周长最小，请求出此时点的坐标． 【答案】(1)；； (2)或 (3) 【分析】（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到，利用待定系数法求出函数的解析式，然后求出点E的坐标即可； （2）根据函数图象得出关于的不等式的解集即可； （3）作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于P，连接，此时，的周长最小，求得直线的解析式为，再求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴点，，， ∵点是边的中点， ∴点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得：， ∴点坐标为． （2）解：根据函数图象可得：当或时，反比例函数在一次函数的上面， ∴关于的不等式的解集为或； （3）解：如图，作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于P，连接， 根据轴对称可得：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵为定值， ∴此时最小，即的周长最小， ∵点D的坐标为， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，轴对称-最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键． 29．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出关于的不等式的解集； (3)连接，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点、三角形的面积、根据函数图象解不等式、一次函数与坐标轴的交点坐标等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）将点代入得，即，再将代入反比例函数解析式求得k的值即可解答； （2）根据一次函数与反比例函数交点，结合函数的图象即可得出关于x的不等式 x的解集即可； （3）求出一次函数与x轴交点C的坐标为，则；再结合坐标系和三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把代入一次函数得：， 点A的坐标为． 把点的坐标代入，得，解得∶， 反比例函数的表达式为． （2）解：把代入一次函数得：， ∴ ∴一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ∴由函数图象可得：不等式的解集为． （3）解：当时，，解得，即， 又点的坐标为， ． 30．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； (3)点是轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用．解题关键在于把已知点代入解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题； （3）首先求出，设，然后根据题意得到，求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 解得：， ， 把的坐标代入得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：观察图象可得， 不等式的解集为：或； （3）解：连接，由一次函数的解析式为可得， ∴， 设， 由题意可得， 解得：， 或． 31．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)请结合图象直接写出不等式的解集； (3)点是轴上的一个动点，且是为腰的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)，， 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，等腰三角形的定义，两点之间距离公式，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）先利用一次函数求出得到点A的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出直线与双曲线交点的横坐标，再由函数图象即可求解． （3）求出点C的坐标为，得到，再分和两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过， ∴，解得， ∴点， 把点代入得，， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：联立与得，， 解得或 ∴直线与双曲线的交点的横坐标为和6， ∴由图象得，的解集为或； （3）设点P的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴ 当时，，即， 解得（不合题意，舍去）或， ∴点P坐标为， 当时，，即， 解得或， ∴点P的坐标为或 综上可知，点P的坐标为或或． 32．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直于轴、垂足为点，反比例函数 的图像经过的中点且与相交于点．经过两点的一次函数表达式为，若点的坐标为且． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)请观察图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是数形结合思想的运用． （1）把代入，求得，利用中点坐标公式求出点C的坐标，再利用待定系数法求一次函数的表达式即可； （2）根据两函数图象的上下位置关系即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：把代入，得，解得， ∴反比例函数的表达式为， 由点的坐标为，且，得点的坐标为， ∵点为的中点， ∴点的坐标为， 将点和点代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：观察图象可知，当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上方， 不等式的解集为或． 考点05 几何动点相关反比例函数综合题 33．如图，在矩形中，，，动点以每秒1个单位长度从点出发，沿着运动，当点到达点时停止运动，同时，动点以每秒个单位长度从点出发，沿运动，、两点同时停止运动．记的面积为；点为直线上的动点，满足，点到的距离记为，设点的运动时间为秒． (1)请直接写出，关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1) (2)作图见解析；性质：在时，随x的增大而增大（合理即可） (3)当时，（上下限范围误差在0.2之间即可）． 【分析】本题考查“动点函数图象”“函数图象与不等式的关系”，通过动点的运动情况，根据几何关系列出函数表达式是解题关键． （1）观察图形，用含x的式子表示各线段的长，根据三角形的面积公式写出函数表达式即可； （2）根据（1）中所写的表达式，画出函数图象即可； （3）观察函数图象，先求出交点的横坐标，再结合两个函数图象的位置关系，判断取值范围即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 对于，由图可知，的面积有两种情况， 第一种：当点P在上时，即时， 由题意，得， ∴， 第二种：当点P在上时，即时， 由题意，得， ∴， 故 对于，由图可知，， 由题意，得，， ∴， 整理，得， 综上，； （2）解：作出图象如图所示， 由图象可知，的图象由两段线段组成，故可填性质参考如下，任选其一即可，或写其他性质，合理即可， 性质1：在时，随x的增大而增大； 性质2：在时，随x的增大而减小； 性质3：的最大值为6； （3）解：如图，和两个函数图象分别在和有两个交点， 令，解得（负值已舍去）， 令，解得（不合题意，舍去），或， 通过不断乘方计算逼近可知，，故， ，故， 故由图象可得，当时，（上下限范围误差在0.2之间即可）． 34．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿着折线方向运动到点停止，速度为每秒个单位长度，同时点以个单位长度每秒的速度从点出发，沿着方向运动到点停止，过点作交于点，设点运动的时间为秒，记的面积为，的周长与的周长之比为． (1)请直接写出与关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数和的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差范围不超过） 【答案】(1)， (2)画图见解析，性质：当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小（答案不唯一） (3)或 【分析】（）过点作于，可得四边形是矩形，即得，，即可得，分和两种情况，利用三角形面积公式和相似三角形的性质可求出的函数表达式，在利用求出可求出的函数表达式； （）根据函数解析式画出函数图象，再根据图象写出函数的性质即可； （）根据函数图象解答即可； 本题考查了一次函数与反比例函数综合应用，相似三角形的判定和性质，正确求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于，则， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，； 当时，如图，过点作的延长线于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （2）解：画图如下： 由图象可知，当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小； （3）解：由函数图象可知，当或时，． 35．如图1，在中，，，，为的中点，连接．动点P从点B出发，沿折线方向运动，速度为每秒1个单位长度，到达点A时停止运动；同时动点Q从点C出发，沿方向运动，速度为每秒1个单位长度，到达点A时停止运动．设点P的运动时间为x秒，记为，记为． (1)请直接写出，分别关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； (2)在图2所示的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x取值范围（近似值保留小数点后1位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)； (2)画图见解析，函数的一条性质：当时，取得最大值 (3)时x的取值范围为或 【分析】此题考查了动点问题的函数图象，一次函数和反比例函数的图象和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）如图所示，过点B作交于点E，过点A作交于点F，勾股定理求出，求出，然后利用等面积法求出，然后分和两种情况讨论，分别求出，然后利用面积公式即可求出； （2）根据列表，描点，然后用平滑的线连接即可画出图象，进而求得函数的一条性质； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作交于点E，过点A作交于点F， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴当时，点在线段上，如图， 根据题意得，， ∴； 当时，点P在线段上，如图， ∴， ∴； 综上所述，； 根据题意得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：列表如下： x 1 2.5 5 3 0 5 2 1 画图如下： 函数的一条性质：当时，取得最大值； （3）解：令，即， 解得（负值舍去）， 令，即， 解得或（舍去）， 由图象可得，当和时，函数图象在函数图象得下面， ∴时x的取值范围为或． 36．如图，在矩形中，，，动点以每秒1个单位长度从点出发，沿着运动，当点到达点时停止运动，同时，动点以每秒个单位长度从点出发，沿运动，、两点同时停止运动．记的面积为；点为直线上的动点，满足，点到的距离记为，设点的运动时间为秒． (1)请直接写出，关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)图见解析， (3) 【分析】（1）分、两段利用三角形面积求法求出，利用三角形面积求法求出； （2）根据（1）得到函数解析式，画图图象； （3）根据图象确定交点，再确定自变量的范围． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， 动点以每秒1个单位长度从点出发，沿着运动， 设点的运动时间为秒， 当时，， ∵记的面积为， ∴ ； 当时，在边上，如图， ， ∴ ， 综上所述，， 动点以每秒个单位长度从点出发，沿运动，设点的运动时间为秒， 则， ∵当点到达点时停止运动，动点以每秒个单位长度从点出发，沿运动，、两点同时停止运动， ∴(秒)， ∴， ∵点为直线上的动点，满足，点到的距离记为， ∴， ∴， 即． （2）如图， 写出函数的一条性质：当时，达到最大值为（答案不唯一）； （3）结合函数图象可知， 当时有交点， 所以，解得：，(舍去)， 因为近似值保留小数点后一位，误差不超过， 所以， 当时有交点， 所以，解得：(舍去)，， 所以， 所以当时的取值范围为． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，求一次函数解析式，用反比例函数描述数量关系，判断（画）反比例函数图象，一次函数与反比例函数的交点问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 37．如图，在矩形中，，，点为边上的三等分点（），动点从点出发，沿折线运动（不与、重合）．点的运动速度为每秒2个单位长度，设点运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)若函数，请在平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时的取值范围（保留一位小数，误差不超过0.2）． 【答案】(1) (2)见解析，函数的性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一） (3)或 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数与反比例函数图象的性质； （1）分两种情况当时和当时，写出一次函数解析式即可； （2）画出、函数图像并根据函数的图像写出一条函数的性质即可； （3）根据两个函数图像及交点坐标位置，直接写出不等式解集即可． 【详解】（1）解： ∵矩形，，， ∴，， ∵点为边上的三等分点（）， ∴， ∵点的运动速度为每秒2个单位长度， ∴在上运动的时间为：秒， 在上运动的时间为：秒， 当时，， 当时，， ∴； （2）解：函数、的图象如图： 函数的性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （3）解：由两个函数图像可知，当时的取值范围为或． 38．如图1，在矩形中，，，对角线，交于点．动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发，沿着D→C→B运动，同时点Q从点D出发，以相同的速度沿射线 运动，当点P到达点B时，点P，Q同时停止，设点P运动的时间为x，的面积为，的面积为4，的长度为 (1)直接写出，与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)在图2所示的平面直角坐标系中，画出，的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质；根据函数图象，直接写出时x的取值范围．（近似值精确到，误差不超过） 【答案】(1)， (2)图像见解析；函数的性质：当时，随的增大而增大；当时， 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据矩形性质求得，，，，然后分当点在或上时两种情况讨论，然后即可求解； （2）根据（1）所得解析式进行描点作图，然后分析图像，即可得到函数的性质，在分别联立方程组，求出交点坐标，即可求解； 【详解】（1）解：∵在矩形中，，，对角线，交于点， ∴，，， 作，，垂足分别为点和点，如图： ∴，， ∴，， 即， 解得：，， 当点在上时，，即， ，即， 当点在上时，作，垂足为，连接和，如图： ∴， 即，解得：， ，即， 综上所述：，； （2）解：如图： 函数的性质：当时，随的增大而增大， 联立函数：，解得：， ∵， ∴， 当时，，即和在第一象限的交点坐标为， 联立函数：，解得：，， ∵， ∴，即和在第一象限的交点坐标为， 综上所述：当时，； 39．如图，在中，，，点P为上一动点，，过点作交于点．设长为，与长之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围（结果保留一位小数，误差不超过）． 【答案】(1)，； (2)画图见解析，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而减小； (3)当时，的取值范围． 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，列代数式，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，则，根据平行线的性质和等腰三角形的性质可得出，则有； （）画出函数图象，再结合图象即可求解； （）结合图象即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而减小； （3）解：根据图象可知： 当时，的取值范围． 40．如图1，在中，为边上的高，，，，动点P从点B出发，沿以1个单位每秒的速度运动，到达点C时停止运动，设点P运动的时间为t，过点P作交的边于点Q，点P，Q的距离为，的面积与点P运动的路程之比为． (1)请直接写出，分别关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；并写出函数的一条性质； (3)当函数与的图像有两个交点时，请直接写出b的取值范围． 【答案】(1)； (2)图象见解析，性质：当时，随t的增大而增大；当时，随t的增大而减小 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合．熟练熟练掌握一次函数与反比例函数的图象和性质，函数与线段综合，函数与三角形面积综合，等腰直角三角形性质，锐角三角函数，勾股定理，函数与不等式，是解题的关键． （1）根据三角形的高，得，得，得，， ，可得，，当时， ，得；当时， ，得；根据，得； （2）根据时，；时，， 时，； 时，；时，；时，；时，；描点，连线，画出函数图象；当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小． （3）画出一次函数的图像，过点分别画出平行于一次函数的图像的直线，分别求出b的值，即可解答． 【详解】（1）解：在中，为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； 综上所述，，； （2）在中， 时，；时， 在中，时， 在中，时，；时，；时，；时， 画出如图所示函数图象； 由函数图象可知，当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小． （3）如图，将代入，得 ， ∴， 将代入，得 ， ∴， ∴由图可知，当函数与的图像有两个交点时， 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $