专题04 四边形相关反比例函数存在性问题分类训练（4种类型32道）（高效培优期末专项训练）九年级数学上学期湘教版

专题04 四边形相关反比例函数存在性问题分类训练 （4种类型32道） 考点01 反比例函数存在性问题（平行四边形） 考点02 反比例函数存在性问题（矩形） 考点03 反比例函数存在性问题（菱形） 考点04 反比例函数存在性问题（正方形） 考点01 反比例函数存在性问题（平行四边形） 1．定义：点关于原点的对称点为，以为边作等边，则称点为的“完美三角点”． (1)若，求点的“完美三角点”的坐标． (2)若点是双曲线上一动点，当点的“完美三角点”点在第四象限时， ①如图1，请问点是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由． ②如图2，已知点，点是线段上的动点，点在轴上，若以、这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1)或； (2)①点在某一函数图象上运动，；②或． 【分析】（1）则，可求；设，有，通过解方程可得，再进行运算即可； （2）①设则，可求；设，有，通过解方程可得，，据此求解即可； ②分三种情况讨论，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 设， ∴等边， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 整理得， 解得， 当时，， 当时，， ∴点N的坐标是或； （2）解：①点在某一函数图象上运动，理由如下， 设， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点N在第四象限，， ∴，， ∴ ∴，即； ②当为平行四边形的边时，C与B重合时， 通过平移可求得N的横坐标为1， ∵， ∴， ∴这一临界点通过平移可求得， ∴； 当为平行四边形的对角线时，C与B重合时， 通过平移可求得N的横坐标为3， ∵， ∴， ∴这一临界点通过平移可求得， ∴； C与A重合时，同理可得， 此时， 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查反比例函数综合题，平行四边形的判定与性质，对新定义的理解是解题的关键. 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． (1)求a，k的值； (2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接． ①求的面积； ②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点P和Q的坐标． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】本题属于反比例函数综合题，主要考查了求反比例函数的解析式，结合一次函数的解析式求点的坐标，结合平行四边形的性质求点的坐标等知识，解决问题的关键是熟练掌握分类讨论的思想． （1）将点的坐标代入一次函数表达式，求得点的坐标，再将其代入反比例函数表达式，即可解答； （2）①根据中点坐标公式先求出的纵坐标，再把纵坐标的代入反比例函数解析式求解的横坐标，作轴于，交于，再求解的坐标，再利用割补法进行计算即可； ②当是对角线时，即：四边形是平行四边形，进而求解；当为边时，即：四边形是平行四边形，进而求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， 将点的坐标代入一次函数表达式得：， 解得， 点， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得； （2）解：①点，点的纵坐标是0，， 点的纵坐标是，把代入得：， ， 如图，作轴于，交于， 当时，， ， ， ， ； ②， 当时，， ， 如图2，当是对角线时， ，，点的纵坐标为0， ， 当时，得：， 解得：（经检验，是原方程的根，且符合题意）， ； 当为边时，则四边形是平行四边形， 由得：， 解得：， 当时，得：， 解得（经检验，是原方程的根，且符合题意）， ， 综上所述，符合条件的点为或． 3．如图，矩形的顶点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，反比例函数图象经过的中点，且与交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)为轴上一点，为反比例函数图象上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求、两点的坐标． 【答案】(1)， (2)直线的解析式为 (3)或 【分析】（1）首先，根据矩形的性质确定顶点和的坐标，再利用中点的性质得到点的坐标，将其代入反比例函数表达式以求出系数，结合垂直于轴的特点，可确定点的横坐标，将其代入反比例函数即可得到点的坐标； （2）设所求直线的解析式为，将第（1）问中求得的点和点的坐标分别代入，列出方程组并求解，即可得到该一次函数的解析式； （3）设定点的坐标为，点在反比例函数图像上，坐标为，根据平行四边形“对角线中点重合”的性质，分三种情况进行讨论，在讨论过程中，需要舍去导致点重合的情况，最终得到符合条件的点坐标． 【详解】（1）矩形中， ∵，， ∴，， ∵是的中点， ∴， 反比例函数图象经过点， 代入得：， 由题意可知：是垂直于轴的线段，， ∴的横坐标为， 代入，得， 即． （2）设，代入、： ， 解得：， ∴解析式为． （3）设点在轴上，坐标为；点在反比例函数图象上，坐标为， 要使以为顶点的四边形是平行四边形，需考虑对角线互相平分的三种情况： ①以和为对角线 中点重合： ， 得方程组： ， 解得，， 此时，； ②以和为对角线 中点重合： ， 得方程组： 解得，， 此时，； ③以和为对角线 中点重合： ， 得方程组： ， 解得，， 此时与点重合，不能构成四边形，故舍去； 综上所述，满足条件的点和点的坐标为： 或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数与一次函数解析式的求解方法，以及平行四边形存在性问题的讨论策略。解决第三问的关键在于熟练掌握并运用“平行四边形对角线中点重合”这一几何性质． 4．如图，正方形和正方形，点在轴正半轴上，点、在轴正半轴上，点在边上，点，落在反比例函数第一象限的图象上，其中点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求线段的长； (3)点在反比例函数图象上，它的纵坐标是，是坐标平面内一点，，，，四个点组成一个平行四边形，请直接写出点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，正方形的性质，熟知反比例函数的图象和性质是解题的关键； （1）根据点的坐标及四边形是正方形，可得出点坐标，进而求出，得到反比例函数的表达式； （2）令小正方形的边长为，表示出点的坐标，再将点坐标代入反比例函数解析式，根据勾股定理求出线段的长； （3）设，当分别为对角线时，可求出点坐标． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，且， ∴点的坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）小正方形的边长为，则，， ∴点的坐标为． 将点坐标代入反比例函数解析式得，， 解得（舍去），， ∴，． 在中，． （3）∵在反比例函数图象上，它的纵坐标是， ∴，设， ∵，，，， 当为对角线时，，解得，∴； 当为对角线时，，解得，∴； 当为对角线时，，解得，∴； 所以的坐标为或或． 5．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接，． (1) ； ； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集 ； (3)求的面积； (4)若在平面内存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)2，1 (2)或 (3) (4)P点坐标为，， 【分析】（1）利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式，从而得出的值，再将代入反比例函数的解析式计算即可得解； （2）由（1）可得，再结合函数图象即可得解； （3）求出一次函数的解析式为，从而可得，即，再由计算即可得解； （4）利用平行四边形的性质，分三种情况：当、为邻边时；当、为邻边时；当、为邻边时；分别计算即可得解. 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数的解析式可得， 解得； （2）解：由（1）可得， 由函数图象可得：关于的不等式的解集为或； （3）解：∵一次函数经过点， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为， 当时，，故，即， 又∵、， ∴； （4）解：如图：设， ∵以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形， ∴①当、为邻边时，，，， 则， 解得： ∴； ②当、为邻边时，，，， 则， 解得：， ∴； ③当、为邻边时，，，，， 则， 解得：， ∴． 综上，P点坐标为，，. 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，平行四边形的性质，求反比例函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键. 6．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接． (1)m，k，b； (2)求的面积； (3)若在平面内存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或或 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数综合、函数图象上点的坐标特征、三角形面积计算、平行四边形性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题关键． （1）把代入一次函数可求得b的值；把代入可求得k的值，把代入可求得m的值； （2）先确定一次函数与y轴交点C的坐标，得长度，再根据三角形面积公式并结合A、B的坐标列式计算即可； （3）分依据、为邻边，、为邻边和、为邻边三种情况，分别利用平行四边形的对角线相互平分即可解答． 【详解】（1）解：把代入一次函数，得，解得：； 把代入，得，解得：， 把代入，得：，解得． （2）解：∵，当时， ∴， 又∵、， ∴． （3）解：如图：设， 当、为邻边时， 则，解得： ∴； 当、为邻边时，、， 则，解得：， ∴； 当、为邻边时，．、， 则，解得：， ∴． 综上，点坐标可为或或． 7．已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求线段的长； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，N的坐标为或或 【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，矩形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）根据B的坐标，利用中点坐标公式求出D的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出E的坐标，即可求出的长； （2）根据D坐标确定出直线与直线解析式，过点M作轴交于点N，设，，由，把已知面积代入求出t的值，即可确定出M坐标； （3）由题意得：，，，设，分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时即可． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，D为中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过的中点D， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入得：，即， 则； （2）解：由，得到直线解析式为， 由，得到直线解析式为， 过点M作轴交于点N， 设，则， ∵ ， ∴，解得：， 则点M坐标为； （3）解：存在； 由题意得：，，，设， 分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时，可得，， 解得：，，即； 当四边形为平行四边形时，可得，， 解得：，，即； 当四边形为平行四边形时，可得，， 解得：，，即， 综上，N的坐标为或或． 8．如图，点为轴正半轴上的一个点，过点作轴的垂线，与函数的图像交于点，与函数的图像交于点，过点作轴的平行线，与函数的图像交于点，连接． (1)________，________（用含的代数式表示）； (2)若， 求点的坐标； 点为轴上一点，点为反比例函数图像上一点，是否存在点、，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点、的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了反比例函数的综合，列代数式，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分析题意，结合过点作轴的垂线，与函数的图像交于点，与函数的图像交于点，得出，即，再结合过点作轴的平行线，与函数的图像交于点，得，故，即可作答． （2）结合以及由（1）得，，得出，再代入，即可作答． 先求出，再设，，进行分类讨论，结合平行四边形的对角线互相平分，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵点为轴正半轴上的一个点，过点作轴的垂线，与函数的图像交于点，与函数的图像交于点， ∴， ∴， ∵过点作轴的平行线，与函数的图像交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， 解得． ∴把代入， 得， ∴； 由得， 则，， ∴， ∵点为轴上一点，点为反比例函数图像上一点， ∴设，， 当和为以、、、为顶点的平行四边形的对角线时， 则， ∵，， ∴， 解得； ∴， ∴； 当和为以、、、为顶点的平行四边形的对角线时， 则， ∵，， ∴， 解得； ∴， ∴； 当和为以、、、为顶点的平行四边形的对角线时， 则， ∵，， ∴， 解得； ∴， ∴； 综上：或或满足题意． 考点02 反比例函数存在性问题（矩形） 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，点，与反比例函数的图象交于点和点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出当时x的取值范围； (3)点是反比例函数图象上一点，连接、，求的面积； (4)点是坐标轴上的点，点是平面内一点，是否存在点、，使得四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的表达式，一次函数的表达式 (2)或 (3) (4)存在，P点的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法先求反比例函数解析式，再求一次函数解析式即可； （2）先求出点的横坐标，再利用图象法求解即可； （3）过点作轴，垂足为；过点作轴，垂足为，先求出点的坐标，根据求解即可； （4）或．分情讨论：当在轴正半轴上，作轴，垂足为，先证，求出，根据求点的坐标；当在轴负半轴上，先证，求出，根据求出点的坐标． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数中得： ，解得：， 反比例函数的表达式， 把点代入反比例函数中得：， 解得：， ， 把点和分别代入一次函数， 解得， 一次函数的表达式； （2）解方程， 解得， ， 当时，或； （3）过点作轴，垂足为；过点作轴，垂足为， ， ， 把点代入反比例函数中得：， ， ， 对于一次函数，令则，解得：， ， ， ， ； （4）或． 如图1，当在轴正半轴上， 作轴，垂足为， , ， 一次函数的表达式， 令，则， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ．即， ， ， ； 如图2，当在轴负半轴上， ， ， ；， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ．即, ， ， ． 综上所述，存在点、，使得四边形是矩形，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，矩形的判定和性质，勾股定理，利用相似三角形 的判定和性质求线段的长度及点的坐标是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点在反比例函数的图象上，过点O，是等边三角形，交x轴于点D，且D为的中点．请用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图①中，在x轴上找出点F，使四边形为矩形，作出矩形； (2)在图②中，作出菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接并延长交反比例函数图象于M，连接，并延长交反比例函数图象于，连接交x轴于，连接，则四边形即为所要求作的矩形； （2）延长和相交于点，连接，则四边形即为所求． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求； 两点在反比例函数的图象上，过点， ∴点关于原点对称， ∴， 由作图可知：点关于原点对称， ∴与关于原点对称， ∵与轴交于D，与x轴交于F， ∴点关于原点对称， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵D是的中点， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形即为所要求作的矩形； （2）解：如图，四边形即为所求； 由（1）得：四边形是矩形，， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形是所要求作的菱形． 【点睛】本题考查复杂作图，涉及反比例函数的对称性质，等边三角形的性质，中心对称作图，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定等知识，本题综合性较强，属压轴题目．解题的关键是掌握以上知识点． 11．如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接． (1)求直线的表达式． (2)当的面积为时，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，作点B关于的对称点C，连接，是否存在点D，使得四边形为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出点A坐标，再设出直线解析式，并利用待定系数法求解即可； （2）过点A作轴于T，连接，则，可得，进而得到；设，则，解方程即可得到答案； （3）连接交于H，可证明，得到；由对称性可得，且点H为的中点，由等面积法可得，设，则，解方程可得，根据中点坐标公式可得，求出的中点坐标为，则的中点坐标为，即可得到点D的坐标为． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于，B两点， ∴， ∴， 设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：如图所示，过点A作轴于T，连接， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴； 设， ∴， 解得（已检验符合题意）或（舍去）， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接交于H， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴； ∵点B和点C关于对称， ∴，且点H为的中点， ∴， ∴， 设，则， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴的中点坐标为， ∵四边形是矩形， ∴的中点坐标为， ∴点D的坐标为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理及其逆定理，矩形的性质，轴对称的性质，中点坐标公式，正确作出辅助线是解题的关键． 12．如图1，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，已知 (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)一次函数的图象与x轴交于点C，点未在图中画出是反比例函数图象上的一个动点，若，求点D的坐标； (3)若点M是坐标轴上一点，点N是平面内一点，当四边形为矩形时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标______． 【答案】(1)反比例函数和一次函数的表达式分别为：； (2)或； (3)或 【分析】把点B的坐标代入反比例函数表达式，得出反比例函数解析式；把点B的坐标代入，求出b的值，得到一次函数的解析式； 求出点，设，根据可得，由点D是反比例函数图象上的一个动点，即可得点D的坐标； 分两种情况：①当点M在x轴上时，②当点M在y轴上时，根据矩形的性质分别求解即可． 本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，会利用待定系数法确定函数解析式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 【详解】（1）解：点是反比例函数与一次函数的交点， ，， 反比例函数和一次函数的表达式分别为：； （2）解：一次函数中，当时，， ， 设， ， ， ， 点在上， 或1， 故点或 （3）解：存在点M，N，使得四边形是矩形，理由如下： ①当点M在x轴上时，如图，设点M的坐标为， 过点B作轴于点G， ， ， ：CB， ， ， ， ， ， 点M的坐标为； ②当点M在y轴上时，过点B作轴于点H，如图， 设点M的坐标为， ， ， ， ， ， ， ：BQ， ， ， 点M的坐标为， 存在点M，N，使得四边形ABMN是矩形，点M的坐标分别为或， 故答案为：或 13．几何图形是数学研究的主要对象之一，图形的形状、大小和位置是几何中研究的主要内容，平面几何中，平移、翻折、旋转是常见的图形变换．鹿鸣学堂数学兴趣小组的同学们在学习了反比例函数的相关内容后，进一步探究反比例函数的图像的平移、旋转、翻折的相关问题，过程如下： (1)如图1，将反比例函数的图像向左平移3个单位，求平移后的图像与y轴的交点坐标； (2)如图2，将反比例函数（）的图像绕点O顺时针旋转60°，点P为旋转后图像上的一点，过点P作直线的垂线，垂足是H，若，求的值； (3)如图3所示，反比例函数（）的图像沿直线翻折得到新图像．若直线与两条曲线交于E、F，直线与两条曲线交于G、H，同学们发现E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，当这个矩形的面积是4时，直接写出b的值． 【答案】(1) (2)2或3 (3)7或3 【分析】（1）根据函数图像变换规律“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，进而求解即可； （2）设点为点P旋转前的图像上的对应点，过点作轴于，则，设点坐标为，则①，②,解得，或，，则或；证明直线与x轴的夹角为；证明得到即可求解； （3）联立方程组求得，，进而求得，根据矩形性质求得，分当点H在点G右上方时和当点H在点G左下方时两种情况求得点H坐标，进而利用矩形的性质求得对角线的交点坐标，进而可求解． 【详解】（1）解：∵将反比例函数的图像向左平移3个单位， ∴平移后的函数解析式为， ∵当时，， ∴平移后的图像与y轴的交点坐标； （2）解：设点为点P旋转前的图像上的对应点，过点作轴于，如图， 则，设点坐标为， 则①，②, 解得，或，， 则或； 如图，在直线取一点，过T作轴于S， 则，，， ∴，满足直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半， ∴，即直线与x轴的夹角为； ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 即的值为2或3； （3）解：解方程组，得或（舍去）， ∴； 解方程组，得或（舍去）， ∴， ∴， ∵E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，且面积是4， ∴， ∴， ∵直线与两条曲线交于G、H， ∴当点H在点G右上方时，形成矩形为， ∴，此矩形对角线的交点为的中点，坐标为， 根据轴对称性质，将代入得， 解得； ∴当点H在点G左下方时，形成矩形为， ∴，此矩形对角线的交点为的中点，坐标为， 根据轴对称性质，将代入得， 解得； 综上，满足条件的b值为7或3． 【点睛】本题考查平移的性质、旋转的性质、轴对称的性质以及图形变换的应用、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、矩形性质等知识，熟练掌握图形变换的性质是解答的关键． 14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数过第一象限的点且与一次函数交于A，B两点， (1)求反比例函数的表达式并写出点A的坐标； (2)若一次函数经过点A、C，求一次函数的解析式，请直接写出当时x的取值范围； (3)点P是反比例函数图像上位于第一象限异于C的一点，在平面内是否存在点Q使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，若存在请求出点P的坐标并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，或 (3)P点坐标为，Q点坐标 或P点坐标为，Q点坐标． 【分析】（1）根据反比例函数过第一象限的点，确定反比例函数的解析式，联立反比例函数的解析式与构成的方程组，计算即可． (2)把，分别代入，解方程组，求得交点的横坐标，即可写出解集即可． （3）分，为对角线两种情况讨论解答即可． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数， 得， ∴， ∵， 解得或， ∵A在第三象限， ∴，． （2）解：把，分别代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 故关于x的不等式的解集是：或． （3）存在 分类讨论： 解：①为矩形对角线时，如图 ∵，，， 设，则， ， ， 时，为矩形的边，此时为矩形， ， 代入解得或 P点坐标为， 设Q点坐标为， ， 解得 得到Q点坐标． P点坐标为，Q点坐标 ②为矩形的对角线时，对角线的交点的坐标， ∵，，， 设，， 当为矩形的对角线时，对角线的交点的坐标， ∴， 则Q点坐标：， 此时为矩形，得， 代入得到， 解得，，， 则P点坐标为，Q点坐标． 【点睛】本题是一次函数与反比例涵函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，已知两点求距离，熟练掌握这些知识点是解题的关键，注意分类讨论． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，B两点． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)点C是第一象限内反比例函数图象上一点，且，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，点C位于点B左侧，连接，点M为双曲线上一动点，平面内是否存在一点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或； (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了反比例函数综合题，掌握反比例函数性质，以及矩形性质是解题关键． （1）由一次函数得，把代入得，故反比例函数的表达式为；再联立计算即可； （2）设点，过点C作轴平行线交直线于，得点，由，得，再计算即可； （3）由点C位于点B左侧，得．①当四边形为矩形时，构造一线三垂直得，得，求出直线解析式为，再联立计算即可．②当为矩形时，由得直线解析式为再联立计算即可． 【详解】（1）解：一次函数过点， ， ， ， 把代入得，， 反比例函数的表达式为； ， 或； （2）解：设点，过点作轴平行线交直线于， 点， ， ， ， 解得或，（负数已舍）， 点的坐标为或； （3）解：点位于点左侧， ， ①当四边形为矩形时， 如图：过作直线轴，过作直线，过作直线， ， ， ，， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， 设直线解析式为， 代入， 得， 直线解析式为， 联立得， ， 或2， ， 移动到， 移动到， ， ②当为矩形时， ， 设直线解析式为， 代入，得， 直线解析式为， 联立得， ， 或1， ， 移动到， 移动到， ， 综上所述，点的坐标为或． 16．定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过平行四边形一条对角线的两个端点，则称函数是平行四边形的“”函数，函数的图象经过平行四边形的四个顶点，则称函数是平行四边形的“”函数．    (1)已知：如图1，在平行四边形中，轴，若点坐标为点坐标为，函数是平行四边形的“”函数． ①求的值及点的坐标； ②是否存在反比例函数是平行四边形的“”函数，若存在，求出值，若不存在，请说明理由； (2)已知：如图2，若点坐标为，点在第一象限内，其坐标为，反比例函数是平行四边形的“”函数． ①请在图2中画出平行四边形； ②若，求平行四边形的面积； ③平行四边形是否可以成为矩形，若可以，直接写出的值，若不可以，请说明理由． 【答案】(1)①，②6 (2)①见解析②36③ 【分析】本题主要考查一次函数图象与性质，反比例函数图象与性质，平行四边形的性质等知识；正确理解题意是解答本题的关键． （1）①先判断函数的图象经过点B，求出m的值，设点D的坐标为，代入可得，从而可得点D的坐标；②求出点C的坐标为，可判断点A，点C在反比例函数图象上，从而可得结论； （2）①根据反比例函数图象是中心对称图形，可画出平行四边形； ②由可求出点B的坐标，根据中心对称的性质可得出点C的坐标，过点A作于点E，过点B作于点F，根据可得结论； ③根据两点间距离公式求出的长，根据得出，结合求出的值即可． 【详解】（1）解：①若函数过点A，则当时，， 所以，函数不过点A， ∵函数是平行四边形的“”函数， ∴函数过点， 把点的坐标代入得，； ∵轴， ∴设点D的坐标为，代入得，， 解得，， ∴； ②∵四边形是平行四边形，，， ∴点C可以看作是点D向下平移5个单位，再向左平移2个单位得到的， 所以，点C的坐标为， ∵， ∴点A，C在反比例函数的图象上， ∴反比例函数是平行四边形的“”函数，此时； （2）解：①如图，即为所画；    ②如图，过点A作于点E，过点B作于点F，    根据中心形的性质得， ∵ ∴， 又 ∴， ∴ ； ③平行四边形可以成为矩形， ∵， ∴， 若四边形是矩形，则有：， ∴ 整理得， 又， ∴， ∵， ∴， 联立， 解得，，或（舍去） ∴． 考点03 反比例函数存在性问题（菱形） 17．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与双曲线交于、B两点，C为双曲线上的点． (1)求双曲线的表达式及点B的坐标； (2)连接，当的面积为5时，求点C的坐标； (3)在(2)的条件下，点C位于点A的右侧，点D为双曲线上一点，平面内是否存在点E，使四边形为菱形，若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)双曲线的表达式为，点B的坐标为 (2)点C的坐标为或． (3)E的坐标为或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，一元二次方程，菱形的性质，两点之间的距离，掌握知识点是解题的关键． (1) 先求出，则双曲线的表达式为．继而求出，得到直线的表达式为，联立方程，得到解得，得到点B的坐标为，即可解答． （2）设点C的坐标为，过点C作轴交直线于点E，得到点E的坐标为，则，分类讨论：①当点C在点B的左侧时，②当点C在之间时，③当点C在点的右侧时，逐个分析求解即可； （3）设推导出的中点坐标与的中点坐标相同，中点坐标为得到，即，由，得到，解得或，继而求出点E的坐标为或此时点E的坐标为，即可解答． 【详解】（1）解：∵点在双曲线上， ∴， 解得， ∴双曲线的表达式为． ∵点在直线上， ∴， 解得， ∴直线的表达式为． ∵点B是直线与双曲线的交点， ∴联立方程， 消去y得， 两边同乘x整理，得 ，即， 因式分解，得 ， 解得． ∵对应点A， ∴当时，， ∴点B的坐标为． （2）设点C的坐标为，过点C作轴交直线于点E， ∵点E在直线上且横坐标为t， ∴点E的坐标为， ∴． ①当点C在点B的左侧时，如图 或 ∴ ， ∴， 当时， 整理得 ∵判别式， ∴此方程无实数解． 当时， 整理得， 因式分解得， 解得（舍去），． 当时，， ∴点的坐标为． ②当点C在之间时，如图 有， ∴ ， 整理得 ∵判别式， ∴此方程无实数解． ③当点C在点的右侧时，如图 有， ∴ ， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， 当时，， ∴点的坐标为． 综上，点C的坐标为或． （3）如图 ∵ ∴， 设 ∵四边形为菱形， ∴的对角线， ∵菱形对角线互相平分， ∴的中点坐标与的中点坐标相同， 中点坐标为 ∴， 即． 又∵菱形邻边相等，即， ∴， ， ， 整理得， 两边同乘m，得 ， 即， ， 方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得或， 将代入，得 ， 解得， ∴此时点E的坐标为． 将代入，得 ， 解得， ∴此时点E的坐标为． 18．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，以线段为边，在线段的左侧作正方形，点在反比例函数的图象上． (1)求点、点、点的坐标； (2)将正方形沿轴正方向平移，得到正方形． ①当正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上．试描述平移过程． ②当正方形的边与反比例函数只有一个交点时，设该交点为点．在坐标平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)①正方形沿轴正方向平移或个单位得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上；②存在，该菱形的面积为或或 【分析】（1）在中，当时，，当时，，解得，即可得出点、的坐标，从而得出，，过点作轴于，证明，得出，，求出，即可得出点的坐标； （2）①作轴于，则，证明，得出，，求出，待定系数法得出反比例函数的解析式为，由平移的性质可得，存在两种情况，点在反比例函数的图象上或者点在反比例函数的图象上，分两种情况求解即可；②设正方形沿轴正方向平移个单位，则直线的解析式为，当时，联立可得，结合，求出（负值不符合题意，舍去），从而得出直线的解析式为，正方形沿轴正方向平移个单位长度，求出点的坐标为，，再结合菱形的性质，计算即可得解；当时，正方形的边与反比例函数有两个交点；当时，正方形的边与反比例函数只有一个交点，此时再结合菱形的性质分两种情况：当时，则，当时，则，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， 如图，过点作轴于， ， 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：①如图，作轴于， ， 则， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵正方形沿轴正方向平移，得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上， ∴由平移的性质可得，存在两种情况，点在反比例函数的图象上或者点在反比例函数的图象上， 当点在反比例函数的图象上时，令，则，解得，故正方形沿轴正方向平移个单位得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上， 当点在反比例函数的图象上时，令，，解得，故正方形沿轴正方向平移个单位得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上； 综上所述，正方形沿轴正方向平移或个单位得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上； ②存在， 由①可得，当点在反比例函数的图象上时，正方形沿轴正方向平移个单位得到正方形， 设正方形沿轴正方向平移个单位，此时直线的解析式为， 当时， ∵正方形的边与反比例函数只有一个交点， ∴联立可得：， ∴, 解得：（负值不符合题意，舍去）， ∴直线的解析式为，正方形沿轴正方向平移个单位长度， ∵， ∴点的坐标为，即， 由解得， ∴， ∵以点、、、为顶点的四边形是菱形， ∴当为对角线时，由菱形的性质可得，垂直平分， ∴点与点关于对称，此时， ∵，， ∴此时该菱形的面积为； 当为边时，此时，，即，不满足题意； 当时，正方形的边与反比例函数有两个交点， 当时，正方形的边与反比例函数只有一个交点， 在中，当时，，解得，即， ∵点在上， ∴设， ∵以点、、、为顶点的四边形是菱形， ∴当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：（此时与点重合，不符合题意，舍去）或， ∴，即， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴，， 此时该菱形的面积为； 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴当时，（负值不符合题意，舍去）， 当时，，即， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴，， 此时该菱形的面积为； 综上所述，在坐标平面内存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，该菱形的面积为或或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，菱形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 19．已知：如图，反比例函数的图象与直线交于点和点． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)连接并延长交双曲线于点，在双曲线上找点（点不与点重合）使和的面积相等，求点的坐标； (3)点在轴的负半轴上，点在平面内上，点，以点、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为， (2)点的坐标为或或 (3)点的坐标为或或或 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，菱形的性质，解题的关键是灵活运用相关知识并分类讨论． （1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式和直线的解析式，再联立两个解析式即可求出点的坐标； （2）过作轴交直线于点，过作轴于直线点，先求出，推出，得到，设，则，得到，根据，，结合和的面积相等，即可求解； （3）由题意可得，，分三种情况：当为菱形的边，且时，当为菱形的边，且时，当为菱形的对角线时，根据菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点分别代入和得： ，， ，， 反比例函数的解析式为，直线的解析式为， 联立， 解得或， ； （2）如图，过作轴交直线于点，过作轴于直线点， 直线过原点且与双曲线关于原点对称， 点与点关于原点对称， ， ， ， 设，则， ， ，， 和的面积相等， ， 解得或或或（舍去）， 点的坐标为或或； （3），， ，， 当为菱形的边，且时， 设，则， ， 解得（舍去）或， ， 四边形是菱形， ，， 或； 当为菱形的边，且时， 设，则， ， 解得（舍去）或， ， 四边形是菱形， ，， ； 当为菱形的对角线时， ，的中点坐标为， ， ，； 综上所述，点的坐标为或或或． 20．已知：在平面直角坐标系中，点在反比例函数上． (1)求； (2)点在反比例函数的图象上，点在平面上，若四边形是菱形．求点的坐标； (3)点在反比例函数的图象上，直线与反比例函数相交于点，且点在第一象限，点在第三象限．若时，则直线是否经过某个定点？若是，请求出该点的坐标：若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为 或 (3)直线不过定点，理由见解析 【分析】（1）反比例函数的表达式为，点在反比例函数图象上，则点的横、纵坐标之积等于这里，所以将点、分别代入函数表达式即可求解； （2）四边形是菱形时，则邻边，设，令，利用两点距离公式建立方程，即可求得P点的坐标； （3）设，，且，利用勾股定理建立方程，得到，直线与抛物线联立方程，解得直线，，不确定（但由决定的)或，即可得出直线不过定点． 【详解】（1）解：对于点，代入，得， 对于点，代入，得，； 故，． （2）解：设在双曲线上， 菱形的性质：四边相等，对角线互相垂直平分 按照四边形顶点顺序， 所以 两点距离公式： 令，相减得， 前半部分： ， 后半部分： 中，令， 则， 代回，则， 则原方程为， 乘得：， ， 除以5得： ， ， 所以， （3）设，，且， 则 同理可得 则 两边同乘： 展开左边第一项得 展开左边第二项（对称的，交换，）得 相加合并对称项： 等式右边 左右相等 两边除以： 设 分组：， 即， ， ， 所以或， 第一种情况， 设直线为，与双曲线相交， 所以， 整理得， 所以，， 由，得 所以直线：，截距任意（由决定的），所以不过定点， 第二种情况：，即， 所以，， 、都不是常数，所以不过定点， 综上所述：直线不过定点． 【点睛】本题综合考查了反比例函数的性质、菱形的性质、勾股定理、平面直角坐标系中几何与代数的结合以及直线过定点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 21．如图1，矩形的顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上，点B在反比例函数的第一象限内的图象上，，，动点P在y轴的右侧，且满足． (1)若点P在这个反比例函数的图象上，点P的坐标为______； (2)连接，当的最小值时，求点P的坐标； (3)若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点P的坐标． 【答案】(1)点P的坐标为 (2)点P的坐标为 (3)， 【分析】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质、三角形的面积、轴对称最短问题等知识， （1）首先根据点B坐标，确定反比例函数的解析式，设点P的横坐标为m（），根据，构建方程即可解决问题； （2）过点作直线轴．由（1）知，点P的横坐标为3，推出点P在直线l上，作点O关于直线l的对称点，则，连接交直线l于点P，此时的值最小，求出直线的表达式为，进而求出结论； （3）分两种情形：当四边形是菱形时；当四边形是菱形时．分别求解即可解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的第一象限内的图象上 ∴， ∴， 设点P的横坐标为m（）， ∵． ∴， ∴， 当点P在这个反比例函数图象上时，则P点的纵坐标为， ∴点P的坐标为； （2）由（1）知点P的横坐标为，过点作直线轴． ∴点P在直线l上， 作点O关于直线l的对称点，则， ， 连接交直线l于点P，此时的值最小， 设直线的表达式为，由题意得： ， 解得：， 直线的表达式为， 当时，， ； （3）分两种情况： ①如图2中，当四边形是菱形时，设直线l交于点H， ， 由（2）知直线轴，则， 在中，， ， 同理， ∴； ②如图3中，当四边形是菱形时， 在中，， ， 同理， ∴． 综上所述，点P的坐标为，． 22．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点A和点B，点A的坐标为，点B的横坐标为5，一次函数与x轴交于点C． (1)求a，b，k的值； (2)如图1，点D是第二象限内反比例函数上一动点，连接．当时，求点D的坐标； (3)如图2，在（2）问的条件下，点E，F均为x轴上的动点，且点E在点F的左侧，．求的最小值； (4)如图3，点G是x轴上一点，点H是平面内一点，在（2）问的条件下，是否存在以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3) (4)存在，或或或 【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，以及一次函数解析式，即可得到a，b，k的值； （2）根据（1）中一次函数解析式求出点C的坐标，进而得到，再设点D的坐标为，根据建立等式求解，即可解题； （3）将点D向右平移一个单位，得到，连接，，证得四边形为平行四边形，，进而得到，根据为定长，要的值最小，即的值最小，又当三点共线时，的值最小，再结合勾股定理求解，即可解题； （4）根据以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形，分情况①当为边时；②当为边，为对角线时；连接交于点，③当为边，为对角线时；结合菱形的性质和判定，以及勾股定理进行求解，即可解题． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数交于点A和点B，点A的坐标为， ，即， 点B的横坐标为5， ，即点B的坐标为， ， 解得， 综上，，，； （2）解：由（1）知，一次函数为， 当时，，解得， 点C的坐标为，即， 点A的坐标为，点B的坐标为， ， 点D是第二象限内反比例函数上一动点， 设点D的坐标为， ， ， 解得， 点D的坐标为； （3）解：将点D向右平移一个单位，得到，连接，， ， ，且， 四边形为平行四边形， ， ， 为定长，要的值最小，即的值最小， 当三点共线时，的最小值为， 的最小值为； （4）解：存在以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， 点D的坐标为，点C的坐标为， ， ①当为边时； 以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， ，， 或， ②当为边，为对角线时；连接交于点， 以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， ， ； ③当为边，为对角线时； 以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， ， 设， ，， ，解得， ， ； 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及一次函数解析式，一次函数与反比例函数几何综合，线段和最值，平行四边形性质和判定，菱形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于利用分类讨论的思想方法解决问题． 23．如图，点，分别在轴和轴的正半轴上，以线段为边在第一象限作等边三角形，，且轴． (1)若点在反比例函数的图象上，求该反比例函数的表达式． (2)在（1）中的反比例函数图象上是否存在点，使四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2)存在，点的坐标为 【分析】本题考查了反比例函数的解析式的求法、与几何图形结合的综合能力的培养．解题的关键是要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）如图1中，作轴于D．首先证明四边形是矩形，利用反比例函数的几何意义解决问题即可； （2）如图2中,先作辅助线,求出D的坐标,证明四边形是菱形即可. 【详解】（1）解：如图①，过点作轴于点． 轴，轴， ，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形， ，． ，， 反比例函数的表达式为． （2）解：存在，理由如下： 如图②，过点作于点，交反比例函数图象于点，连接，． AI 是等边三角形，面积为， 可设，则， ， ， （负值已舍去）， ，，， ， ． ， ，． ， ， 四边形是菱形， 反比例函数图象上存在点，使四边形是菱形，点的坐标为． 24．如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，连接，． (1)求反比例函数的表达式． (2)请直接写出当时，的取值范围． (3)反比例函数的图象上是否存在点，使四边形为菱形？如果存在．求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标是 【分析】（）利用一次函数求出点坐标，再利用等腰三角形的性质得到点坐标，进而求出点坐标，最后代入反比例函数的表达式求出即可求解； （）当时，反比例函数图象位于一次函数图象上方，结合函数图象即可求解； （）存在点，使四边形为菱形．连接与交于点，由菱形的性质可得，即得点的横坐标，再把横坐标代入反比例函数的表达式即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点， ∵轴于点， ∴点的横坐标为, 把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴； （2）解：当时，反比例函数图象位于一次函数图象上方， ∴由图象可得的取值范围为； （3）解：存在点，使四边形为菱形． 连接与交于点 ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 把代入反比例函数得， ， ∴点的坐标是， ∴反比例函数图象上存在点，使四边形为菱形，此时点的坐标是． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求反比例函数解析式，等腰三角形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何应用，菱形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 考点04 反比例函数存在性问题（正方形） 25．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，点是反比例函数的图像上一动点，过点作直线轴交直线于点，设点的横坐标为，且，连接，． (1)求，的值； (2)当的面积为6时，求点的坐标； (3)设的中点为，点为轴上一点，点为坐标平面内一点，当四边形为正方形时，求出点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或或． 【分析】（1）将点代入，求得，进而求得，将点坐标代入求得； （2）表示出的长，根据求得，进而得出点的坐标； （3）分为是边，点在轴正半轴上和在负半轴上，以及为对角线．当为边时，点在轴正半轴上时，过点作轴，作，证明，进而得出，从而求得的值，另外两种情况类似方法求得． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴， ∴， ∵直线过点， ∴， ∴， ∴过点， ∴． （2）设，则， ∵，， ∴． ∵， ∴ 得：， ， 解得：，（舍）． ∴； （3）①如图1， ∵，， ∴． 当是边，点在轴正半轴上， 作于，作于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴； ②如图2， 当点在轴的负半轴上时， 由上知：， ∴， ∴； ③如图3， 当是对角线时， 当是对角线时，点在轴的负半轴上时， 可得：，， ∴， ∴， ∴， ④如图， ，， ∴， ∴，（舍）， 当时，， ∴． 综上所述：或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等量关系． 26．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为，或 【分析】（1）利用待定系数可得答案； （2）将正方形问题转化为等腰直角三角形，再分为斜边和直角边两种情形，分别画图，利用全等三角形来解决问题． 【详解】（1）解：将代入，得， 反比例函数的表达式为，     将代入， 得解得， 一次函数的表达式为，     联立方程组消得， 即， 解得：，， 由可知点的横坐标为，代入得点的纵坐标为3， 点的坐标为 （2）分两种情况讨论： ①当时，如图，过作于，    ∵轴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，而， 同理可得：直线的解析式为， ∵，点在直线上， ∴点的横坐标为2， 当时，， ∴； ②当时，如图，过作交于点H，交轴于，交反比例函数图象于，过作轴于，    则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， 同理可得：， ∴， 由①知直线的解析式为，与轴交于点，与轴的交点为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 设，， ∴， ∴（舍去）或， ∴， ∴， 当时，若点E在左侧时，记与轴的交点为，    同理可得：，， 设，则， ∵直线为， ∴，， ∴， 解得， ∴， 当点E在右侧时，同理可得，    设，则， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，而在直线上， ∴， 解得，且满足分式方程， ∵， ∴， ∴， 综上，点的坐标为，或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数图象交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论． 27．如图1，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象经过矩形的顶点，顶点分别在轴，轴的正半轴上，点为线段上的一个动点，点在直线上一点，点在反比例图象上． (1)求反比例函数表达式． (2)如图1，若点为对角线的中点时，且四边形是平行四边形，求长． (3)在坐标平面内，是否存在点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，正方形的性质与平行四边形的性质； （1）把代入，即可求解； （2）设，，根据，，为对角线，利用中点坐标公式，即可求解； （3）根据矩形的性质可得，，得出直线的解析式为，分两种情况讨论，当在点右侧时，当在点左侧时，设，根据正方形的性质，全等三角形的性质，得出的坐标，进而代入解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵在的图象上， ∴， ∴ （2）解：∵矩形的顶点，点为对角线的中点时， ∴为的中点，则， ∵点在直线上一点，点在反比例图象上，四边形是平行四边形， ∴， 设， ∵，，为对角线 ∴ 解得： ∴ ∴ （3）解：∵矩形的顶点， ∴， 直线的解析式为， 将，代入得 解得： ∴直线的解析式为， 如图所示，当在点右侧时，过点作，于点，过点作于点， ∴ ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∵点为线段上的一个动点， 设，则,， ∴， ∴ ∵在上， ∴ 解得： ∴ 如图所示，当在点左侧时， 同理可得， ∴ 设， ∴ ∴ ∵在上， ∴ 解得：（舍去）或 ∴ 综上所述， 28．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点．    (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)①直接写出当时，的取值范围； ②连接和，求的面积； (3)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②4 (3)点的坐标为，或 【分析】（1）利用待定系数可得答案； （2）①根据的横坐标，结合函数图象，即可求解； ②根据一次函数求得的坐标，进而根据，即可求解； （3）将正方形问题转化为等腰直角三角形，再分为斜边和直角边两种情形，分别画图，利用全等三角形来解决问题． 【详解】（1）解：将代入，得， 反比例函数的表达式为，     将代入， 得解得， 一次函数的表达式为，     联立方程组消得， 即， 解得：，， 由可知点的横坐标为，代入得点的纵坐标为3， 点的坐标为 （2）①∵，， 根据函数图象可得当时，或；     ②由得点为， 即的面积为4； （3）分两种情况讨论： ①当时，如图，过作于，    ∵轴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，而， 同理可得：直线的解析式为， ∵，点在直线上， ∴点的横坐标为2， 当时，， ∴； ②当时，如图，过作交于点H，交轴于，交反比例函数图象于，过作轴于，    则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， 同理可得：， ∴， 由①知直线的解析式为，与轴交于点，与轴的交点为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 设，， ∴， ∴（舍去）或， ∴， ∴， 当时，若点E在左侧时，记与轴的交点为，    同理可得：，， 设，则， ∵直线为， ∴，， ∴， 解得， ∴， 当点E在右侧时，同理可得，    设，则， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，而在直线上， ∴， 解得，且满足分式方程， ∵， ∴， ∴， 综上，点的坐标为，或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数图象交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论． 29．如图，直线分别与反比例函数和的图像交于A，B两点，点B横坐标为2．    (1)求n的值． (2)若点C为图像上一点，过点C作直线轴，交反比例函数于点D，当时，求C点横坐标． (3)若点E在直线AB上，请在坐标平面内找一点F，使得以C，D，E，F四点为顶点的四边形是正方形，并求出点F的坐标． 【答案】(1)8 (2)或 (3)或或或 【分析】（1）先求出B的坐标，然后把B的坐标代入求解即可； （2）设，则可求，然后根据三角形面积公式列出方程求解即可； （3）分以为边，为对角线讨论即可． 【详解】（1）解：∵点B横坐标为2，且B在直线上， ∴， ∴， 把代入，得， 解得； （2）解：由（1）知， 设， ∵轴， ∴D的横坐标为c， 又D在的图像上， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或； （3）解：设，则 一、以为边时， ①如图，四边形为正方形，    则，C和E的纵坐标相同， 把代入，得，解得， ∴， ∴， 解得，（舍去），（舍去）， ∴，， ∴； ②如图，四边形为正方形，    则，D和E的纵坐标相同， 把代入，得，解得， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴，， ∴； 二、以为对角线时， 如图，四边形为正方形，    则是中点，，M和E的纵坐标相同 ∴， 把代入，得，解得， ∴， ∴， 解得，（舍去），，（舍去） ∴，，或， ∴或 综上，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了反比例函数，正方形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等量关系． 30．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，点P是反比例函数的图象上一动点，过点P作直线轴交直线于点Q，设点P的横坐标为t，且，连接 (1)求k，b的值. (2)当的面积为3时，求点P的坐标. (3)设的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标. 【答案】(1) (2) (3)或， 【分析】（1）将点B代入求得进而求得将A点坐标代入求得n； （2）表示出的长，根据求得进而得出点P的坐标； （3）分为是边，点D在x轴正半轴上和在负半轴上，以及为对角线．当为边时，点D在x轴正半轴上时，过点C作轴，作，证明，进而得出，从而求得t的值，另外两种情况类似方法求得． 【详解】（1）∵直线过点， ∴， ∴， ∵直线过点， ∴， ∴， ∵过点， ∴； （2）∵点P的横坐标为t， ∴， ∴ ∴， ∵， 又， ∴， ∴， ∴； （3）如图1， ∵，， ∴ 当是边，点D在x轴正半轴上， 作于F，作于G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍去）， ∴ 如图2， 当点D在x轴的负半轴上时， 由上知：， ∴， ∴， 当是对角线时， 当是对角线时，点D在x轴负半轴上时， 可得：， ∴， ∴， ∴， 如图4， ， ∴， ∴，（舍去）， 当时，， ∴， 综上所述： 或，. 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等量关系． 31．如图，已知直线与双曲线上交于、两点，且点的纵坐标为-2． （1）求的值； （2）若双曲线上一点的纵坐标为，求的面积； （3）若、、、为顶点组成的四边形为正方形，直接写出过点的反比例函数解析式． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）由两函数解析式交点A的纵坐标坐标为−2，将y＝−2代入y＝−2x中，得：x＝1，确定出交点坐标，将交点坐标代入反比例函数解析式中，即可求出k的值． （2）根据k的几何意义可知S△COE＝S△BOF，所以S梯形CEFB＝S△BOC． （3）分两种情况画出图形，根据正方形的性质得出P点的坐标即可得到过点P的反比例函数解析式． 【详解】解：（1）由题得在上，且， 则得， ∴. 又在双曲线上， ∴. （2）如图，连接BC，过点C、B分别作x轴的垂线，垂足为E、F， 把y＝代入y＝−得，＝−，解得x＝−4， ∴C（−4，）， ∵直线y＝−2x与双曲线上交于A、B两点， ∴A、B关于原点对称， ∵A（1，−2）， ∴B（−1，2）， ∵点C、B都在双曲线y＝−上， ∴S△COE＝S△BOF＝1． ∵S△BOF＋S梯形CEFB＝S△COB＋S△COE． ∴S△BOC＝S梯形CEFB． ∵S梯形CEFB＝×（＋2）×（−1＋4）＝， ∴S△BOC＝． （3）①当是正方形的边时，如图所示，过正方形的顶点分别作坐标轴的平行线， 根据正方形的性质可得： 或， ∴解析式为； ②当时正方形的边时，可得点在轴上，或， ∴P在轴上，不存在反比例函数， ③当是正方形的对角线时，或， ∴过点的解析式为 综上：过点的解析式为或． 【点睛】主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数y＝中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 32．如图，直线AC与双曲线交于A（m，6），B（3，n）两点，与x轴交于点C，直线AD与x轴交于点D（－11，0）， (1)请直接写出m，n的值； (2)若点E在x轴上，若点F在y轴上，求的最小值； (3)P是直线AD上一点，Q是双曲线上一点，是否存在点P，Q，使得四边形ACQP是正方形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1，2 (2) (3)存在点P，Q（-2，-3），使得四边形ACQP是正方形 【分析】（1）把点A（m，6），B（3，n）代入，即可求解； （2）作点A关于y轴对称点A1，作点B关于x轴对称点B1，则A1F=AF，B1E=BE，可得当点A1、F、E、B1四点共线时，的值最小，最小值为A1B1的长，求出A1B1，即可求解； （3）先分别求出直线AD的解析式为，直线AB的解析式为，可得∠CAD=90°，则当AP=PQ=CQ=AC=时，四边形ACQP是正方形，设点P，可得点P坐标为或，然后设点Q（x，y），分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线AC与双曲线交于A（m，6），B（3，n）两点， ∴， ∴m=1，n=2； （2）解：如图，作点A关于y轴对称点A1，作点B关于x轴对称点B1，则A1F=AF，B1E=BE， ∴， 即当点A1、F、E、B1四点共线时，的值最小，最小值为A1B1的长， 由（1）得：点A（1，6），B（3，2）， ∴点A1（-1，6），B1（3，-2）， ∴， 即的最小值为； （3）解：存在点P，Q，使得四边形ACQP是正方形，理由如下： 设直线AD的解析式为， 把点A（1，6），点D（－11，0）代入得： ，解得：， ∴直线AD的解析式为， ∵点D（－11，0）， ∴OD=11， ， 同理得直线AB的解析式为， 当y=0时，，即x=4， ∴点C（4，0）， ∴OC=4， ∴CD=15，，， ∴∠CAD=90°， ∴当AP=PQ=CQ=AC=时，四边形ACQP是正方形， 设点P， ∴，解得：， ∴点P坐标为或， 设点Q（x，y）， 当点P坐标为时，PQ=CQ= ， ，解得：或， ∴点Q（-2，-3）或（1，6）（舍去）； 当点P坐标为时，PQ=CQ= ， ∴，解得： 或； ∴点Q（10，3）（舍去）或（1，6）（舍去）； 综上所述，存在点P，Q（-2，-3），使得四边形ACQP是正方形． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 四边形相关反比例函数存在性问题分类训练 （4种类型32道） 考点01 反比例函数存在性问题（平行四边形） 考点02 反比例函数存在性问题（矩形） 考点03 反比例函数存在性问题（菱形） 考点04 反比例函数存在性问题（正方形） 考点01 反比例函数存在性问题（平行四边形） 1．定义：点关于原点的对称点为，以为边作等边，则称点为的“完美三角点”． (1)若，求点的“完美三角点”的坐标． (2)若点是双曲线上一动点，当点的“完美三角点”点在第四象限时， ①如图1，请问点是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由． ②如图2，已知点，点是线段上的动点，点在轴上，若以、这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点的纵坐标的取值范围． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． (1)求a，k的值； (2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接． ①求的面积； ②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点P和Q的坐标． 3．如图，矩形的顶点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，反比例函数图象经过的中点，且与交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)为轴上一点，为反比例函数图象上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求、两点的坐标． 4．如图，正方形和正方形，点在轴正半轴上，点、在轴正半轴上，点在边上，点，落在反比例函数第一象限的图象上，其中点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求线段的长； (3)点在反比例函数图象上，它的纵坐标是，是坐标平面内一点，，，，四个点组成一个平行四边形，请直接写出点坐标． 5．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接，． (1) ； ； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集 ； (3)求的面积； (4)若在平面内存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标． 6．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接． (1)m，k，b； (2)求的面积； (3)若在平面内存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标． 7．已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求线段的长； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，点为轴正半轴上的一个点，过点作轴的垂线，与函数的图像交于点，与函数的图像交于点，过点作轴的平行线，与函数的图像交于点，连接． (1)________，________（用含的代数式表示）； (2)若， 求点的坐标； 点为轴上一点，点为反比例函数图像上一点，是否存在点、，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点、的坐标；如果不存在，请说明理由． 考点02 反比例函数存在性问题（矩形） 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，点，与反比例函数的图象交于点和点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出当时x的取值范围； (3)点是反比例函数图象上一点，连接、，求的面积； (4)点是坐标轴上的点，点是平面内一点，是否存在点、，使得四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点在反比例函数的图象上，过点O，是等边三角形，交x轴于点D，且D为的中点．请用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图①中，在x轴上找出点F，使四边形为矩形，作出矩形； (2)在图②中，作出菱形． 11．如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接． (1)求直线的表达式． (2)当的面积为时，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，作点B关于的对称点C，连接，是否存在点D，使得四边形为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图1，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，已知 (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)一次函数的图象与x轴交于点C，点未在图中画出是反比例函数图象上的一个动点，若，求点D的坐标； (3)若点M是坐标轴上一点，点N是平面内一点，当四边形为矩形时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标______． 13．几何图形是数学研究的主要对象之一，图形的形状、大小和位置是几何中研究的主要内容，平面几何中，平移、翻折、旋转是常见的图形变换．鹿鸣学堂数学兴趣小组的同学们在学习了反比例函数的相关内容后，进一步探究反比例函数的图像的平移、旋转、翻折的相关问题，过程如下： (1)如图1，将反比例函数的图像向左平移3个单位，求平移后的图像与y轴的交点坐标； (2)如图2，将反比例函数（）的图像绕点O顺时针旋转60°，点P为旋转后图像上的一点，过点P作直线的垂线，垂足是H，若，求的值； (3)如图3所示，反比例函数（）的图像沿直线翻折得到新图像．若直线与两条曲线交于E、F，直线与两条曲线交于G、H，同学们发现E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，当这个矩形的面积是4时，直接写出b的值． 14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数过第一象限的点且与一次函数交于A，B两点， (1)求反比例函数的表达式并写出点A的坐标； (2)若一次函数经过点A、C，求一次函数的解析式，请直接写出当时x的取值范围； (3)点P是反比例函数图像上位于第一象限异于C的一点，在平面内是否存在点Q使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，若存在请求出点P的坐标并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，B两点． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)点C是第一象限内反比例函数图象上一点，且，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，点C位于点B左侧，连接，点M为双曲线上一动点，平面内是否存在一点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 16．定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过平行四边形一条对角线的两个端点，则称函数是平行四边形的“”函数，函数的图象经过平行四边形的四个顶点，则称函数是平行四边形的“”函数．    (1)已知：如图1，在平行四边形中，轴，若点坐标为点坐标为，函数是平行四边形的“”函数． ①求的值及点的坐标； ②是否存在反比例函数是平行四边形的“”函数，若存在，求出值，若不存在，请说明理由； (2)已知：如图2，若点坐标为，点在第一象限内，其坐标为，反比例函数是平行四边形的“”函数． ①请在图2中画出平行四边形； ②若，求平行四边形的面积； ③平行四边形是否可以成为矩形，若可以，直接写出的值，若不可以，请说明理由． 考点03 反比例函数存在性问题（菱形） 17．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与双曲线交于、B两点，C为双曲线上的点． (1)求双曲线的表达式及点B的坐标； (2)连接，当的面积为5时，求点C的坐标； (3)在(2)的条件下，点C位于点A的右侧，点D为双曲线上一点，平面内是否存在点E，使四边形为菱形，若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 18．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，以线段为边，在线段的左侧作正方形，点在反比例函数的图象上． (1)求点、点、点的坐标； (2)将正方形沿轴正方向平移，得到正方形． ①当正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上．试描述平移过程． ②当正方形的边与反比例函数只有一个交点时，设该交点为点．在坐标平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的面积；若不存在，请说明理由． 19．已知：如图，反比例函数的图象与直线交于点和点． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)连接并延长交双曲线于点，在双曲线上找点（点不与点重合）使和的面积相等，求点的坐标； (3)点在轴的负半轴上，点在平面内上，点，以点、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标． 20．已知：在平面直角坐标系中，点在反比例函数上． (1)求； (2)点在反比例函数的图象上，点在平面上，若四边形是菱形．求点的坐标； (3)点在反比例函数的图象上，直线与反比例函数相交于点，且点在第一象限，点在第三象限．若时，则直线是否经过某个定点？若是，请求出该点的坐标：若不是，请说明理由． 21．如图1，矩形的顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上，点B在反比例函数的第一象限内的图象上，，，动点P在y轴的右侧，且满足． (1)若点P在这个反比例函数的图象上，点P的坐标为______； (2)连接，当的最小值时，求点P的坐标； (3)若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点P的坐标． 22．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点A和点B，点A的坐标为，点B的横坐标为5，一次函数与x轴交于点C． (1)求a，b，k的值； (2)如图1，点D是第二象限内反比例函数上一动点，连接．当时，求点D的坐标； (3)如图2，在（2）问的条件下，点E，F均为x轴上的动点，且点E在点F的左侧，．求的最小值； (4)如图3，点G是x轴上一点，点H是平面内一点，在（2）问的条件下，是否存在以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，点，分别在轴和轴的正半轴上，以线段为边在第一象限作等边三角形，，且轴． (1)若点在反比例函数的图象上，求该反比例函数的表达式． (2)在（1）中的反比例函数图象上是否存在点，使四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，连接，． (1)求反比例函数的表达式． (2)请直接写出当时，的取值范围． (3)反比例函数的图象上是否存在点，使四边形为菱形？如果存在．求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 考点04 反比例函数存在性问题（正方形） 25．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，点是反比例函数的图像上一动点，过点作直线轴交直线于点，设点的横坐标为，且，连接，． (1)求，的值； (2)当的面积为6时，求点的坐标； (3)设的中点为，点为轴上一点，点为坐标平面内一点，当四边形为正方形时，求出点的坐标． 26．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标． 27．如图1，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象经过矩形的顶点，顶点分别在轴，轴的正半轴上，点为线段上的一个动点，点在直线上一点，点在反比例图象上． (1)求反比例函数表达式． (2)如图1，若点为对角线的中点时，且四边形是平行四边形，求长． (3)在坐标平面内，是否存在点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 28．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点．    (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)①直接写出当时，的取值范围； ②连接和，求的面积； (3)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标． 29．如图，直线分别与反比例函数和的图像交于A，B两点，点B横坐标为2．    (1)求n的值． (2)若点C为图像上一点，过点C作直线轴，交反比例函数于点D，当时，求C点横坐标． (3)若点E在直线AB上，请在坐标平面内找一点F，使得以C，D，E，F四点为顶点的四边形是正方形，并求出点F的坐标． 30．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，点P是反比例函数的图象上一动点，过点P作直线轴交直线于点Q，设点P的横坐标为t，且，连接 (1)求k，b的值. (2)当的面积为3时，求点P的坐标. (3)设的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标. 31．如图，已知直线与双曲线上交于、两点，且点的纵坐标为-2． （1）求的值； （2）若双曲线上一点的纵坐标为，求的面积； （3）若、、、为顶点组成的四边形为正方形，直接写出过点的反比例函数解析式． 32．如图，直线AC与双曲线交于A（m，6），B（3，n）两点，与x轴交于点C，直线AD与x轴交于点D（－11，0）， (1)请直接写出m，n的值； (2)若点E在x轴上，若点F在y轴上，求的最小值； (3)P是直线AD上一点，Q是双曲线上一点，是否存在点P，Q，使得四边形ACQP是正方形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $