专题01 反比例函数（期末复习讲义）九年级数学上学期湘教版

该初中数学反比例函数期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，分知识点模块讲解概念、图象性质、k的几何意义等内容，结合示例分析与易错点提示，清晰呈现知识脉络及重难点内在联系。 讲义亮点在于“跨学科应用”与“综合题型”设计，如物理中电压一定时电流与电阻的反比例关系题，结合k的几何意义综合题，通过解题技巧与易错点拨培养推理意识和模型意识。分层练习满足不同学生需求，助力教师精准教学与学生自主复习提升。

专题01 反比例函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 反比例函数的定义与表达式 能准确判断函数类型，根据实际问题（如面积、行程）列出关系式（如）。 常以选择题（占30%）或填空题（20%）考查定义和表达式，易混淆正比例与反比例函数。 反比例函数的图象与性质 熟练画出双曲线图象，掌握（一、三象限）和（二、四象限）的性质差异。 90%概率出现在选择题或解答题中，常考函数值比较或增减性分析，注意符号的影响。 比例系数的几何意义 理解表示矩形面积，能求解图象与坐标轴围成的三角形或矩形面积问题。 高频考点（占50%），常结合几何图形在填空题或解答题中考查，需强化数形结合能力。 反比例函数与一次函数综合 联立方程求交点坐标，利用图象解决实际问题（如工程效率、动态几何）。 压轴题常见（占50%），多与一次函数、几何图形结合，难点为动态问题中的函数分析。 知识点01 反比例函数的概念 有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。有理数是能够表示为两个整数之比的数。…… 示例：判断下列函数是否为反比例函数： （是） （是） （否，指数不为1） 实际问题：矩形的面积 ，长 与宽 的关系为 。 易错点：混淆反比例函数与正比例函数（如 vs ）。 忽略 的条件。 知识点02 反比例函数的图象和性质 (1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的图象是双曲线，它既是轴对称图形又是中心对称图形. 反比例函数的两条对称轴为直线y=x和y=-x；对称中心是:原点. . (2) 反比例函数的性质 示例：画出 和 的图象，说明分布象限及增减性。 比较 在 和 时的函数值大小。 易错点：画图象时忽略双曲线的渐近性（不与坐标轴相交）。增减性错误：当 ， 随 增大而减小（不是“增大”）。 知识点03 反比例函数比例系数 k 的几何意义 k 的几何意义：反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过双曲线 上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数. 规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数． 示例：如图，双曲线 上点 向坐标轴作垂线，求矩形面积（答案：4）。 若点 在 上，且 面积为3，求 （注意 的符号）。 易错点：忽略 的绝对值意义，导致面积计算错误。 未明确几何图形与 的关系（如三角形面积为 ）。 知识点4 求反比例函数解析式 利用待定系数法确定反比例函数： ① 根据两变量之间的反比例关系，设 ； ② 代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对对应值，求出 k 的值； ③ 写出解析式. 示例：已知双曲线过点 ，求解析式（）。 反比例函数与一次函数 交于点 ，求反比例函数解析式 易错点：代入坐标时未注意符号（如 代入得 ）。 混淆待定系数法与直接求解。 知识点5 反比例函数的应用 过程：分析实际情境→建立函数模型→数学问题 注意：实际问题中的两个变量往往都只能非负值. 示例：工程问题：甲队单独完成工程需12天，乙队效率 与甲队效率 的关系为 。 物理问题：电压 一定时，电流 与电阻 的关系 。 易错点：忽略实际问题中变量的非负性（如时间、长度不能为负）。 单位不统一导致计算错误（如 km 与 m 混用）。 题型一 k的几何意义综合题 解｜题｜技｜巧 怎么想：看到双曲线上的点向坐标轴作垂线，优先考虑|k|表示矩形面积，三角形面积为|k|/2。 怎么做： 步骤1：设点坐标（a, k/a），表示矩形面积= |a×(k/a)|=|k|。 步骤2：若涉及三角形面积，注意除以2。 易｜错｜点｜拨 避坑： 当k为负时，面积仍为正（用绝对值）。 若图形不完整（如部分在象限外），需分类讨论。 【典例1】（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，A、B为双曲线上的点，轴于D，轴于点C，则四边形的面积为（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的综合运用，由反比例函数k的几何意义可得出，和，然后相加即可得出答案． 【详解】解：∵A、B为双曲线上的点，轴于D，轴于点C， ∴，，， ∴四边形， 故选D 【变式1】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知反比例函数的图像的一支如图所示，则的面积是 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，正确表示出三角形面积是解题关键． 过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即，依此解答即可． 【详解】解：根据题意可知：， 故答案为：3． 【变式2】（23-24九年级上·山西阳泉·期末）如图，点为反比例函数的图像上一点，过点作轴于点，点与点关于轴对称，连接．若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象和性质，轴对称的性质，连接，可得，进而由轴对称可得，即得，再根据反比例函数的图象和性质即可求解，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， 故选：． 【变式3】（25-26九年级上·全国·期末）如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B．若B是的中点，的面积为，则k的值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义以及全等三角形的判定和性质，理解反比例函数系数的几何意义，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．过点作轴于点，得到，得出，，得到，继而得到，求出． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ， 是的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 题型二 实际问题中的反比例关系（跨学科题型） 解｜题｜技｜巧 步骤1：根据题意列y=k/x，确定k的实际意义（如k=路程）。 步骤2：注意单位统一和实际意义（如时间不能为负）。 易｜错｜点｜拨 忽略定义域限制（如x>0）。 混淆正比例与反比例关系。 【典例1】（23-24八年级下·河南开封·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是 ．（填序号） ①这个反比例函数解析式为 ②蓄电池的电压是 ③当时， ④当时， 【答案】①②④ 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，关键是掌握函数图象上点的坐标必能满足解析式． 根据函数图象可设，再将代入即可得出函数关系式，然后根据反比例函数的性质判断其他说法即可． 【详解】解：根据题意，设， 图象过， ， ， 蓄电池的电压是，故①、②正确， 当时，，故③错误； 当时，， 由图象知：当时，，故④正确； 故答案为：①②④． 【典例2】（24-25八年级下·山西晋城·期末）在数学实践课上，八（1）班数学兴趣小组要探究近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间的关系，发现如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意，设反比例函数解析式为，待定系数法求解析式，进而将代入，结合函数图象即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将代入得，， ∴反比例函数解析式为：， 当时，． ∴配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】(1)函数图像见解析， (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图像，正确得出反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据表格中的数据，描点，连线即可得函数图像．根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）当时，，求解即可； （3）设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离，利用反比例函数的性质建立方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：描点并连线，函数图像如图所示． 由图像可得y与x之间是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为：． （2）解：当时，代入得，， 解得， ∴当砝码质量为时，托盘B与点O的距离是． （3）解：设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离， 由题意得：， 解得． ∴在移动前托盘B中的砝码质量为． 【变式2】（25-26九年级上·全国·期末）【跨学科】某数学活动小组研究一款图所示的简易电子体重秤，当人踏上体重秤的踏板后，读数器可以显示人的质量（单位：）．图是该秤的电路图，已知串联电路中，电流I（单位：A）与定值电阻、可变电阻R（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为． 根据I与R之间的关系得出一组数据如下： … 1 2 3 q 6 … … 4 p 2.4 2 1.5 … (1)填空： ____________，____________； (2)该小组把上述问题抽象为数学模型，请根据表中数据在图中描出实数对的对应点，画出函数的图象，并写出一条此函数图象的性质； (3)若电流表量程是，可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系如图所示，为保护电流表，求电子体重秤可称的最大质量为多少千克？ 【答案】(1)3，4； (2)作图见详解，电流随可变电阻R的增大而减小； (3)电子体重秤可称的最大质量为101千克． 【分析】本题主要考查反比例函数，一次函数图象的综合运用，掌握自变量，函数值的计算方法，待定系数法求解析是解题的关键． （1）根据题意，分别把，代入，即可求解； （2）根据表中数据在图中描出实数对的对应点，用平滑曲线连接即可； （3）根据题意可求出可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系为，根据电流表量程，电流与电压，电阻的函数关系可求出子体重秤可称的最大质量． 【详解】（1）解：已知电流I（单位：A）与定值电阻、可变电阻R（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为， 当时，，即， 当时，，，即， 故答案为：3，4； （2）根据题意： … 1 2 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 1.5 … 根据表格数据在平面直角坐标系描点作图如下： 由图可知：电流随可变电阻R的增大而减小； （3）解：根据题意，可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系为，且该直线过， ，解得：， 可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系为：， 可变电阻R随人的质量m增大而减小， 当时，， ； 当时，， ， ， m不能超过； 当时，，解得：， ，解得：， 电子体重秤可称的最大质量为101千克． 题型三 反比例函数与一次函数综合问题（跨章节题型） 解｜题｜技｜巧 联立方程求交点 怎么想？：当题目要求反比例函数 与一次函数 的交点时，直接联立方程求解。 怎么做？： 解这个二次方程，得到 的值，再代入求 。 注意：方程可能有两个解（两个交点）、一个解（相切）或无解（不相交）。 利用图象分析函数值大小 怎么想？：比较反比例函数和一次函数的函数值时，先画大致图象，找到交点，再分段比较。 怎么做？： 若 ，反比例函数图象在一、三象限；若 ，在二、四象限。 一次函数 的斜率和截距决定图象走向。 关键点：找到交点，划分区间，比较大小。 面积问题（与坐标轴围成的三角形、四边形） 怎么想？：若题目涉及面积，通常利用交点坐标计算几何图形的面积。 怎么做？： 先求交点 和 。 若求 的面积，可用公式： 若求反比例函数与坐标轴围成的矩形面积，直接用 。 易｜错｜点｜拨 忽略定义域限制 错误：解方程时忘记 ，导致错误解。 避坑：解完方程后，检查 是否在定义域内（如 ）。 漏解或多解 错误：解二次方程时，只考虑正解，忽略负解（如 和 都可能是交点）。 避坑：解方程时，所有实数解都要考虑，并代入验证。 增减性分析错误 错误：认为 时， 随 增大而增大（实际上 随 增大而减小）。 避坑：记住： ： 随 增大而减小（一、三象限）。 ： 随 增大而增大（二、四象限）。 面积计算错误 错误：计算三角形面积时，直接用 ，但忘记绝对值。 避坑：面积公式必须加绝对值，避免负值导致错误。 图象画错导致比较错误 错误：比较函数值时，未正确画出反比例函数和一次函数的图象，导致大小关系判断错误。 避坑：先画交点，再分段分析（如 、、）。 【典例1】（25-26九年级上·安徽·期末）如图，点是反比例函数的图象上一点，连接并延长交反比例函数图象于点B，M为y轴正半轴上一点，连接并延长交反比例函数图象于点N，连接，已知的面积为． (1)连接，则的面积为 ； (2)点N的坐标为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数图象的对称性可知点A与点B关于原点对称，则可推出，，进而可得； （2）利用待定系数法求出反比例函数解析式为；设点，，根据三角形面积计算公式可得；求出直线的表达式为，将代入中，得，解得或（舍去），据此可得答案． 本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，熟知一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：由反比例函数图象的对称性可知点A与点B关于原点对称， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：； （2）解：∵点在的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为； 设点，， ∴， ∴； 设直线的表达式为， 将，代入， ， ∴， ∴直线的表达式为， 将代入中，得， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， 当时，， ∴点N的坐标为， 故答案为：． 【典例2】（25-26九年级上·安徽·期末）如图，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线在第一象限交于点C，连接． （1）点A的坐标是 ； （2）的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据点B的坐标可以求得双曲线的解析式，然后即可求得点A的坐标； （2）根据反比例函数的中心对称性求出点C的坐标，再用割补法即可求得的面积． 【详解】解：（1）∵点在双曲线上， ∴， ∴． ∵点在双曲线上， ∴， ∴ 故答案为：； （2）如图，过点B作轴，过点C作轴，和交于点G，过点B作轴，过点A作轴，和交于点E，与交于点F． ∵直线BO与双曲线在第一象限交于点C，点， ∴点C的坐标为． ∵点，，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃天水·期末）如图，已知反比例函数 （）与一次函数相交于A、B两点（点A在第一象限），轴于点C．若的面积为1，且． (1)求出反比例函数与一次函数的解析式； (2)请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数的值大于一次函数的值？ 【答案】(1)； (2)点的坐标为，当和时，． 【分析】本题考查反比例及一次函数的应用；待定系数法求解析式；图象的交点等，掌握反比例及一次函数的性质是本题的解题关键． （1）根据，的面积为1，确定点A的坐标，把点A的坐标分别代入两个解析式即可求解； （2）根据两个解析式求得交点B的坐标，观察图象，得到当x为何值时，反比例函数的值大于一次函数的值． 【详解】（1）解：在中，设． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴（负值舍去）． ∴A点的坐标为． 把A点的坐标代入中，得． ∴反比例函数的表达式为． 把A点的坐标代入中，得， ∴． ∴一次函数的表达式． （2）由题意得：， 解得：， 点的坐标为． 由图可知：当和时，． 【变式2】（24-25八年级下·四川内江·期末）如图，直线与双曲线相交于，两点． (1)求，对应的函数表达式； (2)过点作轴交轴于点，求的面积； (3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）求出点P的坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可； （3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入反比例函数解析式中得， ∴， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中得， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：∵轴交y轴于点P，， ∴， ∴； （3）解：由函数图象可得关于x的不等式的解集为：或． 【变式3】（24-25八年级下·四川内江·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴和y轴分别交于点和点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集为_______； (3)连接OA，已知P为反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中可求出m的值，把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中可求出a、b的值； （2）根据（1）所求可得两函数解析式，联立两函数解析式可求出两函数的另一个交点坐标，再结合函数图象可得答案； （3）根据一次函数解析式求出点C坐标，进而求出的面积，则可得到的面积，根据三角形面积计算公式可求出点P的纵坐标，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴； ∵一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴交于点， ∴， ∴， ∴，； （2）解：由（1）得一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴一次函数与反比例函数的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，不等式的解集为或； （3）解：在中，当时，， ∴， ∵， ， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴点P的坐标为或． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·云南·中考真题）若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键． 将已知点的坐标代入反比例函数解析式，直接计算即可求出k的值． 【详解】解：∵点在反比例函数（为常数，且）的图象上， ∴将，代入，得： 解得：， 故选：B． 2．（2025·西藏·中考真题）一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象和性质是解此题的关键．根据三角形的面积公式，得到一边a和高h之间的关系式，再结合的范围逐项判断即可． 【详解】解：由题意得， ∴a与h的函数关系式为， ∴此函数是一个以为自变量的反比例函数， 边上的高为， ∴， 故选：B． 3．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，一次函数和反比例函数的图像相交于点，，若，则x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图像的上下位置关系结合交点的横坐标即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数和反比例函数图像相交于，， ∴根据函数图像可知：当或时，一次函数图像在反比例函数图象下方，即． 故答案为：或． 4．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）已知反比例函数． (1)如果这个函数图象经过点，求的值； (2)如果这个函数图象在它所处的象限内，函数随的增大而减小，求的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征。 ()运用了“反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标之积等于反比例函数的比例系数”这一坐标特征，将已知点代入函数解析式求解； ()依据“反比例函数为常数，(为常数，)，当时，在图象所在的每一象限内，随的增大而减小；当时，在图象所在的每一象限内，随的增大而增大”这一反比例函数的性质，通过分析函数的增减性确定的取值范围，进而求出k的范围． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象经过点， ∴， 解得； （2）∵这个函数图象在它所处的象限内，函数随的增大而减小， ∴， 解得． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·湖南永州·期末）已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象位于第一、三象限，则，然后解不等式即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像位于第一、三象限， ∴， ∴， 故选：． 2．（23-24八年级下·海南海口·期末）如图，正方形的顶点、在轴上，反比例函数的图象经过点，交于点，则的值为 ，的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及三角形面积的计算，熟练掌握反比例函数值的求法和正方形顶点坐标的确定是解题的关键． 先利用反比例函数图象上点的坐标特征求出值，得到反比例函数解析式，再根据正方形性质确定各顶点坐标，进而求出点坐标，最后结合三角形面积公式求出的面积． 【详解】解：∵ 反比例函数经过点， ∴ ，反比例函数解析式为． ∵ 四边形是正方形，，、在轴上， ∴ ，，，． 把，代入得，即， ∵ ，， ∴ ． 故答案为：；． 3．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点，延长，与反比例函数的图象交于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟知反比例函数图象的对称性是解答的关键． 先求得点B坐标，再根据反比例函数图象关于原点对称求解点P坐标即可． 【详解】解：∵的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点， ∴点B的横坐标为， 将代入中，得， ∴点B坐标为， ∵延长，与反比例函数的图象交于点， ∴点P与点B关于原点对称， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）在恒温下，气体对汽缸壁的压强p（）与汽缸内气体体积V（）的函数关系如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 mL． 【答案】20 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，涉及从图象中获取信息、待定系数法确定函数关系式，数形结合，熟练掌握待定系数法确定函数关系式是解决问题的关键． 根据题意压强p与汽缸内气体体积V成反比例函数，设，代入点可得，再求两种气压下对应气体体积即可求解． 【详解】由图可知，气体对汽缸壁的压强p（）与汽缸内气体体积V（）成反比例函数关系， 设， ∵函数图象过点， ∴，解得， ∴， 当时，，解得， 当时，，解得， ， 气体体积压缩了L． 故答案为：20． 5．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，，点M从点C出发，沿折线C—A—B运动，当它到达点B时停止，设点M运动的路程为x（），若点N是射线上一点，且，连接，设． (1)求与x的函数关系式，并注明x的取值范围； (2)在平面直角坐标系内直接画出的函数图象，并分别写出的一条性质； (3)结合和的函数图象，直接写出当时，x的取值范围．（结果精确到0.1） 【答案】(1)， (2)图象如图，的性质：当时，函数随的增大而减小. 的性质：当时,函数随x的增大而增大；当时,函数随的增大而减小． (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，涉及求函数关系式，画函数图象，从函数图象获取信息等知识点． （1）根据三角形的面积公式即可求解函数关系式； （2）画出图象，即可求图象获取信息； （3）直接从图象获取信息即可． 【详解】（1）解：由题意得，； 当时， 当时， ， ∴与x的函数关系式为：，； （2）解：函数图象如图所示： 由图象可得，的性质：当时，函数随的增大而减小. 的性质：当时,函数随x的增大而增大；当时,函数随的增大而减小； （3）解：由上述图象可得当时， 的图象在图象的下方， ∴当时，． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，分类讨论思想是解题的关键． 化简绝对值，当或时，分别求出对应函数，确定函数图象所在象限即可． 【详解】解：由题意得，当时，，则此时图象分布在第四象限； 当时，，则此时图象分布在第三象限； 故选C． 2．（2023·浙江湖州·中考真题）已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是(    ) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得．令，代入两个函数表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别求出与的表达式，代入解不等式并求出t的取值范围即可． 【详解】解：∵的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1， ∴． 令，则，． 将点和点代入，得； 将点和点代入，得． ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ①当时，， ∴不符合要求，应舍去； ②当时，， ∴符合要求； ③当时，， ∴不符合要求，应舍去； ④当时，， ∴符合要求； ⑤当时，， ∴不符合要求，应舍去． 综上，t的取值范围是或． 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解不等式是本题的关键． 3．（2025·山东德州·中考真题）已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式；反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数解析式，将点的坐标代入对应的反比例函数解析式中，即可求解. 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴， ∴， ∵点，在双曲线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 故N的坐标为或. 4．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，点A，B分别在函数图象的两支上（A在第一象限），连接AB交x轴于点C．点D，E在函数图象上，轴，轴，连接．若，的面积为9，四边形的面积为14，则的值为 ，a的值为 ．    【答案】 12 9 【分析】如图，延长，交于点，与轴交于点，而轴，轴，可得，的面积是5，设，，则，，，利用面积可得，，由，，可得，可得③，再利用方程思想解题即可． 【详解】解：如图，延长，交于点，与轴交于点，而轴，轴， ∴， ∵的面积为9，四边形的面积为14， ∴的面积是5，    设，， ∴，， ∴，，，， ∴，， 整理得：，， ∵，， ∴， ∴， ∴，则③， 把③代入②得：， ∴，即④， 把③代入①得：⑤， 把④代入⑤得：； 故答案为：12；9 【点睛】本题考查的是反比例函数的几何应用，平行线分线段成比例的应用，坐标与图形面积，熟练的利用方程思想解题是关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 反比例函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 反比例函数的定义与表达式 能准确判断函数类型，根据实际问题（如面积、行程）列出关系式（如）。 常以选择题（占30%）或填空题（20%）考查定义和表达式，易混淆正比例与反比例函数。 反比例函数的图象与性质 熟练画出双曲线图象，掌握（一、三象限）和（二、四象限）的性质差异。 90%概率出现在选择题或解答题中，常考函数值比较或增减性分析，注意符号的影响。 比例系数的几何意义 理解表示矩形面积，能求解图象与坐标轴围成的三角形或矩形面积问题。 高频考点（占50%），常结合几何图形在填空题或解答题中考查，需强化数形结合能力。 反比例函数与一次函数综合 联立方程求交点坐标，利用图象解决实际问题（如工程效率、动态几何）。 压轴题常见（占50%），多与一次函数、几何图形结合，难点为动态问题中的函数分析。 知识点01 反比例函数的概念 有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。有理数是能够表示为两个整数之比的数。…… 示例：判断下列函数是否为反比例函数： （是） （是） （否，指数不为1） 实际问题：矩形的面积 ，长 与宽 的关系为 。 易错点：混淆反比例函数与正比例函数（如 vs ）。 忽略 的条件。 知识点02 反比例函数的图象和性质 (1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的图象是双曲线，它既是轴对称图形又是中心对称图形. 反比例函数的两条对称轴为直线y=x和y=-x；对称中心是:原点. . (2) 反比例函数的性质 示例：画出 和 的图象，说明分布象限及增减性。 比较 在 和 时的函数值大小。 易错点：画图象时忽略双曲线的渐近性（不与坐标轴相交）。增减性错误：当 ， 随 增大而减小（不是“增大”）。 知识点03 反比例函数比例系数 k 的几何意义 k 的几何意义：反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过双曲线 上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数. 规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数． 示例：如图，双曲线 上点 向坐标轴作垂线，求矩形面积（答案：4）。 若点 在 上，且 面积为3，求 （注意 的符号）。 易错点：忽略 的绝对值意义，导致面积计算错误。 未明确几何图形与 的关系（如三角形面积为 ）。 知识点4 求反比例函数解析式 利用待定系数法确定反比例函数： ① 根据两变量之间的反比例关系，设 ； ② 代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对对应值，求出 k 的值； ③ 写出解析式. 示例：已知双曲线过点 ，求解析式（）。 反比例函数与一次函数 交于点 ，求反比例函数解析式 易错点：代入坐标时未注意符号（如 代入得 ）。 混淆待定系数法与直接求解。 知识点5 反比例函数的应用 过程：分析实际情境→建立函数模型→数学问题 注意：实际问题中的两个变量往往都只能非负值. 示例：工程问题：甲队单独完成工程需12天，乙队效率 与甲队效率 的关系为 。 物理问题：电压 一定时，电流 与电阻 的关系 。 易错点：忽略实际问题中变量的非负性（如时间、长度不能为负）。 单位不统一导致计算错误（如 km 与 m 混用）。 题型一 k的几何意义综合题 解｜题｜技｜巧 怎么想：看到双曲线上的点向坐标轴作垂线，优先考虑|k|表示矩形面积，三角形面积为|k|/2。 怎么做： 步骤1：设点坐标（a, k/a），表示矩形面积= |a×(k/a)|=|k|。 步骤2：若涉及三角形面积，注意除以2。 易｜错｜点｜拨 避坑： 当k为负时，面积仍为正（用绝对值）。 若图形不完整（如部分在象限外），需分类讨论。 【典例1】（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，A、B为双曲线上的点，轴于D，轴于点C，则四边形的面积为（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 【变式1】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知反比例函数的图像的一支如图所示，则的面积是 ． 【变式2】（23-24九年级上·山西阳泉·期末）如图，点为反比例函数的图像上一点，过点作轴于点，点与点关于轴对称，连接．若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·全国·期末）如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B．若B是的中点，的面积为，则k的值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 题型二 实际问题中的反比例关系（跨学科题型） 解｜题｜技｜巧 步骤1：根据题意列y=k/x，确定k的实际意义（如k=路程）。 步骤2：注意单位统一和实际意义（如时间不能为负）。 易｜错｜点｜拨 忽略定义域限制（如x>0）。 混淆正比例与反比例关系。 【典例1】（23-24八年级下·河南开封·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是 ．（填序号） ①这个反比例函数解析式为 ②蓄电池的电压是 ③当时， ④当时， 【典例2】（24-25八年级下·山西晋城·期末）在数学实践课上，八（1）班数学兴趣小组要探究近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间的关系，发现如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是 ． 【变式1】（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【变式2】（25-26九年级上·全国·期末）【跨学科】某数学活动小组研究一款图所示的简易电子体重秤，当人踏上体重秤的踏板后，读数器可以显示人的质量（单位：）．图是该秤的电路图，已知串联电路中，电流I（单位：A）与定值电阻、可变电阻R（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为． 根据I与R之间的关系得出一组数据如下： … 1 2 3 q 6 … … 4 p 2.4 2 1.5 … (1)填空： ____________，____________； (2)该小组把上述问题抽象为数学模型，请根据表中数据在图中描出实数对的对应点，画出函数的图象，并写出一条此函数图象的性质； (3)若电流表量程是，可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系如图所示，为保护电流表，求电子体重秤可称的最大质量为多少千克？ 题型三 反比例函数与一次函数综合问题（跨章节题型） 解｜题｜技｜巧 联立方程求交点 怎么想？：当题目要求反比例函数 与一次函数 的交点时，直接联立方程求解。 怎么做？： 解这个二次方程，得到 的值，再代入求 。 注意：方程可能有两个解（两个交点）、一个解（相切）或无解（不相交）。 利用图象分析函数值大小 怎么想？：比较反比例函数和一次函数的函数值时，先画大致图象，找到交点，再分段比较。 怎么做？： 若 ，反比例函数图象在一、三象限；若 ，在二、四象限。 一次函数 的斜率和截距决定图象走向。 关键点：找到交点，划分区间，比较大小。 面积问题（与坐标轴围成的三角形、四边形） 怎么想？：若题目涉及面积，通常利用交点坐标计算几何图形的面积。 怎么做？： 先求交点 和 。 若求 的面积，可用公式： 若求反比例函数与坐标轴围成的矩形面积，直接用 。 易｜错｜点｜拨 忽略定义域限制 错误：解方程时忘记 ，导致错误解。 避坑：解完方程后，检查 是否在定义域内（如 ）。 漏解或多解 错误：解二次方程时，只考虑正解，忽略负解（如 和 都可能是交点）。 避坑：解方程时，所有实数解都要考虑，并代入验证。 增减性分析错误 错误：认为 时， 随 增大而增大（实际上 随 增大而减小）。 避坑：记住： ： 随 增大而减小（一、三象限）。 ： 随 增大而增大（二、四象限）。 面积计算错误 错误：计算三角形面积时，直接用 ，但忘记绝对值。 避坑：面积公式必须加绝对值，避免负值导致错误。 图象画错导致比较错误 错误：比较函数值时，未正确画出反比例函数和一次函数的图象，导致大小关系判断错误。 避坑：先画交点，再分段分析（如 、、）。 【典例1】（25-26九年级上·安徽·期末）如图，点是反比例函数的图象上一点，连接并延长交反比例函数图象于点B，M为y轴正半轴上一点，连接并延长交反比例函数图象于点N，连接，已知的面积为． (1)连接，则的面积为 ； (2)点N的坐标为 ． 【典例2】（25-26九年级上·安徽·期末）如图，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线在第一象限交于点C，连接． （1）点A的坐标是 ； （2）的面积是 ． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃天水·期末）如图，已知反比例函数 （）与一次函数相交于A、B两点（点A在第一象限），轴于点C．若的面积为1，且． (1)求出反比例函数与一次函数的解析式； (2)请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数的值大于一次函数的值？ 【变式2】（24-25八年级下·四川内江·期末）如图，直线与双曲线相交于，两点． (1)求，对应的函数表达式； (2)过点作轴交轴于点，求的面积； (3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【变式3】（24-25八年级下·四川内江·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴和y轴分别交于点和点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集为_______； (3)连接OA，已知P为反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·云南·中考真题）若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·西藏·中考真题）一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，一次函数和反比例函数的图像相交于点，，若，则x的取值范围是 ． 4．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）已知反比例函数． (1)如果这个函数图象经过点，求的值； (2)如果这个函数图象在它所处的象限内，函数随的增大而减小，求的范围． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·湖南永州·期末）已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·海南海口·期末）如图，正方形的顶点、在轴上，反比例函数的图象经过点，交于点，则的值为 ，的面积等于 ． 3．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点，延长，与反比例函数的图象交于点，则点的坐标为 ． 4．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）在恒温下，气体对汽缸壁的压强p（）与汽缸内气体体积V（）的函数关系如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 mL． 5．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，，点M从点C出发，沿折线C—A—B运动，当它到达点B时停止，设点M运动的路程为x（），若点N是射线上一点，且，连接，设． (1)求与x的函数关系式，并注明x的取值范围； (2)在平面直角坐标系内直接画出的函数图象，并分别写出的一条性质； (3)结合和的函数图象，直接写出当时，x的取值范围．（结果精确到0.1） 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A．B． C． D． 2．（2023·浙江湖州·中考真题）已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是(    ) A．或 B．或 C．或 D．或 3．（2025·山东德州·中考真题）已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为 ． 4．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，点A，B分别在函数图象的两支上（A在第一象限），连接AB交x轴于点C．点D，E在函数图象上，轴，轴，连接．若，的面积为9，四边形的面积为14，则的值为 ，a的值为 ．    1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $